2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第03讲平面向量的数量积(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)

这是一份2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第03讲平面向量的数量积(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)，共15页。试卷主要包含了已知，.，在四边形中，已知，，.，，且，设等内容，欢迎下载使用。

10．（23-24高一下·江西宜春·阶段练习）已知向量则下列说法正确的是（ ）
A．的相反向量是B．若，则
C．在上的投影数量为D．若，则
三、填空题
11．（23-24高一下·湖北武汉·阶段练习）已知，若向量满足，则在方向上的投影向量的坐标为 .
12．（2024·全国·模拟预测）在平行四边形中，已知，点满足，且，则 ．
四、解答题
13．（23-24高一下·广东东莞·阶段练习）已知，.
(1)若，求；
(2)若与的夹角为，求；
(3)若与垂直，求与的夹角．
14．（23-24高一下·广东惠州·阶段练习）在四边形中，已知，，.
(1)若四边形是矩形，求的值；
(2)若四边形是平行四边形，且，求与夹角的余弦值.
15．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面四边形ABCD中，，分别是AD，DC的中点，为线段上一点（除端点外），且，设．
(1)若，以为基底表示向量与；
(2)求的取值范围．
B能力提升
1．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（23-24高一下·浙江·阶段练习）已知，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）设A，B，C，D为平面内四点，已知，，与的夹角为，M为AB的中点，，则的最大值为 ，此时 ．
4．（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知正六边形ABCDEF的边长为1，若点H是正六边形ABCDEF内或其边界上的一点，则的最小值为 ；若点N为线段AE（含端点）上的动点，且满足，则的最大值为 .
C综合素养（新定义解答题）
1．（23-24高一下·福建三明·阶段练习）利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对（其中）视为一个向量，记作，类比平面向量的相关运算法则，对于复向量，我们有如下运算法则：
①
②；
③
④
(1)设，为虚数单位，求，，；
(2)设是两个复向量，
①已知对于任意两个平面向量，（其中），成立，证明：对于复向量，也成立；
②当时，称复向量与平行.若复向量与平行（其中为虚数单位，），求复数.
第03讲 平面向量的数量积 (分层精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）
A夯实基础
一、单选题
1．（23-24高一下·河南·阶段练习）已知向量且，则（ ）
A．1B．2C．3D．-1
【答案】A
【分析】根据向量垂直的坐标表示求解即可
【详解】由，得，解得，
故选：A
2．（23-24高一下·河南·阶段练习）已知点，则（ ）
A．B．0C．2D．
【答案】D
【分析】先求出两个向量的坐标，再根据数量积的坐标公式计算即可.
【详解】因为，
所以，
所以.
故选：D.
3．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知向量满足，且，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用向量夹角余弦公式求出，得到答案.
【详解】∵，且，
，
∵，
∴.
故选：B.
4．（2024·河北·模拟预测）平面向量满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得.
【详解】依题意，在方向上的投影向量为.
故选：D
5．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知，，若，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【分析】利用向量垂直的坐标表示即可求解.
【详解】，由得，
解得.
故选：A.
6．（23-24高一下·甘肃金昌·阶段练习）已知向量，若与垂直，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据与垂直，由求解.
【详解】解：，
与垂直，
，
.
故选：A.
7．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）已知向量的夹角为，且，则（ ）
A．6B．C．3D．
【答案】A
【分析】由平面向量减法的几何意义，结合平面几何的知识可解.
【详解】在边长为6的等边三角形中，设，
则，故.
故选：A
8．（2024·全国·模拟预测）单位向量满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】法一：将平方得，求出，再利用夹角公式求解；法二：设向量坐标化，确定，再利用向量夹角的坐标公式求解.
【详解】法一：因为，所以，所以.
由是单位向量，得，故.
所以，所以.
因为，
所以.
法二： 因为，所以.因为是单位向量，
所以设，，，则，，，
解得.
取，则.
因为，，
所以.
故选：B.
二、多选题
9．（2024·全国·模拟预测）已知向量．若，则（ ）
A．B．
C．在方向上的投影向量为D．与反向的单位向量是
【答案】ABC
【分析】利用平面向量的坐标运算及投影向量、单位向量的定义一一判定选项即可.
【详解】．
．
，即．
，即，解得，则．
对于A，，故A正确；
对于B，因为，故B正确；
对于C，在方向上的投影向量为，故正确；
对于D，与反向的单位向量是，故D错误．
故选:ABC．
10．（23-24高一下·江西宜春·阶段练习）已知向量则下列说法正确的是（ ）
A．的相反向量是B．若，则
C．在上的投影数量为D．若，则
【答案】AC
【分析】由相反向量的定义判断A；由向量垂直数量积为0判断B；由投影数量的概念判断C；由共线量的坐标运算判断D.
【详解】对于A，由相反向量的定义，即可得到的相反向量是，故A正确；
对于B，因为，所以，
又，且，所以，解得，故B错误；
对于C，因为，所以，，
所以在上的投影数量为，故C正确；
对于D，因为，又，且，
所以，解得，故D错误.
故选：AC.
三、填空题
11．（23-24高一下·湖北武汉·阶段练习）已知，若向量满足，则在方向上的投影向量的坐标为 .
【答案】
【分析】根据数量积的运算律求得，根据投影向量的概念，即可求得答案.
【详解】由题意知，故，
所以，而，则，
故，
则在方向上的投影向量为，
即在方向上的投影向量的坐标为，
故答案为：
12．（2024·全国·模拟预测）在平行四边形中，已知，点满足，且，则 ．
【答案】/
【分析】根据平面向量的线性运算可得，，结合数量积的运算律和定义即可求解.
【详解】由题意得，，，
，
故，．
故答案为：
四、解答题
13．（23-24高一下·广东东莞·阶段练习）已知，.
(1)若，求；
(2)若与的夹角为，求；
(3)若与垂直，求与的夹角．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）由可得出的夹角为0或，再根据,即可求出；
（2）先求出,再利用模长公式求解；
（3）根据与垂直，即可得出，从而可求出，进而得出与的夹角．
【详解】（1）∵，∴与的夹角为或， ∴=;
（2）；
（3），∴
∴，
，∴
14．（23-24高一下·广东惠州·阶段练习）在四边形中，已知，，.
(1)若四边形是矩形，求的值；
(2)若四边形是平行四边形，且，求与夹角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）以、作为一组基底表示出、，再根据数量积的运算律计算可得；
（2）设与夹角为，结合（1）及数量积的定义计算可得.
【详解】（1）四边形是矩形，
，即，
又，，，
，，
，，
；
（2）设与夹角为，由（1）得，
，
，即与夹角的余弦值．
15．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面四边形ABCD中，，分别是AD，DC的中点，为线段上一点（除端点外），且，设．
(1)若，以为基底表示向量与；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）由向量的线性运算可求得向量与.
（2）先表示向量，再运用向量数量积的定义和运算律可求得，从而可求得取值范围.
【详解】（1）依题意，，
所以
；
由，得
所以.
（2）由（1）知，，
依题意，，
由，，得，
因此
，
显然，则，即，
所以的取值范围为.
B能力提升
1．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量数量积的坐标表示以及夹角范围计算，考虑向量反向的情况可得结论.
【详解】若“”可得，可得；
当时，与的方向相反，其夹角为，
即与的夹角为钝角或平角，充分性不成立；
若“与的夹角为钝角”，即可知，解得，必要性成立；
因此“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件.
故选：B
2．（23-24高一下·浙江·阶段练习）已知，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设向量，的夹角为，求得的表达式，利用平方的方法，结合余弦函数的值域等知识求得正确答案.
【详解】设向量，的夹角为，则，
因为，
所以，
令，则，
因为，所以，又，所以.
故选：C
上的动点，且满足，则的最大值为 .
【答案】 /-0.5 4
【分析】从向量的数量积的定义入手理解，将数量积最小问题转化为在上的投影数量最小问题，结合图象易于找到，计算即得；根据题意，建立如图坐标系，设动点，,表示出相关向量坐标代入题设条件，列出方程组，求出，计算的取值范围即得.
【详解】
如图，由向量数量积的几何意义可知可理解为在上的投影数量与的乘积，
要使最小，需使在上的投影数量最小，由图知，当且仅当点与重合时，投影的数量最小，即，
故；

如上图，分别以所在直线为轴建立平面直角坐标系，则,不妨设，则，
则，由代入坐标，即得，，
解得：于是，因，故当且仅当时，的最大值为4.
故答案为：
C综合素养（新定义解答题）
1．（23-24高一下·福建三明·阶段练习）利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对（其中）视为一个向量，记作，类比平面向量的相关运算法则，对于复向量，我们有如下运算法则：
①
②；
③
④
(1)设，为虚数单位，求，，；
(2)设是两个复向量，
①已知对于任意两个平面向量，（其中），成立，证明：对于复向量，也成立；
②当时，称复向量与平行.若复向量与平行（其中为虚数单位，），求复数.
【答案】(1)，，
(2)①证明见解析；②
【分析】（1）根据①③④即可解题；
（2）①设，由，得出，结合复数的三角不等式得即可证明；
②由①中复数的三角不等式等号成立的条件知，当复向量各分量均不为零时，其等号成立的条件是存在非负实数，使得，即再由复向量与平行时，，然后根据中等号成立的条件，求解即可.
【详解】（1）因为，所以，
（2）①设，则，
由复数的三角不等式得，
由，得，所以，
所以
，
综上所知，对于复向量，成立.
②由①中复数的三角不等式等号成立的条件知，
当复向量各分量均不为零时，其等号成立的条件是存在非负实数，使得
，即
故复向量与平行，有
，
根据中等号成立的条件，
应有，即，
所以，
结合，得，解得；
所以，所以.