2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第十一讲第五章平面向量及解三角形章节验收测评卷(19题新题型)(学生版+解析)

这是一份2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第十一讲第五章平面向量及解三角形章节验收测评卷(19题新题型)(学生版+解析)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．B．，都是单位向量，则
C．若，则D．零向量方向任意
2．（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知均为平面单位向量，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高一下·浙江·阶段练习）已知的重心为O，若向量，则（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高一下·重庆·阶段练习）碧津塔是著名景点·某同学为了浏量碧津塔的高，他在山下A处测得塔尖D的仰角为，再沿方向前进24.4米到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为，塔底点E的仰角为，那么碧津塔高约为（，）（ ）
A．37.54B．38.23C．39.53D．40.52
6．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）如图，已知圆O的半径为2，弦长为圆O上一动点，则的取值范围为（ ）
11．（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）如图所示，在直角三角形中，是上一点，，，则下列说法中正确的有（ ）
A．B．
C．D．三角形的面积
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2024·全国·模拟预测）已知向量满足，向量在向量方向上的投影为，则实数的值为 ．
13．（23-24高一下·云南·阶段练习）在中，为上一点，为的平分线，则 ．
14．（23-24高一下·山东枣庄·阶段练习）如图，圆是的外接圆，，，，若，则的最大值是 ．
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，，，，且.
(1)求的值；
(2)求向量与向量夹角的余弦值.
16．（2024·安徽阜阳·一模）在中，角的对边分别是，且．
(1)求角的大小；
(2)若，且，求的面积．
17．（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）如图，在梯形中，，，，点分别为线段，上的三等分点，点是线段上的一点.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)直线分别交线段于M，N两点，若B，N，D三点在同一直线上，求的值.
18．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）约会“哈尔滨”，松花江北岸一方缤纷的冰雪童话世界永藏记忆.龙年春节初六24时，随着最后一名“小金豆”从超级大滑梯上滑下后走出大门，华丽缤纷的哈尔滨冰雪大世界正式闭园.游客从A处上至大滑梯顶端C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿电梯到B，然后从B沿直线步行到C，现有甲、乙两位游客从A处出发，甲沿匀速步行，速度为.在甲出发后，乙从A乘电梯到B，在B处停留后，再匀速步行到C，假设电梯匀速直线运动的速度为，长为，经测量得，.
(1)求的长；
(2)当乙在电梯上与甲的距离最短时，乙出发了多少min?
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过，问乙步行的速度应控制在什么范围内?
19．（23-24高一下·重庆·阶段练习）将所有平面向量组成的集合记作，f是从到的映射，记作或，其中，，，，，都是实数．定义映射的模为：在的条件下的最大值，记作．若存在非零向量，及实数使得，则称为的一个特征值．
(1)若，求；
(2)若，计算的特征值并求出相应的；（若符合条件的向量有多个，写出其中一个即可）
(3)若，要使有唯一的特征值，实数，，，应满足什么条件？试找出一个映射，满足以下两个条件：①有唯一的特征值；②，并验证满足这两个条件．
第12讲 第五章 平面向量及解三角形 章节验收测评卷
（19题新题型）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．B．，都是单位向量，则
C．若，则D．零向量方向任意
【答案】C
【分析】根据向量的相关定义即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A，，A正确，
对于B, ，是单位向量，则，B正确，
对于C，向量有大小和方向，不可以比较大小，故C错误，
对于D，零向量是模长为0，方向任意的向量，D正确，
故选：C
2．（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由正弦定理解三角形.
【详解】中，由正弦定理，
得.
故选：A.
3．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知均为平面单位向量，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将已知等式两边同时平方，得到，再由数量积公式得到，从而得到答案.
【详解】两边同时平方得，则，
解得，即，
故选：B．
4．（23-24高一下·浙江·阶段练习）已知的重心为O，若向量，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据三角形的重心性质，将表示为，对照系数即可求得.
【详解】

如图，设E是的中点，由于O是三角形的重心，
所以．
则.
故选:D．
5．（23-24高一下·重庆·阶段练习）碧津塔是著名景点·某同学为了浏量碧津塔的高，他在山下A处测得塔尖D的仰角为，再沿方向前进24.4米到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为，塔底点E的仰角为，那么碧津塔高约为（，）（ ）
A．37.54B．38.23C．39.53D．40.52
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出，再结合直角三角形边角关系求解即得.
【详解】在中，，则，，
由正弦定理得，则，
在中，，则，
在中，，则，又，
因此，，
所以碧津塔高约为38.23米.
故选：B
6．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）如图，已知圆O的半径为2，弦长为圆O上一动点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据数量积的运算律得到，过点作的垂线，垂足为，则，结合图形分析临界情况，即可得解.
【详解】依题意，，
过点作的垂线，垂足为，则，
当与圆相切时取到最大值与最小值，如图，
根据对称性，以下对左侧图形进行分析，
因为圆的半径为，弦长，所以为等边三角形，所以，
连接，则，此时四边形为平行四边形，
则，所以也为等边三角形，所以，，
所以，此时，
当点在右侧图形所示位置，同理可得，所以，
所以．
故选：D
7．（23-24高一下·重庆·阶段练习）在中，，，则的形状为（ ）
A．直角三角形B．三边均不相等的三角形
C．等边三角形D．等腰（非等边）三角形
【答案】D
【分析】结合条件利用数量积的运算律得，再根据数量积的定义求得，即可判断三角形的形状.
【详解】因为，所以，所以，
所以，所以，即，
又，所以，所以，
所以为等腰非等边三角形.
故选：D
8．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用余弦定理求出，再由同角三角函数的基本关系求出，即可求出，最后由，利用两角和的正切公式计算可得.
【详解】因为，即，
由余弦定理得，
又，所以，
又，，所以，
则，
所以
.
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（23-24高一下·甘肃金昌·阶段练习）在中，角的对边分别为，则下列对的个数的判断正确的是（ ）
A．当时，有两解
B．当时，有一解
C．当时，无解
D．当时，有两解
【答案】AC
【分析】由正弦定理对四个选项一一判断，得到答案.
【详解】对于A，由正弦定理得，即，所以，
又因为，所以或，有两解，故A正确；
对于B，由正弦定理得，无解，故B错误；
对于C，由正弦定理得，无解，故C正确；
对于D，由正弦定理得，
又，所以为锐角，此三角形只有一解，故D错误.
故选：AC.
10．（2024高一下·全国·专题练习）已知向量，则下列说法正确的是（ ）
A．的相反向量是
B．若，则
C．在上的投影向量为
D．若，则
【答案】AC
【分析】根据相反向量定义以及投影向量的公式计算可以判断AC，计算，由向量垂直以及向量共线的运算法则计算可求出的值，从而判断BD.
【详解】对于A，由相反向量的定义，即可得到的相反向量是，故A正确；
对于B，因为，所以，
又，且，所以，解得，故B错误；
对于C，因为，所以，，
所以在上的投影向量为，故C正确；
对于D，因为，又，且，
所以，解得，故D错误．
故选：AC.
11．（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）如图所示，在直角三角形中，是上一点，，，则下列说法中正确的有（ ）
A．B．
C．D．三角形的面积
【答案】ACD
【分析】对于A，设表示出，利用，在三角形中，正弦定理求出的值，进而判断A；对于B，根据，即可判断B；由，判断C；利用，判断D.
【详解】设，则在直角三角形中，，
在三角形中，，
根据正弦定理可得，即，
得
，
所以，
因为，即，
所以，即，
所以，
对于A选项，，故A正确；
对于B选项，因为，所以，所以，故B错误；
对于C选项，因为，，所以由正弦定理得
，所以，故C正确；
对于D选项，因为，所以，
所以，
，故D正确，
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2024·全国·模拟预测）已知向量满足，向量在向量方向上的投影为，则实数的值为 ．
【答案】/
【分析】由向量在向量方向上的投影为以及，计算的值，代入中，可求出的值.
【详解】由题知，，，，．
故答案为：
13．（23-24高一下·云南·阶段练习）在中，为上一点，为的平分线，则 ．
【答案】
【分析】由余弦定理计算的长，依据三角形面积结合三角形面积公式可求出.
【详解】由余弦定理可得，而，
所以，整理可得：，
解得或（舍），
为的平分线，所以，
因为，
而
，
所以，
解得．
故答案为：
14．（23-24高一下·山东枣庄·阶段练习）如图，圆是的外接圆，，，，若，则的最大值是 ．
【答案】
【分析】分别取的中点，连接，易得，，再根据，，分别求出，，从而可求出，再利用基本不等式即可得解.
【详解】如图，分别取的中点，连接，
则，
故，
，
又，
，
所以，解得，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：先根据数量积的定义分别求出，，再根据，，分别求出，，求出，是解决本题的关键.
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，，，，且.
(1)求的值；
(2)求向量与向量夹角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意求出的坐标，由向量平行的判断方法可得关于的方程，即可得到结果；
（2）设与的夹角为，由向量夹角公式计算即可得到结果.
【详解】（1）因为，，，，
则，
因为，则有，解得.
（2）可知，，
设与的夹角为，
则，
所以，向量与向量夹角的余弦值为.
16．（2024·安徽阜阳·一模）在中，角的对边分别是，且．
(1)求角的大小；
(2)若，且，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由正弦定理边化角，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由余弦定理结合三角形的面积公式代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）因为，
所以根据正弦定理得，
因为，
所以，
即，
即．
因为，所以．
因为，所以．
（2）．
因为，所以①．
因为，
所以②．
联立①②可得，解得（负根舍去），
故的面积为．
17．（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）如图，在梯形中，，，，点分别为线段，上的三等分点，点是线段上的一点.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)直线分别交线段于M，N两点，若B，N，D三点在同一直线上，求的值.
【答案】(1)16
(2)
(3)
【分析】（1）根据向量的线性运算，结合模长公式即可求解，
（2）根据模长公式即可求解，
（3）根据三点共线共线即可求解.
【详解】（1）设，，
，
，即．
（2），
．
（3）连接三点共线，，
为的中点，
．
(3)到之间（含端点值）
【分析】（1）利用和余弦差公式求出每个角的正弦和余弦值，然后通过正弦定理即可求出的长；
（2）设从乙开始出发经过了分钟后，甲乙两人分别在点处，即可得到米，米，然后使用余弦定理即可将表示为关于的函数，再研究该函数的最小值点即可；
（3）设乙步行时每分钟走米，然后分别计算出甲乙两人到点时的取值，由条件知甲乙两人到点时的取值之差的绝对值不超过，从而得到关于的不等式. 最后解该不等式即可得到所求范围.
【详解】（1）我们记，，，根据条件有，，.
这意味着，，从而，故.
所以由正弦定理有.
（2）设从乙开始出发经过了分钟后，甲乙两人分别在点处，则米，米.
同时，乙在电梯上的时间段对应，即.
由余弦定理知：
，
当且仅当时等号成立.
所以当时最短，从而当乙在电梯上与甲的距离最短时，乙出发了.
（3）首先由正弦定理有.
当甲到达点时，有，即.
设乙步行时每分钟走米，由于当乙刚刚乘坐电梯到达点时有，
故乙从点出发时有.
所以当乙到达点时，有，即.
根据题目条件，两个人到达的时间之差不超过，这就意味着.
即，根据绝对值的定义知这等价于，即.
从而，即.
所以乙步行的速度应控制在到之间（含端点值）.
19．（23-24高一下·重庆·阶段练习）将所有平面向量组成的集合记作，f是从到的映射，记作或，其中，，，，，都是实数．定义映射的模为：在的条件下的最大值，记作．若存在非零向量，及实数使得，则称为的一个特征值．
(1)若，求；
(2)若，计算的特征值并求出相应的；（若符合条件的向量有多个，写出其中一个即可）
(3)若，要使有唯一的特征值，实数，，，应满足什么条件？试找出一个映射，满足以下两个条件：①有唯一的特征值；②，并验证满足这两个条件．
【答案】(1)
(2)特征值为，（写出一个符合条件的即可）
(3)，映射见解析
【分析】（1）由定义可得，利用，可得，从而得出结论；
（2）由特征值的定义可得：，由此可求的特征值以及相应的；
（3）解方程组可得从而可得，，，应满足的条件.
【详解】（1）
当时最大为1，即.
（2）由得，
即，∴，
当特征值时，；当特征值时，
（写出一个符合条件的即可）
（3），∴
∴
所以
∴
所以，要使f有唯一的特征值，则
当，时，
此时，f有唯一的特征值
且由于，所以：
【点睛】关键点点睛：问题的关键是把问题转化成为两个向量相等，那么这两个向量的横坐标、纵坐标分别相等.