初中数学1.2.4 绝对值同步训练题

这是一份初中数学1.2.4 绝对值同步训练题，共26页。试卷主要包含了 不重；， 按同一标准划分；， 逐级分类，5；等内容，欢迎下载使用。

数形结合思想：所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合。
分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则：
1. 不重（互斥性）不漏（完备性）；
2. 按同一标准划分（同一性）；
3. 逐级分类（逐级性）。
知识点总结
一、绝对值
1．定义：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作a．
2．性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
3．化简：①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么．
4．非负性：根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若a+b=0，则a=0且b=0．
典例分析

【典例1】请利用绝对值的性质，解决下面问题：
（1）已知a，b是有理数，当a>0时，则aa= ；当b<0时，则bb= ；
（2）已知a，b，c是有理数，a+b+c=0，abc<0，求b+ca+a+cb+a+bc的值；
（3）已知a，b，c是有理数，当abc≠0时，求aa+bb+cc的值．
【思路点拨】
本题考查了绝对值的意义、分类讨论的思想方法：
（1）直接根据绝对值的性质求解即可；
（2）a+b+c=0，abc<0可知三个数中必需有两个正数，一个负数，可设a>0，b>0，c<0解答；
（3）分a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数四种情况讨论即可．
【解题过程】
（1）解：∵a>0，a=a,
∴a|a|=aa=1；
∵b<0，
∴b=−b,
∴b|b|=b−b=−1．
故答案为：1，−1；
（2）解：∵a+b+c=0，abc<0，
∴三个数中必需有两个正数，一个负数，可设a>0，b>0，c<0
∴a=−(b+c)，b=−(a+c)，c=−(a+b)，
∴原式=−aa+−bb+−c−c=−1−1+1=−1；
（3）解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数．
①当a，b，c都是正数，即a>0，b>0，c>0时，
则：aa+bb+cc=aa+bb+cc=1+1+1=3；
②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设a>0，b<0，c<0，
则：aa+bb+cc=aa+−bb+−cc=1+−1+−1=−1；
③当a，b，c有两个为正数，一个为负数时，设a>0，b>0，c<0，
则：aa+bb+cc
=1+1−1
=1；
④当a，b，c三个数都为负数时，
则：aa+bb+cc
=−1−1−1
=−3；
综上所述：aa+bb+cc的值为3或−3或1或−1．
学霸必刷
1．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）p、q、r、s在数轴上的位置如图所示，若p−r=10，p−s=12，q−s=9，则q−r等于 （ ）
A．7B．9C．11D．13
2．（23-24七年级上·福建莆田·阶段练习）已知a与4互为相反数，b的绝对值是最小的正整数，已知m+a+b−n=0，则m+n的值为（ ）
A．3B．4C．5或-5D．3或5
3．（2024七年级·全国·竞赛）使a+3=a+3成立的条件是（ ）．
A．a为任意数B．a≠0C．a≤0D．a≥0
4．（23-24七年级上·江西抚州·期末）适合|a+5|+|a−3|=8的整数a的值有（ ）
A．5个B．7个C．8个D．9个
5．（2024七年级上·江苏·专题练习）若a、b、c均为整数，且|a−b|+|c−a|=1，则|a−c|+|c−b|+|b−a|的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．（22-23七年级上·重庆江北·阶段练习）已知有理数a，c，若a−2=18，且3a−c=c，则所有满足条件的数c的和是（ ）
A．﹣6B．2C．8D．9
7．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）在多项式x−y−z−m−n（其中x>y>z>m>n）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作” 例如x−y−|z−m|−n=x−y−z+m−n，x−y−z−m−n=x−y−z−m+n，……则所有“绝对操作”共有（ ）种不同运算结果
A．7B．6C．5D．4
8．（23-24七年级上·广东东莞·阶段练习）如图，已知数轴上点A、B、C所对应的数a、b、c都不为0，且C是AB的中点，如果a+b−a−2c+b−2c−a+b−2c=0，则原点O的大致位置在（ ）

A．A的左边B．A与C之间C．C与B之间D．B的右边
9．（2024七年级·全国·竞赛）a、b、c、d为互不相等的有理数，且c最小，a最大，若a−c−b−c+b−d=a−d，则a、b、c、d从小到大排列的顺序为 ．
10．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）已知m−6+n+4=6−m，那么m−10−3−n−m= ．
11．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）在a，b，c，d，e，f，g，ℎ中，每个字母的值恰好是−3，0，1这三个数值中的一个，若a+b+c+d+e+f+g+ℎ=−2，则a+b+c+d+e+f+g+ℎ= ．
12．（2024七年级·全国·竞赛）已知a，b，c都为整数，且a−b2012+c−a2013=1，则方程x=x+a−b+a−c+b−c的解为 ．
13．（2024七年级·全国·竞赛）若关于m的方2m+5−b=5有三个不同的解，则有理数b= ．
14．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知(x+1+|x−2)(y−2+y+1)(z−3+z+1|)=36，则x+2y+3z的最大值是 ，最小值是 ．
15．（23-24七年级上·湖南邵阳·期末）规定：fx=x−3，gy=y+2，例如f−2=−2−3=5，g−2=−2+2=0，则式子fx−3+gx+2的最小值是 ．
16．（23-24七年级上·浙江宁波·开学考试）a、b、c都是质数，且满足a+b+c+abc=99，则1a−1b+1b−1c+1c−1a= ．
17．（22-23七年级上·江苏南京·阶段练习）若x+2+x−1+x−2=6，则x的值为 ．
18．（23-24七年级上·四川达州·期中）若a、b、c是整数，且a+b+b+c=1，则a−c= ．
19．（22-23七年级上·浙江丽水·期中）已知：m=a+bc+2b+ca+3c+ab，且abc>0，a+b+c=0，则m共有x个不同的值，若在这些不同的m值中，最小的值为y，则x−y= ．
20．（22-23七年级上·浙江温州·阶段练习）式子x−1+2x−2+3x−3+2x−4+x−5的最小值是 ．
21．（23-24七年级上·吉林长春·期末）“数形结合”是一种非常重要的数学思想，它可以把抽象的数量关系与直观的几何图形结合起来解决问题．
探究：方程x−1=2，可以用两种方法求解，将探究过程补充完整．
方法一、当x−1>0时，x−1=x−1=2；
当x−1≤0时，
x−1=___________=2．
方法二、x−1=2的意义是数轴上表示x的点与表示___________的点之间的距离是2．
上述两种方法，都可以求得方程x−1=2的解是___________．
应用：根据探究中的方法，求得方程x−1+x+3=9的解是__________．
拓展：方程x−1−−x−3=12的解是___________．
22．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）华罗庚先生说；“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．
【知识储备】
点M、N在数轴上分别表示有理数m、n，则M、N两点之间的距离可表示为|m−n|．
【初步运用】
（1）数轴上表示3与−4的两点之间的距离为______；
（2）已知数轴上某个点表示的数为x．
①若|x−1|=2，则x=______；
②若|x+3|=|x−5|，则x=______；
【深入探究】
（3）如图，数轴上每相邻两点之间的距离为1个单位长度，点A、B、C表示的数分别为a、b、c．
①|a−b|+|b−c|=______；
②若|b−2a|=4，则点C表示的数为______；
③若该数轴上另有两个点P、Q，它们分别表示有理数p、q，其中点Q在线段AC上，当|p−a|+|p−c|=8且|q−a|+|q−b|+|q−c|最小时，P、Q两点之间的距离为______．
专题1.3 绝对值的综合
思想方法
数形结合思想：所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合。
分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则：
1. 不重（互斥性）不漏（完备性）；
2. 按同一标准划分（同一性）；
3. 逐级分类（逐级性）。
知识点总结
一、绝对值
1．定义：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作a．
2．性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
3．化简：①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么．
4．非负性：根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若a+b=0，则a=0且b=0．
典例分析

【典例1】请利用绝对值的性质，解决下面问题：
（1）已知a，b是有理数，当a>0时，则aa= ；当b<0时，则bb= ；
（2）已知a，b，c是有理数，a+b+c=0，abc<0，求b+ca+a+cb+a+bc的值；
（3）已知a，b，c是有理数，当abc≠0时，求aa+bb+cc的值．
【思路点拨】
本题考查了绝对值的意义、分类讨论的思想方法：
（1）直接根据绝对值的性质求解即可；
（2）a+b+c=0，abc<0可知三个数中必需有两个正数，一个负数，可设a>0，b>0，c<0解答；
（3）分a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数四种情况讨论即可．
【解题过程】
（1）解：∵a>0，a=a,
∴a|a|=aa=1；
∵b<0，
∴b=−b,
∴b|b|=b−b=−1．
故答案为：1，−1；
（2）解：∵a+b+c=0，abc<0，
∴三个数中必需有两个正数，一个负数，可设a>0，b>0，c<0
∴a=−(b+c)，b=−(a+c)，c=−(a+b)，
∴原式=−aa+−bb+−c−c=−1−1+1=−1；
（3）解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数．
①当a，b，c都是正数，即a>0，b>0，c>0时，
则：aa+bb+cc=aa+bb+cc=1+1+1=3；
②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设a>0，b<0，c<0，
则：aa+bb+cc=aa+−bb+−cc=1+−1+−1=−1；
③当a，b，c有两个为正数，一个为负数时，设a>0，b>0，c<0，
则：aa+bb+cc
=1+1−1
=1；
④当a，b，c三个数都为负数时，
则：aa+bb+cc
=−1−1−1
=−3；
综上所述：aa+bb+cc的值为3或−3或1或−1．
学霸必刷
1．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）p、q、r、s在数轴上的位置如图所示，若p−r=10，p−s=12，q−s=9，则q−r等于 （ ）
A．7B．9C．11D．13
【思路点拨】
先根据数轴判断p、q、r、s四个数的大小，再去绝对值得出等式，然后整体代入计算即可．
【解题过程】
解：由数轴可知：p∵p−r=10，p−s=12，q−s=9，
∴r−p=10，s−p=12，s−q=9，
∴q−r=r−q=r−p−s−p+s−q=10−12+9=7．
故选：C．
2．（23-24七年级上·福建莆田·阶段练习）已知a与4互为相反数，b的绝对值是最小的正整数，已知m+a+b−n=0，则m+n的值为（ ）
A．3B．4C．5或-5D．3或5
【思路点拨】
先根据相反数的定义以及绝对值的定义求得a、b的值，再根据非负数的性质求得m、n的值，然后计算即可．掌握几个非负数的和为零，则每个非负数均为零是解题的关键．
【解题过程】
解：∵a与4互为相反数，b的绝对值是最小的正整数，
∴a=−4，b=±1，
∵m+a+b−n=0，
∴m−4+1−n=0或m−4+−1−n=0，
又∵m−4≥0，1−n≥0或m−4≥0，−1−n≥0，
∴m−4=0，1−n=0或m−4=0，−1−n=0，
∴m=4，n=1或m=4，n=−1，
∴m+n=4+1=5或m+n=4−1=3，
∴m+n的值为3或5．
故选：D．
3．（2024七年级·全国·竞赛）使a+3=a+3成立的条件是（ ）．
A．a为任意数B．a≠0C．a≤0D．a≥0
【思路点拨】
分a≥0，−3＜a＜0，a≤−3三种情况，结合绝对值的意义化简绝对值，看等号是否恒成立，从而得出答案．
本题主要考查了含绝对值符号的等式．解决问题的关键是熟练掌握绝对值的化简，分类讨论．
【解题过程】
解：当a≥0时，
a+3=a+3，a+3=a+3，
等式化为：a+3=a+3，
成立；
当−3＜a＜0时，
a+3=a+3，a+3=−a+3，
等式化为：a+3=−a+3，
解得：a=0，
不符合题意；
当a≤−3时，
a+3=−a−3，a+3=−a+3，
等式化为：−a−3=−a+3，
矛盾．
故使a+3=a+3成立的条件是：a≥0．
故选：D．
4．（23-24七年级上·江西抚州·期末）适合|a+5|+|a−3|=8的整数a的值有（ ）
A．5个B．7个C．8个D．9个
【思路点拨】
本题主要考查数轴，绝对值的几何意义，此方程可理解为数轴上a到−5和3的距离的和，由此可得出a的值，进而可得出答案．
【解题过程】
解：∵ a+5+a−3=a−−5+a−3，
∴ |a+5|+|a−3|可理解为数轴上a到−5和3的距离的和，
∵ −5和3之间的距离为8，
∴当−5≤a≤3时，均满足|a+5|+|a−3|=8，
∵a为整数，
∴ a可以为−5，−4，−3，−2，−1，0，1，2，3，共9个，
故选D．
5．（2024七年级上·江苏·专题练习）若a、b、c均为整数，且|a−b|+|c−a|=1，则|a−c|+|c−b|+|b−a|的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【思路点拨】
先根据a、b、c均为整数，且|a−b|+|c−a|=1，可得a−b=1，|c−a|=0或|a−b|=0，|c−a|=1，然后分两种情况分别求出|a−c|+|c−b|+|b−a|的值即可．
【解题过程】
解：∵a，b，c均为整数，且|a−b|+|c−a|=1，
∴a−b=1，|c−a|=0或|a−b|=0，|c−a|=1，
①当a−b=1，|c−a|=0时，c=a，a=b±1，
∴ a−c+c−b+b−a=a−c+a−b+b−a=0+1+1=2；
②当|a−b|=0，|c−a|=1时，a=b，
∴ a−c+c−b+b−a=a−c+c−a+b−a=1+1+0=2；
综上，|a−c|+|c−b|+|b−a|的值为2．
故选：B．
6．（22-23七年级上·重庆江北·阶段练习）已知有理数a，c，若a−2=18，且3a−c=c，则所有满足条件的数c的和是（ ）
A．﹣6B．2C．8D．9
【思路点拨】
根据绝对值的代数意义对a−2=18进行化简，a−2=18或a−2=−18，解得a=20或a=−16有两个解，分两种情况再对3a−c=c进行化简，继而有两个不同的绝对值等式，320−c=c和3−16−c=c，每个等式同样利用绝对值的代数意义化简，分别得到c的值有两个，故c共有四个值，再进行相加，得到所有满足条件的数的和．
【解题过程】
解：∵ a−2=18，
∴ a−2=18或a−2=−18，
∴ a=20或a=−16，
当a=20时，3a−c=c等价于320−c=c，即60−3c=c，
∴ 60−3c=c或60−3c=−c，
∴ c=15或c=30；
当a=−16时，3a−c=c等价于3−16−c=c，即−48−3c=c，
∴ −48−3c=c或−48−3c=−c，
∴ c=−12或c=−24，
故c=15或c=30或c=−12或c=−24，
∴所有满足条件的数c的和为：15+30+(−12)+(−24)=9．
故答案为：D
7．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）在多项式x−y−z−m−n（其中x>y>z>m>n）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作” 例如x−y−|z−m|−n=x−y−z+m−n，x−y−z−m−n=x−y−z−m+n，……则所有“绝对操作”共有（ ）种不同运算结果
A．7B．6C．5D．4
【思路点拨】
根据给定的定义对绝对操作分析添加一个和两个绝对值的情况，并将结果进行比较排除相等的结果，汇总得出结果，理解题意，熟练掌握绝对值的化简是解题关键．
【解题过程】
解： 当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是x−y−z−m−n=x−y−z−m−n；
x−y−z−m−n=x−y+z−m−n；
x−y−|z−m|−n=x−y−z+m−n；
x−y−z−m−n=x−y−z−m+n．
当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是x−y−z−m−n=x−y−z+m−n；x−y−z−m−n=x−y−z−m+n；
x−y−z−m−n=x−y+z−m+n．
共有7种情况；
故选：C．
8．（23-24七年级上·广东东莞·阶段练习）如图，已知数轴上点A、B、C所对应的数a、b、c都不为0，且C是AB的中点，如果a+b−a−2c+b−2c−a+b−2c=0，则原点O的大致位置在（ ）

A．A的左边B．A与C之间C．C与B之间D．B的右边
【思路点拨】
可得a+b=2c，从而可得a+b−a−2c+b−2c−a+b−2c =a+b−b+a；然后根据选项判断a，b，a+b的符号，进行化简即可求解．
【解题过程】
解：∵ C是AB的中点，
∴a+b=2c，
∴ a+b−a−2c+b−2c−a+b−2c
=a+b−a−a+b+b−a+b−a+b−a+b
=a+b−b+a−0
=a+b−b+a；
A． 在A的左边，∴a>0，b>0，a+b>0，
a+b−b+a
=a+b−b+a=2a≠0，
故此项不符合题意；
B． 在A与C之间时，∴a<0，b>0，a+b>0，
a+b−b+a
=a+b−b−a=0，
故此项符合题意；
C．在C与B之间时，∴a<0，b>0，a+b<0，
a+b−b+a
=−a−b−b−a
=−2a−2b≠0，
故此项不符合题意；
D．在B的右边时，∴a<0，b<0，a+b<0，
a+b−b+a
=−a−b+b−a
=−2a≠0，
故此项不符合题意；
故选：B．
9．（2024七年级·全国·竞赛）a、b、c、d为互不相等的有理数，且c最小，a最大，若a−c−b−c+b−d=a−d，则a、b、c、d从小到大排列的顺序为 ．
【思路点拨】
本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数比较大小法则是解题的关键；
作差法比较大小时，先求出两个代数式的差，然后通过判断差与0的大小关系来确定原代数式的大小关系．
【解题过程】
解：∵ a、b、c、d为互不相等的有理数，且c最小，a最大，
∴ a−c>0、b−c>0、a−d>0，
∴ a−c−b−c+b−d=a−d化简得：
a−c−b−c+b−d=a−d
即b−d=b−d
∴ b−d>0，即d∴从小到大排列顺序为c故答案为：c10．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）已知m−6+n+4=6−m，那么m−10−3−n−m= ．
【思路点拨】
本题考查了绝对值的意义和代数式求值，根据绝对值的意义进行讨论得出m，n得值，代入即可求解，解题的关键是正确理解绝对值的意义．
【解题过程】
解：由m−6+n+4=6−m，
∵m−6≥0，n+4≥0，
∴6−m≥0，即m≤6，
要使m−6+n+4=6−m成立，
则6−m=0，n+4=0，
解得：m=6，n=−4，
∴m−10−3−n−m=6−10−3−−4−6=4−1=3，
故答案为：3．
11．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）在a，b，c，d，e，f，g，ℎ中，每个字母的值恰好是−3，0，1这三个数值中的一个，若a+b+c+d+e+f+g+ℎ=−2，则a+b+c+d+e+f+g+ℎ= ．
【思路点拨】
本题主要考查了有理数的混合运算，解题关键是分析判断5个字母的值的和为0时，这5个字母可能是什么数．根据已知条件a,b,c,d,e,f,g,ℎ中，每个字母的值恰好是−3，0，1这三个数值中的一个，a+b+c+d+e+f+g+ℎ=−2，求出其中5个字母的值的和为0，进行推导即可．
【解题过程】
解：∵a,b,c,d,e,f,g,ℎ中，每个字母的值恰好是−3，0，1这三个数值中的一个，a+b+c+d+e+f+g+ℎ=−2，−3+0+1=−2，
∴有3个字母的值分别为−3，0，1，另5个字母的值的和为0，
∴这5个字母的值分别为：0，0，0，0，0或1，1，1，−3，0，
∴这8个字母的值分别为−3，0，1，1，1，1，−3，0或−3，0，1，0，0，0，0，0，
a+b+c+d+e+f+g+ℎ=−3+0+1+1+1+1+−3+0，
=3+1+1+1+1+3，
=10；
或a+b+c+d+e+f+g+ℎ=−3+0+1+0+0+0+0+0
=3+1，
=4；
故答案为：10或4．
12．（2024七年级·全国·竞赛）已知a，b，c都为整数，且a−b2012+c−a2013=1，则方程x=x+a−b+a−c+b−c的解为 ．
【思路点拨】
本题考查了绝对值的性质，代数式求值，绝对值方程，根据题意得到a−b=0 ，c−a=1 或a−b=1，c−a=0，分了讨论b−c的值，再代入x=x+a−b+a−c+b−c中求解绝对值方程即可．
【解题过程】
解：由题意，a−b=0 ，c−a=1 或a−b=1，c−a=0，
当a−b=0 ，c−a=1时，则a=b,c−a=1，
∴b−c=−1，即b−c=1
∴ a−b+a−c+b−c=2，
当a−b=1，c−a=0时，则a−b=±1,c=a，
∴b−c=±1，即b−c=1，
∴ a−b+a−c+b−c=2，
∴ x=x+2，
解得x=−1．
13．（2024七年级·全国·竞赛）若关于m的方2m+5−b=5有三个不同的解，则有理数b= ．
【思路点拨】
本题考查了绝对值的性质和解绝对值方程等知识，根据绝对值的性质得2m+5−b=±5，再根据绝对值性质可得2m+5=5+b或2m+5=−5+b，根据绝对值性质即可求解．
【解题过程】
解：∵2m+5−b=5，
∴ 2m+5−b=±5，
∴ 2m+5=5+b或2m+5=−5+b，
当−5+b<0时，即b<5时，方程2m+5=−5+b无解，此时方程2m+5=5+b最多只有两个不同的解，不符合题意；
当−5+b=0时，即b=5时，方程2m+5=−5+b有一个解，此时方程2m+5=5+b有两个不同的解，即此时方程2m+5−b=5由三个不同的解，符合题意；
当−5+b>0时，即b>5时，方程2m+5=−5+b有两个不同的解，此时方程2m+5=5+b有两个不同的解，即方程2m+5−b=5此时有4个不同的解，不符合题意；
综上所述，b=5，
故答案为：5．
14．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知(x+1+|x−2)(y−2+y+1)(z−3+z+1|)=36，则x+2y+3z的最大值是 ，最小值是 ．
【思路点拨】
x+1+x−2表示数轴上表示x的点到表示−1和2的两个点的距离之和，得x+1+x−2≥3．同理，y−2+y+1≥3，z−3+z+1≥4，可得x+1+x−2=3，y−2+y+1=3，z−3+z+1=4．于是−6≤x+2y+3z≤15．
【解题过程】
解：x+1+x−2表示数轴上表示x的点到表示−1和2的两个点的距离之和，
∴x+1+x−2≥3．
同理，y−2+y+1≥3，z−3+z+1≥4，
而(x+1+|x−2)(y−2+y+1)(z−3+z+1|)=36，
∴x+1+x−2=3，y−2+y+1=3，z−3+z+1=4．
∴−1≤x≤2,−1≤y≤2,−1≤z<3．
∴−6≤x+2y+3z≤15．
故答案为：15，−6
15．（23-24七年级上·湖南邵阳·期末）规定：fx=x−3，gy=y+2，例如f−2=−2−3=5，g−2=−2+2=0，则式子fx−3+gx+2的最小值是 ．
【思路点拨】
本题考查求代数式的最值问题及绝对值的几何意义，根据题意将fx−3和gx+2表示出来，然后利用绝对值得几何意义求解即可，解题的关键是熟练掌握绝对值的几何意义．
【解题过程】
解：∵fx=x−3，gy=y+2
∴fx−3+gx+2=x−3−3+x+2+2=x−6+x+4，
∵x−6+x+4可以看作数轴上表示数x的点与表示数6和−4之间的距离之和，
①当x位于点−4左侧时，即x<−4时，
x−6+x+4=−x+6−x−4=−2x+2>10，
②当x位于点−4与点6之间时，即−4≤x≤6时，
x−6+x+4=−x+6+x+4=10，
③当x位于点6右侧时，即x>6时，
x−6+x+4=x−6+x+4=2x−2>10，
综上可知：x−6+x+4≥10，
∴当−4≤x≤6时，x−6+x+4有最小值，最小值为10，
故答案为：10．
16．（23-24七年级上·浙江宁波·开学考试）a、b、c都是质数，且满足a+b+c+abc=99，则1a−1b+1b−1c+1c−1a= ．
【思路点拨】
本题考查了质数，奇数与偶数，绝对值，掌握所有的质数中只有2是偶数是解题关键．先假设a、b、c都是奇数，判断出与已知矛盾，得出a、b、c中必有两个偶数，从而令a=b=2，求出c的值，代入计算即可．
【解题过程】
解：若a、b、c都是奇数，则abc也是奇数，
那么a+b+c+abc为偶数，与已知矛盾，
∴a、b、c中必有一个偶数，
∵a、b、c都是质数，
∴a、b、c中必有一个偶数2，
令a=2，则b+c+2bc=97，
若b、c都是奇数，则bc也是奇数，
那么b+c+2bc偶数，与已知矛盾，
∴b、c中必有一个偶数2，
令b=2，则2+2+c+4c=99，
∴c=19，
∴1a−1b+1b−1c+1c−1a
=12−12+12−119+119−12
=12−119+12−119
=1719，
故答案为：1719
17．（22-23七年级上·江苏南京·阶段练习）若x+2+x−1+x−2=6，则x的值为 ．
【思路点拨】
本题主要考查了绝对值和数轴上两点间的距离．根据绝对值的意义及数轴上两点间的距离即可求解．
【解题过程】
解：|x+2|表示数轴上数x表示的数到−2的距离，|x−1|表示数轴上数x表示的数到1的距离，|x−2|表示数轴上数x表示的数到2的距离，
∵|x+2|+|x−1|+|x−2|=6，
∴①当x<−2时：x+2<0，x−1<0，x−2<0，
∴−x−2+(−x+1)+(−x+2)=6，
化简得：x=−53（不符合题意，舍去）；
②当x=−2时，x+2=0，x−1<0，x−2<0，
∴0+(−x+1)+(−x+2)=6，
解得：x=−32（不符合题意，舍去）；
③当−20，x−1<0，x−2<0，
∴x+2+(−x+1)+(−x+2)=6，
解得：x=−1（符合题意）；
④当x=1时，x+2>0，x−1=0，x−2<0，
∴x+2+0+(−x+2)=6，
解得：4=6（不符合题意，舍去）；
⑤当10，x−1>0，x−2<0，
∴x+2+x−1+(−x+2)=6，
解得：x=3（不符合题意，舍去）；
⑥当x=2时，x+2>0，x−1>0，x−2=0，
∴x+2+x−1+0=6，
解得：x=52（不符合题意，舍去）；
⑦当x>2时，x+2>0，x−1>0，x−2>0，
∴x+2+x−1+x−2=6，
解得：x=73（符合题意）；
∴x=−1或73，
故答案为：−1或73．
18．（23-24七年级上·四川达州·期中）若a、b、c是整数，且a+b+b+c=1，则a−c= ．
【思路点拨】
本题考查了绝对值，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性，以及采用分类讨论的思想，根据绝对值的非负性以及题意，可知当a+b=0时，则b+c=1，当a+b=1时，则b+c=0，分类讨论计算即可．
【解题过程】
解：∵a、b、c是整数，
∴a+b，b+c是整数，
∵a+b+b+c=1，
又∵a+b≥0，b+c≥0，
∴ a+b=0时，则b+c=1或a+b=1时，则b+c=0，
∴当a+b=0，b+c=1时，
则a=−b，c=1−b，
∴a−c=−b−1+b=1；
∴当a+b=0，b+c=−1时，
则a=−b，c=−1−b，
∴a−c=−b+1+b=1；
∴当a+b=1，b+c=0时，
则a=1−b，c=−b，
∴a−c=1−b+b=1
∴当a+b=−1，b+c=0时，
则a=−1−b，c=−b，
∴a−c=−1−b+b=1，
综上可得：a−c=1，
故答案为：1．
19．（22-23七年级上·浙江丽水·期中）已知：m=a+bc+2b+ca+3c+ab，且abc>0，a+b+c=0，则m共有x个不同的值，若在这些不同的m值中，最小的值为y，则x−y= ．
【思路点拨】
根据绝对值的性质进行化简求出x、y的值，然后代入x−y即可解答．
【解题过程】
解：∵abc>0，a+b+c=0，
∴a+b=−c，b+c=−a，c+a=−b，
∴a，b，c三个数中有两负一正，
当a，b为负，c为正数时，
m=a+bc+2b+ca+3c+ab
=−cc+2−aa+3−bb
=cc+−2aa+−3bb
=1−2−3
=−4；
当a，c为负，b为正数时，
m=a+bc+2b+ca+3c+ab
=−cc+2−aa+3−bb
=−cc+−2aa+3bb
=−1+−2+3
=0；
当b，c为负，a为正数时，
m=a+bc+2b+ca+3c+ab
=−cc+2−aa+3−bb
=−cc+2aa+−3bb
=−1+2−3
=−2；
∵m共有x个不同的值，若在这些不同的m值中，最小的值为y，
∴x=3，y=−4，
∴x+y=3−−4=7．
故答案为：7．
20．（22-23七年级上·浙江温州·阶段练习）式子x−1+2x−2+3x−3+2x−4+x−5的最小值是 ．
【思路点拨】
本题主要考查了绝对值．熟练掌握绝对值的化简，分类讨论，是解决问题的关键．
分x≤1，1≤x≤2，2≤x≤3，3≤x≤4，4≤x≤5，x≥5讨论，求出各股的最小值，再比较即得．
【解题过程】
解：设x−1+2x−2+3x−3+2x−4+x−5=y，
当x≤1时，y=−x−1−2x−2−3x−3−2x−4−x−5
=−x+1−2x+4−3x+9−2x+8−x+5
=−9x+27，
∴y≥18，最小值为：18；
当1≤x≤2时，
y=x−1−2x−2−3x−3−2x−4−x−5
=x−1−2x+4−3x+9−2x+8−x+5
=−7x+25，
∴11≤y≤18，最小值为：11；
当2≤x≤3时，
y=x−1+2x−2−3x−3−2x−4−x−5
=x−1+2x−4−3x+9−2x+8−x+5
=−3x+17，
∴8≤y≤11，最小值为：8；
当3≤x≤4时，
y=x−1+2x−2+3x−3−2x−4−x−5
=x−1+2x−4+3x−9−2x+8−x+5
=3x−1，
∴8≤y≤11，最小值为：8；
当4≤x≤5时，
y=x−1+2x−2+3x−3+2x−4−x−5
=x−1+2x−4+3x−9+2x−8−x+5
=7x−17，
∴11≤y≤18，最小值为：11；
当x≥5时，
y=x−1+2x−2+3x−3+2x−4+x−5
=x−1+2x−4+3x−9+2x−8+x−5
=9x−27，
∴y≥18，最小值为：18．
综上，原式的最小值为：8．
故答案为：8．
21．（23-24七年级上·吉林长春·期末）“数形结合”是一种非常重要的数学思想，它可以把抽象的数量关系与直观的几何图形结合起来解决问题．
探究：方程x−1=2，可以用两种方法求解，将探究过程补充完整．
方法一、当x−1>0时，x−1=x−1=2；
当x−1≤0时，
x−1=___________=2．
方法二、x−1=2的意义是数轴上表示x的点与表示___________的点之间的距离是2．
上述两种方法，都可以求得方程x−1=2的解是___________．
应用：根据探究中的方法，求得方程x−1+x+3=9的解是__________．
拓展：方程x−1−−x−3=12的解是___________．
【思路点拨】
本题考查了绝对值的意义，解绝对值方程，数轴上两点之间的距离．熟练掌握绝对值的意义，解绝对值方程，数轴上两点之间的距离是解题的关键．
探究：根据题意化简绝对值，利用绝对值的意义进行作答即可；
应用：由x−1+x+3=9的意义是数轴上表示x的点与表示1和−3两点之间的距离和为9，表示1和−3两点之间的距离为4，可知表示x的点在−3左侧，或在1右侧；分当x<−3时，当x>1时，解绝对值方程即可；
拓展：由题意知，x−1−−x−3=12，整理得x−1−x+3=12，分当x+3<0时，当x−1>0时，当0≤x+3，x−1≤0时，三种情况解绝对值方程即可．
【解题过程】
探究：解：由题意知，当x−1>0时，x−1=x−1=2，
解得，x=3；
当x−1≤0时，x−1=1−x=2，
解得，x=−1；
x−1=2的意义是数轴上表示x的点与表示1的点之间的距离是2，
上述两种方法，都可以求得方程x−1=2的解是x=3或x=−1；
故答案为：1−x、1、x=3或x=−1．
应用：解：x−1+x+3=9的意义是数轴上表示x的点与表示1和−3两点之间的距离和为9，
∵表示1和−3两点之间的距离为4，
∴表示x的点在−3左侧，或在1右侧；
当x<−3时，x−1+x+3=1−x−x−3=9，
解得，x=−5.5；
当x>1时，x−1+x+3=x−1+x+3=9，
解得，x=3.5；
综上所述，x=−5.5或x=3.5；
拓展：解：x−1−−x−3=12，
∴x−1−x+3=12，
当x+3<0时，x−1−x+3=1−x+x+3=4≠12，无解；
当x−1>0时，x−1−x+3=x−1−x−3=−4≠12，无解；
当0≤x+3，x−1≤0时，x−1−x+3=1−x−x−3=12，
解得，x=−54；
故答案为：x=−54．
22．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）华罗庚先生说；“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．
【知识储备】
点M、N在数轴上分别表示有理数m、n，则M、N两点之间的距离可表示为|m−n|．
【初步运用】
（1）数轴上表示3与−4的两点之间的距离为______；
（2）已知数轴上某个点表示的数为x．
①若|x−1|=2，则x=______；
②若|x+3|=|x−5|，则x=______；
【深入探究】
（3）如图，数轴上每相邻两点之间的距离为1个单位长度，点A、B、C表示的数分别为a、b、c．
①|a−b|+|b−c|=______；
②若|b−2a|=4，则点C表示的数为______；
③若该数轴上另有两个点P、Q，它们分别表示有理数p、q，其中点Q在线段AC上，当|p−a|+|p−c|=8且|q−a|+|q−b|+|q−c|最小时，P、Q两点之间的距离为______．
【思路点拨】
（1）根据两点之间的距离公式列式计算即可求解；
（2）①②根据两点之间的距离公式列出方程即可求解；
（3）①由数轴知，c>b>a，去绝对值符号即可求解；
②由数轴知，b−a=2，结合|b−2a|=4，求得a=−2或a=6，据此求解即可；
③分情况讨论，求得q=b，p=a−1或p=a+7，据此求解即可．
【解题过程】
解：（1）数轴上表示3与−4的两点之间的距离为3−−4=7，
故答案为：7；
（2）①若|x−1|=2，则x−1=2或x−1=−2，
解得x=3或x=−1，
故答案为：3或−1；
②若|x+3|=|x−5|，则x+3=x−5（舍去）或x+3=5−x，
解得x=1，
故答案为：1；
（3）①由数轴知，c>b>a，∴a−b<0，b−c<0，∴|a−b|+|b−c|=b−a+c−b=c−a=6；
故答案为：6；
②由数轴知，b−a=2，即b=2+a，结合|b−2a|=4，即|2+a−2a|=4，∴|2−a|=4，∴2−a=4或2−a=−4，解得a=−2或a=6；根据数轴知，c−a=6，∴点C表示的数为4或12；故答案为：4或12；
③由题意可知，点Q在线段AC上，可得a≤q≤c，则q−a≥0，q−c≤0，∴q−a=q−a，q−c=c−q，当a≤q≤b时，q−b≤0，∴q−b=b−q，
故|q−a|+|q−b|+|q−c|=q−a+b−q+c−q=c−a+b−q=6+b−q，
当b0，则q−b>q−b，故|q−a|+|q−b|+|q−c|=q−a+q−b+c−q=c−a−b=q=6+q−b，
∵|q−a|+|q−b|+|q−c|最小，故q=b时，取值最小；
当p≤a时，p−a≤0，p−c<0，∴p−a+p−c=a−p+c−p=a+c−2p=2a+6−2p=8，即a−p=1；
当a0，p−c<0，∴p−a+p−c=p−a+c−p=c−a=8（不成立，舍去）；
当p≥c时，p−a>0，p−c≥0，∴p−a+p−c=p−a+p−c=2p−a−c=2p−2a−6=8，即p−a=7，
综上，q=b，p=a−1或p=a+7，
当p=a−1时，P、Q两点之间的距离为b−a−1=b−a+1=2+1=3；
当p=a+7时，P、Q两点之间的距离为b−a+7=b−a−7=2−7=5；
∴P、Q两点之间的距离为3或5．
故答案为：3或5．