江苏省宿迁市泗洪县第一实验中学2024-2025学年上学期八年级数学期中试题

这是一份江苏省宿迁市泗洪县第一实验中学2024-2025学年上学期八年级数学期中试题，共21页。试卷主要包含了下列命题中，下列对△ABC的判断，错误的是等内容，欢迎下载使用。

1．天津市的旅游形象宣传口号是“天天乐道，津津有味”，下列汉字中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，△ABC≌△DEF，图中和AF相等的线段（ ）
A．线段BCB．线段ABC．线段CDD．线段DE
3．工人师傅常借助“角尺”这个工具来平分一个角，其背后的依据就是全等三角形的性质．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别取OC＝OD，适当摆放角尺（图中的∠CED），使其两边分别经过点C、D，且点C、D处的刻度相同，这时经过角尺顶点E的射线OE就是∠AOB的平分线．这里判定两个三角形全等的依据是（ ）
A．SASB．SSSC．AASD．ASA
4．在△ABC中，不能判断它是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝90°B．∠A+∠B＝90°
C．AC2﹣BC2＝AB2D．AC：BC：AB＝1：2：3
5．下列命题中：（1）两个顶角对应相等的等腰三角形是全等形；（2）三角形的外角大于该三角形任意一内角；（3）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；（4）三角形的三条角平分线交于一点，这一点到三角形三边的距离相等．真命题的个数有（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D．如果AC＝10cm，那么AE+DE等于（ ）
A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm
7．下列对△ABC的判断，错误的是（ ）
A．若AB＝AC，∠B＝60°，则△ABC是等边三角形
B．若∠A：∠B：∠C＝3：4：7，则△ABC是直角三角形
C．若∠A＝20°，∠B＝80°，则△ABC是等腰三角形
D．若AB＝BC，∠C＝40°，则∠B＝40°
8．如图所示，边长为2的等边三角形ABC中，D点在边BC上运动（不与B、C重合），点E在边AB的延长线上，点F在边AC的延长线上，AD＝DE＝DF．点D在BC边上从B至C的运动过程中，△BED周长变化规律为（ ）
A．不变B．一直变小
C．先变大后变小D．先变小后变大
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点D，∠ACD＝3∠BCD，点E是斜边AB的中点，且CD＝1，则AB的长为（ ）
A．2B．C．3D．
10．如图，老李家有一块草坪，家里想整理它，需要知道其面积，老李测量了草坪各边得知：AB＝3米，BC＝4米，AD＝12米，CD＝13米，且AB⊥CB．则这块草坪的面积是（ ）
A．36m2B．26m2C．30m2D．40m2
二．填空题（共8小题）
11．等腰三角形一腰上的中线把它的周长分为12：9两部分，等腰三角形的周长为21，则它的腰为 ．
12．如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC，BC，且交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若△CMN的周长为8，MN＝2，则AB的长为 ；
（2）若∠MFN＝110°，则∠MCN的度数为 ．
13．已知：如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，∠APQ＝ 度，∠B＝ 度，∠BAC＝ 度．
14．△ABC中，AB＝AC．设△ABC的面积为S，
①图1中，D为BC中点，E，F，M，N是AD上的四点；
②图2中，∠BAC＝60°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，AD，BE，CF交于点O；
③图3中，∠BAC＝90°，D为BC中点，∠MDN＝90°．
其中，阴影部分面积为S的是 （填序号）．
15．如图1，在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽在一个高为10m的高台A处，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17m、高为3m的矮台B，示意图如图2，在这个过程中，玛丽在荡绳索时离地面的最低点的高度MN为 m．
16．如图，2×2方格中阴影正方形的边长的整数部分是 ．
17．如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，以△ABC的各边为边，在△ABC外作三个正方形，S1，S2，S3分别表示这三个正方形的面积，若S1＝81，S2＝225，则BC＝ ．
18．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝32°，射线CP从射线CA开始绕点C逆时针旋转α角（0°＜α＜75°），与射线AB相交于点D，将△ACD沿射线CP翻折至△A′CD处，射线CA′与射线AB相交于点E．若△A′DE是等腰三角形，则∠α的度数为 ．
三．解答题（共7小题）
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E都在边BC上，且BE＝CD，求证：AD＝AE．
20．如图，有8×8的正方形网格，按要求操作并计算．
（1）写出点A、B的坐标；点A（ ， ），点B（ ， ）；
（2）连接AB，并画出AB关于y轴对称的线段A′B′；
（3）画出△A′B′O，并求其面积．
21．如图，一架长10米的梯子AB，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙（BO）6米
（1）此时梯子顶端A离地面多少米？
（2）若梯子顶端A下滑3米到C处，那么梯子底端B将向左滑动多少米到D处？
22．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）直线AC是线段BD的垂直平分线吗？请说明理由．
23．综合与实践
【问题情境]
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，△ABC中，若AB＝6，AC＝4，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是 ；
A．SSS B．AAS C．SAS D．HL
（2）由“三角形的三边关系”，可求得AD的取值范围是 ．
解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
[初步运用]
（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．若EF＝3，EC＝2，求线段BF的长．
[灵活运用]
（4）如图3，在△ABC中，∠A＝90°，D为BC中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交 AC于点F，连接EF，试猜想线段BE、CF、EF三者之间的等量关系，直接写出你的结论．
24．我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形．
（1）如图1，△ABC是等边三角形，在BC上任取一点D（B、C除外），连接AD，我们把△ABD绕点A逆时针旋转60°，则AB与AC重合，点D的对应点E．请根据给出的定义判断，四边形ADCE （选择是或不是）等补四边形．
（2）如图2，等补四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，若S四边形ABCD＝8，求BD的长．
（3）如图3，四边形ABCD中，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，BD＝5，求四边形ABCD面积的最大值．
25．据我国古代某数学著作记载，将一根直尺折成一个直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五．后人概括为“勾三、股四、弦五”．
（1）观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…．发现这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没有间断过，计算（9﹣1），（9+1）与（25﹣1），（25+1），并根据你发现的规律，分别写出能用7，24，25中的勾表示股和弦的算式．
（2）根据（1）的规律，用含n（n为奇数且n≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦．猜想它们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明．
（3）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…．可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用类似上述探索的方法，直接用含m（m为勾，m为偶数且m≥6）的代数式来表示它们的股和弦．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．天津市的旅游形象宣传口号是“天天乐道，津津有味”，下列汉字中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，B，D选项中汉字的都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的汉字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．如图，△ABC≌△DEF，图中和AF相等的线段（ ）
A．线段BCB．线段ABC．线段CDD．线段DE
【考点】全等三角形的性质．
【分析】由全等三角形的性质即可求得AC＝DF，可求得答案．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴AC＝DF，
∴AC+CF＝DF+CF，
∴AF＝CD，
即和AF相等的线段是CD，
故选：C．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
3．工人师傅常借助“角尺”这个工具来平分一个角，其背后的依据就是全等三角形的性质．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别取OC＝OD，适当摆放角尺（图中的∠CED），使其两边分别经过点C、D，且点C、D处的刻度相同，这时经过角尺顶点E的射线OE就是∠AOB的平分线．这里判定两个三角形全等的依据是（ ）
A．SASB．SSSC．AASD．ASA
【考点】全等三角形的判定．
【分析】由SSS即可判断△ODE≌△OCE．
【解答】解：∵点C、D处的刻度相同，
∴EC＝ED，
∵OE＝OE，OC＝OD，
∴由SSS判定△ODE≌△OCE．
故选：B．
【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是由SSS判定△ODE≌△OCE．
4．在△ABC中，不能判断它是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝90°B．∠A+∠B＝90°
C．AC2﹣BC2＝AB2D．AC：BC：AB＝1：2：3
【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理；勾股定理．
【分析】根据直角三角形的定义，即可判断A、B，根据勾股定理逆定理，即可判断C、D．
【解答】解：A、∵∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
B、∵∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
C、∵AC2﹣BC2＝AB2，
∴BC2+AB2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
D、设AC＝k，BC＝2k，AB＝3k，
∵AC2+BC2＝5k2≠AB2，
∴△ABC不是直角三角形，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形．
5．下列命题中：（1）两个顶角对应相等的等腰三角形是全等形；（2）三角形的外角大于该三角形任意一内角；（3）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；（4）三角形的三条角平分线交于一点，这一点到三角形三边的距离相等．真命题的个数有（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
【考点】命题与定理；轴对称图形；全等图形；全等三角形的判定；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【分析】根据三角形外角的性质，等腰三角形的性质，轴对称图形的性质，角平分线的性质，根据以上知识逐一分析判断即可．
【解答】解：（1）两个顶角对应相等的等腰三角形不一定是全等形；原命题是假命题，故不符合题意；
（2）三角形的外角大于该三角形任意一个与之不相邻的内角；原命题是假命题，故不符合题意；
（3）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，真命题，符合题意；
（4）三角形的三条角平分线交于一点，这一点到三角形三边的距离相等．真命题，符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，轴对称图形的性质，角平分线的性质，根据以上知识逐一分析判断即可，熟记基本概念与图形性质是解本题的关键．
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D．如果AC＝10cm，那么AE+DE等于（ ）
A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm
【考点】角平分线的性质．
【分析】利用角平分线的性质，得到ED＝CE，所以AE+DE＝AE+CE＝AC，问题即可解决．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴EC⊥BC，
又∵BE平分∠ABC，DE⊥AB，
∴CE＝DE，
∴AE+DE＝AE+CE＝AC，
∵AC＝10cm，
∴AE+DE＝AC＝10cm，
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的性质，利用角平分线的性质，得到DE＝CE，将AE+DE转化成AE+CE，是解决问题的关键．
7．下列对△ABC的判断，错误的是（ ）
A．若AB＝AC，∠B＝60°，则△ABC是等边三角形
B．若∠A：∠B：∠C＝3：4：7，则△ABC是直角三角形
C．若∠A＝20°，∠B＝80°，则△ABC是等腰三角形
D．若AB＝BC，∠C＝40°，则∠B＝40°
【考点】等边三角形的判定；等腰三角形的判定；等边三角形的性质．
【分析】根据等腰三角形，等边三角形，直角三角形的判定以及三角形的内角和定理即可作出判断．
【解答】解：A．若AB＝AC，∠B＝60°，则∠A＝60°，∠C＝60°，所以△ABC是等边三角形，故此选项判断正确，不符合题意；
B．若∠A：∠B：∠C＝3：4：7，则∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形，故此选项判断正确，不符合题意；
C．若∠A＝20°，∠B＝80°，则∠C＝80°，所以△ABC是等腰三角形，故此选项判断正确，不符合题意；
D．若AB＝BC，∠C＝40°，则∠B＝100°，故此选项判断错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了等边三角形的判定，直角三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识点，能熟记等腰三角形的性质和判定定理是解此题的关键．
8．如图所示，边长为2的等边三角形ABC中，D点在边BC上运动（不与B、C重合），点E在边AB的延长线上，点F在边AC的延长线上，AD＝DE＝DF．点D在BC边上从B至C的运动过程中，△BED周长变化规律为（ ）
A．不变B．一直变小
C．先变大后变小D．先变小后变大
【考点】等边三角形的性质．
【分析】由“AAS”可证△BED≌△CDF，由全等三角形的性质可得BD＝CF，BE＝CD，可得△BED周长＝BD+BE+DE＝BD+CD+AD＝BC+AD，即可求解．
【解答】解：∵AD＝DE＝DF，
∴∠DAE＝∠DEA，∠DAF＝∠DFA，
∵∠DAE+∠DAF＝∠BAC＝60°，
∴∠DEA+∠DFA＝60°，
∵∠ABC＝∠DEA+∠EDB＝60°，
∴∠EDB＝∠DFA，
∵∠ACB＝∠CFD+∠CDF＝60°，
∴∠CDF＝∠BED，且∠EDB＝∠DFA，DE＝DF，
∴△BDE≌△CFD（AAS），
∴BD＝CF，BE＝CD，
∴△BED周长＝BD+BE+DE＝BD+CD+AD＝BC+AD，
∴点D在BC边上从B至C的运动过程中，
∴AD的长先变小后变大，
∴△BED周长先变小后变大，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，证明△BED≌△CDF是本题关键．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点D，∠ACD＝3∠BCD，点E是斜边AB的中点，且CD＝1，则AB的长为（ ）
A．2B．C．3D．
【考点】直角三角形斜边上的中线．
【分析】由∠ACD+∠BCD＝90°，得到∠ACD＝67.5°，∠BCD＝22.5°，从而可得∠A＝22.5°，由直角三角形斜边上的中线性质，可得BE＝EC＝EA，从而可得∠ECA＝∠A＝22.5°，由三角形的外角性质可得∠DEC＝45°，由此∠DCE＝∠DEC＝45°，进而可得CD＝DE＝1，于是得到CE＝，由直角三角形斜边上的中线性质可得AB＝2CE．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∵∠ACD＝3∠BCD，
∴∠ACD＝67.5°，∠BCD＝22.5°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ACD＝22.5°，
∵E是斜边AB的中点，
∴EC＝AB，
∴CE＝AE，
∴∠ECA＝∠A＝22.5°，
∴∠DEC＝∠A+∠ECA＝45°，
∴∠DCE＝90°﹣∠DEC＝45°，
∴△DCE是等腰直角三角形，
∴CE＝CD＝，
∴AB＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线，以及等腰直角三角形的性质是解题的关键．
10．如图，老李家有一块草坪，家里想整理它，需要知道其面积，老李测量了草坪各边得知：AB＝3米，BC＝4米，AD＝12米，CD＝13米，且AB⊥CB．则这块草坪的面积是（ ）
A．36m2B．26m2C．30m2D．40m2
【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．
【分析】连接AC，根据勾股定理，求得AC，再根据勾股定理的逆定理，判断△ACD是直角三角形．这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和．
【解答】解：连接AC，如图，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∵AB＝3米，BC＝4米，
∴AC＝5米，
∵CD＝13米，DA＝12米，
∴AC2+AD2＝CD2，
∴△ACD为直角三角形，
∴这块草坪的面积＝S△ABC+S△ACD＝3×4÷2+5×12÷2＝6+30＝36（米2）．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
二．填空题（共8小题）
11．等腰三角形一腰上的中线把它的周长分为12：9两部分，等腰三角形的周长为21，则它的腰为 6或8 ．
【考点】三角形三边关系；等腰三角形的性质．
【分析】设腰长为x，底边长为y，根据等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为9和12两部分，列方程解得即可．
【解答】解：设腰长为x，底边长为y，
则，或
解得：，或，
经检验，都符合三角形的三边关系．
等腰三角形的腰长为6或8．
故答案为：6或8．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确3：2两部分是哪一部分含有底边，所以一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
12．如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC，BC，且交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若△CMN的周长为8，MN＝2，则AB的长为 4 ；
（2）若∠MFN＝110°，则∠MCN的度数为 40° ．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】（1）根据中垂线的性质，得到CM＝AM，CN＝BN，推出△CMN的周长为AB+2MN，求解即可；
（2）三角形的内角和定理，得到∠FNM+∠FMN＝180°﹣∠MFN＝70°，三线合一得到∠CMN+∠CNM＝2（∠NMF+∠FNM）＝140°，再根据三角形的内角和定理，求解即可．
【解答】解：（1）∵DM，EN分别垂直平分AC，BC，
∴CM＝AM，CN＝BN，
∵△CMN的周长＝CN+CM+MN＝BN+AM+MN＝BN+AN+MN+MN＝AB+2MN＝8，
∴AB＝4；
故答案为：4；
（2）∵∠MFN＝110°，
∴∠FNM+∠FMN＝180°﹣∠MFN＝70°，
∵CM＝AM，CN＝BN，DM，EN分别垂直平分AC，BC，
∴∠CMN＝2∠NMF，∠CNM＝2∠FNM，
∴∠CMN+∠CNM＝2（∠NMF+∠FNM）＝140°，
∴∠MCN＝180°﹣（∠CMN+∠CNM）＝40°；
故答案为：40°．
【点评】本题考查中垂线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．本题的综合性较强，正确的识图，从复杂图形中有效的获取等量关系，是解题的关键．
13．已知：如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，∠APQ＝ 60 度，∠B＝ 30 度，∠BAC＝ 120 度．
【考点】等边三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质．
【分析】由题可知△APQ是等边三角形，然后根据其三个角均为60°和已知条件求解．
【解答】解：∵PQ＝AP＝AQ
∴∠APQ＝∠AQP＝∠PAQ＝60°
．∵BP＝QC＝AP＝AQ
∴∠B＝∠BAP＝30°，∠C＝∠CAQ＝30°
∴∠BAC＝120°．
故填60、30、120．
【点评】此题主要是发现一个等边三角形，再进一步根据等腰三角形的性质结合三角形的外角性质进行计算．
14．△ABC中，AB＝AC．设△ABC的面积为S，
①图1中，D为BC中点，E，F，M，N是AD上的四点；
②图2中，∠BAC＝60°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，AD，BE，CF交于点O；
③图3中，∠BAC＝90°，D为BC中点，∠MDN＝90°．
其中，阴影部分面积为S的是 ①②③ （填序号）．
【考点】等腰三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】由等腰三角形的性质可判断①，由等边三角形的性质可判断②，由ASA可证△ADF≌△DBE，可得S△ADF＝S△DBE，即可判断③．
【解答】解：如图1，∵AB＝AC，点D是BC中点，
∴BD＝CD，AD垂直平分BC，
∴S△BDN＝S△DCN，S△BMN＝S△MNC，S△BFM＝S△CFM，S△EFB＝S△EFC，S△AEB＝S△AEC，
∴阴影部分面积为S；
如图2，∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，且AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，
∴AD垂直平分BC，BE垂直平分AC，CF垂直平分AB，
∴S△BDO＝S△CDO，S△AEO＝S△CEO，S△AFO＝S△BFO，
∴阴影部分面积为S；
如图3，连接AD，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC中点，
∴AD＝BD，∠B＝∠DAC＝45°，AD⊥BC，
∴∠ADM+∠BDM＝90°，且∠MDA+∠ADN＝90°，
∴∠BDM＝∠ADN，且AD＝BD，∠B＝∠DAC＝45°，
∴△ADF≌△DBE（ASA）
∴S△ADF＝S△DBE，
∴阴影部分面积为S；
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，灵活运用等腰三角形的性质是本题的关键．
15．如图1，在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽在一个高为10m的高台A处，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17m、高为3m的矮台B，示意图如图2，在这个过程中，玛丽在荡绳索时离地面的最低点的高度MN为 2 m．
【考点】勾股定理的应用；全等三角形的判定与性质．
【分析】（作AE⊥OM，BF⊥OM，可证△AOE≌△BFO，可得AE＝OF，OE＝BF，则AE﹣BF＝EF＝7，且AE+BF＝17可求AE＝OF＝12，OE＝BF＝5，即可求OM的长．根据勾股定理可求OA＝OB＝ON＝13，即可求MN的长．
【解答】解：（1）如图：
作AE⊥OM于E，BF⊥OM于F，
∵∠AOE+∠BOF＝∠BOF+∠OBF＝90°
∴∠AOE＝∠OBF
在△AOE和△OBF中，
，
∴△AOE≌△OBF（AAS），
∴OE＝BF，AE＝OF，
即OE+OF＝AE+BF＝CD＝17（m）
∵EF＝EM﹣FM＝AC﹣BD＝10﹣3＝7（m），
∴2EO+EF＝17，
则2×EO＝10，
∴OE＝5m，OF＝12m，
∴OM＝OF+FM＝15m，
故答案为：15米；
（2）由勾股定理得OB＝OA＝ON＝13，
∴MN＝15﹣13＝2（m）．
故答案为：2．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
16．如图，2×2方格中阴影正方形的边长的整数部分是 2 ．
【考点】勾股定理．
【分析】利用勾股定理确定边长，然后确定整数部分即可．
【解答】解：由勾股定理得：BC＝＝2，
整数部分是2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了勾股定理的知识，解题的关键是了解勾股定理的内容，难度较小．
17．如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，以△ABC的各边为边，在△ABC外作三个正方形，S1，S2，S3分别表示这三个正方形的面积，若S1＝81，S2＝225，则BC＝ 12 ．
【考点】勾股定理．
【分析】根据正方形的面积公式结合勾股定理，知：以两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．
【解答】解：根据题意得：以两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，
则S3＝225﹣81＝144，
∴BC＝12，
故答案为12．
【点评】考查了勾股定理，能够根据勾股定理以及正方形的面积公式证明结论：以两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．直接运用此结论可以简便计算．
18．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝32°，射线CP从射线CA开始绕点C逆时针旋转α角（0°＜α＜75°），与射线AB相交于点D，将△ACD沿射线CP翻折至△A′CD处，射线CA′与射线AB相交于点E．若△A′DE是等腰三角形，则∠α的度数为 21°或66°或42° ．
【考点】旋转的性质；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）．
【分析】根据折叠的性质可得：，∠A＝∠DA′C＝30°，然后分三种情况：当A′D＝A′E时；当DA′＝DE时；当ED＝EA′时；分别进行计算即可解答．
【解答】解：由折叠得：，∠A＝∠DA′C＝32°，
分三种情况：
当A′D＝A′E时，如图：
∴，
∵∠A′ED是△ACE的一个外角，
∴∠ACE＝∠A′ED﹣∠A＝42°，
∴；
当A′D＝A′E时，当△ADC和△A′DC位于射线AB的同侧时，如图：
∴，
∴∠ACA′＝180°﹣∠A﹣∠A′EA＝132°，
∴；
当DA′＝DE时，
∴∠A′＝∠DEA′＝30°，
∵∠DEA′是△ACE的一个外角，
∴∠DEA′＞32°，
∴此种情况不成立；
当ED＝EA′时，如图：
∴∠EDA′＝∠A′＝32°，
∴∠DEA′＝180°﹣∠EDA′﹣∠A′＝116°，
∵∠A′DE是△ACE的一个外角，
∴∠ACE＝∠A′ED﹣∠A＝84°，
∴；
综上所述：若△A′DE是等腰三角形，则∠α的度数为21°或66°或42°，
故答案为：21°或66°或42°．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，翻折变换（折叠问题），分三种情况讨论是解题的关键．
三．解答题（共7小题）
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E都在边BC上，且BE＝CD，求证：AD＝AE．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，再由SAS证明△ABE≌△ACD（SAS），从而得AD＝AE．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴AD＝AE．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
20．如图，有8×8的正方形网格，按要求操作并计算．
（1）写出点A、B的坐标；点A（ 2 ， 4 ），点B（ 4 ， 3 ）；
（2）连接AB，并画出AB关于y轴对称的线段A′B′；
（3）画出△A′B′O，并求其面积．
【考点】作图﹣轴对称变换；三角形的面积．
【分析】（1）结合直角坐标系可得点A、B的坐标；
（2）找到点A、B关于y轴的对称点，继而可得AB关于y轴对称的线段A′B′；
（3）连接A'、B'、O，利用“补全矩形”法，可求出其面积．
【解答】解：（1）结合直角坐标系可得：点A（2，4），点B（4，3）；
（2）连接AB，并画出AB关于y轴对称的线段A′B′．
（3）如图所示：
S△A′B′O＝4×4﹣×1×2﹣×2×4﹣×3×4＝5．
【点评】本题考查了轴对称作图及三角形的面积，解答本题的关键是正确作出图形，第三问注意补全法的运用．
21．如图，一架长10米的梯子AB，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙（BO）6米
（1）此时梯子顶端A离地面多少米？
（2）若梯子顶端A下滑3米到C处，那么梯子底端B将向左滑动多少米到D处？
【考点】勾股定理的应用．
【分析】（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度．
（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑3米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理即可得出答案．
【解答】解：（1）∵AB＝10米，BO＝6米，
梯子距离地面的高度米，
答：此时梯子顶端离地面8米；
（2）∵梯子下滑了3米，即梯子距离地面的高度CO＝8﹣3＝5米，
∴米，
∴米，即下端滑行了米．
答：梯子底端将向左滑动了米．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，熟知勾股定理是解答此题的关键．
22．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）直线AC是线段BD的垂直平分线吗？请说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．
【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质进行证明即可；
（2）根据垂直平分线的判定即可得出证明；
【解答】（1）证明：在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
（2）解：AC是线段BD的垂直平分线，理由如下：
∵AB＝AD，BC＝DC，
∴A，C在BD的垂直平分线上，
即AC是线段BD的垂直平分线．
【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，判断出△ABC≌△ADC是解本题的关键．
23．综合与实践
【问题情境]
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，△ABC中，若AB＝6，AC＝4，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是 C ；
A．SSS B．AAS C．SAS D．HL
（2）由“三角形的三边关系”，可求得AD的取值范围是 1＜AD＜5 ．
解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
[初步运用]
（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．若EF＝3，EC＝2，求线段BF的长．
[灵活运用]
（4）如图3，在△ABC中，∠A＝90°，D为BC中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交 AC于点F，连接EF，试猜想线段BE、CF、EF三者之间的等量关系，直接写出你的结论．
【考点】三角形综合题．
【分析】（1）由全等三角形的判定定理解答即可；
（2）根据三角形的三边关系计算；
【初步运用】延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，由SAS证得△ADC≌△MDB，根据全等三角形的性质即可得出答案；
【灵活运用】延长ED到点G，使DG＝ED，连接GF、GC，易证EF＝GF，由SAS证得△DBE≌△DCG，得到BE＝CG，推出∠GCF＝90°，再由勾股定理即可得出结果．
【解答】解：（1）∵AD是BC边上的中线，
∴CD＝BD，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故答案为：C；
（2）∵AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即6﹣4＜AE＜6+4，
∴2＜AE＜10，
∵AD＝AE，
∴1＜AD＜5，
故答案为：1＜AD＜5；
（3）延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，如图2所示：
∵AE＝EF．EF＝3，
∴AC＝AE+EC＝3+2＝5，
∵AD是△ABC中线，
∴CD＝BD，
在△ADC和△MDB中，
，
∴△ADC≌△MDB（SAS），
∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠AFE，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，
∴BF＝BM＝AC，
即BF＝5，
故线段BF的长为5；
（4）线段BE、CF、EF之间的等量关系为：BE2+CF2＝EF2，理由如下：
延长ED到点G，使DG＝ED，连接GF、GC，如图3所示：
∵ED⊥DF，
∴EF＝GF，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDG中，
，
∴△DBE≌△DCG（SAS），
∴BE＝CG，∠B＝∠GCD，
∵∠A＝90°，
∴∠B+∠ACB＝90°，
∴∠GCD+∠ACB＝90°，即∠GCF＝90°，
∴Rt△CFG中，CG2+CF2＝GF2，
∴BE2+CF2＝EF2．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边关系、垂直平分线的性质、勾股定理等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
24．我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形．
（1）如图1，△ABC是等边三角形，在BC上任取一点D（B、C除外），连接AD，我们把△ABD绕点A逆时针旋转60°，则AB与AC重合，点D的对应点E．请根据给出的定义判断，四边形ADCE 是 （选择是或不是）等补四边形．
（2）如图2，等补四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，若S四边形ABCD＝8，求BD的长．
（3）如图3，四边形ABCD中，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，BD＝5，求四边形ABCD面积的最大值．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）根据旋转的性质得：AD＝AE，∠ADB＝∠AEC，再证明四边形有一对角互补，根据等补四边形的定义可得结论；
（2）如图2，将△BAD绕点B顺时针旋转90°得△BCG，先证明D、C、G三点共线，根据旋转的性质可知：S四边形ABCD＝S△BDG＝8，根据三角形的面积公式可得BD的长；
（3）如图3，作辅助线：将△BCD绕点B逆时针旋转∠ABC的大小，得△BAE，先证明A、D、E三点共线，则S四边形ABCD＝S△BDE，当BD⊥BE时，△BDE的面积最大，从而得结论．
【解答】解：（1）由旋转得：AD＝AE，∠ADB＝∠AEC，
∵∠ADC+∠ADB＝180°，
∴∠ADC+∠AEC＝180°，
∴四边形ADCE是等补四边形．
故答案为：是；
（2）如图2，∵∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴将△BAD绕点B顺时针旋转90°得△BCG，
∴∠BAD＝∠BCG，BD＝BG，∠DBG＝90°，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∴∠BCD+∠BCG＝180°，
∴D、C、G三点共线，
∵S四边形ABCD＝8，
∴S△BDG＝8，
∴BD2＝8，
∴BD＝4（负值舍去）；
（3）∵AB＝BC，
∴将△BCD绕点B逆时针旋转∠ABC的大小，得△BAE，如图3，
∴BD＝BE＝5，∠BAE＝∠C，S△ABE＝S△BCD，
∵∠BAD+∠C＝180°，
∴∠BAD+∠BAE＝180°，
∴A、D、E三点共线，
∴S四边形ABCD＝S△BDE，
当BD⊥BE时，△BDE的面积最大，为S△BDE＝＝．
则四边形ABCD面积的最大值为．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了利用旋转作全等三角形，三角形和四边形的面积，等补四边形的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用旋转作辅助线，构造全等三角形解决问题．
25．据我国古代某数学著作记载，将一根直尺折成一个直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五．后人概括为“勾三、股四、弦五”．
（1）观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…．发现这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没有间断过，计算（9﹣1），（9+1）与（25﹣1），（25+1），并根据你发现的规律，分别写出能用7，24，25中的勾表示股和弦的算式．
（2）根据（1）的规律，用含n（n为奇数且n≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦．猜想它们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明．
（3）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…．可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用类似上述探索的方法，直接用含m（m为勾，m为偶数且m≥6）的代数式来表示它们的股和弦．
【考点】勾股数；有理数的加减混合运算；列代数式；规律型：图形的变化类．
【分析】（1）通过计算，发现规律为：股是勾的平方减1的一半，弦是勾的平方加1的一半，从而写出结果；
（2）由（1）可知，用n来表示所有这些勾股数的勾，则其股是n的平方减1的一半，弦是n的平方加1的一半；
（3）根据以上探索规律，偶数开头的各组数字，其股是勾的平方的四分之一减1，其弦是勾的平方的四分之一加1．
【解答】解：（1）∵×（9﹣1）＝4，×（9+1）＝5；×（25﹣1）＝12，×（25+1）＝13；
∴表示7、24、25这一组数的股与弦的算式股：×（49﹣1）＝×（72﹣1），弦：×（49+1）＝×（72+1）；
（2）用n（n为奇数，且n≥3）的代数式来表示，股：×（n2﹣1），弦：×（n2+1）；
（3）用m（m为偶数，且m≥6）的代数式来表示，股：m2﹣1，弦：m2+1．
【点评】本题是研究勾股数，考查学生观察、分析、类比和猜想解决问题的能力．属于探索性题目，有利于培养同学们的发散思维能力．