宁阳县第一中学2024-2025学年高二上学期10月阶段性考试（一）数学试卷(含答案)

这是一份宁阳县第一中学2024-2025学年高二上学期10月阶段性考试（一）数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知点关于z轴的对称点为B，则等于( )
A.B.C.2D.
2．以下各组向量中的三个向量，不能构成空间基底的是( )
A.，，
B.，，
C.，，
D.，，
3．在空间四边形中，E，F分别为，的中点，则( )
A.B.C.D.
4．已知点,,,若A,B,C三点共线,则a,b的值分别是( )
A.,3B.,2C.1,3D.,2
5．直线的一个方向向量为( )
A.B.C.D.
6．在所有棱长均为2的平行六面体中，，则的长为( )
A.B.C.D.6
7．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为( )
A.B.C.D.
8．在棱长为a的正方体中，M，N分别为，的中点，点P在正方体表面上运动，且满足，点P轨迹的长度是( ).
A.B.C.D.4a
二、多项选择题
9．已知直线，，，则下列结论正确的是( )
A.直线l恒过定点
B.当时，直线l的倾斜角为
C.当时，直线l的斜率不存在
D.当时，直线l与直线垂直
10．已知向量,,则下列结论正确的是( )
A.若,则B.若,则
C.的最小值为D.的最大值为4
11．已知四面体满足，，则( )
A.直线与所成的角为
B.直线与所成的角为
C.点M为直线上的动点，M到距离的最小值为
D.二面角平面角的余弦值为
三、填空题
12．直线的倾斜角的取值范围是_________.
13．在正方体中，点E是上底面的中心，若，则实数________.
14．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记，当的长最小时，平面与平面夹角的正弦值为_______.
四、解答题
15．已知平面内两点，.
（1）求过点且与直线垂直的直线l的方程.
（2）若是以C为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程.
16．如图，在正四棱柱中，，E，F分别为，的中点.
（1）证明：平面.
（2）求与平面所成角的正弦值.
17．已知直线.
（1）求证：直线l经过一个定点；
（2）若直线l交x轴的正半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程.
18．如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，，，是边长为2的等边三角形，，E是线段的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）若，是否存在，使得平面和平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
19．如图，在三棱台中，，，N为的中点，二面角的大小为.
（1）求证：；
（2）若，求三棱台的体积；
（3）若A到平面的距离为，求的值.
参考答案
1．答案：A
解析：点关于z轴的对称点为B，
所以.
故选：A.
2．答案：A
解析：若空间三个向量，，能构成空间的基底，则向量，，不共面，反之亦然，
对于A，由，，，得，即向量，，共面，不能构成空间基底；
对于B，令，则，不成立，即，，不共面，可构成基底；
对于C，令，则，即无解，即，，不共面，可构成基底；
对于D，令，则，即无解，即，，不共面，可构成基底.
故选：A
3．答案：C
解析：在空间四边形中，E为的中点，则，
所以.
故选：C
4．答案：D
解析：因为,,,
所以,,
因为A,B,C三点共线,所以存在实数k,使,
所以,
所以,解得,,.
故选:D
5．答案：B
解析：由得，，
所以直线的一个方向向量为，
而，所以也是直线的一个方向向量.
故选：B.
6．答案：C
解析：因为，
所以
，
从而，即的长为.
故选：C.
7．答案：A
解析：由重心坐标公式可得：重心，即.
由，，可知外心M在的垂直平分线上，
所以设外心，因为，
所以，
解得，即：，
则，
故欧拉线方程为：，
即：，
故选：A.
8．答案：A
解析：在正方体中，以D为坐标原点，分别以，，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
，，，，，
设，则，
，，可得；
当时，，当时，，
取，，，，
连结，，，，
则，，
四边形为矩形，则，，
即，，又和为平面中的两条相交直线，
平面，
又，，
M为的中点，则平面，
为使，必有点平面，
又点P在正方体表面上运动，所以点P的轨迹为四边形，
又，，，则点P的轨迹不是正方形，
则矩形的周长为.
9．答案：BD
解析：对于选项A，直线，令，解得直线l恒过定点，选项A错误；
对于选项B，当时，设直线l的方程为，斜率为，倾斜角为，选项B正确；
对于选项C，当时，直线l的方程化为，斜率为0，斜率存在，选项C错误；
对于选项D，当时，直线，所以.
由，，可得，得，
所以直线l与直线垂直，选项D正确.
故选：BD.
10．答案：AC
解析：对于A,若,且,,
则存在唯一实数使得,即,
则解得故A正确;
对于B,若,则,即,无实数解,故B错误;
,故当时,取得最小值为,无最大值,故C正确,D错误.故选AC.
11．答案：BCD
解析：将四面体放入长方体中，（如图），设长方体的长宽高分别为x，y，z，
则，，，
所以解得，，
建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，
故，，故，
所以直线与所成的角为，A错误，
，，
由于，故，
直线与所成的角为，B正确，
对于C，点M为直线上的动点，当M位于的中点时，此时M到距离的最小，
且最小值为长方体的高，即为，C正确，
对于D，取中点E，连接，，由于，，
所以，，故为所求角，
，，
故，故D正确.
故选：BCD
12．答案：
解析：，故.
故答案为：.
13．答案：2
解析：因为
，
又，
所以，，，.
故答案：2.
14．答案：或
解析：以B原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
因为，所以，，
所以，
当时，最小，此时，M，N为中点，则，，
取的中点G，连接，，则，
因为，，所以，，
所以是平面与平面的夹角或其补角，
因为，，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值是，
所以平面与平面夹角的正弦值是.
15．答案：（1）；
（2）或
解析：（1）由题意得，则直线l的斜率为，
所以过点且与直线垂直的直线l的方程为：，
即.
（2）的中点坐标为，
由（1）可知线段垂线的斜率为，所以线段垂直平分线的方程为，
即.
因为是以C为顶点的等腰直角三角形，
所以点C在直线上，
故设点C为，
由可得：，
解得或，
所以点C坐标为或，
则直线的方程为或.
16．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）在正四棱柱中，，，两两垂直，且，
以A为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，.
因为E，F分别为，的中点，所以，，
则，，，
设平面的法向量为
则，即，
令，则有，，即，
因为，所以，
又平面，所以平面；
（2）由（1）可知，，
，
所以与平面所成角的正弦值为.
17．答案：（1）证明见解析；
（2），.
解析：（1）直线，化为，当时，对任意实数k，恒有，所以直线l过定点.
（2）依题意，显然，直线交x轴于点，交y轴于点，而点A，B分别在x，y轴的正半轴上，即，，于是，
则的面积为，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，，直线l的方程的方程为.
18．答案：（1）证明见解析；
（2）存在，
解析：（1）证明：在中，由余弦定理知，，
所以，即，
因为，且，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）以A为坐标原点，，所在直线分别为x，y轴，作平面，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，
，，
所以
，
设平面的法向量为，则，
即，
取，则，，所以，
设平面的法向量为，则，即，
取，则，，所以，
因为平面和平面夹角的余弦值为，
所以，
整理得，，即，
解得或，
因为，所以，
故存在，使得平面和平面夹角的余弦值为，此时.
19．答案：（1）证明见解析；
（2）；
（3）
解析：（1）取中点为M，连接，；如下图所示：
易知平面平面，且平面平面，平面平面；
所以，又因为，
可得四边形为等腰梯形，
且M，N分别为，的中点，所以，
因为，所以，
易知，且平面，
所以平面，
又平面，所以；
（2）由二面角定义可得，二面角的平面角即为，
当时，即，因此可得平面，
可知即为三棱台的高，由，可得；
易知三棱台的上、下底面面积分别为，，
因此三棱台的体积为
（3）由（1）知，，，二面角的平面角即为；
以M为坐标原点，分别以，所在直线为x，y轴，过点M作垂直于平面的垂线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系：
可得，，，，，
易知，可得；
则，
设平面的一个法向量为，
所以，
令，则，，可得；
显然，
由A到平面的距离为，可得，
即，可得；
整理得，解得或；
又，可得.