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2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第02讲导数与函数的单调性(知识+真题+10类高频考点)(精讲)(学生版+解析)
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这是一份2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第02讲导数与函数的单调性(知识+真题+10类高频考点)(精讲)(学生版+解析)，共46页。试卷主要包含了函数的单调性与导数的关系，求已知函数的单调区间，含参问题讨论单调性等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc29642" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc29642 \h 2
\l "_Tc27569" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc27569 \h 3
\l "_Tc9278" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc9278 \h 3
\l "_Tc20031" 高频考点一：利用导数求函数的单调区间（不含参） PAGEREF _Tc20031 \h 3
\l "_Tc30704" 高频考点二：已知函数在区间上单调 PAGEREF _Tc30704 \h 4
\l "_Tc23471" 高频考点三：已知函数在区间上存在单调区间 PAGEREF _Tc23471 \h 5
\l "_Tc17969" 高频考点四：已知函数在区间上不单调 PAGEREF _Tc17969 \h 5
\l "_Tc23772" 高频考点五：函数单调性之导函数与原函数图象的单调性 PAGEREF _Tc23772 \h 6
\l "_Tc4084" 高频考点六：函数单调性之比较大小 PAGEREF _Tc4084 \h 8
\l "_Tc25683" 高频考点七：函数单调性之构造函数解不等式 PAGEREF _Tc25683 \h 9
\l "_Tc25966" 高频考点八：含参问题讨论单调性（一次型） PAGEREF _Tc25966 \h 9
\l "_Tc20966" 高频考点九：含参问题讨论单调性（可因式分解二次型） PAGEREF _Tc20966 \h 10
\l "_Tc15828" 高频考点十：含参问题讨论单调性（不可因式分解二次型） PAGEREF _Tc15828 \h 12
\l "_Tc9208" 第四部分：典型易错题型 PAGEREF _Tc9208 \h 13
\l "_Tc31223" 备注：已知函数在某区间上单调，求解时容易忽视“等号”而存在单调区间却容易误加了“等号” PAGEREF _Tc31223 \h 13
\l "_Tc3109" 备注：解不等式时容易忽视定义域 PAGEREF _Tc3109 \h 13
第一部分：基础知识
1、函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减）
2、求已知函数（不含参）的单调区间
①求的定义域
②求
③令，解不等式，求单调增区间
④令，解不等式，求单调减区间
注：求单调区间时，令（或）不跟等号.
3、由函数的单调性求参数的取值范围的方法
（1）已知函数在区间上单调
①已知在区间上单调递增，恒成立.
②已知在区间上单调递减，恒成立.
注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.
（2）已知函数在区间上存在单调区间
①已知在区间上存在单调增区间令，解不等式，求单调增区间，则
②已知在区间上存在单调减区间令，解不等式，求单调减区间，则
（3）已知函数在区间上不单调，使得
4、含参问题讨论单调性
第一步：求的定义域
第二步：求（导函数中有分母通分）
第三步：确定导函数有效部分，记为
对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负.
第四步：确定导函数有效部分的类型：
①为一次型（或可化为一次型）②为二次型（或可化为二次型）
第五步：通过分析导函数有效部分，讨论的单调性
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·全国·新课标Ⅱ卷）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A．B．eC．D．
2．（2023·全国·乙卷理）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
3．（2023·全国·乙卷文）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程．
(2)若函数在单调递增，求的取值范围．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：利用导数求函数的单调区间（不含参）
典型例题
1．（23-24高二下·宁夏·阶段练习）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·辽宁·一模）已知.
(1)求在处的切线方程；
(2)求的单调递减区间.
练透核心考点
1．（23-24高二下·重庆黔江·阶段练习）若函数，则函数的单调递减区间为（ ）
A．，B．C．D．
2．（23-24高二下·江苏·阶段练习）函数的单调增区间为 ．
高频考点二：已知函数在区间上单调
典型例题
1．（22-23高二下·北京·阶段练习）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三上·河南·阶段练习）若函数的图象在区间上单调递增，则实数的最小值为 ．
练透核心考点
1．（23-24高三上·安徽亳州·阶段练习）已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围是： .
2．（22-23高二下·内蒙古兴安盟·期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 .
高频考点三：已知函数在区间上存在单调区间
典型例题
1．（23-24高三上·福建泉州·阶段练习）若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二·安徽六安·期末）若函数存在增区间，则实数的取值范围为
A．B．
C．D．
3．（2023高二·全国·专题练习）若函数存在增区间，则实数的取值范围为 .
练透核心考点
1．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在区间上，函数存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（多选）（23-24高二下·宁夏·阶段练习）已知函数在区间上存在单调递减区间，则可能的值为（ ）
A．0B．1C．2D．e
3．（23-24高三·全国·专题练习）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 .
高频考点四：已知函数在区间上不单调
典型例题
1．（22-23高二下·湖北·阶段练习）若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
练透核心考点
1．（23-24高二上·河南许昌·期末）若函数在其定义域的一个子区间上，不是单调函数，则实数k的取值范围是 ．
高频考点五：函数单调性之导函数与原函数图象的单调性
典型例题
1．（22-23高二下·陕西咸阳·阶段练习）函数的导函数在区间上的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
2．（22-23高二下·甘肃平凉·阶段练习）已知上的可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高二下·湖北黄冈·阶段练习）如图所示为函数的图象，则不等式的解集为 ．
练透核心考点
1．（23-24高二上·山西长治·期末）函数的导函数的图象如图所示，那么该函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
2．（多选）（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）函数的图象如图，且在与处取得极值，给出下列判断，其中正确的是（ ）
A．B．
C．D．函数在上单调递减
3．（多选）（22-23高二下·广西桂林·期末）设是定义域为R的奇函数，其导函数为，若时，图象如图所示，则可以使成立的x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
高频考点六：函数单调性之比较大小
典型例题
1．（23-24高二下·江苏·阶段练习）下列不等关系中，正确的是（为自然对数的底数）（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知，则a，b，c大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·江西赣州·一模）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
练透核心考点
1．（2024·浙江温州·二模）已知，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二上·福建福州·期末）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
高频考点七：函数单调性之构造函数解不等式
典型例题
1．（2024·湖南邵阳·二模）已知函数的定义域为为的导函数.若，且在上恒成立，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高二下·福建莆田·开学考试）已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高二下·宁夏·阶段练习）设函数，若不等式对任意的恒成立，则的可能取值是（ ）
A．B．C．D．
透核心考点
1．（23-24高二上·江苏泰州·期末）不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·四川成都·二模）已知函数，若，则实数的取值范围为 .
高频考点八：含参问题讨论单调性（一次型）
典型例题
1．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知函数.
(1)讨论的单调性；
2．（2024·陕西咸阳·二模）已知函数．
(1)讨论的单调性；
练透核心考点
1．（2024高三·全国·专题练习）已知，讨论函数的单调性.
2．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）讨论函数的单调性
3．（2024高二·上海·专题练习）设函数，其中.
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
高频考点十：含参问题讨论单调性（不可因式分解二次型）
典型例题
1．（2024·四川南充·二模）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
2．（2024高三·全国·专题练习）已知，讨论的单调性.
练透核心考点
1．（2024高三·全国·专题练习）设函数（），讨论的单调性.
2．（2024·山东青岛·一模）已知函数．
(1)若，曲线在点处的切线斜率为1，求该切线的方程；
(2)讨论的单调性．
第四部分：典型易错题型
备注：已知函数在某区间上单调，求解时容易忽视“等号”而存在单调区间却容易误加了“等号”
1．（23-24高三上·福建泉州·阶段练习）若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二上·福建南平·阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二上·山西长治·期末）若函数（且）在区间上单调递增，则实数的取值范围是 .
备注：解不等式时容易忽视定义域
1．（2024·陕西西安·二模）已知函数.若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·贵州贵阳·一模）已知是定义在上的偶函数，且也是偶函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．条件
恒有
结论
函数在区间上可导
在内单调递增
在内单调递减
在内是常数函数
第02讲 导数与函数的单调性
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc29642" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc29642 \h 1
\l "_Tc27569" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc27569 \h 2
\l "_Tc9278" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc9278 \h 5
\l "_Tc20031" 高频考点一：利用导数求函数的单调区间（不含参） PAGEREF _Tc20031 \h 5
\l "_Tc30704" 高频考点二：已知函数在区间上单调 PAGEREF _Tc30704 \h 7
\l "_Tc23471" 高频考点三：已知函数在区间上存在单调区间 PAGEREF _Tc23471 \h 9
\l "_Tc17969" 高频考点四：已知函数在区间上不单调 PAGEREF _Tc17969 \h 12
\l "_Tc23772" 高频考点五：函数单调性之导函数与原函数图象的单调性 PAGEREF _Tc23772 \h 14
\l "_Tc4084" 高频考点六：函数单调性之比较大小 PAGEREF _Tc4084 \h 17
\l "_Tc25683" 高频考点七：函数单调性之构造函数解不等式 PAGEREF _Tc25683 \h 20
\l "_Tc25966" 高频考点八：含参问题讨论单调性（一次型） PAGEREF _Tc25966 \h 23
\l "_Tc20966" 高频考点九：含参问题讨论单调性（可因式分解二次型） PAGEREF _Tc20966 \h 24
\l "_Tc15828" 高频考点十：含参问题讨论单调性（不可因式分解二次型） PAGEREF _Tc15828 \h 29
\l "_Tc9208" 第四部分：典型易错题型 PAGEREF _Tc9208 \h 32
\l "_Tc31223" 备注：已知函数在某区间上单调，求解时容易忽视“等号”而存在单调区间却容易误加了“等号” PAGEREF _Tc31223 \h 32
\l "_Tc3109" 备注：解不等式时容易忽视定义域 PAGEREF _Tc3109 \h 34
第一部分：基础知识
1、函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减）
2、求已知函数（不含参）的单调区间
①求的定义域
②求
③令，解不等式，求单调增区间
④令，解不等式，求单调减区间
注：求单调区间时，令（或）不跟等号.
3、由函数的单调性求参数的取值范围的方法
（1）已知函数在区间上单调
①已知在区间上单调递增，恒成立.
②已知在区间上单调递减，恒成立.
注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.
（2）已知函数在区间上存在单调区间
①已知在区间上存在单调增区间令，解不等式，求单调增区间，则
②已知在区间上存在单调减区间令，解不等式，求单调减区间，则
（3）已知函数在区间上不单调，使得
4、含参问题讨论单调性
第一步：求的定义域
第二步：求（导函数中有分母通分）
第三步：确定导函数有效部分，记为
对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负.
第四步：确定导函数有效部分的类型：
①为一次型（或可化为一次型）②为二次型（或可化为二次型）
第五步：通过分析导函数有效部分，讨论的单调性
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·全国·新课标Ⅱ卷）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A．B．eC．D．
【答案】C
【分析】
根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出．
【详解】
依题可知，在上恒成立，显然，所以，
设，所以，所以在上单调递增，
，故，即，即a的最小值为．
故选：C．
2．（2023·全国·乙卷理）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
【答案】
【分析】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围.
【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立，
则，即在区间上恒成立，
故，而，故，
故即，故，
结合题意可得实数的取值范围是.
故答案为：.
3．（2023·全国·乙卷文）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程．
(2)若函数在单调递增，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；
（2）原问题即在区间上恒成立，整理变形可得在区间上恒成立，然后分类讨论三种情况即可求得实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，
则，
据此可得，
所以函数在处的切线方程为，即.
（2）由函数的解析式可得，
满足题意时在区间上恒成立.
令，则，
令，原问题等价于在区间上恒成立，
则，
当时，由于，故，在区间上单调递减，
此时，不合题意;
令，则，
当，时，由于，所以在区间上单调递增，
即在区间上单调递增，
所以，在区间上单调递增，，满足题意.
当时，由可得，
当时，在区间上单调递减，即单调递减，
注意到，故当时，，单调递减，
由于，故当时，，不合题意.
综上可知：实数得取值范围是.
【点睛】方法点睛：
（1）求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
（2）由函数的单调性求参数的取值范围的方法
①函数在区间上单调，实际上就是在该区间上(或)恒成立．
②函数在区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：利用导数求函数的单调区间（不含参）
典型例题
1．（23-24高二下·宁夏·阶段练习）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
利用导数求函数的单调递增区间.
【详解】函数，定义域为，
，，解得，
所以函数的单调递增区间为.
故选：B
2．（2024·辽宁·一模）已知.
(1)求在处的切线方程；
(2)求的单调递减区间.
【答案】(1)
(2)单调递减区间为，
【分析】
（1）先求原函数的导函数，再求出处的导数值即切线的斜率，写出切线方程即可；
（2）求的单调递减区间，只需求出其导函数满足不等式的解集即可.
【详解】（1）
由于，
其导函数为：，
得：，，
所以在处的切线方程为：，即；
（2）
由于，
得：，
若，则，即，
由于，则，
只需即可，解得，，
故的单调递减区间为：，.
练透核心考点
1．（23-24高二下·重庆黔江·阶段练习）若函数，则函数的单调递减区间为（ ）
A．，B．C．D．
【答案】C
【分析】
求函数的导数，利用导数小于零并结合定义域即可得解.
【详解】
因为，定义域为，
所以，
令，解得，则函数的单调递减区间为.
故选：C.
2．（23-24高二下·江苏·阶段练习）函数的单调增区间为 ．
【答案】（或）
【分析】
求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式即可.
【详解】函数的定义域为，
又，
令，解得，
所以函数的单调增区间为（或）.
故答案为：（或）
高频考点二：已知函数在区间上单调
典型例题
1．（22-23高二下·北京·阶段练习）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】原函数在区间上单调递增，则导函数在区间上恒大于或等于0，可求实数的取值范围.
【详解】由，则，
因为函数在区间上单调递增，所以恒成立，
即恒成立，则，解得.
故选：B
2．（23-24高三上·河南·阶段练习）若函数的图象在区间上单调递增，则实数的最小值为 ．
【答案】
【分析】
利用函数的单调性转化为在区间上恒成立，
构造函数，利用导数求最小值即可求得即.
【详解】
因为，所以．
由的图象在区间上单调递增，
可知不等式即在区间上恒成立．
令，则，
当时，，所以在上单调递减，
故要使在上恒成立，只需．
由，解得，
故实数a的取值范围为，则a的最小值为．
故答案为：
练透核心考点
1．（23-24高三上·安徽亳州·阶段练习）已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围是： .
【答案】
【分析】根据函数单调性得在上恒成立，再根据分参求最值即可求解.
【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以，
设，所以，所以在上单调递增，
，故，即，即a的最小值为.
故a的取值范围是.
故答案为：
2．（22-23高二下·内蒙古兴安盟·期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】
根据函数在区间上单调递增，得到函数在上成立，再由题意即可得出的取值范围.
【详解】
因为函数在区间上单调递增，
所以在区间上函数，所以
设，，
函数在区间上单调递增，
所以只需即可.
故答案为：.
高频考点三：已知函数在区间上存在单调区间
典型例题
1．（23-24高三上·福建泉州·阶段练习）若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据条件得出存在，使成立，即存在，使成立，构造函数，，求出的最值即可解决问题.
【详解】因为函数在上存在单调递增区间，
所以存在，使成立，即存在，使成立，
令，， 变形得，因为，所以，
所以当，即时，，所以，
故选：D．
2．（23-24高二·安徽六安·期末）若函数存在增区间，则实数的取值范围为
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先假设函数不存在增区间，则单调递减，利用的导数恒小于零列不等式，将不等式分离常数后，利用配方法求得常数的取值范围，再取这个取值范围的补集，求得题目所求实数的取值范围.
【详解】若函数不存在增区间，则函数单调递减，
此时在区间恒成立，
可得，则，可得，
故函数存在增区间时实数的取值范围为．故选C.
【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题.
3．（2023高二·全国·专题练习）若函数存在增区间，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】由题意知，存在使得，利用参变量分离法得出，利用基本不等式在时的最小值，即可得出实数的取值范围.
【详解】，定义域为，，
由题意可知，存在使得，即.
当时，，
所以，，因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
练透核心考点
1．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在区间上，函数存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
根据给定条件，利用导数结合函数单调性建立不等式，再构造函数求出函数最大值即得.
【详解】函数，求导得，
依题意，不等式在上有解，即在上有解，
令，，求导得，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
当时，，因此，
所以实数的取值范围是.
故选：C
2．（多选）（23-24高二下·宁夏·阶段练习）已知函数在区间上存在单调递减区间，则可能的值为（ ）
A．0B．1C．2D．e
【答案】CD
【分析】求得，根据题意，转化为即在有解，设，利用导数求得函数的最小值，结合选项，即可求解.
【详解】由函数，可得，
因为函数在区间上存在单调递减区间，
即在有解，即在有解，
设，可得，
所以函数单调递增，所以，即，
结合选项，可得选项C、D符合题意.
故选：CD.
3．（23-24高三·全国·专题练习）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】先求导函数，递减小于0，再解含参数的不等式分类讨论即可.
【详解】，
由题意知，在上有实数解，
即有实数解，
当时，显然满足，
当时，只需
综上所述
故答案为：
【点睛】本题考查导函数的单调性，及含参数的不等式有解求参数的取值范围问题.
高频考点四：已知函数在区间上不单调
典型例题
1．（22-23高二下·湖北·阶段练习）若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出函数的定义域，则有，对函数求导后，令求出极值点，使极值点在内，从而可求出实数的取值范围.
【详解】因为函数的定义域为，
所以，即，
，
令，得或（舍去），
因为在定义域的一个子区间内不是单调函数，
所以，得，
综上，，
故选：A
2．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】把在区间上不是单调函数，转化为在区间上有零点，用分离参数法得到，规定函数，求出值域即可得到实数的取值范围.
【详解】因为在区间上不是单调函数，
所以在区间上有解，即在区间上有解．
令，则．
当时，；当时，．
故在上单调递减，在上单调递增．又因为，
且当时，
所以在区间上单调递增，所以，解得.
故选：A
练透核心考点
1．（23-24高二上·河南许昌·期末）若函数在其定义域的一个子区间上，不是单调函数，则实数k的取值范围是 ．
【答案】
【分析】
由题意求导结合函数单调性，列出不等式组即可求解.
【详解】由题意单调递增，且，
所以若函数在其定义域的一个子区间上，不是单调函数，
则，解得.
故答案为：.
高频考点五：函数单调性之导函数与原函数图象的单调性
典型例题
1．（22-23高二下·陕西咸阳·阶段练习）函数的导函数在区间上的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
利用函数奇偶性，特殊点的函数值排除求解即可.
【详解】易得，而，故，故是奇函数，排除A,D，而，排除B，故C正确.
故选：C
2．（22-23高二下·甘肃平凉·阶段练习）已知上的可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
由函数图象得出和的解，然后用分类讨论思想求得结论．
【详解】由图象知的解集为，的解集为，
或，
所以或，解集即为．
故选：D．
3．（23-24高二下·湖北黄冈·阶段练习）如图所示为函数的图象，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】
由函数图象的单调性可得其导数的正负，即可解出该不等式.
【详解】由的图象可得在，上单调递增，在上单调递减，
所以当时，，当x∈时，，
因为，所以或，
即或或，解得或，
所以原不等式的解集为．
故答案为：.
练透核心考点
1．（23-24高二上·山西长治·期末）函数的导函数的图象如图所示，那么该函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据导函数的图像利用导数函数知识从而得到的图像，从而求解.
【详解】由题意知与轴有三个交点，不妨设为，
当，，当，,
当，，当，，
所以在区间，单调递减，故A、C错误；
在区间,单调递增，故B错误，故D正确.
故选：D.
2．（多选）（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）函数的图象如图，且在与处取得极值，给出下列判断，其中正确的是（ ）
A．B．
C．D．函数在上单调递减
【答案】AC
【分析】
根据图象确定极值点的范围，进而得到导函数对应的二次函数的性质，根据二次函数的性质逐一判断即可.
【详解】
，
由图知时，单调递增，可知，所以，故B错误；
又，
，故A正确；
，故C正确；
，其图象开口向上，对称轴小于，函数在上单调递增，故D错误．
故选：AC.
3．（多选）（22-23高二下·广西桂林·期末）设是定义域为R的奇函数，其导函数为，若时，图象如图所示，则可以使成立的x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】根据函数的奇偶性以及时的图象，判断函数的函数值的正负情况，继而可判断其单调性，从而判断的正负，即可求得答案.
【详解】由题意可知当时，；当时，；
由于是定义域为R的奇函数，故当时，；当时，；
又在上单调递增，在上单调递减，
结合是定义域为R的奇函数，得在上单调递增，在上单调递减，
故当时，，当时，，
故当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，；当时，；
故可以使成立的x的取值范围是，，，
故选：ABD
高频考点六：函数单调性之比较大小
典型例题
1．（23-24高二下·江苏·阶段练习）下列不等关系中，正确的是（为自然对数的底数）（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
构造函数利用其单调性可对选项一一判断即得.
【详解】设则当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减.
对于A项，由，
因在上单调递减，故，故A项错误；
对于B项，由，
因在上单调递减，故，故B项错误；
对于C项，由，
因在上单调递减，故，故C项错误；
对于D项，由，
因在上单调递减，故，故D项正确.
故选：D.
2．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知，则a，b，c大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据式子结构，构造函数，利用导数判断出的单调性，进而得到a，b，c的大小关系.
【详解】根据式子结构，构造函数，则，
令，则，令，得，
因此在单调递增，在单调递减，
而，，，
因为，所以，即.
故选：D
3．（2024·江西赣州·一模）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】构造函数，对求导可得在上单调递减，可得，即，再由作差法比较的大小，即可得出答案.
【详解】令,,
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，所以，即，
所以可得，故，
因为，
所以，
故.
故选：D.
练透核心考点
1．（2024·浙江温州·二模）已知，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
构造函数，利用导数法求最值得，从而有，再利用函数单调递减得，利用函数单调递增得，即可比较大小.
【详解】对，因为，则，即函数在单调递减，
且时，，则，即，所以，
因为且，所以，
又，所以.
故选：B
2．（23-24高二上·福建福州·期末）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
先判断，构造，比较的大小.
【详解】因为，而，所以b最大，
构造函数，因为，
当时，当时，
所以在单调递减，在单调递增，
又因为，所以，即，
故.
故选：B．
高频考点七：函数单调性之构造函数解不等式
典型例题
1．（2024·湖南邵阳·二模）已知函数的定义域为为的导函数.若，且在上恒成立，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
设，利用导数求得在上单调递减，把不等式转化为，即可求解.
【详解】
设函数，可得，
所以函数在上单调递减，
由，可得，即，
可得，所以，即不等式的解集为.
故选：D.
2．（23-24高二下·福建莆田·开学考试）已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】
构造函数，其中，利用导数分析函数在上的单调性，结合单调性逐项判断即可.
【详解】构造函数，其中，则，
所以，函数在上为减函数，
对于AB选项，，即，可得，A错B对；
对于CD选项，，即，D对，C无法判断.
故选：BD.
3．（23-24高二下·宁夏·阶段练习）设函数，若不等式对任意的恒成立，则的可能取值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】求得，得到函数的单调性，把转化为在上恒成立，结合二次函数的性质和不等式的解法，即可求解.
【详解】由函数，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
因为，且，则且，
所以不等式，
即为在上恒成立，
即在上恒成立，
设，当时，可得，
所以，解得，即，
结合选项，可得选项C、D符合题意.
故选：CD.
练透核心考点
1．（23-24高二上·江苏泰州·期末）不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
不等式等价于，构造函数，求导，确定单调性，利用单调性解不等式即可.
【详解】由得，
设，则，所以在上单调递减，
故由得，
所以，解得.
故选：B.
2．（2024·四川成都·二模）已知函数，若，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】
首先判断函数的奇偶性，再利用导数说明函数的单调性，最后根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】函数的定义域为，且，
所以为奇函数，
又，所以在上单调递增，
不等式，即，
等价于，解得或，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
高频考点八：含参问题讨论单调性（一次型）
典型例题
1．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知函数.
(1)讨论的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【分析】
（1）求出函数的定义域与导函数，再分、、三种情况讨论，分别求出函数的单调区间；
【详解】（1）函数的定义域为，
又，
当时，令，解得，所以在上单调递增，
令，解得，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增
当时，令，解得，所以在上单调递增，
令，解得，所以在上单调递减，
综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，所以在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
2．（2024·陕西咸阳·二模）已知函数．
(1)讨论的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【分析】
（1）求出定义域，求导，分与两种情况，结合不等式，求出单调性；
【详解】（1）
因为，定义域为，所以，
当时，由于，则，故恒成立，
所以在上单调递减；
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增，
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
练透核心考点
1．（2024·广西来宾·一模）已知函数.
(1)讨论的单调性；
【答案】(1)答案见解析；
【分析】（1）求导，分和讨论正负，得解；
【详解】（1）
因为，所以，
当时，，函数在R上单调递增；
当时，由，得，函数在区间上单调递增，
由，得，函数在区间上单调递减.
综上，当时，在R上单调递增；
当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.
高频考点九：含参问题讨论单调性（可因式分解二次型）
典型例题
1．（23-24高二下·江苏·阶段练习）已知函数．
(1)当时，求的单调增区间；
(2)求的单调区间；
【答案】(1)增区间为
(2)答案见解析
【分析】
（1）将函数求导，使导函数大于0求得，即得函数单调增区间；
（2）将函数求导分解因式，根据参数进行分类讨论，得到函数的单调区间；
【详解】（1）当时，，
因，由可得，则的单调增区间为.
（2）由求导得，
由可得或.
①当时，由可得，由可得；
②当时，在上恒成立；
③当时，由可得，由可得.
故当时，的单调增区间为，单调减区间为；
当时，的单调增区间为，无递减区间；
当时，的单调增区间为，单调减区间为.
2．（23-24高三下·北京顺义·阶段练习）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，讨论函数的单调性；
【答案】(1)
(2)答案见解析.
【分析】（1）根据导数几何意义求出导数即为斜率，根据点斜式写出直线方程；
（2）由题意得，讨论根据判定其单调区间；
【详解】（1）当时，
，
， ，
所以切线方程为：；
（2）由题，可得
由于，的解为，
①当，即时，，则在上单调递增；
②当，即时，
在区间上，，在区间上，，
所以的单调增区间为；单调减区间为；
③当，即时，
在区间上，，在区间上，，
所以的单调增区间为；单调减区间为；
3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，讨论的单调性.
【答案】答案见解析
【分析】求导得，分、、、讨论可得答案.
【详解】函数的定义域为，
求导得，
①当，即时，由，得，由，得，
因此在上单调递增，在上单调递减；
②当，即时，由，得或，由，得，
因此在，上单调递增，在上单调递减；
③当，即时，恒成立，因此在上单调递增；
④当，即时，由，得或，由，
得，
因此在，上单调递增，在上单调递减，
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减．
练透核心考点
1．（2024高三·全国·专题练习）已知，讨论函数的单调性.
【答案】答案见解析
【分析】
求出函数的导数，对分类讨论，由导数的正负求出函数的单调区间.
【详解】由题意知，函数的定义域为，且
①当时，因为，所以，所以.
所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.
②当时，由，解得；由，解得或.
所以在上单调递减，在，上单调递增.
③当时，（当且仅当时，取等号）恒成立，所以在上单调递增.
④当时，由，解得；由，解得或.
所以在上单调递减，在，上单调递增.
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在，上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在，上单调递增.
2．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）讨论函数的单调性
【答案】见解析.
【分析】
对求导后按照两根的大小及函数定义域分类讨论，由此即可得解.
【详解】
，
令得，
当即时，当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减；
当，即时，
当时，；当或时，，
所以在上单调递增，在上单调递减；
当即时，在上恒成立，
所以在上单调递减；
当，即时，
当时，；当或时，，
所以在上单调递增，在上单调递减；
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
3．（2024高二·上海·专题练习）设函数，其中.
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
【答案】(1)
(2)函数在上单调递减，在上单调递增
【分析】
（1）利用导数的几何意义求出斜率，写出方程即可.
（2）含参讨论函数单调性即可.
【详解】（1）
当时，，故，
此时函数在处的切线方程为：.
（2）
由题意，的定义域为，
，
则当时，单调递增；当时，单调递减.
故函数在上单调递减，在上单调递增.
高频考点十：含参问题讨论单调性（不可因式分解二次型）
典型例题
1．（2024·四川南充·二模）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
【答案】(1)答案见解析
（1）求出导函数，按照的正负分类讨论，由的正负可得单调性；
【详解】（1）由题意知的定义域为，
，
当时，，在上单调递减；
当时，令，
，
故方程有两个不同的实数根，
分别为，，且，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
综上可知，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
2．（2024高三·全国·专题练习）已知，讨论的单调性.
【答案】当时，在R上单调递增；当或时，在，上单调递增，在上单调递减．
【分析】
通过求出函数的导数，对其导数进行正负判断，进而求出单调区间.
【详解】
由题得，令得，
①若，即当时，恒成立，在R上单调递增；
②若，即当或时，可得的两根分别为，，
当时，，当时，，
所以在，上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，在R上单增；
当或时，在，上单调递增，在上单调递减．
练透核心考点
1．（2024高三·全国·专题练习）设函数（），讨论的单调性.
【答案】答案见解析
【分析】
分类讨论的不同取值，利用导函数的符号判断单调性即可.
【详解】
由题意可得的定义域为，，
设，令，，
①当时，，此时恒成立，在上单调递增；
②当时，，设的两根为，
由，可知的两根都小于0，
所以在上大于0，所以在上单调递增；
③当时，，由，解得，，
由，可知的两根都大于0，
所以当时，，，在，上单调递增，
当时，，，在上单调递减.
综述所述：当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减.
2．（2024·山东青岛·一模）已知函数．
(1)若，曲线在点处的切线斜率为1，求该切线的方程；
(2)讨论的单调性．
【答案】(1)
(2)答案见解析
第四部分：典型易错题型
备注：已知函数在某区间上单调，求解时容易忽视“等号”而存在单调区间却容易误加了“等号”
1．（23-24高三上·福建泉州·阶段练习）若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据条件得出存在，使成立，即存在，使成立，构造函数，，求出的最值即可解决问题.
【详解】因为函数在上存在单调递增区间，
所以存在，使成立，即存在，使成立，
令，， 变形得，因为，所以，
所以当，即时，，所以，
故选：D．
2．（23-24高二上·福建南平·阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用导数与函数的关系将问题转化为恒成立问题，从而得解.
【详解】因为，所以，
因为在区间上单调递减，
所以，即，则在上恒成立，
因为在上单调递减，所以，故.
故选：A.
3．（23-24高二上·山西长治·期末）若函数（且）在区间上单调递增，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】函数求导后，在区间上单调递增，转化为在区间上恒成立，然后利用函数单调性求最值即得.
【详解】由函数（且）在区间上单调递增，
得在区间上恒成立，
又在区间上恒正，只需满足在区间上恒成立即可，
令，
若，则，则一次函数在区间上单调递减，不可能恒正；
若，则，则一次函数在区间单调递增，
所以只需，即，解得，
故答案为：.
备注：解不等式时容易忽视定义域
1．（2024·陕西西安·二模）已知函数.若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
利用导数判断出函数在定义域上单调递增，根据已知转化出，再解出结果.
【详解】因为，，
所以，
所以是上的增函数，所以若
则，解得.
故选：D
2．（2024·贵州贵阳·一模）已知是定义在上的偶函数，且也是偶函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
首先根据函数是定义在上的偶函数，，再由函数也是偶函数，变形求得函数的解析式，并求得函数的单调区间，即可求解不等式.
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，，所以，则，
又因为函数也是偶函数，所以，得，
因为为减函数，为增函数，所以为减函数，
令，得，
所以时，，在上单调递减，
根据偶函数的性质可知，函数在上单调递增，
所以，即，即，得或，
所以不等式的解集为.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据，得到，从而求得函数的解析式.条件
恒有
结论
函数在区间上可导
在内单调递增
在内单调递减
在内是常数函数
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc29642" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc29642 \h 2
\l "_Tc27569" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc27569 \h 3
\l "_Tc9278" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc9278 \h 3
\l "_Tc20031" 高频考点一：利用导数求函数的单调区间（不含参） PAGEREF _Tc20031 \h 3
\l "_Tc30704" 高频考点二：已知函数在区间上单调 PAGEREF _Tc30704 \h 4
\l "_Tc23471" 高频考点三：已知函数在区间上存在单调区间 PAGEREF _Tc23471 \h 5
\l "_Tc17969" 高频考点四：已知函数在区间上不单调 PAGEREF _Tc17969 \h 5
\l "_Tc23772" 高频考点五：函数单调性之导函数与原函数图象的单调性 PAGEREF _Tc23772 \h 6
\l "_Tc4084" 高频考点六：函数单调性之比较大小 PAGEREF _Tc4084 \h 8
\l "_Tc25683" 高频考点七：函数单调性之构造函数解不等式 PAGEREF _Tc25683 \h 9
\l "_Tc25966" 高频考点八：含参问题讨论单调性（一次型） PAGEREF _Tc25966 \h 9
\l "_Tc20966" 高频考点九：含参问题讨论单调性（可因式分解二次型） PAGEREF _Tc20966 \h 10
\l "_Tc15828" 高频考点十：含参问题讨论单调性（不可因式分解二次型） PAGEREF _Tc15828 \h 12
\l "_Tc9208" 第四部分：典型易错题型 PAGEREF _Tc9208 \h 13
\l "_Tc31223" 备注：已知函数在某区间上单调，求解时容易忽视“等号”而存在单调区间却容易误加了“等号” PAGEREF _Tc31223 \h 13
\l "_Tc3109" 备注：解不等式时容易忽视定义域 PAGEREF _Tc3109 \h 13
第一部分：基础知识
1、函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减）
2、求已知函数（不含参）的单调区间
①求的定义域
②求
③令，解不等式，求单调增区间
④令，解不等式，求单调减区间
注：求单调区间时，令（或）不跟等号.
3、由函数的单调性求参数的取值范围的方法
（1）已知函数在区间上单调
①已知在区间上单调递增，恒成立.
②已知在区间上单调递减，恒成立.
注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.
（2）已知函数在区间上存在单调区间
①已知在区间上存在单调增区间令，解不等式，求单调增区间，则
②已知在区间上存在单调减区间令，解不等式，求单调减区间，则
（3）已知函数在区间上不单调，使得
4、含参问题讨论单调性
第一步：求的定义域
第二步：求（导函数中有分母通分）
第三步：确定导函数有效部分，记为
对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负.
第四步：确定导函数有效部分的类型：
①为一次型（或可化为一次型）②为二次型（或可化为二次型）
第五步：通过分析导函数有效部分，讨论的单调性
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·全国·新课标Ⅱ卷）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A．B．eC．D．
2．（2023·全国·乙卷理）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
3．（2023·全国·乙卷文）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程．
(2)若函数在单调递增，求的取值范围．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：利用导数求函数的单调区间（不含参）
典型例题
1．（23-24高二下·宁夏·阶段练习）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·辽宁·一模）已知.
(1)求在处的切线方程；
(2)求的单调递减区间.
练透核心考点
1．（23-24高二下·重庆黔江·阶段练习）若函数，则函数的单调递减区间为（ ）
A．，B．C．D．
2．（23-24高二下·江苏·阶段练习）函数的单调增区间为 ．
高频考点二：已知函数在区间上单调
典型例题
1．（22-23高二下·北京·阶段练习）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三上·河南·阶段练习）若函数的图象在区间上单调递增，则实数的最小值为 ．
练透核心考点
1．（23-24高三上·安徽亳州·阶段练习）已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围是： .
2．（22-23高二下·内蒙古兴安盟·期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 .
高频考点三：已知函数在区间上存在单调区间
典型例题
1．（23-24高三上·福建泉州·阶段练习）若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二·安徽六安·期末）若函数存在增区间，则实数的取值范围为
A．B．
C．D．
3．（2023高二·全国·专题练习）若函数存在增区间，则实数的取值范围为 .
练透核心考点
1．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在区间上，函数存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（多选）（23-24高二下·宁夏·阶段练习）已知函数在区间上存在单调递减区间，则可能的值为（ ）
A．0B．1C．2D．e
3．（23-24高三·全国·专题练习）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 .
高频考点四：已知函数在区间上不单调
典型例题
1．（22-23高二下·湖北·阶段练习）若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
练透核心考点
1．（23-24高二上·河南许昌·期末）若函数在其定义域的一个子区间上，不是单调函数，则实数k的取值范围是 ．
高频考点五：函数单调性之导函数与原函数图象的单调性
典型例题
1．（22-23高二下·陕西咸阳·阶段练习）函数的导函数在区间上的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
2．（22-23高二下·甘肃平凉·阶段练习）已知上的可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高二下·湖北黄冈·阶段练习）如图所示为函数的图象，则不等式的解集为 ．
练透核心考点
1．（23-24高二上·山西长治·期末）函数的导函数的图象如图所示，那么该函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
2．（多选）（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）函数的图象如图，且在与处取得极值，给出下列判断，其中正确的是（ ）
A．B．
C．D．函数在上单调递减
3．（多选）（22-23高二下·广西桂林·期末）设是定义域为R的奇函数，其导函数为，若时，图象如图所示，则可以使成立的x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
高频考点六：函数单调性之比较大小
典型例题
1．（23-24高二下·江苏·阶段练习）下列不等关系中，正确的是（为自然对数的底数）（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知，则a，b，c大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·江西赣州·一模）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
练透核心考点
1．（2024·浙江温州·二模）已知，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二上·福建福州·期末）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
高频考点七：函数单调性之构造函数解不等式
典型例题
1．（2024·湖南邵阳·二模）已知函数的定义域为为的导函数.若，且在上恒成立，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高二下·福建莆田·开学考试）已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高二下·宁夏·阶段练习）设函数，若不等式对任意的恒成立，则的可能取值是（ ）
A．B．C．D．
透核心考点
1．（23-24高二上·江苏泰州·期末）不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·四川成都·二模）已知函数，若，则实数的取值范围为 .
高频考点八：含参问题讨论单调性（一次型）
典型例题
1．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知函数.
(1)讨论的单调性；
2．（2024·陕西咸阳·二模）已知函数．
(1)讨论的单调性；
练透核心考点
1．（2024高三·全国·专题练习）已知，讨论函数的单调性.
2．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）讨论函数的单调性
3．（2024高二·上海·专题练习）设函数，其中.
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
高频考点十：含参问题讨论单调性（不可因式分解二次型）
典型例题
1．（2024·四川南充·二模）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
2．（2024高三·全国·专题练习）已知，讨论的单调性.
练透核心考点
1．（2024高三·全国·专题练习）设函数（），讨论的单调性.
2．（2024·山东青岛·一模）已知函数．
(1)若，曲线在点处的切线斜率为1，求该切线的方程；
(2)讨论的单调性．
第四部分：典型易错题型
备注：已知函数在某区间上单调，求解时容易忽视“等号”而存在单调区间却容易误加了“等号”
1．（23-24高三上·福建泉州·阶段练习）若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二上·福建南平·阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二上·山西长治·期末）若函数（且）在区间上单调递增，则实数的取值范围是 .
备注：解不等式时容易忽视定义域
1．（2024·陕西西安·二模）已知函数.若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·贵州贵阳·一模）已知是定义在上的偶函数，且也是偶函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．条件
恒有
结论
函数在区间上可导
在内单调递增
在内单调递减
在内是常数函数
第02讲 导数与函数的单调性
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc29642" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc29642 \h 1
\l "_Tc27569" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc27569 \h 2
\l "_Tc9278" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc9278 \h 5
\l "_Tc20031" 高频考点一：利用导数求函数的单调区间（不含参） PAGEREF _Tc20031 \h 5
\l "_Tc30704" 高频考点二：已知函数在区间上单调 PAGEREF _Tc30704 \h 7
\l "_Tc23471" 高频考点三：已知函数在区间上存在单调区间 PAGEREF _Tc23471 \h 9
\l "_Tc17969" 高频考点四：已知函数在区间上不单调 PAGEREF _Tc17969 \h 12
\l "_Tc23772" 高频考点五：函数单调性之导函数与原函数图象的单调性 PAGEREF _Tc23772 \h 14
\l "_Tc4084" 高频考点六：函数单调性之比较大小 PAGEREF _Tc4084 \h 17
\l "_Tc25683" 高频考点七：函数单调性之构造函数解不等式 PAGEREF _Tc25683 \h 20
\l "_Tc25966" 高频考点八：含参问题讨论单调性（一次型） PAGEREF _Tc25966 \h 23
\l "_Tc20966" 高频考点九：含参问题讨论单调性（可因式分解二次型） PAGEREF _Tc20966 \h 24
\l "_Tc15828" 高频考点十：含参问题讨论单调性（不可因式分解二次型） PAGEREF _Tc15828 \h 29
\l "_Tc9208" 第四部分：典型易错题型 PAGEREF _Tc9208 \h 32
\l "_Tc31223" 备注：已知函数在某区间上单调，求解时容易忽视“等号”而存在单调区间却容易误加了“等号” PAGEREF _Tc31223 \h 32
\l "_Tc3109" 备注：解不等式时容易忽视定义域 PAGEREF _Tc3109 \h 34
第一部分：基础知识
1、函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减）
2、求已知函数（不含参）的单调区间
①求的定义域
②求
③令，解不等式，求单调增区间
④令，解不等式，求单调减区间
注：求单调区间时，令（或）不跟等号.
3、由函数的单调性求参数的取值范围的方法
（1）已知函数在区间上单调
①已知在区间上单调递增，恒成立.
②已知在区间上单调递减，恒成立.
注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.
（2）已知函数在区间上存在单调区间
①已知在区间上存在单调增区间令，解不等式，求单调增区间，则
②已知在区间上存在单调减区间令，解不等式，求单调减区间，则
（3）已知函数在区间上不单调，使得
4、含参问题讨论单调性
第一步：求的定义域
第二步：求（导函数中有分母通分）
第三步：确定导函数有效部分，记为
对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负.
第四步：确定导函数有效部分的类型：
①为一次型（或可化为一次型）②为二次型（或可化为二次型）
第五步：通过分析导函数有效部分，讨论的单调性
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·全国·新课标Ⅱ卷）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A．B．eC．D．
【答案】C
【分析】
根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出．
【详解】
依题可知，在上恒成立，显然，所以，
设，所以，所以在上单调递增，
，故，即，即a的最小值为．
故选：C．
2．（2023·全国·乙卷理）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
【答案】
【分析】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围.
【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立，
则，即在区间上恒成立，
故，而，故，
故即，故，
结合题意可得实数的取值范围是.
故答案为：.
3．（2023·全国·乙卷文）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程．
(2)若函数在单调递增，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；
（2）原问题即在区间上恒成立，整理变形可得在区间上恒成立，然后分类讨论三种情况即可求得实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，
则，
据此可得，
所以函数在处的切线方程为，即.
（2）由函数的解析式可得，
满足题意时在区间上恒成立.
令，则，
令，原问题等价于在区间上恒成立，
则，
当时，由于，故，在区间上单调递减，
此时，不合题意;
令，则，
当，时，由于，所以在区间上单调递增，
即在区间上单调递增，
所以，在区间上单调递增，，满足题意.
当时，由可得，
当时，在区间上单调递减，即单调递减，
注意到，故当时，，单调递减，
由于，故当时，，不合题意.
综上可知：实数得取值范围是.
【点睛】方法点睛：
（1）求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
（2）由函数的单调性求参数的取值范围的方法
①函数在区间上单调，实际上就是在该区间上(或)恒成立．
②函数在区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：利用导数求函数的单调区间（不含参）
典型例题
1．（23-24高二下·宁夏·阶段练习）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
利用导数求函数的单调递增区间.
【详解】函数，定义域为，
，，解得，
所以函数的单调递增区间为.
故选：B
2．（2024·辽宁·一模）已知.
(1)求在处的切线方程；
(2)求的单调递减区间.
【答案】(1)
(2)单调递减区间为，
【分析】
（1）先求原函数的导函数，再求出处的导数值即切线的斜率，写出切线方程即可；
（2）求的单调递减区间，只需求出其导函数满足不等式的解集即可.
【详解】（1）
由于，
其导函数为：，
得：，，
所以在处的切线方程为：，即；
（2）
由于，
得：，
若，则，即，
由于，则，
只需即可，解得，，
故的单调递减区间为：，.
练透核心考点
1．（23-24高二下·重庆黔江·阶段练习）若函数，则函数的单调递减区间为（ ）
A．，B．C．D．
【答案】C
【分析】
求函数的导数，利用导数小于零并结合定义域即可得解.
【详解】
因为，定义域为，
所以，
令，解得，则函数的单调递减区间为.
故选：C.
2．（23-24高二下·江苏·阶段练习）函数的单调增区间为 ．
【答案】（或）
【分析】
求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式即可.
【详解】函数的定义域为，
又，
令，解得，
所以函数的单调增区间为（或）.
故答案为：（或）
高频考点二：已知函数在区间上单调
典型例题
1．（22-23高二下·北京·阶段练习）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】原函数在区间上单调递增，则导函数在区间上恒大于或等于0，可求实数的取值范围.
【详解】由，则，
因为函数在区间上单调递增，所以恒成立，
即恒成立，则，解得.
故选：B
2．（23-24高三上·河南·阶段练习）若函数的图象在区间上单调递增，则实数的最小值为 ．
【答案】
【分析】
利用函数的单调性转化为在区间上恒成立，
构造函数，利用导数求最小值即可求得即.
【详解】
因为，所以．
由的图象在区间上单调递增，
可知不等式即在区间上恒成立．
令，则，
当时，，所以在上单调递减，
故要使在上恒成立，只需．
由，解得，
故实数a的取值范围为，则a的最小值为．
故答案为：
练透核心考点
1．（23-24高三上·安徽亳州·阶段练习）已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围是： .
【答案】
【分析】根据函数单调性得在上恒成立，再根据分参求最值即可求解.
【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以，
设，所以，所以在上单调递增，
，故，即，即a的最小值为.
故a的取值范围是.
故答案为：
2．（22-23高二下·内蒙古兴安盟·期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】
根据函数在区间上单调递增，得到函数在上成立，再由题意即可得出的取值范围.
【详解】
因为函数在区间上单调递增，
所以在区间上函数，所以
设，，
函数在区间上单调递增，
所以只需即可.
故答案为：.
高频考点三：已知函数在区间上存在单调区间
典型例题
1．（23-24高三上·福建泉州·阶段练习）若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据条件得出存在，使成立，即存在，使成立，构造函数，，求出的最值即可解决问题.
【详解】因为函数在上存在单调递增区间，
所以存在，使成立，即存在，使成立，
令，， 变形得，因为，所以，
所以当，即时，，所以，
故选：D．
2．（23-24高二·安徽六安·期末）若函数存在增区间，则实数的取值范围为
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先假设函数不存在增区间，则单调递减，利用的导数恒小于零列不等式，将不等式分离常数后，利用配方法求得常数的取值范围，再取这个取值范围的补集，求得题目所求实数的取值范围.
【详解】若函数不存在增区间，则函数单调递减，
此时在区间恒成立，
可得，则，可得，
故函数存在增区间时实数的取值范围为．故选C.
【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题.
3．（2023高二·全国·专题练习）若函数存在增区间，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】由题意知，存在使得，利用参变量分离法得出，利用基本不等式在时的最小值，即可得出实数的取值范围.
【详解】，定义域为，，
由题意可知，存在使得，即.
当时，，
所以，，因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
练透核心考点
1．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在区间上，函数存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
根据给定条件，利用导数结合函数单调性建立不等式，再构造函数求出函数最大值即得.
【详解】函数，求导得，
依题意，不等式在上有解，即在上有解，
令，，求导得，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
当时，，因此，
所以实数的取值范围是.
故选：C
2．（多选）（23-24高二下·宁夏·阶段练习）已知函数在区间上存在单调递减区间，则可能的值为（ ）
A．0B．1C．2D．e
【答案】CD
【分析】求得，根据题意，转化为即在有解，设，利用导数求得函数的最小值，结合选项，即可求解.
【详解】由函数，可得，
因为函数在区间上存在单调递减区间，
即在有解，即在有解，
设，可得，
所以函数单调递增，所以，即，
结合选项，可得选项C、D符合题意.
故选：CD.
3．（23-24高三·全国·专题练习）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】先求导函数，递减小于0，再解含参数的不等式分类讨论即可.
【详解】，
由题意知，在上有实数解，
即有实数解，
当时，显然满足，
当时，只需
综上所述
故答案为：
【点睛】本题考查导函数的单调性，及含参数的不等式有解求参数的取值范围问题.
高频考点四：已知函数在区间上不单调
典型例题
1．（22-23高二下·湖北·阶段练习）若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出函数的定义域，则有，对函数求导后，令求出极值点，使极值点在内，从而可求出实数的取值范围.
【详解】因为函数的定义域为，
所以，即，
，
令，得或（舍去），
因为在定义域的一个子区间内不是单调函数，
所以，得，
综上，，
故选：A
2．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】把在区间上不是单调函数，转化为在区间上有零点，用分离参数法得到，规定函数，求出值域即可得到实数的取值范围.
【详解】因为在区间上不是单调函数，
所以在区间上有解，即在区间上有解．
令，则．
当时，；当时，．
故在上单调递减，在上单调递增．又因为，
且当时，
所以在区间上单调递增，所以，解得.
故选：A
练透核心考点
1．（23-24高二上·河南许昌·期末）若函数在其定义域的一个子区间上，不是单调函数，则实数k的取值范围是 ．
【答案】
【分析】
由题意求导结合函数单调性，列出不等式组即可求解.
【详解】由题意单调递增，且，
所以若函数在其定义域的一个子区间上，不是单调函数，
则，解得.
故答案为：.
高频考点五：函数单调性之导函数与原函数图象的单调性
典型例题
1．（22-23高二下·陕西咸阳·阶段练习）函数的导函数在区间上的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
利用函数奇偶性，特殊点的函数值排除求解即可.
【详解】易得，而，故，故是奇函数，排除A,D，而，排除B，故C正确.
故选：C
2．（22-23高二下·甘肃平凉·阶段练习）已知上的可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
由函数图象得出和的解，然后用分类讨论思想求得结论．
【详解】由图象知的解集为，的解集为，
或，
所以或，解集即为．
故选：D．
3．（23-24高二下·湖北黄冈·阶段练习）如图所示为函数的图象，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】
由函数图象的单调性可得其导数的正负，即可解出该不等式.
【详解】由的图象可得在，上单调递增，在上单调递减，
所以当时，，当x∈时，，
因为，所以或，
即或或，解得或，
所以原不等式的解集为．
故答案为：.
练透核心考点
1．（23-24高二上·山西长治·期末）函数的导函数的图象如图所示，那么该函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据导函数的图像利用导数函数知识从而得到的图像，从而求解.
【详解】由题意知与轴有三个交点，不妨设为，
当，，当，,
当，，当，，
所以在区间，单调递减，故A、C错误；
在区间,单调递增，故B错误，故D正确.
故选：D.
2．（多选）（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）函数的图象如图，且在与处取得极值，给出下列判断，其中正确的是（ ）
A．B．
C．D．函数在上单调递减
【答案】AC
【分析】
根据图象确定极值点的范围，进而得到导函数对应的二次函数的性质，根据二次函数的性质逐一判断即可.
【详解】
，
由图知时，单调递增，可知，所以，故B错误；
又，
，故A正确；
，故C正确；
，其图象开口向上，对称轴小于，函数在上单调递增，故D错误．
故选：AC.
3．（多选）（22-23高二下·广西桂林·期末）设是定义域为R的奇函数，其导函数为，若时，图象如图所示，则可以使成立的x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】根据函数的奇偶性以及时的图象，判断函数的函数值的正负情况，继而可判断其单调性，从而判断的正负，即可求得答案.
【详解】由题意可知当时，；当时，；
由于是定义域为R的奇函数，故当时，；当时，；
又在上单调递增，在上单调递减，
结合是定义域为R的奇函数，得在上单调递增，在上单调递减，
故当时，，当时，，
故当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，；当时，；
故可以使成立的x的取值范围是，，，
故选：ABD
高频考点六：函数单调性之比较大小
典型例题
1．（23-24高二下·江苏·阶段练习）下列不等关系中，正确的是（为自然对数的底数）（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
构造函数利用其单调性可对选项一一判断即得.
【详解】设则当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减.
对于A项，由，
因在上单调递减，故，故A项错误；
对于B项，由，
因在上单调递减，故，故B项错误；
对于C项，由，
因在上单调递减，故，故C项错误；
对于D项，由，
因在上单调递减，故，故D项正确.
故选：D.
2．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知，则a，b，c大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据式子结构，构造函数，利用导数判断出的单调性，进而得到a，b，c的大小关系.
【详解】根据式子结构，构造函数，则，
令，则，令，得，
因此在单调递增，在单调递减，
而，，，
因为，所以，即.
故选：D
3．（2024·江西赣州·一模）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】构造函数，对求导可得在上单调递减，可得，即，再由作差法比较的大小，即可得出答案.
【详解】令,,
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，所以，即，
所以可得，故，
因为，
所以，
故.
故选：D.
练透核心考点
1．（2024·浙江温州·二模）已知，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
构造函数，利用导数法求最值得，从而有，再利用函数单调递减得，利用函数单调递增得，即可比较大小.
【详解】对，因为，则，即函数在单调递减，
且时，，则，即，所以，
因为且，所以，
又，所以.
故选：B
2．（23-24高二上·福建福州·期末）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
先判断，构造，比较的大小.
【详解】因为，而，所以b最大，
构造函数，因为，
当时，当时，
所以在单调递减，在单调递增，
又因为，所以，即，
故.
故选：B．
高频考点七：函数单调性之构造函数解不等式
典型例题
1．（2024·湖南邵阳·二模）已知函数的定义域为为的导函数.若，且在上恒成立，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
设，利用导数求得在上单调递减，把不等式转化为，即可求解.
【详解】
设函数，可得，
所以函数在上单调递减，
由，可得，即，
可得，所以，即不等式的解集为.
故选：D.
2．（23-24高二下·福建莆田·开学考试）已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】
构造函数，其中，利用导数分析函数在上的单调性，结合单调性逐项判断即可.
【详解】构造函数，其中，则，
所以，函数在上为减函数，
对于AB选项，，即，可得，A错B对；
对于CD选项，，即，D对，C无法判断.
故选：BD.
3．（23-24高二下·宁夏·阶段练习）设函数，若不等式对任意的恒成立，则的可能取值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】求得，得到函数的单调性，把转化为在上恒成立，结合二次函数的性质和不等式的解法，即可求解.
【详解】由函数，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
因为，且，则且，
所以不等式，
即为在上恒成立，
即在上恒成立，
设，当时，可得，
所以，解得，即，
结合选项，可得选项C、D符合题意.
故选：CD.
练透核心考点
1．（23-24高二上·江苏泰州·期末）不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
不等式等价于，构造函数，求导，确定单调性，利用单调性解不等式即可.
【详解】由得，
设，则，所以在上单调递减，
故由得，
所以，解得.
故选：B.
2．（2024·四川成都·二模）已知函数，若，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】
首先判断函数的奇偶性，再利用导数说明函数的单调性，最后根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】函数的定义域为，且，
所以为奇函数，
又，所以在上单调递增，
不等式，即，
等价于，解得或，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
高频考点八：含参问题讨论单调性（一次型）
典型例题
1．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知函数.
(1)讨论的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【分析】
（1）求出函数的定义域与导函数，再分、、三种情况讨论，分别求出函数的单调区间；
【详解】（1）函数的定义域为，
又，
当时，令，解得，所以在上单调递增，
令，解得，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增
当时，令，解得，所以在上单调递增，
令，解得，所以在上单调递减，
综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，所以在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
2．（2024·陕西咸阳·二模）已知函数．
(1)讨论的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【分析】
（1）求出定义域，求导，分与两种情况，结合不等式，求出单调性；
【详解】（1）
因为，定义域为，所以，
当时，由于，则，故恒成立，
所以在上单调递减；
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增，
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
练透核心考点
1．（2024·广西来宾·一模）已知函数.
(1)讨论的单调性；
【答案】(1)答案见解析；
【分析】（1）求导，分和讨论正负，得解；
【详解】（1）
因为，所以，
当时，，函数在R上单调递增；
当时，由，得，函数在区间上单调递增，
由，得，函数在区间上单调递减.
综上，当时，在R上单调递增；
当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.
高频考点九：含参问题讨论单调性（可因式分解二次型）
典型例题
1．（23-24高二下·江苏·阶段练习）已知函数．
(1)当时，求的单调增区间；
(2)求的单调区间；
【答案】(1)增区间为
(2)答案见解析
【分析】
（1）将函数求导，使导函数大于0求得，即得函数单调增区间；
（2）将函数求导分解因式，根据参数进行分类讨论，得到函数的单调区间；
【详解】（1）当时，，
因，由可得，则的单调增区间为.
（2）由求导得，
由可得或.
①当时，由可得，由可得；
②当时，在上恒成立；
③当时，由可得，由可得.
故当时，的单调增区间为，单调减区间为；
当时，的单调增区间为，无递减区间；
当时，的单调增区间为，单调减区间为.
2．（23-24高三下·北京顺义·阶段练习）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，讨论函数的单调性；
【答案】(1)
(2)答案见解析.
【分析】（1）根据导数几何意义求出导数即为斜率，根据点斜式写出直线方程；
（2）由题意得，讨论根据判定其单调区间；
【详解】（1）当时，
，
， ，
所以切线方程为：；
（2）由题，可得
由于，的解为，
①当，即时，，则在上单调递增；
②当，即时，
在区间上，，在区间上，，
所以的单调增区间为；单调减区间为；
③当，即时，
在区间上，，在区间上，，
所以的单调增区间为；单调减区间为；
3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，讨论的单调性.
【答案】答案见解析
【分析】求导得，分、、、讨论可得答案.
【详解】函数的定义域为，
求导得，
①当，即时，由，得，由，得，
因此在上单调递增，在上单调递减；
②当，即时，由，得或，由，得，
因此在，上单调递增，在上单调递减；
③当，即时，恒成立，因此在上单调递增；
④当，即时，由，得或，由，
得，
因此在，上单调递增，在上单调递减，
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减．
练透核心考点
1．（2024高三·全国·专题练习）已知，讨论函数的单调性.
【答案】答案见解析
【分析】
求出函数的导数，对分类讨论，由导数的正负求出函数的单调区间.
【详解】由题意知，函数的定义域为，且
①当时，因为，所以，所以.
所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.
②当时，由，解得；由，解得或.
所以在上单调递减，在，上单调递增.
③当时，（当且仅当时，取等号）恒成立，所以在上单调递增.
④当时，由，解得；由，解得或.
所以在上单调递减，在，上单调递增.
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在，上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在，上单调递增.
2．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）讨论函数的单调性
【答案】见解析.
【分析】
对求导后按照两根的大小及函数定义域分类讨论，由此即可得解.
【详解】
，
令得，
当即时，当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减；
当，即时，
当时，；当或时，，
所以在上单调递增，在上单调递减；
当即时，在上恒成立，
所以在上单调递减；
当，即时，
当时，；当或时，，
所以在上单调递增，在上单调递减；
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
3．（2024高二·上海·专题练习）设函数，其中.
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
【答案】(1)
(2)函数在上单调递减，在上单调递增
【分析】
（1）利用导数的几何意义求出斜率，写出方程即可.
（2）含参讨论函数单调性即可.
【详解】（1）
当时，，故，
此时函数在处的切线方程为：.
（2）
由题意，的定义域为，
，
则当时，单调递增；当时，单调递减.
故函数在上单调递减，在上单调递增.
高频考点十：含参问题讨论单调性（不可因式分解二次型）
典型例题
1．（2024·四川南充·二模）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
【答案】(1)答案见解析
（1）求出导函数，按照的正负分类讨论，由的正负可得单调性；
【详解】（1）由题意知的定义域为，
，
当时，，在上单调递减；
当时，令，
，
故方程有两个不同的实数根，
分别为，，且，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
综上可知，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
2．（2024高三·全国·专题练习）已知，讨论的单调性.
【答案】当时，在R上单调递增；当或时，在，上单调递增，在上单调递减．
【分析】
通过求出函数的导数，对其导数进行正负判断，进而求出单调区间.
【详解】
由题得，令得，
①若，即当时，恒成立，在R上单调递增；
②若，即当或时，可得的两根分别为，，
当时，，当时，，
所以在，上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，在R上单增；
当或时，在，上单调递增，在上单调递减．
练透核心考点
1．（2024高三·全国·专题练习）设函数（），讨论的单调性.
【答案】答案见解析
【分析】
分类讨论的不同取值，利用导函数的符号判断单调性即可.
【详解】
由题意可得的定义域为，，
设，令，，
①当时，，此时恒成立，在上单调递增；
②当时，，设的两根为，
由，可知的两根都小于0，
所以在上大于0，所以在上单调递增；
③当时，，由，解得，，
由，可知的两根都大于0，
所以当时，，，在，上单调递增，
当时，，，在上单调递减.
综述所述：当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减.
2．（2024·山东青岛·一模）已知函数．
(1)若，曲线在点处的切线斜率为1，求该切线的方程；
(2)讨论的单调性．
【答案】(1)
(2)答案见解析
第四部分：典型易错题型
备注：已知函数在某区间上单调，求解时容易忽视“等号”而存在单调区间却容易误加了“等号”
1．（23-24高三上·福建泉州·阶段练习）若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据条件得出存在，使成立，即存在，使成立，构造函数，，求出的最值即可解决问题.
【详解】因为函数在上存在单调递增区间，
所以存在，使成立，即存在，使成立，
令，， 变形得，因为，所以，
所以当，即时，，所以，
故选：D．
2．（23-24高二上·福建南平·阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用导数与函数的关系将问题转化为恒成立问题，从而得解.
【详解】因为，所以，
因为在区间上单调递减，
所以，即，则在上恒成立，
因为在上单调递减，所以，故.
故选：A.
3．（23-24高二上·山西长治·期末）若函数（且）在区间上单调递增，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】函数求导后，在区间上单调递增，转化为在区间上恒成立，然后利用函数单调性求最值即得.
【详解】由函数（且）在区间上单调递增，
得在区间上恒成立，
又在区间上恒正，只需满足在区间上恒成立即可，
令，
若，则，则一次函数在区间上单调递减，不可能恒正；
若，则，则一次函数在区间单调递增，
所以只需，即，解得，
故答案为：.
备注：解不等式时容易忽视定义域
1．（2024·陕西西安·二模）已知函数.若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
利用导数判断出函数在定义域上单调递增，根据已知转化出，再解出结果.
【详解】因为，，
所以，
所以是上的增函数，所以若
则，解得.
故选：D
2．（2024·贵州贵阳·一模）已知是定义在上的偶函数，且也是偶函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
首先根据函数是定义在上的偶函数，，再由函数也是偶函数，变形求得函数的解析式，并求得函数的单调区间，即可求解不等式.
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，，所以，则，
又因为函数也是偶函数，所以，得，
因为为减函数，为增函数，所以为减函数，
令，得，
所以时，，在上单调递减，
根据偶函数的性质可知，函数在上单调递增，
所以，即，即，得或，
所以不等式的解集为.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据，得到，从而求得函数的解析式.条件
恒有
结论
函数在区间上可导
在内单调递增
在内单调递减
在内是常数函数
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