2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第04讲幂函数与二次函数(知识+真题+15类高频考点)(精讲)(学生版+解析)

这是一份2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第04讲幂函数与二次函数(知识+真题+15类高频考点)(精讲)(学生版+解析)，共42页。试卷主要包含了幂函数，二次函数等内容，欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc19976" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc19976 \h 1
\l "_Tc21623" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc21623 \h 2
\l "_Tc14949" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc14949 \h 2
\l "_Tc30040" 高频考点一：幂函数的定义 PAGEREF _Tc30040 \h 2
\l "_Tc13558" 角度1：求幂函数的值 PAGEREF _Tc13558 \h 2
\l "_Tc16554" 角度2：求幂函数的解析式 PAGEREF _Tc16554 \h 3
\l "_Tc10774" 角度3：由幂函数求参数 PAGEREF _Tc10774 \h 3
\l "_Tc17321" 高频考点二：幂函数的值域 PAGEREF _Tc17321 \h 4
\l "_Tc17178" 高频考点三：幂函数图象 PAGEREF _Tc17178 \h 4
\l "_Tc14140" 角度1：判断幂函数图象 PAGEREF _Tc14140 \h 4
\l "_Tc16040" 角度2：幂函数图象过定点问题 PAGEREF _Tc16040 \h 5
\l "_Tc2913" 高频考点四：幂函数单调性 PAGEREF _Tc2913 \h 7
\l "_Tc4332" 角度1：判断幂函数的单调性 PAGEREF _Tc4332 \h 7
\l "_Tc16149" 角度2：由幂函数单调性求参数 PAGEREF _Tc16149 \h 7
\l "_Tc12912" 角度3：由幂函数单调性解不等式 PAGEREF _Tc12912 \h 7
\l "_Tc28750" 高频考点五：幂函数的奇偶性 PAGEREF _Tc28750 \h 8
\l "_Tc31382" 高频考点六：二次函数 PAGEREF _Tc31382 \h 9
\l "_Tc11527" 角度1：二次函数值域问题 PAGEREF _Tc11527 \h 9
\l "_Tc2826" 角度2：求二次函数解析式 PAGEREF _Tc2826 \h 9
\l "_Tc5487" 角度3：由二次函数单调性（区间）求参数 PAGEREF _Tc5487 \h 10
\l "_Tc15272" 角度4：根据二次函数最值（值域）求参数 PAGEREF _Tc15272 \h 10
\l "_Tc8369" 角度5：动轴定范围，定轴动范围的最值问题 PAGEREF _Tc8369 \h 11
\l "_Tc12968" 第四部分：新定义题（解答题） PAGEREF _Tc12968 \h 12
第一部分：基础知识
1、幂函数
（1）幂函数定义
一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数．
（2）五种常见幂函数
（3）幂函数性质（高频考点）
幂函数，在
①当时，在单调递增；
②当时，在单调递减；
2、二次函数
形如的函数叫做二次函数.
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·天津·统考高考真题）设，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：幂函数的定义
角度1：求幂函数的值
典型例题
例题1．（2024下·河南·高一信阳高中校联考开学考试）已知是幂函数，则（ ）
A．3B．C．6D．
例题2．（2024上·河北承德·高一统考期末）已知幂函数的图象过点，则 .
角度2：求幂函数的解析式
典型例题
例题1．（2024上·安徽芜湖·高一统考期末）若幂函数的图象经过点，则 ．
例题2．（2024上·河北保定·高一统考期末）已知幂函数的图象过点，则 .
角度3：由幂函数求参数
典型例题
例题1．（2024上·山东威海·高一统考期末）已知幂函数在上单调递增，则（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2024上·安徽阜阳·高一阜阳市第三中学校考期末）已知幂函数的图象不经过第二象限，则（ ）
A．B．或C．或D．
练透核心考点
1．（2024上·河南商丘·高一校考期末）若是定义域为的幂函数，则 ．
2．（2024上·安徽淮南·高一深圳市高级中学校联考期末）若幂函数在区间上单调递减，则 .
3．（2024下·湖北·高一湖北省汉川市第一高级中学校联考开学考试）已知幂函数在上单调递减，则 ．
4．（2024上·安徽亳州·高一亳州二中校考期末）已知幂函数的图象过点，则等于 .
高频考点二：幂函数的值域
典型例题
例题1．（2024·全国·高一假期作业）下列函数中，值域为的是（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2024·全国·高一假期作业）已知幂函数在区间上是减函数．
(1)求函数的解析式；
(2)讨论函数的奇偶性和单调性；
(3)求函数的值域．
练透核心考点
1．（2024·全国·高三专题练习）下列函数中，定义域和值域不相同的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024下·河北承德·高二承德县第一中学校联考开学考试）函数的值域为 ．
高频考点三：幂函数图象
角度1：判断幂函数图象
典型例题
例题1．（2024·江苏·高一假期作业）函数与在同一平面直角坐标系中的图象不可能为（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2024·全国·高三专题练习）给定一组函数解析式：
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．
如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（ ）


A．⑥③④②⑦①⑤B．⑥④②③⑦①⑤
C．⑥④③②⑦①⑤D．⑥④③②⑦⑤①
角度2：幂函数图象过定点问题
典型例题
例题1．（2024上·上海·高一上海市吴淞中学校考期末）下列命题中正确的是（ ）
A．当时，函数的图象是一条直线
B．幂函数的图象都经过，两点
C．幂函数图象不可能在第四象限内
D．若幂函数为奇函数，则是定义域内的严格增函数
例题2．（2024·全国·高一专题练习）已知函数，的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中m，，则的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．4
练透核心考点
1．（2024·全国·高三专题练习）已知幂函数（且互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（ ）
A．p，q均为奇数，且
B．q为偶数，p为奇数，且
C．q为奇数，p为偶数，且
D．q为奇数，p为偶数，且
2．（多选）（2024上·重庆北碚·高一统考期末）函数与在同一直角坐标系中的图象不可能为（ ）
A．B．
C．D．
3．（多选）（2024·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象经过函数（且）的图象所过的定点，则幂函数具有的特性是（ ）
A．在定义域内单调递减B．图象过点
C．是奇函数D．定义域是
高频考点四：幂函数单调性
角度1：判断幂函数的单调性
典型例题
例题1．（2023上·北京海淀·高一统考期末）下列函数中，既是奇函数，又在上单调递减的是（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2023上·湖南常德·高一湖南省桃源县第一中学校考期中）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
角度2：由幂函数单调性求参数
典型例题
例题1．（2023上·江苏镇江·高一江苏省镇江第一中学校考阶段练习）若是幂函数，且在上单调递增，则的值为（ ）
A．或 3B．1 或C．D．3
例题2．（2023上·广东佛山·高一佛山市顺德区乐从中学校考阶段练习）已知幂函数单调递减，则实数 .
角度3：由幂函数单调性解不等式
典型例题
例题1．（2023上·高一课时练习）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，求满足的a的取值范围.
例题2．（2023上·广西钦州·高一校考期中）已知是幂函数.
(1)求、的值；
(2)若，求实数的取值范围.
练透核心考点
1．（多选）（2024·全国·模拟预测）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的减函数的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023上·河北沧州·高一统考期中）若幂函数在上单调递增，则实数 .
3．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数在上是增函数.
(1)求的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
4．（2023上·湖南长沙·高一长沙一中校考期中）已知幂函数在定义域内单调递增．
(1)求的解析式；
(2)求关于x的不等式的解集．
高频考点五：幂函数的奇偶性
典型例题
例题1．（2024·全国·高一假期作业）“幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
例题2．（2024上·上海虹口·高一统考期末）设，若幂函数的图像关于轴对称，且在区间上是严格增函数，则实数 ．
练透核心考点
1．（多选）（2024上·广东深圳·高一统考期末）已知函数为幂函数，则下列结论正确的为（ ）
A．B．为偶函数
C．为单调递增函数D．的值域为
例题1．（2024下·云南红河·高一蒙自一中校考开学考试）已知二次函数在区间内是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2024上·四川宜宾·高一统考期末）已知幂函数为偶函数，若函数在区间上为单调函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
角度4：根据二次函数最值（值域）求参数
典型例题
例题1．（2024上·广东中山·高一统考期末）已知函数在上的值域是，则的最大值是（ ）
A．3B．6C．4D．8
例题2．（2024上·江西九江·高一江西省庐山市第一中学校考期末）设二次函数的值域是，则的最小值是 .
角度5：动轴定范围，定轴动范围的最值问题
典型例题
例题1．（2023上·北京·高一北京市第十二中学校考期中）已知函数.
(1)若对任意，都有，则的解析式；
(2)若函数在区间上不单调，求实数的取值范围；
(3)若，求的最小值.
例题2．（2023上·广东惠州·高一校考阶段练习）已知二次函数，，.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在区间的最大值.
练透核心考点
1．（2024·全国·高一专题练习）已知函数在上具有单调性，则k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024上·山东日照·高一统考期末）已知幂函数为偶函数．
(1)求的解析式；
(2)若在上是单调函数，求实数的取值范围．
3．（2024·全国·高一专题练习）已知函数．
(1)当时，求的值域；
(2)若的最大值为9，求a的值．
4．（2024上·江西·高一校联考期末）已知是二次函数，且，.
(1)求的解析式；
(2)求在区间上的最大值.
5．（2024上·河南周口·高一统考期末）已知函数，的图象关于直线对称，
(1)求的解析式；
(2)若函数在区间上的最小值为，求的值.
第四部分：新定义题（解答题）
1．（2024上·湖北·高一校联考期末）对于函数，若的图象上存在关于原点对称的点，则称为定义域上的“G函数”．
(1)试判断，（）是否为“G函数”，简要说明理由；
(2)若是定义在区间上的“G函数”，求实数m的取值范围；
(3)试讨论在上是否为“G函数”？并说明理由．
函数
图象
性质
定义域
值域
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在上单调递增
在上单调递减；在上单调递增
在上单调递增
在上单调递增
在和上单调递减
公共点
第04讲 幂函数与二次函数
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc20689" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc20689 \h 1
\l "_Tc14449" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc14449 \h 2
\l "_Tc29918" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc29918 \h 3
\l "_Tc4252" 高频考点一：幂函数的定义 PAGEREF _Tc4252 \h 3
\l "_Tc2433" 角度1：求幂函数的值 PAGEREF _Tc2433 \h 3
\l "_Tc15590" 角度2：求幂函数的解析式 PAGEREF _Tc15590 \h 3
\l "_Tc292" 角度3：由幂函数求参数 PAGEREF _Tc292 \h 4
\l "_Tc12052" 高频考点二：幂函数的值域 PAGEREF _Tc12052 \h 6
\l "_Tc13176" 高频考点三：幂函数图象 PAGEREF _Tc13176 \h 8
\l "_Tc16675" 角度1：判断幂函数图象 PAGEREF _Tc16675 \h 8
\l "_Tc14155" 角度2：幂函数图象过定点问题 PAGEREF _Tc14155 \h 10
\l "_Tc26699" 高频考点四：幂函数单调性 PAGEREF _Tc26699 \h 13
\l "_Tc2063" 角度1：判断幂函数的单调性 PAGEREF _Tc2063 \h 13
\l "_Tc2281" 角度2：由幂函数单调性求参数 PAGEREF _Tc2281 \h 14
\l "_Tc15514" 角度3：由幂函数单调性解不等式 PAGEREF _Tc15514 \h 15
\l "_Tc15035" 高频考点五：幂函数的奇偶性 PAGEREF _Tc15035 \h 18
\l "_Tc232" 高频考点六：二次函数 PAGEREF _Tc232 \h 20
\l "_Tc2083" 角度1：二次函数值域问题 PAGEREF _Tc2083 \h 20
\l "_Tc21218" 角度2：求二次函数解析式 PAGEREF _Tc21218 \h 21
\l "_Tc18496" 角度3：由二次函数单调性（区间）求参数 PAGEREF _Tc18496 \h 22
\l "_Tc17024" 角度4：根据二次函数最值（值域）求参数 PAGEREF _Tc17024 \h 23
\l "_Tc29478" 角度5：动轴定范围，定轴动范围的最值问题 PAGEREF _Tc29478 \h 23
\l "_Tc14260" 第四部分：新定义题（解答题） PAGEREF _Tc14260 \h 28
第一部分：基础知识
1、幂函数
（1）幂函数定义
一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数．
（2）五种常见幂函数
（3）幂函数性质（高频考点）
幂函数，在
①当时，在单调递增；
②当时，在单调递减；
2、二次函数
形如的函数叫做二次函数.
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·天津·统考高考真题）设，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】由在R上递增，则，
由在上递增，则.
所以.
故选：D
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：幂函数的定义
角度1：求幂函数的值
典型例题
例题1．（2024下·河南·高一信阳高中校联考开学考试）已知是幂函数，则（ ）
A．3B．C．6D．
【答案】D
【分析】由幂函数的性质得出结果即可.
【详解】由题知，解得，且，解得.
故选：D
例题2．（2024上·河北承德·高一统考期末）已知幂函数的图象过点，则 .
【答案】16
【分析】由题意可求出幂函数的解析式，再代入求值，即可求得答案
【详解】设，因为幂函数的图象过点，故，
所以，
故答案为：16
角度2：求幂函数的解析式
典型例题
例题1．（2024上·安徽芜湖·高一统考期末）若幂函数的图象经过点，则 ．
【答案】
【分析】根据幂函数的定义和过点，求解解析式.
【详解】根据幂函数，则，
又由过点，所以，
故，所以.
故答案为：.
例题2．（2024上·河北保定·高一统考期末）已知幂函数的图象过点，则 .
【答案】4
【分析】利用待定系数法求得函数解析式，进一步计算即可.
【详解】设，因为，所以,
则，
故答案为：4.
角度3：由幂函数求参数
典型例题
例题1．（2024上·山东威海·高一统考期末）已知幂函数在上单调递增，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由幂函数的定义即可得解.
【详解】由题意得幂函数在上单调递增，
所以，解得或（舍）.
故选：D.
例题2．（2024上·安徽阜阳·高一阜阳市第三中学校考期末）已知幂函数的图象不经过第二象限，则（ ）
A．B．或C．或D．
【答案】D
【分析】根据幂函数的概念求出，再由函数图象不经过第二象限得出即可．
【详解】解：因为是幂函数，所以，解得或，
当时，，显然其图象不经过第二象限，满足题意；
当时，，其图象经过第二象限，不满足题意；
综上，．
故选：D．
练透核心考点
1．（2024上·河南商丘·高一校考期末）若是定义域为的幂函数，则 ．
【答案】2
【分析】由幂函数的性质求解即可.
【详解】解：因为为幂函数，
则有，解得，
又因为函数的定义域为，所以．
故答案为：2
2．（2024上·安徽淮南·高一深圳市高级中学校联考期末）若幂函数在区间上单调递减，则 .
【答案】
【分析】根据幂函数的定义求出值，再根据在上单调递减求值即可.
【详解】因为为幂函数，所以；解得或，
又因为在上递减，所以，故.
故答案为：
3．（2024下·湖北·高一湖北省汉川市第一高级中学校联考开学考试）已知幂函数在上单调递减，则 ．
【答案】
【分析】根据幂函数的定义求出值，再根据在上单调递减求得值.
【详解】因为为幂函数，所以；解得或，
又因为在上递减，所以，故．
故答案为：
4．（2024上·安徽亳州·高一亳州二中校考期末）已知幂函数的图象过点，则等于 .
【答案】2
【分析】首先求幂函数的解析式，再代入求值.
【详解】设，，得，
即，所以.
故答案为：2
高频考点二：幂函数的值域
典型例题
例题1．（2024·全国·高一假期作业）下列函数中，值域为的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的定义域、幂函数的性质、以及基本不等式可直接求得选项中各函数的值域进行判断即可.
【详解】由已知值域为，故A错误；
时，等号成立，所以的值域是，B错误；
因为定义域为， ，函数值域为，故C正确；
，，，所以，故D错误.
故选：C.
例题2．（2024·全国·高一假期作业）已知幂函数在区间上是减函数．
(1)求函数的解析式；
(2)讨论函数的奇偶性和单调性；
(3)求函数的值域．
【答案】(1)或或
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）依题意可得，求出的取值范围，再根据，即可得到，再代入求出函数解析式；
（2）根据（1）中的解析式及幂函数的性质得出结论；
（3）根据（1）中的解析式及幂函数的性质得出结论；
【详解】（1）解：依题意，即，解得，因为，所以或或，所以或或
（2）解：若定义域为，则为奇函数，且在和上单调递减；
若定义域为，则为偶函数，且在上单调递增，在上单调递减；
若定义域为，则为奇函数，且在和上单调递减；
（3）若，则为奇函数，当时，所以时，所以函数的值域为；
若，则为偶函数，当时，所以时，所以函数的值域为；
若，则为奇函数，当时，所以时，所以函数的值域为；
练透核心考点
1．（2024·全国·高三专题练习）下列函数中，定义域和值域不相同的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据一次函数、反比例函数、幂函数和分段函数的性质，逐个选项进行判断即可得到答案.
【详解】对于A：函数的定义域为，值域也为，不符合题意；
对于B：函数的定义域和值域都为，不符合题意；
对于C：的定义域和值域都为，不符合题意；
对于D：的定义域为；
当时，；当时，；
所以值域为，定义域和值域不相同，符合题意；
故选：D．
2．（2024下·河北承德·高二承德县第一中学校联考开学考试）函数的值域为 ．
【答案】/
【分析】分别求出各段函数的值域再求并集即可
【详解】当时，在上单调递减，
所以；
当时，在上单调递减，
所以；
所以函数的值域为，
故答案为：
高频考点三：幂函数图象
角度1：判断幂函数图象
典型例题
例题1．（2024·江苏·高一假期作业）函数与在同一平面直角坐标系中的图象不可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】对B选项，根据确定，二次函数开口向下，不满足，其他选项满足类幂函数和二次函数性质，得到答案.
【详解】，当时，二次函数对称轴为，
对选项A：根据确定，二次函数开口向下，对称轴在轴右边，满足；
对选项B：根据确定，二次函数开口向下，不满足；
对选项C：根据确定，二次函数开口向上，对称轴在轴左边，满足；
对选项D：取，则，，满足图像；
故选：B
例题2．（2024·全国·高三专题练习）给定一组函数解析式：
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．
如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（ ）


A．⑥③④②⑦①⑤B．⑥④②③⑦①⑤
C．⑥④③②⑦①⑤D．⑥④③②⑦⑤①
【答案】C
【分析】根据幂函数的图象的性质判断各图象对应解析式的形式，即可得答案.
【详解】图象（1）关于原点对称，为奇函数，且不过原点、第一象限递减，故满足；
图象（2）关于轴对称，为偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足；
图象（3）非奇非偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足；
图象（4）关于轴对称，为偶函数，且过原点、第一象限递增，故满足；
图象（5）关于原点对称，为奇函数，且过原点、第一象限递增，故满足；
图象（6）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递减，故满足；
图象（7）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递增，故满足；
故图象对应解析式顺序为⑥④③②⑦①⑤.
故选：C
角度2：幂函数图象过定点问题
典型例题
例题1．（2024上·上海·高一上海市吴淞中学校考期末）下列命题中正确的是（ ）
A．当时，函数的图象是一条直线
B．幂函数的图象都经过，两点
C．幂函数图象不可能在第四象限内
D．若幂函数为奇函数，则是定义域内的严格增函数
【答案】C
【分析】由幂函数的图象与性质判断即可.
【详解】对A，当时，函数的图象是一条直线除去点，所以A项不正确；
对B，幂函数的幂指数小于0时，图象不经过，所以B项不正确；
对C，幂函数的图象不可能在第四象限内，所以C项正确；
对D，当时，幂函数为奇函数，但在定义域内不是严格的增函数，所以D项不正确；
故选：C.
例题2．（2024·全国·高一专题练习）已知函数，的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中m，，则的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．4
【答案】D
【分析】求出定点A的坐标，并求出的关系，再利用基本不等式“1”的妙用求解即得.
【详解】依题意，，则，因此，
当且仅当时取等号，
所以当时，取得最小值4.
故选：D
练透核心考点
1．（2024·全国·高三专题练习）已知幂函数（且互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（ ）
A．p，q均为奇数，且
B．q为偶数，p为奇数，且
C．q为奇数，p为偶数，且
D．q为奇数，p为偶数，且
【答案】D
【分析】根据函数的单调性可判断出；根据函数的奇偶性及，互质可判断出为偶数，为奇数.
【详解】因为函数的定义域为，且在上单调递减，
所以0，
因为函数的图象关于y轴对称，
所以函数为偶函数，即p为偶数，
又p、q互质，所以q为奇数，
所以选项D正确，
故选：D.
2．（多选）（2024上·重庆北碚·高一统考期末）函数与在同一直角坐标系中的图象不可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】结合二次函数与幂函数的性质，逐一分析各选项即可得解.
【详解】因为，，
对于A，当时，，其图象开口向下，对称轴为，
，其图象关于原点对称，且在上单调递减，故A满足要求；
对于B，当开口向上时，，
此时在上单调递增，故B不满足要求；
对于C，当时，，其图象开口向上，对称轴为，
，其图象在上单调递增，且越来越缓，故C满足要求；
对于D，当开口向上时，，
此时其对称轴为，故D不满足要求.
故选：BD.
3．（多选）（2024·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象经过函数（且）的图象所过的定点，则幂函数具有的特性是（ ）
A．在定义域内单调递减B．图象过点
C．是奇函数D．定义域是
【答案】BC
【分析】求出函数的图象所过定点的坐标，代入函数的解析式，求出的值，再利用幂函数的基本性质逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】由，即，可得，
故函数（且）的图象过定点，
则，解得，则，定义域为，且为奇函数，
函数在上单调递减，在上单调递减，但在定义域内不单调递减.
因为，所以函数的图象经过点，所以选项B、C正确.
故选：BC.
高频考点四：幂函数单调性
角度1：判断幂函数的单调性
典型例题
例题1．（2023上·北京海淀·高一统考期末）下列函数中，既是奇函数，又在上单调递减的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用定义判断函数的奇偶性可对A、C判断；利用函数奇偶性的判断并结合函数单调性可对B、D判断.
【详解】对A、C：由，定义域为，所以不是奇函数，故A错误；
定义域为，，所以是偶函数，故C错误；
对B、D：，定义域为，，所以为奇函数，
当时，，且在上单调递减，故B正确；
，定义域为，且，所以为奇函数，且在定义域上为增函数，故D错误；
故选：B.
例题2．（2023上·湖南常德·高一湖南省桃源县第一中学校考期中）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】令，，利用复合函数的单调性求解.
【详解】解：由，得，即，
解得，所以 的定义域为，
令，在上递增，在上递减，又，在上递减，
所以在上递减，
所以函数的单调递减区间为，
故选：C
角度2：由幂函数单调性求参数
典型例题
例题1．（2023上·江苏镇江·高一江苏省镇江第一中学校考阶段练习）若是幂函数，且在上单调递增，则的值为（ ）
A．或 3B．1 或C．D．3
【答案】D
【分析】根据幂函数的性质即可求解.
【详解】因为是幂函数，
则，则或，
当，，不符合题意，
当，，则在区间上是单调递增函数，符合题意，则；
故选：D.
例题2．（2023上·广东佛山·高一佛山市顺德区乐从中学校考阶段练习）已知幂函数单调递减，则实数 .
【答案】
【分析】由幂函数的定义及性质列方程求解.
【详解】因为幂函数单调递减，
所以，解得.
故答案为：
角度3：由幂函数单调性解不等式
典型例题
例题1．（2023上·高一课时练习）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，求满足的a的取值范围.
【答案】
【分析】利用幂函数的性质求得，利用幂函数的单调性解不等式即可.
【详解】因为函数在上单调递减，所以，即.
又，所以或.
又函数的图象关于y轴对称，所以是偶数，所以，即.
则原不等式可化为.
因为函数在R上是增函数，所以，解得.
故实数a的取值范围是.
例题2．（2023上·广西钦州·高一校考期中）已知是幂函数.
(1)求、的值；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据幂函数的定义列出关于的方程组，由此求解出的值；
（2）分析的定义域和单调性，然后列出关于的不等式组，由此求解出结果.
【详解】（1）因为是幂函数，
所以，解得；
（2）由（1）可知，定义域为，且，
所以是上的单调递增函数，
又因为，
所以，解得，
所以的取值范围是.
练透核心考点
1．（多选）（2024·全国·模拟预测）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的减函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】由解析式直接判断函数的奇偶性与单调性即可得解.
【详解】对于A，是奇函数，在其定义域上单调递减，故A正确；
对于B，是在其定义域上单调递增的指数函数，故B错误；
对于C，，故在其定义域上不单调递减，故C错误；
对于D，是奇函数，在其定义域上单调递减，故D错误.
故选：AD.
2．（2023上·河北沧州·高一统考期中）若幂函数在上单调递增，则实数 .
【答案】6
【分析】根据幂函数定义及性质求解即可.
【详解】由函数为幂函数可知，，
解得或，
因为幂函数在上单调递增，
所以，即，
所以.
故答案为：6
3．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数在上是增函数.
(1)求的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用幂函数的定义与单调性可得出关于实数的等式与不等式，解出的值，即可得出函数的解析式；
（2）分析函数的定义域与单调性，根据可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】（1）因为函数为幂函数，则，
即，即，解得或，
又因为函数在上是增函数，则，解得，
所以，，故.
（2）由（1）可知，，该函数的定义域为，
对任意的，，则函数为上的奇函数，
因为函数在上为增函数，则该函数在上也为增函数，
所以，函数在上为增函数，
由可得，解得，
因此，实数的取值范围是.
4．（2023上·湖南长沙·高一长沙一中校考期中）已知幂函数在定义域内单调递增．
(1)求的解析式；
(2)求关于x的不等式的解集．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）取，再验证单调性得到答案.
（2）根据函数的单调性和定义域得到不等式，解得答案.
【详解】（1）幂函数在定义域内单调递增，
故，解得或，
当时，在上单调递减，在上单调递增，不满足；
当时，在上单调递增，满足；
故.
（2）在上单调递增，，
故，解得或，即.
高频考点五：幂函数的奇偶性
典型例题
例题1．（2024·全国·高一假期作业）“幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】要使函数是幂函数，且在上为增函数，求出，可得函数为奇函数，即充分性成立；函数为奇函数，求出，故必要性不成立，可得答案.
【详解】要使函数是幂函数，且在上为增函数，
则，解得：，当时，，，
则，所以函数为奇函数，即充分性成立；
“函数为奇函数”，
则，即，
解得：，故必要性不成立，
故选：A．
例题2．（2024上·上海虹口·高一统考期末）设，若幂函数的图像关于轴对称，且在区间上是严格增函数，则实数 ．
【答案】
【分析】利用幂函数的性质来解答即可.
【详解】，
若幂函数的图像关于轴对称，则，
又幂函数在区间上是严格增函数，则.
故答案为：.
练透核心考点
1．（多选）（2024上·广东深圳·高一统考期末）已知函数为幂函数，则下列结论正确的为（ ）
A．B．为偶函数
C．为单调递增函数D．的值域为
【答案】AC
【分析】根据幂函数的性质可得，进而可得，由幂函数的性质即可结合选项逐一求解.
【详解】由为幂函数可得，解得，
所以，故A正确，C正确；
由于，故为奇函数，故B错误；
的值域为，D错误，
故选：AC.
2．（2024上·福建南平·高一统考期末）已知幂函数．若是奇函数，则的值为 ．
【答案】3
【分析】由幂函数的定义结合奇函数的定义即可求解.
【详解】由题意，解得或，又是奇函数，
当时，不满足题意；当时，满足题意.
故答案为：3.
高频考点六：二次函数
角度1：二次函数值域问题
典型例题
例题1．（2024上·江西·高一校联考期末）已知函数，则在区间的值域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由二次函数的单调性计算即可得.
【详解】，
则在上单调递减，在单调递增，
又，，，
故在区间的值域为.
故选：C.
例题2．（2024上·河南新乡·高一统考期末）已知函数满足，且的图象经过点.
(1)求的解析式；
(2)求函数在上的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用指数和对数的互化公式，代入点的坐标即可求解；
（2）利用换元法直接求解函数值域即可.
【详解】（1）因为，所以.
又因为的图象经过点，所以，
解得，
故的解析式为.
（2）当时，，令，
则，
函数在上单调递减，在上单调递增，
则当时，取得最小值，
又，
所以的值域为.
角度2：求二次函数解析式
典型例题
例题1．（2024·全国·高三专题练习）已知二次函数的图象过点，且最小值为．
(1)求函数的解析式；
【答案】(1)
(2)1或3
【分析】（1）先根据题意设出二次函数的两点式形式，再由条件得到其顶点坐标，代入即可得解；
（2）根据二次函数的图象性质，分类讨论、与三种情况下在的单调情况，从而得到关于的方程，解之即可.
【详解】（1）由题意设函数的解析式为，
由已知可得二次函数的顶点坐标为，
代入得，解得，
所以二次函数解析式为，即．
例题2．（2024上·青海西宁·高一统考期末）设，已知函数过点，且函数的对称轴为.
(1)求函数的表达式；
(2)若，函数的最大值为，最小值为，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】根据函数过点及二次函数的对称轴，得到方程组，解得、即可求出函数解析式；
（2）将函数配成顶点式，即可得到函数的单调性，从而求出函数的最值.
【详解】（1）解：依题意，解得，所以；
（2）解：由（1）可得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
所以，，
即、，所以.
角度3：由二次函数单调性（区间）求参数
典型例题
例题1．（2024下·云南红河·高一蒙自一中校考开学考试）已知二次函数在区间内是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据二次函数的性质求解.
【详解】二次函数 的对称轴为，
欲使得时是单调的，
则对称轴必须在 区间之外，
即 或者.
故选：A.
例题2．（2024上·四川宜宾·高一统考期末）已知幂函数为偶函数，若函数在区间上为单调函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】幂函数为偶函数，解得，函数在区间上为单调函数，利用二次函数的性质，列不等式求实数a的取值范围.
【详解】为幂函数，则，解得或，
时，；时，.
为偶函数，则.
函数在区间上为单调函数，
则或，解得或，
所以实数a的取值范围为.
故选：D.
角度4：根据二次函数最值（值域）求参数
典型例题
例题1．（2024上·广东中山·高一统考期末）已知函数在上的值域是，则的最大值是（ ）
A．3B．6C．4D．8
【答案】B
【分析】根据二次函数图像特点，要使得区间长度最大，则对称轴两边（能取到对称轴的前提下）距离越大，区间长度越大
【详解】，
因为值域为，所以要取到最小值1，必须取到对称轴，
又对称轴两边距离越大，则区间长度越大，
令，得或，
所以当时，
故选：B
例题2．（2024上·江西九江·高一江西省庐山市第一中学校考期末）设二次函数的值域是，则的最小值是 .
【答案】2
【分析】由二次函数值域确定参数关系，结合基本不等式即可求解.
【详解】根据题意知，，，即，
所以，当且仅当即时等号成立.
所以的最小值是2.
故答案为：2.
角度5：动轴定范围，定轴动范围的最值问题
典型例题
例题1．（2023上·北京·高一北京市第十二中学校考期中）已知函数.
(1)若对任意，都有，则的解析式；
(2)若函数在区间上不单调，求实数的取值范围；
(3)若，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据条件列出等量关系，由此求解出的值，则解析式可知；
（2）根据区间与对称轴的关系列出不等式，由此求解出的取值范围；
（3）分析对称轴与区间的关系，结合二次函数的单调性求解出.
【详解】（1）因为，
所以，
化简得，且不恒为，
所以，所以，
所以；
（2）因为的对称轴为，又在区间上不单调，
所以，所以，
所以的取值范围为；
（3）的对称轴为，
当时，即时，在上单调递增，所以；
当时，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以；
当时，即时，在上单调递减，所以，
综上可知，.
例题2．（2023上·广东惠州·高一校考阶段练习）已知二次函数，，.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在区间的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可设，结合进而可得的解析式；
（2），对称轴为，分情况讨论对称轴和区间的关系即可求解.
【详解】（1）由已知函数是二次函数，且，
∴函数图象的对称轴为，
又，设，
又，∴．
∴；
（2）由（1）知，图象的对称轴为，开口朝下，
若，则在上是减函数，最大值；
若，即，则在上是增函数，；
若，即，则；
综上所述，当时，；
当时，；
当时，．
练透核心考点
1．（2024·全国·高一专题练习）已知函数在上具有单调性，则k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由二次函数对称轴及单调性列出不等式来求解即可.
【详解】易知的对称轴为直线，因为在上具有单调性，所以或，解得或．
故选:C
2．（2024上·山东日照·高一统考期末）已知幂函数为偶函数．
(1)求的解析式；
(2)若在上是单调函数，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据函数为幂函数得，从而求出代入解析式检验，进而可求出的解析式；
（2）求出的对称轴，然后由在上是单调函数，得或，从而可求出实数的取值范围.
【详解】（1）由题意，解得或3，
若是偶函数，代入检验可得，故；
（2），对称轴是，
若在上是单调函数，则或，解得或．
所以实数的取值范围为或．
3．（2024·全国·高一专题练习）已知函数．
(1)当时，求的值域；
(2)若的最大值为9，求a的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据二次函数、指数函数单调性求复合函数的值域；
（2）令，由指数函数单调性得，结合二次函数性质列方程求参数.
【详解】（1）由题设，若，则，
在上递减，在上递增，则，
在定义域上递增，则，
所以的值域为.
（2）令，则，
又在定义域上递增，而的最大值为9，即，
则开口向下且对称轴为，，
所以.
4．（2024上·江西·高一校联考期末）已知是二次函数，且，.
(1)求的解析式；
(2)求在区间上的最大值.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）设，由，求得，再由，列出方程组，求得，即可求得函数的解析式；
（2）由（1）知，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：根据题意，设，
因为，可得，即，
又由，
且，
又因为，即，
所以，
当区间在对称轴左侧时，即时，，
解得或（舍去）
当区间在对称轴右侧时，即时，，
解得或（舍去），
当对称轴在区间内时，即时，，不符合题意，
综上所述，或
第四部分：新定义题（解答题）
1．（2024上·湖北·高一校联考期末）对于函数，若的图象上存在关于原点对称的点，则称为定义域上的“G函数”．
(1)试判断，（）是否为“G函数”，简要说明理由；
(2)若是定义在区间上的“G函数”，求实数m的取值范围；
(3)试讨论在上是否为“G函数”？并说明理由．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）由可判断；
（2）由题意，得，即在有解，分离参数可得m的取值范围；
（3）若为“G函数”，则在定义域上有解，令，则，，在有解，再分类讨论即可得出结果.
【详解】（1）∵，
∴，
∴是“G函数”．
（2）∵为“G函数”，故存在，
使，
∴，
即在有解．
∵，
∴．
又∵在恒成立，
∴．
∴
（3）当为定义域上
的“G函数”时，则在定义域上有解，
可化为在定义域上有解，
令，则，，
从而在有解，即可保证为“G函数”，
令，则的图象是开口向上的抛物线，
对称轴为．则
①当即时，
解得所以
②当，即时，
解得，所以，
综上，当时，
为定义域上的“G函数”，否则不是．
【点睛】思路点睛：根据题目新定义转化为存在定义域内的，使得，进而判断方程是否有解.
函数
图象
性质
定义域
值域
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在上单调递增
在上单调递减；在上单调递增
在上单调递增
在上单调递增
在和上单调递减
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