江苏省南京市鼓楼区育英外学校2025届数学九年级第一学期开学联考模拟试题【含答案】

这是一份江苏省南京市鼓楼区育英外学校2025届数学九年级第一学期开学联考模拟试题【含答案】，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）下列各式运算结果为x8的是（ ）
A．x4•x4B．（x4）4C．x16÷x2D．x4+x4
2、（4分）在平面直角坐标系的第一象限内有一点M，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点M的坐标是（ ）
A．（3，-4）．B．（4，-3）．C．（3，4）．D．（4，3）．
3、（4分）已知是方程的一个根，那么代数式的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
4、（4分）若有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．且
5、（4分）关于的不等式组恰好有四个整数解，那么的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）下列图象中不可能是一次函数的图象的是（ ）
A．B．C．D．
7、（4分）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）
A．∠A=∠BB．∠A=∠CC．AC=BDD．AB⊥BC
8、（4分）如图图中，不能用来证明勾股定理的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）已知，化简二次根式的正确结果是_______________．
10、（4分）一组数据-3，x，-2，3，1，6的中位数是1，则其方差为________
11、（4分）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，∠ADB=30°，AB=4，则 OC=_____.
12、（4分）如图，已知等边三角形ABC的边长为7，点D为AB上一点，点E在BC的延长线上，且CE=AD，连接DE交AC于点F，作DH⊥AC于点H，则线段HF的长为 ____________.
13、（4分）如图，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A（﹣2，2），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P（0，t），过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B'在此反比例函数的图象上，则t的值是（ ）
A．1+B．4+C．4D．-1+
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）为鼓励学生参加体育锻炼，学校计划拿出不超过3200元的资金购买一批篮球和
排球，已知篮球和排球的单价比为3:2，单价和为160元.
（1）篮球和排球的单价分别是多少元？
（2）若要求购买的篮球和排球的总数量是36个，且购买的排球数少于11个，有哪几种购买方案？
15、（8分）如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC＝120°．动点P、Q同时从点A出发，其中P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路线向点C运动；Q以2cm/s的速度，沿A→C的路线向点C运动．当P、Q到达终点C时，整个运动随之结束，设运动时间为t秒．
（1）在点P、Q运动过程中，请判断PQ与对角线AC的位置关系，并说明理由；
（2）若点Q关于菱形ABCD的对角线交点O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD（或CD）于点N．
①当t为何值时，点P、M、N在一直线上？
②当点P、M、N不在一直线上时，是否存在这样的t，使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
16、（8分）如图,直线与直线 ，两直线与轴的交点分别为、.
(1)求两直线交点的坐标；
(2)求的面积.
17、（10分）先化简，再求值：（3m-）÷，其中m＝2019－2
18、（10分）已知直线的图象经过点和点
（1）求的值；
（2）求关于的方程的解
（3）若、为直线上两点，且，试比较、的大小
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，正方形ABCD的面积等于25cm2，正方形DEFG的面积等于9cm2，则阴影部分的面积S=______cm2.
20、（4分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边上的高，AC＝4，BC＝3，则CD＝______．
21、（4分）如图，是中边中点，，于，于，若，则__________．
22、（4分）一次函数与轴的交点是__________.
23、（4分）如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8,P为BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F,则EF最小值是________.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）学校准备从甲乙两位选手中选择一位选手代表学校参加所在地区的汉字听写大赛，学校对两位选手从表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写四个方面做了测试，他们各自的成绩(百分制)如下表:
（1）由表中成绩已算得甲的平均成绩为80.25，请计算乙的平均成绩，从他们的这一成绩看，应选派谁;
（2）如果表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写分别赋予它们20%、10%、30%和40%的权重，请分别计算两名选手的最终成绩，从他们的这一成绩看，应选派谁．
25、（10分）在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．EF过点O且与ABCD分别相交于点E，F
（1）如图①，求证：OE=OF；
（2）如图②，若EF⊥DB，垂足为O，求证：四边形BEDF是菱形．
26、（12分）如图，在正方形ABCD中，点E是BC边所在直线上一动点（不与点B、C重合），过点B作BF⊥DE，交射线DE于点F，连接CF．
（1）如图，当点E在线段BC上时，∠BDF=α．
①按要求补全图形；
②∠EBF=______________（用含α的式子表示）；
③判断线段 BF，CF，DF之间的数量关系，并证明．
（2）当点E在直线BC上时，直接写出线段BF，CF，DF之间的数量关系，不需证明．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
解：选项A，原式=；选项B，原式=x16；选项C，原式=；选项D， 原式=
故选A
2、D
【解析】
根据第一象限内点的坐标特征，可得答案．
【详解】
解：由题意，得
x=4，y=3，
即M点的坐标是（4，3），
故选：D．
本题考查点的坐标，熟记各象限内点的坐标特征是解题关键．
3、C
【解析】
因为a是方程x2−2x−1＝0的一个根，所以a2−2a＝1，那么代数式2a2−4a＋5可化为2（a2−2a）＋5，然后把a2−2a＝1代入即可．
【详解】
解：∵a是方程x2−2x−1＝0的一个根，
∴a2−2a＝1，
∴2a2−4a＋5
＝2（a2−2a）＋5
＝2×1＋5
＝7，
故选：C．
本题考查了一元一次方程的解以及代数式求值，注意解题中的整体代入思想．
4、B
【解析】
二次根式中被开方数的取值范围：二次根式中的被开方数是非负数，此外还需考虑分母不为零．
【详解】
解：要使有意义，则2x+1＞0，
∴x的取值范围为．
故选：B．
本题主要考查二次根式有意义的条件，如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
5、C
【解析】
可先用m表示出不等式组的解集，再根据恰有四个整数解可得到关于m的不等式，可求得m的取值范围．
【详解】
解：
在中，
解不等式①可得x＞m，
解不等式②可得x≤3，
由题意可知原不等式组有解，
∴原不等式组的解集为m＜x≤3，
∵该不等式组恰好有四个整数解，
∴整数解为0，1，2，3，
∴-1≤m＜0，
故选C．
本题主要考查解不等式组，求得不等式组的解集是解题的关键，注意恰有四个整数解的应用．
6、C
【解析】
分析：分别根据四个答案中函数的图象求出m的取值范围即可．
详解：A．由函数图象可知：，解得：1＜m＜3；
B．由函数图象可知，解得：m=3；
C．由函数图象可知：，解得：m＜1，m＞3，无解；
D．由函数图象可知：，解得：m＜1．
故选C．
点睛：本题比较复杂，解答此题的关键是根据各选项列出方程组，求出无解的一组．
7、B
【解析】
【分析】由矩形的判定方法即可得出答案．
【详解】A、∠A=∠B，∠A+∠B=180°，所以∠A=∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；
B、∠A=∠C不能判定这个平行四边形为矩形，错误；
C、AC=BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；
D、AB⊥BC，所以∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确，
故选B．
【点睛】本题考查了矩形的判定，熟练掌握“有一个角是直角的平行四边形是矩形、对角线相等的平行四边形是矩形、有三个角是直角的四边形是矩形”是解题的关键.
8、D
【解析】
根据图形的面积得出a，b，c的关系，即可证明勾股定理，分别分析得出即可．
【详解】
A，B，C都可以利用图形面积得出a，b，c的关系，即可证明勾股定理；故A，B，C选项不符合题意；
D、不能利用图形面积证明勾股定理，故此选项正确．
故选D．
此题主要考查了勾股定理的证明方法，根据图形面积得出是解题关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
由题意：-a3b≥0，即ab≤0，
∵a＜b，
∴a≤0＜b；
所以原式=|a|=-a．
10、9
【解析】
根据中位数的定义，首先确定x的值，再计算方差.
【详解】
解：首先根据题意将所以数字从小到达排列，可得-3，-2，1，3，6
因为这五个数的中位数为1
再增加x后要使中位数为1，则
因此可得x=1
所以平均数为：
所以方差为：
故答案为9.
本题主要考查根据中位数求未知数和方差的计算，关键在于根据题意计算未知数.
11、1
【解析】
解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC，∠BAD=90°，∵∠ADB=30°，∴AC=BD=2AB=8，∴OC=AC=1．故答案为1．
点睛：此题考查了矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质．熟练掌握矩形的性质，注意掌握数形结合思想的应用．
12、
【解析】
证明：（1）过点D作DG∥BC交AC于点G，
∴∠ADG=∠B，∠AGD=∠ACB，∠FDG=∠E，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠B=∠ACB=∠A=60°，
∴∠A=∠ADG=∠AGD=60°，
∴△ADG是等边三角形，
∴AD=DG
∵AD=CE，
∴DG=CE，
在△DFG与△EFC中
∴△DFG≌△EFC（AAS），
∴GF=FC=GC
又∵ DH⊥AC，
∴AH=HG=AG，
∴HF=HG+GF=AG+GC=AC=
故答案为：
此题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题
13、A
【解析】
根据反比例函数图象上点的坐标特征由A点坐标为（-2，2）得到k=-4，即反比例函数解析式为y=-，且OB=AB=2，则可判断△OAB为等腰直角三角形，所以∠AOB=45°，再利用PQ⊥OA可得到∠OPQ=45°，然后轴对称的性质得PB=PB′，BB′⊥PQ，所以∠BPQ=∠B′PQ=45°，于是得到B′P⊥y轴，则点B的坐标可表示为（-，t），于是利用PB=PB′得t-2=|-|=，然后解方程可得到满足条件的t的值．
【详解】
如图，
∵点A坐标为（-2，2），
∴k=-2×2=-4，
∴反比例函数解析式为y=-，
∵OB=AB=2，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°，
∵PQ⊥OA，
∴∠OPQ=45°，
∵点B和点B′关于直线l对称，
∴PB=PB′，BB′⊥PQ，
∴∠B′PQ=∠OPQ=45°，∠B′PB=90°，
∴B′P⊥y轴，
∴点B′的坐标为（- ，t），
∵PB=PB′，
∴t-2=|-|=，
整理得t2-2t-4=0，解得t1= ，t2=1- （不符合题意，舍去），
∴t的值为．
故选A．
本题是反比例函数的综合题，解决本题要掌握反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质和轴对称的性质及会用求根公式法解一元二次方程．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）篮球和排球的单价分别是96元、64元.
（2）共有三种购买方案：
①购买篮球26个，排球10个；
②购买篮球27个，排球11个；
③购买篮球28个，排球8个
【解析】
（1）设篮球的单价为x元，则排球的单价为x元．根据等量关系“单价和为80元”，列方程求解；
（2）设购买的篮球数量为n个，则购买的排球数量为（36-n）个．
根据不等关系：①购买的排球数少于11个；②不超过3200元的资金购买一批篮球和排球．列不等式组，进行求解.
【详解】
解：（1）设篮球的单价为x元，则排球的单价为x元
据题意得 x+x =160
解得 x=96
∴x =64即篮球和排球的单价分别是96元、64元.
（2）设购买的篮球数量为n,则购买的排球数量为（36-n）个
由题意得

解得2528
而n是整数，所以其取值为26,27,28，对应36-n的值为10，9，8，
所以共有三种购买方案：
①购买篮球26个，排球10个；
②购买篮球27个，排球11个；
③购买篮球28个，排球8个
15、（1）在点P、Q运动过程中，始终有PQ⊥AC；理由见解析；（1）①当t＝时，点P、M、N在一直线上；② 存在这样的t，故 当t＝1或时，存在以PN为一直角边的直角三角形.
【解析】
（1）此问需分两种情况，当0＜t≤5及5＜t≤10两部分分别讨论得PQ⊥AC．
（1）①由于点P、M、N在一直线上，则AQ+QM=AM，代入求得t的值．
②假设存在这样的t，使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形，但是需分点N在AD上时和点N在CD上时两种情况分别讨论．
【详解】
解：（1）若0＜t≤5，则AP=4t，AQ=1t．
则==，
又∵AO=10，AB=10，∴==．
∴=．又∠CAB=30°，∴△APQ∽△ABO．
∴∠AQP=90°，即PQ⊥AC．
当5＜t≤10时，同理，可由△PCQ∽△BCO得∠PQC=90°，即PQ⊥AC．
∴在点P、Q运动过程中，始终有PQ⊥AC．
（1）①如图，在Rt△APM中，∵∠PAM=30°，AP=4t，
∴AM=．
在△APQ中，∠AQP=90°，
∴AQ=AP?cs30°=1t，
∴QM=AC-1AQ=10-4t．
由AQ+QM=AM得：1t+10-4
t=，
解得t=．
∴当t=时，点P、M、N在一直线上．
②存在这样的t，使△PMN是以PN为一直角边的直角三角形．
设l交AC于H．
如图1，当点N在AD上时，若PN⊥MN，则∠NMH=30°．
∴MH=1NH．得10-4t-t=1×，解得t=1．
如图1，当点N在CD上时，若PM⊥PN，则∠HMP=30°．
∴MH=1PH，同理可得t=．
故当t=1或时，存在以PN为一直角边的直角三角形．
16、（1）A（1，0），B（3，0）；（2）1
【解析】
分析：（1）通过解方程组组可得到C点坐标；
（2）先确定A点和B点坐标，然后根据三角形面积公式求解.
详解:(1)由得
∴.
(2)在中，当时，
∴
在中，当时，
∴
∴
∴ .
点睛：本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
17、3m，6057-6．
【解析】
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把m的值代入进行计算即可．
【详解】
解：原式= =3m，
当m=2019-2时，
原式=3×2019-6
=6057-6．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式混合运算的法则，本题属于基础题型．
18、（1）b=1；（2）；（3）.
【解析】
（1）将直线经过的两点代入原直线，联立二元一次方程组即可求得b值；
（2）求出k值，解一元一次方程即可；
（3）根据k的大小判断直线是y随x的增大而增大的，由此可知、的大小.
【详解】
解：（1）将（2，4），（-2，-2）代入直线得到：
，
解得：，
∴b=1；
（2）已知，b=1，
令，
解得，
∴关于的方程的解是；
（3）由于>0，可知直线是y随x的增大而增大的，
∵，
∴