天津市双菱中学2025届高三上学期第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份天津市双菱中学2025届高三上学期第一次月考数学试卷(含答案)，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知全集，集合，则( )
A.B.C.D.
2．已知，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3．对变量x，y由观测数据得散点图1；对变量u，v由观测数据得散点图2.表示变量x，y之间的线性相关系数，表示变量u，v之间的线性相关系数，则下列说法正确的是( )
A.变量x与y呈现正相关，且B.变量x与y呈现负相关，且
C.变量u与v呈现正相关，且D.变量u与v呈现负相关，且
4．函数的部分图象大致为( )
A.B.
C.D.
5．已知,,，则( )
A.B.C.D.
6．已知，则( )
A.B.C.D.5
7．已知等差数列中,,,设,则( )
A.245B.263C.281D.290
8．嘉兴河流众多，许多河边设有如图所示的护栏，护栏与护栏之间用一条铁链相连.数学中把这种两端固定的一条均匀､柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线（Catenary）.已知函数的部分图象与悬链线类似，则下列说法正确的是( )
A.为奇函数B.的最大值是a
C.在上单调递增D.方程有2个实数解
9．巳知函数的部分图象如图所示，下列不正确的个数有( )
①函数的图象关于点中心对称
②函数的单调增区间为
③函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
④函数在上有2个零点，则实数t的取值范围为
A.0个B.1个C.2个D.3个
二、填空题
10．记是虚数单位，复数z满足，则________.
11．的展开式中常数项为________.
12．已知函数，若有三个零点，则实数a的取值范围是________.
三、双空题
13．已知，，，________，在上的投影向量坐标为________.
14．为铭记历史、缅怀先烈，增强爱国主义情怀，某学校开展共青团知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答正确与否互不影响.已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是.若规定三名同学都回答这个问题，则甲、乙、丙三名同学中至少有1人回答正确的概率为________；若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为，，，则这个问题回答正确的概率为________.
15．已知中，，，记，则________；若，当最大时，________.
四、解答题
16．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，的面积为.
(1)求；
(2)若，求；
(3)求的值.
17．如图，垂直于梯形所在平面，，F为线段上一点，,，四边形为矩形.
(1)若F是的中点，求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)若点F到平面的距离为，求的长.
18．已知数列，，.
(1)证明：数列，为等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求数列的前n项和.
19．已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，.
(1)求和的通项公式；
(2)若数列满足：，求数列的前n项和；
(3)若数列满足：，求.
20．已知函数.
(1)当时，直线（k为常数）与曲线相切，求k的值；
(2)若,恒成立，求a的取值范围；
(3)若有两个零点,，求证：.
参考答案
1．答案：B
解析：，
，
故选：B.
2．答案：D
解析：因为在R单调递增，且,
所以，即
因为，所以,即,
所以存在两种情况：且，且，
因此推不出,
同样推不出,
因此“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
3．答案：A
解析：观察散点图，得变量x与y呈现正相关，变量u与v呈现负相关，BC错误；
图1中各点比图2中各点更加集中，相关性更好，因此，A正确，D错误.
故选：A
4．答案：A
解析：由定义域为，故可排除C；
又，
故为奇函数，故可排除D；
由，故可排除B；
故选：A.
5．答案：D
解析：易知,，则，
又定义域上单调递增，则，
所以，
综上.
故选：D
6．答案：B
解析：因为，
所以且，
即，且，解得或（舍去），
所以.
故选：B.
7．答案：C
解析：等差数列中,由,,得公差,
则,显然当时,,当时,,
所以
.
故选:C.
8．答案：D
解析：对A，，则为偶函数，A错误；
对BC，又，根据，，在R上均单调递增，
则在在R上单调递增，且，
则当时，则，当时，则，
的单调递减区间为，单调递增区间为，故C错误；
则，即的最小值为a，B错误；
对D，法一：因为为偶函数，且最小值为a，，
并且根据C中的单调递减区间为，单调递增区间为，且时，，
所以有2个实数解，故D正确.
法二：令，，，，
再结合指数函数性质知方程有2个实数根，故D正确.，
故选：D
9．答案：B
解析：，
由图象知函数的最小正周期为，因此，即，，因此函数的图象关于点中心对称，①正确；
由得，，②正确；
，因此把的图象向左平移个单位长度得的图象，③正确；
由题意，时，
当时，，在上有2个零点，则，解得，
当时，，在上有2个零点，则，解得，
因此t的范围是或，④错.
故选：B.
10．答案：-i
解析：依题意，，所以.
故答案为：-i
11．答案：
解析：的二项展开式的通项为，
令，得，
其展开式的常数项为.
故答案为：
12．答案：
解析：（1）时，，只有一个零点，不合题意；
（2）时，，，在R上单调递增，
所以，不可能有3个解，也不合题意.
（3）时，，得
画出函数：，的图象，如图：
当时有三个零点，其中有唯一的零点，有两个零点，即在有两个零点.
，＝0，得x=
x在递减，在递增，
＜0，解得：
13．答案：1；.
解析：因为，所以，解得，
所以，
因为，，
所以在上的投影向量坐标为.
故答案为：1；.
14．答案：/0.875；
解析：根据题意，设甲回答正确为事件A，乙回答正确为事件B，丙回答正确为事件C，
则，，，
所以，，
若规定三名同学都回答这个问题，
则甲、乙、丙三名同学中至少有1人回答正确的概率，
若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为，，，
则这个问题回答正确的概率.
故答案为：；.
15．答案：/；
解析：
因为，所以，
，
所以，，；
因为，所以，以A为坐标原点建立如图所示直角坐标系，则，，
设，则，，则，，
，当且仅当时取等号，
此时，，最小，最大，
所以当最大时，.
故答案为：，.
16．答案：(1)；
(2)；
(3)
解析：（1）由余弦定理知：
在中，，，即
又，.即
；
（2）由（1）知，则角B为锐角，
，，
由正弦定理知：，则，，
又，，，
；
（3）由（2）知，，
所以，.
所以.
17．答案：(1)证明见解析；
(2)；
(3)
解析：(1)设，连接,四边形为矩形，G为中点，又F为中点，
，又平面，平面，平面.
(2)以D为坐标原点，,,正方向为x,y,z轴，
可建立如图所示空间直角坐标系，
则,,,,
,，
设平面的法向量，
，令，解得：,,；
设直线与平面所成角为,.
则直线与平面所成角正弦值为.
(3)，设,
由平面的法向量，
点F到平面的距离.
解得，
所以.
18．答案：(1)证明见解析；
(2)；
(3)
解析：（1）因为，，
所以，.
而，，所以，，
，.
所以数列是以首项，公比为3的等比数列.
数列是以首项，公比为2的等比数列.
（2）由（1）知：，.
（3）因为，
所以
.
19．答案：(1)，；
(2)；
(3)
解析：（1）设公差为d，公比为q，
，，，解得或，
，，
故数列的通项公式为，
，，
，，解得，，
故数列的通项公式为；
（2）根据题意，，
则，①
，②
①-②：
，
所以；
（3）根据题意，，
则
.
20．答案：(1)；
(2)；
(3)证明见解析
解析：（1）当时，.
设切点，则
消k得，解得，代入得.
（2）方法一：因为，
所以，
①当时，设，则，
所以当时，,单调递减；
当时，,单调递增.
所以.
又，故恒成立，所以成立.
②当时，，
所以当时，,单调递减；
当时，,单调递增.
故，解得，又，所以，
综上所述，a的取值范围为.
方法二：因为恒成立，
又，所以上式等价于恒成立.
记，则，
设，则.
当时，,在上单调递减；
当时，,在上单调递增.
所以.
所以当时，,在上单调递减；
当时，,在上单调递增.
所以.
故a的取值范围为.
方法三：因为恒成立，
又，所以上式等价于恒成立.
记，则，
所以当时，,在上单调递减；
当时，,在上单调递增.所以.
令，则，则恒成立.
记，则，
所以在上单调递增，所以，所以.
故a的取值范围为.
（3）方法一：因为有两个零点,，不妨设，
则，
即，即，
令，则，
所以当时，,单调递减；
当时，,单调递增.
所以.
令，则,单调递增，
又，所以，即.
由的单调性可知.
思路一：构造函数,.
则，
故在上单调递减，
又，所以，则，即，
又，所以，
又,,在上单调递增，所以.
故.
思路二：要证，即证，即证.
令，即证.
构造函数,.
则，
故在内单调递减，则，即.
故.
思路三：因为，即，
令，则
即
要证，即证，
即证，即证，
下同思路一，略.
方法二：因为有两个零点,，不妨设，
则，
即.
令，则，
所以当时，,单调递减；
当时，,单调递增.
所以.
令，则,单调递增，
又，所以，即
由的单调性可知.
思路一：构造函数，.
则
，
令，则，
所以当时，,单调递减，
所以当时，，则，所以，
故在上单调递减，又，所以，则，即，
又，所以，
又,,在上单调递增，所以.
故.
思路二：因为，所以，
即，
令，要证，即证，
即证.
构造函数,.
则，
故在上单调递减，则.
故.
注：要证明，即证，构造函数,.
则，
故在上单调递减，则.故.
思路三：令，则即.
要证，即证，即证.
下同思路二，略.
思路四：对两边取对数，得，下面同方法一.