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2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第02讲常用逻辑用语(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)
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这是一份2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第02讲常用逻辑用语(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)，共13页。试卷主要包含了多选题，填空题，解答题，单选题等内容，欢迎下载使用。
9．（2024上·江西上饶·高一统考期末）下列式子中，使不等式成立的充分不必要条件可以是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2024上·湖北·高一校联考期末）设，不等式恒成立的充分不必要条件可以是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
11．（2024上·云南昆明·高二统考期末）若是的一个充分不必要条件，请写出满足条件的一个为 ．
12．（2022·全国·高三专题练习）已知：函数的值恒为负，则是的 条件．（选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）
四、解答题
13．（2024上·山东日照·高一统考期末）已知集合，．
(1)若，求；
(2)若“”是“”的充分条件，求的取值范围．
14．（2024上·山西朔州·高一怀仁市第一中学校校联考期末）已知命题，不等式恒成立；命题，使成立.
(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题中恰有一个为真命题，求实数的取值范围.
B能力提升
1．（2024上·河南·高一南阳中学校联考期末）“”是“不等式对任意的恒成立”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
2．（2024上·黑龙江齐齐哈尔·高一统考期末）设，命题，命题，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2022上·河南·高三专题练习）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 ．
4．（2024上·湖北荆州·高一校联考期末）若命题为真命题，则m的取值范围为 .
C综合素养
5．（2023上·浙江·高一校联考阶段练习）设，若满足，则称比更接近.
(1)设比更接近0，求的取值范围；
(2)判断“”是“比更接近”的什么条件，并说明理由；
(3)设且，试判断与哪一个更接近.
6．（2023上·上海松江·高一校考期中）高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集A，B，定义且，将称为“A与B的笛卡尔积”
(1)若，，求和；
(2)试证明：“”是“”的充要条件；
(3)若集合是有限集，将集合的元素个数记为.已知，且存在实数满足对任意恒成立.求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系式及应满足的条件.
第02讲 常用逻辑用语 (分层精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）
A夯实基础
一、单选题
1．（2024上·河北沧州·高一统考期末）已知命题，，则命题p的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】对带量词的命题的否定应该分别否定量词和结论即得.
【详解】命题，的否定是，．
故选:C．
2．（2022·全国·模拟预测）荀子曰：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言，阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“至千里”是“积跬步”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用充分必要条件的定义求解.
【详解】荀子的名言表明至千里必须积跬步，积跬步未必能至千里，故“至千里”是“积跬步”的的充分不必要条件.
故选:A.
3．（2024上·山西长治·高一校联考期末）“”是“函数的定义域为”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】先求出对数复合函数定义域为的充要条件，然后根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】由于函数的定义域为，则在上恒成立，
故满足，解得，由成立得一定成立，
反之成立时，不一定成立，
所以“”是“函数的定义域为”的必要不充分条件.
故选：B
4．（2024上·山东日照·高一统考期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】对化简，结合充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】不等式可化为，即，即，解得，
因为“”不能推出“”，“”能推出“”，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：B.
5．（2024上·新疆喀什·高一校考期末）“”是“等式”的（ ）
A．充分不必要条件B．充分必要条件C．必要不充分条件D．非充分非必要条件
【答案】A
【分析】由题意，解得或，然后根据充分条件与必要条件的定义判断即可.
【详解】因为，即，解得或，
所以能推出，不能推出，
所以“”是“等式”的充分不必要条件，
故选：A.
6．（2024上·重庆·高一重庆一中校考期末）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据条件，利用充分条件与必要条件的判断方法即可得得出结果.
【详解】因为“”是“”的必要不充分条件，
所以，即，解得，
故选：B.
7．（2024上·广东江门·高一统考期末）已知命题，是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由命题p的否定“，”为真命题，分离参数可得对恒成立，由基本不等式求出的最小值即可得出答案．
【详解】解：由题意，命题p的否定“，”为真命题．
即对恒成立，
因为，，
当且仅当，即时取等，
所以.
故选：C．
8．（2024上·重庆·高一重庆市青木关中学校校考期末）已知命题“对，都有恒成立”为真，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】令，则问题转化为在的最小值满足，再利用二次函数的性质解不等式即可求出.
【详解】令，则问题转化为在上的最小值满足即可.
当时，，最小值为，符合题意；
当时，对称轴，函数在上单调递减，
而适合题意；
当时，对称轴，
则，
所以；
综上的取值范围为.
故选：A.
二、多选题
9．（2024上·江西上饶·高一统考期末）下列式子中，使不等式成立的充分不必要条件可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】解一元二次不等式结合充分不必要条件的定义即可求解.
【详解】由题意，
对比选项可知，使不等式成立的充分不必要条件可以是或.
故选：BD.
10．（2024上·湖北·高一校联考期末）设，不等式恒成立的充分不必要条件可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】利用一元二次不等式的解法分类讨论计算得的范围，再结合充分不必要条件的定义即可.
【详解】当时，不等式为，满足题意；
当时，则必有且，解之得，
综上a的取值范围为，显然及均为的真子集，
即选项B，C满足条件．
故选：BC
三、填空题
11．（2024上·云南昆明·高二统考期末）若是的一个充分不必要条件，请写出满足条件的一个为 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】化简，写出一个范围比小的即可.
【详解】由，解得或，故，
因为是的一个充分不必要条件，
写出一个范围比小的即可，
故.
故答案为：（答案不唯一）
12．（2022·全国·高三专题练习）已知：函数的值恒为负，则是的 条件．（选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）
【答案】充分不必要
【分析】判断命题之间的逻辑推理关系，即可得答案.
【详解】由于函数，
当时，，而，
即此时函数的值恒为负；
当时，函数的值也恒为负，
故函数的值恒为负，推不出，
故是的充分不必要条件，
故答案为：充分不必要
四、解答题
13．（2024上·山东日照·高一统考期末）已知集合，．
(1)若，求；
(2)若“”是“”的充分条件，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解不等式得到，再根据并集概念求出答案；
（2）根据题意得到是的子集，从而得到不等关系，求出答案.
【详解】（1）不等式的解集是，所以．
当时，，故；
（2）因为“”是“”的充分条件，所以是的子集，
故，解得，即
14．（2024上·山西朔州·高一怀仁市第一中学校校联考期末）已知命题，不等式恒成立；命题，使成立.
(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题中恰有一个为真命题，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由在上恒成立可得即可.
（2）由在上有解可得，即可得为真时的范围，再结合一真一假求解即可.
【详解】（1）根据题意，命题，不等式恒成立，
若命题为真命题，则，解得，
故实数的取值范围为.
（2）根据题意，命题，使成立，
则，即，
或，
又命题中恰有一个为真命题，则命题一真一假，
①当真假时，，解得；
②当假真时，，解得.
综上，实数的取值范围为.
B能力提升
1．（2024上·河南·高一南阳中学校联考期末）“”是“不等式对任意的恒成立”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】先根据不等式恒成立得出.比较，即可得出答案.
【详解】当时，对任意的恒成立；
当时，要使不等式对任意的恒成立，
则应有，解得.
综上所述，的取值范围为.
显然“”包含的范围包含于“”包含的范围，
所以，“”是“不等式对任意的恒成立”的充分不必要条件.
故选：A.
2．（2024上·黑龙江齐齐哈尔·高一统考期末）设，命题，命题，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由题意通过作差法得出命题的充要条件为，结合充分不必要条件的定义即可得解.
【详解】由题意
，
即命题的充要条件为，
所以命题是命题的充分不必要条件.
故选：A.
3．（2022上·河南·高三专题练习）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先对求解得，对化简得，再结合是的必要不充分条件，对进行分类讨论，即可求解.
【详解】由，解得，所以，
对于，即，
若，解得，要使是的必要不充分条件，则，所以；
若，解得，要使是的必要不充分条件，则，所以；
若，则为，符合题意，所以实数的取值范围是.
①若，则，可得；
又可得，所以；
即可得，此时可以得出“比更接近”；
②若，则，可得；
又可得，所以；
即可得，此时可以得出“比更接近”；
因此充分性成立
必要性：由比更接近可得，即，
若，此时，即必要性不成立；
所以“”是“比更接近”的充分不必要条件；
（3）当时，显然在上单调递减，
所以，即；
易知，
所以，
由对勾函数性质可知在上单调递增，
所以，
即可得，即；
同理当时，由单调性可知，即；
可知，
又由对勾函数性质可知函数在上单调递减，在上单调递增；
又，
所以在时恒成立，即；
综上可得满足，即更接近.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解新定义的概念，并结合不等式性质以及函数单调性比较出两绝对值大小，再由定义得出结论.
6．（2023上·上海松江·高一校考期中）高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集A，B，定义且，将称为“A与B的笛卡尔积”
(1)若，，求和；
(2)试证明：“”是“”的充要条件；
(3)若集合是有限集，将集合的元素个数记为.已知，且存在实数满足对任意恒成立.求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系式及应满足的条件.
【答案】(1)答案见详解
(2)证明见详解
(3)答案见详解
【分析】（1）根据的定义直接运算求解；
（2）根据的定义结合充分必要条件分析证明；
（3）设，则，，结合基本不等式求的取值范围，并结合根式分析求解.
【详解】（1）由题意可得：，
.
（2）若，设，
由定义可知：且，
所以“”是“”的必要条件；
若，对任意，均有，
即对任意，均有，
由任意性可知，则，
所以“”是“”的充分条件；
综上所述：“”是“”的充要条件.
（3）设，
则，，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以实数的取值范围.
若取到最大值，则，即，
可得，即，
所以.
9．（2024上·江西上饶·高一统考期末）下列式子中，使不等式成立的充分不必要条件可以是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2024上·湖北·高一校联考期末）设，不等式恒成立的充分不必要条件可以是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
11．（2024上·云南昆明·高二统考期末）若是的一个充分不必要条件，请写出满足条件的一个为 ．
12．（2022·全国·高三专题练习）已知：函数的值恒为负，则是的 条件．（选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）
四、解答题
13．（2024上·山东日照·高一统考期末）已知集合，．
(1)若，求；
(2)若“”是“”的充分条件，求的取值范围．
14．（2024上·山西朔州·高一怀仁市第一中学校校联考期末）已知命题，不等式恒成立；命题，使成立.
(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题中恰有一个为真命题，求实数的取值范围.
B能力提升
1．（2024上·河南·高一南阳中学校联考期末）“”是“不等式对任意的恒成立”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
2．（2024上·黑龙江齐齐哈尔·高一统考期末）设，命题，命题，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2022上·河南·高三专题练习）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 ．
4．（2024上·湖北荆州·高一校联考期末）若命题为真命题，则m的取值范围为 .
C综合素养
5．（2023上·浙江·高一校联考阶段练习）设，若满足，则称比更接近.
(1)设比更接近0，求的取值范围；
(2)判断“”是“比更接近”的什么条件，并说明理由；
(3)设且，试判断与哪一个更接近.
6．（2023上·上海松江·高一校考期中）高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集A，B，定义且，将称为“A与B的笛卡尔积”
(1)若，，求和；
(2)试证明：“”是“”的充要条件；
(3)若集合是有限集，将集合的元素个数记为.已知，且存在实数满足对任意恒成立.求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系式及应满足的条件.
第02讲 常用逻辑用语 (分层精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）
A夯实基础
一、单选题
1．（2024上·河北沧州·高一统考期末）已知命题，，则命题p的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】对带量词的命题的否定应该分别否定量词和结论即得.
【详解】命题，的否定是，．
故选:C．
2．（2022·全国·模拟预测）荀子曰：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言，阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“至千里”是“积跬步”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用充分必要条件的定义求解.
【详解】荀子的名言表明至千里必须积跬步，积跬步未必能至千里，故“至千里”是“积跬步”的的充分不必要条件.
故选:A.
3．（2024上·山西长治·高一校联考期末）“”是“函数的定义域为”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】先求出对数复合函数定义域为的充要条件，然后根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】由于函数的定义域为，则在上恒成立，
故满足，解得，由成立得一定成立，
反之成立时，不一定成立，
所以“”是“函数的定义域为”的必要不充分条件.
故选：B
4．（2024上·山东日照·高一统考期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】对化简，结合充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】不等式可化为，即，即，解得，
因为“”不能推出“”，“”能推出“”，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：B.
5．（2024上·新疆喀什·高一校考期末）“”是“等式”的（ ）
A．充分不必要条件B．充分必要条件C．必要不充分条件D．非充分非必要条件
【答案】A
【分析】由题意，解得或，然后根据充分条件与必要条件的定义判断即可.
【详解】因为，即，解得或，
所以能推出，不能推出，
所以“”是“等式”的充分不必要条件，
故选：A.
6．（2024上·重庆·高一重庆一中校考期末）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据条件，利用充分条件与必要条件的判断方法即可得得出结果.
【详解】因为“”是“”的必要不充分条件，
所以，即，解得，
故选：B.
7．（2024上·广东江门·高一统考期末）已知命题，是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由命题p的否定“，”为真命题，分离参数可得对恒成立，由基本不等式求出的最小值即可得出答案．
【详解】解：由题意，命题p的否定“，”为真命题．
即对恒成立，
因为，，
当且仅当，即时取等，
所以.
故选：C．
8．（2024上·重庆·高一重庆市青木关中学校校考期末）已知命题“对，都有恒成立”为真，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】令，则问题转化为在的最小值满足，再利用二次函数的性质解不等式即可求出.
【详解】令，则问题转化为在上的最小值满足即可.
当时，，最小值为，符合题意；
当时，对称轴，函数在上单调递减，
而适合题意；
当时，对称轴，
则，
所以；
综上的取值范围为.
故选：A.
二、多选题
9．（2024上·江西上饶·高一统考期末）下列式子中，使不等式成立的充分不必要条件可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】解一元二次不等式结合充分不必要条件的定义即可求解.
【详解】由题意，
对比选项可知，使不等式成立的充分不必要条件可以是或.
故选：BD.
10．（2024上·湖北·高一校联考期末）设，不等式恒成立的充分不必要条件可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】利用一元二次不等式的解法分类讨论计算得的范围，再结合充分不必要条件的定义即可.
【详解】当时，不等式为，满足题意；
当时，则必有且，解之得，
综上a的取值范围为，显然及均为的真子集，
即选项B，C满足条件．
故选：BC
三、填空题
11．（2024上·云南昆明·高二统考期末）若是的一个充分不必要条件，请写出满足条件的一个为 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】化简，写出一个范围比小的即可.
【详解】由，解得或，故，
因为是的一个充分不必要条件，
写出一个范围比小的即可，
故.
故答案为：（答案不唯一）
12．（2022·全国·高三专题练习）已知：函数的值恒为负，则是的 条件．（选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）
【答案】充分不必要
【分析】判断命题之间的逻辑推理关系，即可得答案.
【详解】由于函数，
当时，，而，
即此时函数的值恒为负；
当时，函数的值也恒为负，
故函数的值恒为负，推不出，
故是的充分不必要条件，
故答案为：充分不必要
四、解答题
13．（2024上·山东日照·高一统考期末）已知集合，．
(1)若，求；
(2)若“”是“”的充分条件，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解不等式得到，再根据并集概念求出答案；
（2）根据题意得到是的子集，从而得到不等关系，求出答案.
【详解】（1）不等式的解集是，所以．
当时，，故；
（2）因为“”是“”的充分条件，所以是的子集，
故，解得，即
14．（2024上·山西朔州·高一怀仁市第一中学校校联考期末）已知命题，不等式恒成立；命题，使成立.
(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题中恰有一个为真命题，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由在上恒成立可得即可.
（2）由在上有解可得，即可得为真时的范围，再结合一真一假求解即可.
【详解】（1）根据题意，命题，不等式恒成立，
若命题为真命题，则，解得，
故实数的取值范围为.
（2）根据题意，命题，使成立，
则，即，
或，
又命题中恰有一个为真命题，则命题一真一假，
①当真假时，，解得；
②当假真时，，解得.
综上，实数的取值范围为.
B能力提升
1．（2024上·河南·高一南阳中学校联考期末）“”是“不等式对任意的恒成立”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】先根据不等式恒成立得出.比较，即可得出答案.
【详解】当时，对任意的恒成立；
当时，要使不等式对任意的恒成立，
则应有，解得.
综上所述，的取值范围为.
显然“”包含的范围包含于“”包含的范围，
所以，“”是“不等式对任意的恒成立”的充分不必要条件.
故选：A.
2．（2024上·黑龙江齐齐哈尔·高一统考期末）设，命题，命题，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由题意通过作差法得出命题的充要条件为，结合充分不必要条件的定义即可得解.
【详解】由题意
，
即命题的充要条件为，
所以命题是命题的充分不必要条件.
故选：A.
3．（2022上·河南·高三专题练习）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先对求解得，对化简得，再结合是的必要不充分条件，对进行分类讨论，即可求解.
【详解】由，解得，所以，
对于，即，
若，解得，要使是的必要不充分条件，则，所以；
若，解得，要使是的必要不充分条件，则，所以；
若，则为，符合题意，所以实数的取值范围是.
①若，则，可得；
又可得，所以；
即可得，此时可以得出“比更接近”；
②若，则，可得；
又可得，所以；
即可得，此时可以得出“比更接近”；
因此充分性成立
必要性：由比更接近可得，即，
若，此时，即必要性不成立；
所以“”是“比更接近”的充分不必要条件；
（3）当时，显然在上单调递减，
所以，即；
易知，
所以，
由对勾函数性质可知在上单调递增，
所以，
即可得，即；
同理当时，由单调性可知，即；
可知，
又由对勾函数性质可知函数在上单调递减，在上单调递增；
又，
所以在时恒成立，即；
综上可得满足，即更接近.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解新定义的概念，并结合不等式性质以及函数单调性比较出两绝对值大小，再由定义得出结论.
6．（2023上·上海松江·高一校考期中）高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集A，B，定义且，将称为“A与B的笛卡尔积”
(1)若，，求和；
(2)试证明：“”是“”的充要条件；
(3)若集合是有限集，将集合的元素个数记为.已知，且存在实数满足对任意恒成立.求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系式及应满足的条件.
【答案】(1)答案见详解
(2)证明见详解
(3)答案见详解
【分析】（1）根据的定义直接运算求解；
（2）根据的定义结合充分必要条件分析证明；
（3）设，则，，结合基本不等式求的取值范围，并结合根式分析求解.
【详解】（1）由题意可得：，
.
（2）若，设，
由定义可知：且，
所以“”是“”的必要条件；
若，对任意，均有，
即对任意，均有，
由任意性可知，则，
所以“”是“”的充分条件；
综上所述：“”是“”的充要条件.
（3）设，
则，，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以实数的取值范围.
若取到最大值，则，即，
可得，即，
所以.
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