2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第03讲等比数列及其前n项和(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)

这是一份2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第03讲等比数列及其前n项和(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)，共13页。试卷主要包含了在数列中，已知，等内容，欢迎下载使用。

A．-7B．5C．6D．7
10．（23-24高二下·安徽亳州·期末）已知数列的前项和为，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．是等比数列
C．D．是递增数列
三、填空题
11．（23-24高二下·陕西榆林·期末）在各项均为正数的等比数列中，，则 ．
12．（24-25高二上·全国·课后作业）已知是等差数列，是等比数列，若，，则 ．
四、解答题
13．（22-23高二下·北京延庆·期中）在数列中，已知，．
(1)若数列是等差数列，求数列的通项公式及前项和；
(2)若数列是等比数列，求数列的通项公式及前项和；
(3)若数列的前项和，求数列的通项公式．
B能力提升
1．（23-24高二下·广东佛山·期中）在当前市场经济条件下，私营个体商店中的商品，所标价格与其实际价值之间，存在着相当大的差距，对顾客而言，总是希望通过“讨价还价”来减少商品所标价格与其实际价值的差距.设顾客第次的还价为，商家第次的讨价为，有一种“对半讨价还价”法如下：顾客第一次的还价为标价的一半，即第一次还价，商家第一次的讨价为与标价的平均值，即；…，顾客第次的还价为上一次商家的讨价与顾客的还价的平均值，即，商家第次讨价为上一次商家的讨价与顾客这一次的还价的平均值，即，现有一件衣服标价1200元，若经过次的“对半讨价还价”，与相差不到2元，则的最小值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
2．（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）等比数列的首项为4，公比为3，前n项的和为，若（n，），则的最小值为 .
3．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知等比数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同的3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由．
C综合素养（新定义解答题）
1．（2024·河南郑州·模拟预测）设任意一个无穷数列的前项之积为，若，，则称是数列．
(1)若是首项为，公差为的等差数列，请判断是否为数列？并说明理由；
(2)证明：若的通项公式为，则不是数列；
(3)设是无穷等比数列，其首项，公比为，若是数列，求的值．
第03讲 等比数列及其前n项和 (分层精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）
A夯实基础
一、单选题
1．（24-25高三上·浙江·开学考试）已知等比数列的前2项和为12，， 则公比的值为（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】A
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算
【分析】根据等比数列的通项公式建立方程组，解之即可求解.
【详解】由题意知，设等比数列的公比为，
则，即，
解得，.
所以.
故选：A
2．（23-24高三下·广西·阶段练习）已知为等比数列，，，则（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】D
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算
【分析】由等比数列基本量的计算依次求得，，进一步即可得解.
【详解】由题得，，故，
，故，即，，
所以.
故选：D.
3．（2024·黑龙江·模拟预测）已知为等比数列的前项积，若，且（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】等比中项的应用
【分析】利用等比中项的性质求解即可.
【详解】由等比数列的性质，得，所以.
故选:B.
4．（2024·四川成都·模拟预测）已知数列是等比数列，若，是的两个根，则 的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】等比数列下标和性质及应用
【分析】根据一元二次方程韦达定理得出，得出，再利用等比数列的性质，计算出结果；
【详解】若，是的两个根，则，
因为数列是等比数列，，.
故选：C.
5．（24-25高三上·安徽·开学考试）设公差的等差数列中，成等比数列，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算、等比中项的应用
【分析】由题意可得，根据求解即可.
【详解】因为公差的等差数列中，成等比数列，
所以，即，解得，
所以.
故选：A.
6．（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）已知数列是等比数列，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、利用等比数列的通项公式求数列中的项
【分析】根据已知条件算出等比数列的首项和公比，即可计算.
【详解】设等比数列的公比为，因为，，
所以由，得，所以，
又，即，所以，
所以.
故选：B.
7．（2024·山西太原·二模）已知，分别是等差数列和等比数列，其前项和分别是和，且，，，则（ ）
A．9B．9或18C．13D．13或37
【答案】B
【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、求等差数列前n项和
【分析】设等比数列的公比为，当时求出，即可求出，再由等差数列求和公式及下标和性质计算可得，当时根据等比数列求和公式求出，从而求出，即可求出，再由等差数列求和公式及下标和性质计算可得.
【详解】设等比数列的公比为，由且，
当时，则，符合题意，则，又，所以，
所以；
当时，则，即，解得（舍去）或，
所以，则，又，所以，
所以；
综上可得或.
故选：B
8．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）递增等比数列中，，，则（ ）
A．B．C．72D．144
【答案】D
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算
【分析】设公比为，然后由已知条件列方程可求出，从而可求出.
【详解】设公比为，因为，，
所以，得，得，
所以或（舍去），
所以，
所以.
故选：D
二、多选题
9．（24-25高三上·山东菏泽·开学考试）记等比数列的前项积为，且，若，则的可能取值为（ ）
A．-7B．5C．6D．7
【答案】BD
【知识点】等比数列下标和性质及应用
【分析】由题意结合等比数列下标和的性质可得，结合即可求解.
【详解】，
，
又，而，
或.
故选：.
10．（23-24高二下·安徽亳州·期末）已知数列的前项和为，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．是等比数列
C．D．是递增数列
【答案】ACD
【知识点】利用an与sn关系求通项或项、求等比数列前n项和、由定义判定等比数列、判断数列的增减性
【分析】由题中条件可得，判断A；通过两式相减的，变形可得出，判断B；
根据求和公式结合作差法比较大小判断C，D；
【详解】对于A，由得，
，所以．A正确；
对于B，将与整体相减得，，
所以，
又，即，
所以．
因此不是等比数列，B错误；
对于C,因为，
所以当时，．
当时，．
当时，，因此,C正确；
对于D，因为，
所以，
所以，
因此是递增数列，D正确；
故选:ACD．
三、填空题
11．（23-24高二下·陕西榆林·期末）在各项均为正数的等比数列中，，则 ．
【答案】3
【知识点】等比数列下标和性质及应用、对数的运算
【分析】根据等比数列性质和对数运算即可.
【详解】由题意得.
故答案为：3.
12．（24-25高二上·全国·课后作业）已知是等差数列，是等比数列，若，，则 ．
【答案】
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等差数列通项公式的基本量计算
【分析】根据等差和等比数列的性质，再结合特殊角的正切值，即可求解.
【详解】由等差数列的性质可知，，即，而，
根据等比数列的性质可知，，则，，
所以.
故答案为：.
四、解答题
13．（22-23高二下·北京延庆·期中）在数列中，已知，．
(1)若数列是等差数列，求数列的通项公式及前项和；
(2)若数列是等比数列，求数列的通项公式及前项和；
(3)若数列的前项和，求数列的通项公式．
【答案】(1)，
(2)，
(3)
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、求等比数列前n项和
【分析】（1）根据等差数列的通项公式及求和公式计算即可；
（2）根据等比数列的通项公式及求和公式计算即可；
（3）根据，时，求解即可．
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，则，解得，，
所以，
．
（2）设等比数列的首项为，公差为，则，解得，，
所以，．
（3）由已知得，
当时，，
当时，，
又因为，
所以．
B能力提升
1．（23-24高二下·广东佛山·期中）在当前市场经济条件下，私营个体商店中的商品，所标价格与其实际价值之间，存在着相当大的差距，对顾客而言，总是希望通过“讨价还价”来减少商品所标价格与其实际价值的差距.设顾客第次的还价为，商家第次的讨价为，有一种“对半讨价还价”法如下：顾客第一次的还价为标价的一半，即第一次还价，商家第一次的讨价为与标价的平均值，即；…，顾客第次的还价为上一次商家的讨价与顾客的还价的平均值，即，商家第次讨价为上一次商家的讨价与顾客这一次的还价的平均值，即，现有一件衣服标价1200元，若经过次的“对半讨价还价”，与相差不到2元，则的最小值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【知识点】由递推关系证明等比数列
【分析】判断出数列是等比数列，由此列不等式，从而求得的最小值.
【详解】依题意可知，
，
则，又，
所以数列是以为首项，公比为的等比数列，
所以，
由得，其中，
解得，因此的最小值为.
故选：B.
当时，，②
联立①②，解得，
所以数列的通项公式．
（2）由（1）知．
所以，
所以．
设数列中存在3项（其中成等差数列）成等比数列．
则，
所以，即，
又因为成等差数列，
所以，
所以，
化简得，
所以，
又，所以，与已知矛盾，
所以在数列中不存在不同的3项成等比数列．
C综合素养（新定义解答题）
1．（2024·河南郑州·模拟预测）设任意一个无穷数列的前项之积为，若，，则称是数列．
(1)若是首项为，公差为的等差数列，请判断是否为数列？并说明理由；
(2)证明：若的通项公式为，则不是数列；
(3)设是无穷等比数列，其首项，公比为，若是数列，求的值．
【答案】(1)是T数列，理由见解析
(2)证明见解析
(3)或．
【知识点】数列新定义、利用定义求等差数列通项公式、求等差数列前n项和、写出等比数列的通项公式
【分析】（1）由题知，再根据T数列的定义，即可作出判断；
（2）先假设是数列，从而有，再进行验证，即可证明结果；
（3）根据题设得到，取对数后可得，分类讨论后可求.
【详解】（1）是T数列，
理由：由题知，即，
所以，，
当时，，所以是T数列．
（2）假设是数列，则对任意正整数，总是中的某一项，
，
所以对任意正整数，存在正整数满足：，
显然时，存在，满足，
取，得，所以，
可以验证：当，2，3，4时，都不成立，
故不是T数列.
（3）已知是等比数列，其首项，公比，
所以，
所以，
由题意知对任意正整数n，总存在正整数m，使得，
即对任意正整数n，总存在正整数m，使得，
即对任意正整数n，总存在正整数m，使得，
若，则，任意，这不可能成立；
若，
故对任意，总存在使得该等式成立，
故必为整数，
取，则有正整数解，故，
若，则，此时方程对任意，
必有正整数解；
若，则，
此时方程对任意，
必有正整数解；
综上，或．
【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．