2024-2025学年上海市浦东新区洋泾中学高三（上）质检数学试卷（9月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年上海市浦东新区洋泾中学高三（上）质检数学试卷（9月份）（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若正数m、n、a均不为1，则下列不等式中与“m>n”等价的是( )
A. lgam>lganB. lgma>lgnaC. ma>naD. am>an
2.已知双曲线Γ1：x2a12−y2b12=1(a1>0,b1>0)与Γ2：x2a22−y2b22=1(a2>0,b2>0)有共同的渐近线，则它们一定有相等的( )
A. 实轴长B. 虚轴长C. 焦距D. 离心率
3.下列用递推公式表示的数列中，使得n→+∞liman= 2成立的是( )
A. an=12(an−1+2an−1)(n≥2)a1=−1B. an=an−1+9949an−1+1(n≥2)a1=1
C. an=2−3an−1an−1−3(n≥2)a1=1D. an=2+an−1lnan−1an−1+lnan−1(n≥2)a1=1
4.《九章算术》中所述“羡除”，是指如图所示五面体ABCDEF，其中AB//DC//EF，“羡除”形似“楔体”.“广”是指“羡除”的三条平行侧棱之长a、b、c，“深”是指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离m、“袤”是指这两条侧棱所在平行直线之间的距离n(如图).羡除的体积公式为V=(a+b+c)mn6，过线段AD，BC的中点G，H及直线EF作该羡除的一个截面α，已知α刚好将羡除分成体积比为5：4的两部分.若AB=4、DC=2，则EF的长为( )
A. 2B. 3C. 4D. 6
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.集合A={1,2}，B={2,3}，则A∪B=______．
6.函数y= 3−1x的定义域为______．
7.若α∈(π2,π),cs(π−α)=35，则tanα= ______．
8.若复数z满足3z+z=1+i，其中i是虚数单位，则z= ______．
9.有8位同学在一次考试中的数学成绩如下：95，45，62，78，53，83，74，88，则该小组本次考试数学成绩的第60百分位数为______．
10.已知函数f(x)=x3−2lnx，那么f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 ．
11.向量n=(a,2)为直线x−2y+2=0的法向量，则向量a=(1,1)在n=(a,2)方向上的投影向量为______．
12.对于独立事件A，B，若P(A)=34，P(B)=23，则P(A−∩B−)= ______．
13.学生食堂采用了自助的形式，受到了学生的大力追捧，每位学生都可以从8道菜中任意选择搭配，每位学生至少打1道菜，则总共可以形成______种不同的搭配．
14.已知(x+a)(x−1)7=a0+a1x+a2x2+⋯+a8x8，且a1=13，则a= ______．
15.已知定义在(0,+∞)上的函数y=f(x)，且f(x)=sinx,x∈(0,π2]f′(x−π2),x∈(π2,+∞)，则函y=f(x)−lg2024x的零点个数为______．
16.向量集合S={a|a=(x,y),x,y∈R}，对于任意α，β∈S，以及任意λ∈(0,1)，都有λα+(1−λ)β∈S，则称S为“C类集”，现有四个命题：
①若S为“C类集”，则集合M={μa|a∈S,μ∈R}也是“C类集”；
②若S，T都是“C类集”，则集合M={a+b|a∈S,b∈T}也是“C类集”；
③若A1，A2都是“C类集”，则A1∪A2也是“C类集”；
④若A1，A2都是“C类集”，且交集非空，则A1∩A2也是“C类集”．
其中正确的命题有 (填所有正确命题的序号)．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
如图，四棱锥P−ABCD中，等腰△PAB的边长分别为PA=PB=5，AB=6，矩形ABCD所在的平面与平面PAB垂直．
(1)如果BC=3，求直线PC与平面PAB所成的角的大小：
(2)如果PC⊥BD，求BC的长．
18.(本小题14分)
记Sn为数列{an}的前n项和，已知Sn=an2+n2+1，n∈N∗．
(1)求a1+a2，并证明{an+an+1}是等差数列；
(2)求Sn．
19.(本小题14分)
已知向量a=( 3sinx,csx),b=(sin(x+π2),csx)，设f(x)=a⋅b．
(1)求函数f(x)=a⋅b的单调增区间；
(2)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若f(A)=1，b=4，△ABC的面积3，求边a的长．
20.(本小题18分)
已知直线x−2y+2=0经过椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线l：x=103分别交于M，N两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求线段MN的长度的最小值；
(3)当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得△TSB的面积为15？若存在，确定点T的个数，若不存在，说明理由．
21.(本小题18分)
已知函数y=f(x)的定义域为D，导函数为y=f′(x)，若对任意的x∈D，均有f(x)0，yNf′(π3)，
故f(x)=sinx不是其定义域上的“M一类函数”
(2)g(x)=ax+a−1，所以g′(x)=a．
若函数g(x)=ax+a−1在x∈(0,π)上为“M一类函数”，
则ax+a−1