2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第05讲指数与指数函数(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)

这是一份2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第05讲指数与指数函数(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)，共15页。试卷主要包含了 ，已知，求下列各式的值，在上的最大值与最小值之差为，若满足以下条件，若函数满足等内容，欢迎下载使用。

7．（2024上·江苏无锡·高一江苏省天一中学校考期末）已知函数为上的奇函数，当时，，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
8．（2024上·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考期中）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2024上·河南漯河·高一漯河高中校考阶段练习）已知，下列各式中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2024上·黑龙江牡丹江·高一牡丹江市第二高级中学校考期末）已知，则的值可以为（ ）
A．2B．4C．6D．8
三、填空题
11．（2024上·江西·高二校联考期末） ．
12．（2024上·山西长治·高一校联考期末）已知函数，则不等式的解集为 ．
四、解答题
13．（2024上·湖南娄底·高一校考期末）已知，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
14．（2024下·吉林长春·高一长春外国语学校校考开学考试）已知函数（且）在上的最大值与最小值之差为
(1)求实数的值；
(2)若，当时，解不等式．
B能力提升
1．（2024·四川·校联考一模）函数的图象大致是（ ）．
A． B．
C． D．
2．（2024上·四川宜宾·高一统考期末）函数的图象恒过定点，且点的坐标满足方程，其中，，则的最小值为（ ）
A．7B．6C．D．
3．（2024上·陕西西安·高三统考期末）已知函数，若，则（ ）
A．B．1C．-5D．5
4．（2024下·河南·高一校联考开学考试）已知函数满足，当时，，且，则当时，不等式的解集为 .
5．（2024上·重庆·高一重庆市青木关中学校校考期末）若满足以下条件：①；②的图象关于对称；③对于不相等的两个正实数，有成立，则的解析式可能为 .
C综合素养
6．（2024上·广东茂名·高一统考期末）若函数满足：对于任意正数m，n，都有，且，则称函数为“速增函数”．
(1)试判断函数与是否为“速增函数”；
(2)若函数为“速增函数”，求a的取值范围．
7．（2024上·山东临沂·高一山东省临沂第一中学期末）临沂一中校本部19、20班数学小组在探究函数的性质时，发现通过函数的单调性、奇偶性和周期性，还无法准确地描述出函数的图象，例如函数和，虽然它们都是增函数，但是图像上却有很大的差异. 通过观察图像和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概念. 已知定义：设连续函数f（x）的定义域为，如果对于内任意两数，都有，则称为上的凹函数；若，则为凸函数. 对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小组成员又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若f（x）是区间上的凹函数，则对任意的,有不等式恒成立（当且仅当时等号成立）. 小组成员通过询问数学竞赛的同学对他们研究的建议，得到了如下评注：在运用琴生不等式求多元最值问题，关键是构造函数.小组成员选择了反比例型函数和对数函数，研究函数的凹凸性.
(1)设，求W=的最小值.
(2)设为大于或等于1的实数，证明（提示：可设）
(3)若a>1，且当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
第05讲 指数与指数函数 (分层精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养(新定义解答题）
A夯实基础
一、单选题
1．（2024下·全国·高一开学考试）下列运算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】AB选项，根据指数运算法则计算出答案；CD选项，根据指数运算和对数运算法则进行计算.
【详解】A选项，，A正确；
B选项，，B错误；
C选项，，C错误；
D选项，，D错误.
故选：A
2．（2024上·江西景德镇·高一统考期末）当且时，函数恒过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由指数函数的性质即可求解.
【详解】当时，，与无关，
则函数恒过定点．
故选：B.
3．（2024上·广东茂名·高一统考期末）若，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】利用根式与分数指数幂的互化与运算法则即可得解.
【详解】因为，则，
所以.
故选：C.
4．（2024下·山东济南·高三济南一中校联考开学考试）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先判断函数的奇偶性，再根据特殊值即可得到选项.
【详解】由函数，，令，解得，
则其定义域为，关于原点对称，
所以函数在定义内为偶函数，排除C，D选项，因为，观察选项可知，选A.
故选：A
5．（2024下·江苏南通·高三海安高级中学校考开学考试）设．若函数为指数函数，且，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．且
【答案】A
【分析】借助指数函数性质分类讨论即可得.
【详解】由函数为指数函数，故且，
当时，函数单调递增，有，不符合题意，故舍去；
当时，函数单调递减，有，符合题意，故正确.
故选：A.
6．（2024下·安徽芜湖·高二安徽师范大学附属中学校考阶段练习）已知且 ，若函数在上单调递增，则实数 的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】若满足条件，则每一段上都为增函数，且在分界点处的函数值前一段的函数值不大于后一段的函数值，求解即可.
【详解】函数在上单调递增，
，，
实数的取值范围为，
故选：D.
7．（2024上·江苏无锡·高一江苏省天一中学校考期末）已知函数为上的奇函数，当时，，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先由奇偶性求出的解析式，再由指数函数单调性求解不等式得解.
【详解】函数为上的奇函数，当时，，
则当时，，有，显然，
不等式转化或，解得或，
所以不等式的解集为.
故选：C
8．（2024上·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考期中）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】探讨函数的奇偶性、单调性，再利用性质求解不等式即得.
【详解】函数的定义域为R，，
即函数是R上的偶函数，当时，，
函数在上单调递增，则在上单调递减，
在上单调递增，又在上单调递增，
因此在上单调递增，而不等式，
于是，两边平方得，解得，
所以所求不等式的解集为.
故选：B
二、多选题
9．（2024上·河南漯河·高一漯河高中校考阶段练习）已知，下列各式中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABCD
【分析】利用完全平方，立方和展开式，指数运算计算得出结果.
【详解】A：，故A正确；
B：，故B正确；
C：，故C正确；
D：，故D正确；
故选：ABCD.
10．（2024上·黑龙江牡丹江·高一牡丹江市第二高级中学校考期末）已知，则的值可以为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】CD
【分析】先由等式得到，再应用基本不等式求得的范围，结合选项判断即可.
【详解】由得：，解得，即，
由于，，当且仅当（即）时取得等号.
故选：CD.
三、填空题
11．（2024上·江西·高二校联考期末） ．
【答案】112
【分析】根据完全平方式的特征即可求解.
【详解】,
故答案为：112
12．（2024上·山西长治·高一校联考期末）已知函数，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】根据函数的单调性化简不等式，由此求得不等式的解集.
【详解】在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
则由得，解得，即不等式的解集为．
故答案为：
四、解答题
13．（2024上·湖南娄底·高一校考期末）已知，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)7
(2)
【分析】（1）由完全平方公式以及分数指数幂的运算即可得解.
（2）由完全平方公式、立方和公式以及分数指数幂的运算即可得解.
【详解】（1）由题意，所以.
（2）由题意，
所以.
14．（2024下·吉林长春·高一长春外国语学校校考开学考试）已知函数（且）在上的最大值与最小值之差为
(1)求实数的值；
(2)若，当时，解不等式．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据函数的单调性，求函数的最值，结合条件，即可求解；
（2）首先求函数的解析式，再根据函数的性质，化解不等式，即可求解.
【详解】（1）当时，，，
则，解得
当时，，，
则，解得
综上得：或
（2）当时，由（1）知，
为奇函数且在上是增函数，
∴ 即，
，得或，
所以，不等式的解集为.
B能力提升
1．（2024·四川·校联考一模）函数的图象大致是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，得到函数为偶函数，排除C，D，再结合，利用的函数值的符号，即可求解.
【详解】由函数，可得其定义域为，关于原点对称，
且，
可知为偶函数，其函数的图象关于轴对称，可排除C，D；
当时，可得，
若时，，则；
若时，可得，则，此时B不符题意.
故选：A
2．（2024上·四川宜宾·高一统考期末）函数的图象恒过定点，且点的坐标满足方程，其中，，则的最小值为（ ）
A．7B．6C．D．
【答案】C
【分析】先利用必过定点确定的坐标，后利用基本不等式‘1’的代换处理即可.
【详解】在中，当时，，故，
将代入直线方程中，化简得，
故，
当且仅当‘’时取等，即的最小值为.
故选：C
3．（2024上·陕西西安·高三统考期末）已知函数，若，则（ ）
A．B．1C．-5D．5
【答案】A
【分析】构造函数，证明其为偶函数，据此可得解.
【详解】设，
则，
所以，即，
所以.
因为，所以.
故选：A
4．（2024下·河南·高一校联考开学考试）已知函数满足，当时，，且，则当时，不等式的解集为 .
【答案】
【分析】首先确定函数的周期，再利用周期，求和的解析式，再解不等式.
【详解】由知，函数是周期函数，周期为4，
，得，
所以当时，，
设， ,
则，得，即，
当， ，
则，得，即，
综上可知不等式的解集为.
故答案为：
5．（2024上·重庆·高一重庆市青木关中学校校考期末）若满足以下条件：①；②的图象关于对称；③对于不相等的两个正实数，有成立，则的解析式可能为 .
【答案】(答案不唯一)
【分析】由指数函数的性质，图象关于对称，和对于不相等的两个正实数，有成立共同得出即可.
【详解】设，
因为，故满足①；
图象为：
故满足②；
设，则，由指数函数的性质可知，故，所以满足③；当，则，由指数函数的性质可知，故，也满足③.
故答案为：(答案不唯一).
C综合素养
6．（2024上·广东茂名·高一统考期末）若函数满足：对于任意正数m，n，都有，且，则称函数为“速增函数”．
(1)试判断函数与是否为“速增函数”；
(2)若函数为“速增函数”，求a的取值范围．
【答案】(1)是“速增函数”，不是“速增函数”
，
所以，
又因为当时，，
所以，
由对一切正数恒成立，可得，即．
综上可知，a的取值范围是．
7．（2024上·山东临沂·高一山东省临沂第一中学期末）临沂一中校本部19、20班数学小组在探究函数的性质时，发现通过函数的单调性、奇偶性和周期性，还无法准确地描述出函数的图象，例如函数和，虽然它们都是增函数，但是图像上却有很大的差异. 通过观察图像和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概念. 已知定义：设连续函数f（x）的定义域为，如果对于内任意两数，都有，则称为上的凹函数；若，则为凸函数. 对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小组成员又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若f（x）是区间上的凹函数，则对任意的,有不等式恒成立（当且仅当时等号成立）. 小组成员通过询问数学竞赛的同学对他们研究的建议，得到了如下评注：在运用琴生不等式求多元最值问题，关键是构造函数.小组成员选择了反比例型函数和对数函数，研究函数的凹凸性.
(1)设，求W=的最小值.
(2)设为大于或等于1的实数，证明（提示：可设）
(3)若a>1，且当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)．
【分析】（1）先证明在为凹函数，再利用琴生不等式求解；
（2）证明在为凹函数再结合琴生不等式得证；
（3）分离参数，求函数最值得解.
【详解】（1）记函数，首先证明其凹凸性：
,则
所以在为凹函数.
由琴生不等式，得，
即
所以，当时，W的最小值为.
（2）设,因为故
要证只需证
由琴生不等式，只需证在为凹函数.
设，
下证，即证，
即证,
化简得.
即证
式显然成立，所以成立，在为凹函数，则得证.
（3）当时，不等式恒成立，即，因为,即恒成立，
可得在时恒成立．
因为，所以，，所以．
由，及，可得，所以．
故．
【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质应用，解决问题关键是将凹凸性和琴生不等式联系起来.