2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第03讲函数的奇偶性、对称性与周期性(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)

这是一份2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第03讲函数的奇偶性、对称性与周期性(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)，共14页。试卷主要包含了已知函数.，函数是周期为2的周期函数，且，等内容，欢迎下载使用。

A．是函数的一个对称中心B．
C．D．
10．（2023上·甘肃白银·高一甘肃省靖远县第一中学校考期末）已知函数对于任意实数，都有成立，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．函数的图象关于直线轴对称
C．D．
三、填空题
11．（2024下·浙江·高三校联考开学考试）已知函数是奇函数，则 .
12．（2024上·云南昆明·高一统考期末）定义在上的奇函数满足，且，则 ．
四、解答题
13．（2024上·福建·高一福建师大附中校考期末）已知函数.
(1)判断的奇偶性；
(2)求不等式的解集.
14．（2023·全国·高一随堂练习）函数是周期为2的周期函数，且，．
(1)画出函数在区间上的图象，并求其单调区间、零点、最大值、最小值；
(2)求的值；
(3)求在区间上的解析式，其中．
B能力提升
1．（2024上·江西·高二校联考期末）若函数（）是偶函数，则（ ）
A．2023B．2024C．2D．
2．（2024上·湖北·高一校联考期末）已知定义在R上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024上·重庆·高一重庆市青木关中学校校考期末）若，当时，，则 .
4．（2024上·河北石家庄·高一石家庄外国语学校校考期末）已知函数的定义域为，满足，的图象关于直线对称，且，则 ； ．
C综合素养
5．（2024上·湖南长沙·高一统考期末）如果函数的定义域为，且存在常数，使得对定义域内的任意，都有恒成立，那么称此函数具有“性质”．
(1)已知具有“性质”，且当时，，求的解析式及在上的最大值；
(2)已知定义在上的函数具有“性质”，当时，．若有8个不同的实数解，求实数的取值范围．
6．（2023上·山东青岛·高一青岛市即墨区第一中学校考阶段练习）对于定义在上的函数和正实数若对任意，有，则为阶梯函数.
(1)分别判断下列函数是否为阶梯函数（直接写出结论）：
①；
②.
(2)若为阶梯函数，求的所有可能取值；
(3)已知为阶梯函数，满足：在上单调递减，且对任意，有.若函数有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为；若时，证明：存在，使得在上有4046个零点，且.
第03讲函数的奇偶性、对称性与周期性 (分层精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）
A夯实基础
一、单选题
1．（2024上·山西运城·高三统考期末）已知是奇函数，则（ ）
A．B．C．2D．1
【答案】C
【分析】根据得到方程，求出.
【详解】由题意得，即，
所以，故，
所以，解得.
故选：C
2．（2024下·上海·高一开学考试）已知函数，且，那么等于（ ）
A．B．C．6D．10
【答案】C
【分析】令，由可得答案.
【详解】，
令，
则，
即，可得，
即.
故选：C．
3．（2023下·江西赣州·高一校联考期末）已知定义在上的函数满足，且当时，，则（ ）
A．2B．0C．1D．
【答案】D
【分析】通过对已知条件的转化，得出函数是周期函数.利用函数周期性转化求值即可.
【详解】因为，所以，且，
则，又可得，，
故，所以函数是周期的周期函数，
．
故选：D．
4．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）函数是定义在R上奇函数，且，，则（ ）
A．0B．C．2D．1
【答案】B
【分析】通过已知计算得出函数是周期为8的周期函数，则，根据已知得出，即可得出答案.
【详解】函数是定义在R上奇函数，且，
，
，
则函数是周期为8的周期函数，
则，
令，则，
，
故选：B.
5．（2023上·山东烟台·高一校考期末）函数与的图象（ ）
A．关于轴对称B．关于轴对称C．关于原点对称D．关于直线对称
【答案】C
【分析】画出函数图像即可判断.
【详解】根据如下图像即可判断出函数图像关于原点对称.
故选：C
6．（2023上·湖南长沙·高二雅礼中学校考阶段练习）函数与函数图象关于直线对称，则的值为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】A
【分析】根据函数对称性求值即可.
【详解】设，
因为函数与函数图象关于直线对称，
所以.
故选：A
7．（2024下·浙江·高三杭州高级中学校联考开学考试）已知是奇函数，则常数（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据奇函数的性质求解即可.
【详解】因为是奇函数，且定义域为，
所以，解得，
此时，
，
即，满足奇函数定义，
故选：C
8．（2023上·广东潮州·高一饶平县第二中学校考期中）已知函数满足，且在上是增函数，则，，的大小顺序是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，确定函数图象的对称轴，再结合单调性比较大小即得.
【详解】由函数满足，得函数的图象关于直线对称，
显然，，而，在上是增函数，
因此，所以.
故选：B
二、多选题
9．（2023上·湖北咸宁·高一校考阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，对任意实数，恒有成立，且，则下列说法正确的是（ ）
A．是函数的一个对称中心B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】利用函数的奇偶性和对称性，得到周期，可求函数值.
【详解】选项A，因为函数满足，函数关于直线对称，A错误；
选项B，因为函数是定义在上的奇函数，所以，，
即，所以，故，
函数是周期为4的函数，B正确；
选项C，，C正确；
选项D，，D正确.
故选：BCD
10．（2023上·甘肃白银·高一甘肃省靖远县第一中学校考期末）已知函数对于任意实数，都有成立，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．函数的图象关于直线轴对称
C．D．
【答案】AC
【分析】分析可知，函数是周期为的周期函数，利用函数的周期性可判断ACD选项，利用函数对称性可判断B选项.
【详解】对任意实数都有，所以，函数是周期为的周期函数，
当时，，所以，故A选项正确；
因为函数图象的对称轴无法确定，所以B选项不正确；
由于，故C选项正确；
，故D选项不正确．
故选：AC．
三、填空题
11．（2024下·浙江·高三校联考开学考试）已知函数是奇函数，则 .
【答案】/0.5
【分析】根据为奇函数，故，变形后得到，求出答案.
【详解】因为的定义域为R，且为奇函数，
故，即对恒成立，
化简得，
故，解得.
故答案为：
12．（2024上·云南昆明·高一统考期末）定义在上的奇函数满足，且，则 ．
【答案】3
【分析】根据函数的周期性以及奇偶性即可求解.
【详解】由可得为周期函数，且周期为4，
又为上的奇函数，所以，
，
故答案为：3
四、解答题
13．（2024上·福建·高一福建师大附中校考期末）已知函数.
(1)判断的奇偶性；
(2)求不等式的解集.
【答案】(1)在上是奇函数
(2)
【分析】（1）按函数奇偶性的定义判断即可；
（2）由对数函数单调性列不等式组求解即可.
【详解】（1）由题意的定义域为，它关于原点对称，
且，
所以在上是奇函数.
（2）由题意，所以，解得，
即不等式的解集为.
14．（2023·全国·高一随堂练习）函数是周期为2的周期函数，且，．
(1)画出函数在区间上的图象，并求其单调区间、零点、最大值、最小值；
(2)求的值；
(3)求在区间上的解析式，其中．
【答案】(1)答案见解析；
(2)；
(3)，.
【分析】（1）根据周期性及已知区间解析式画出函数图象，数形结合确定单调区间、零点、最值；
（2）利用周期性求函数值即可；
（3）由，代入已知解析式，根据周期性即可得解析式.
【详解】（1）由的周期性及上解析式，得区间上的图象如下：

由上图知：增区间为，减区间为；
零点为共3个；最大值为1，最小值为0.
（2）由题设.
（3）令且，则，
又，则，即，
综上，在区间上，.
B能力提升
1．（2024上·江西·高二校联考期末）若函数（）是偶函数，则（ ）
A．2023B．2024C．2D．
【答案】B
【分析】根据条件，利用奇偶函数的定义与性质，即可求出结果.
【详解】因为，
所以，又是偶函数，
所以，得到或（舍去），
得，
故选：B
2．（2024上·湖北·高一校联考期末）已知定义在R上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意首先得周期为4，由此结合对数运算即可进一步求解.
【详解】由是奇函数，∴，
又，∴，所以周期为4．
．
故选：D.
3．（2024上·重庆·高一重庆市青木关中学校校考期末）若，当时，，则 .
【答案】6
【分析】先求出是以为周期的周期函数，再由对数的运算性质求出结果即可.
【详解】因为，所以，
所以是以为周期的周期函数，
又因为余，故，
因为当时，，
所以，所以.
故答案为：6.
4．（2024上·河北石家庄·高一石家庄外国语学校校考期末）已知函数的定义域为，满足，的图象关于直线对称，且，则 ； ．
【答案】
【分析】在中令，即可得第一空答案；由题意可知的图象关于轴对称，从而得，运用到算式即可得第二空答案．
【详解】在中，令，则有；
的图象关于直线对称，则的图象关于轴对称，有，
又，则，得，
可得，，
所以，，，
所以
．
故答案为：；．
【点睛】结论点睛：函数的对称性：
（1）若，则函数关于中心对称；
（2）若，则函数关于对称.
C综合素养
如下图所示：
若有8个不同的实数解，令，
则有两个不等的实数根，，且，，
所以，所以.
所以t的取值范围为.
【点睛】思路点睛：第一问，利用是偶函数，求出的解析式，再根据复合函数单调性求出最值；第二问，函数具有“性质”，即得图象关于对称，求出的解析式，有8个不同的实数解，令，转化为方程有两个不等的实数根，，且，，根据实根分布求解.
6．（2023上·山东青岛·高一青岛市即墨区第一中学校考阶段练习）对于定义在上的函数和正实数若对任意，有，则为阶梯函数.
(1)分别判断下列函数是否为阶梯函数（直接写出结论）：
①；
②.
(2)若为阶梯函数，求的所有可能取值；
(3)已知为阶梯函数，满足：在上单调递减，且对任意，有.若函数有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为；若时，证明：存在，使得在上有4046个零点，且.
【答案】(1)①否；②是
(2)，
(3)证明见解析
【分析】（1）利用阶梯函数的定义进行检验即可判断；
（2）利用阶梯函数的定义，结合正弦函数的性质即可得解；
（3）根据题意得到，，从而取，结合零点存在定理可知在上有且仅有两个零点：，，从而得解.
【详解】（1），则；
，则，
故①否；②是.
（2）因为为阶梯函数，所以对任意有：
.
所以对任意，，
因为是最小正周期为的周期函数，
又因为，所以，.
（3）因为，所以函数，
则，
.
取，
则有，，
由于在上单调递减，因此在上单调递减，
结合，
则有在上有唯一零点，在上有唯一零点.
又由于，
则对任意，有，，
因此，对任意，在上有且仅有两个零点：，.
综上所述，存在，使得在上有4046个零点，
且，，，，，，，
其中，.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是充分理解新定义阶梯函数，从而在第3小问推得，，由此得解.