2024-2025学年宁夏吴忠市青铜峡市宁朔中学高三（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年宁夏吴忠市青铜峡市宁朔中学高三（上）月考数学试卷（9月份）（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z=2−i1+i(i为虚数单位)，则在复平面内复数z所对应的点在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.圆C1：x2+y2−2x=0与圆C2：x2+y2+2x−8y=0的位置关系为( )
A. 外切B. 内切C. 相交D. 外离
3.函数y=ax+3−2(a>0,a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线xm+yn=−1上，且m，n>0，则3m+n的最小值为( )
A. 13B. 16C. 11+6 2D. 28
4.若tanθ=−2，则sinθ(1+sin2θ)sinθ+csθ=( )
A. −65B. −25C. 25D. 65
5.已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，Sn是数列{an}的前n项和，则S9等于( )
A. −8B. −6C. 10D. 0
6.学校有8个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少1个名额，则不同的分配方案种数为( )
A. 45B. 84C. 21D. 42
7.已知正三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上，棱锥的底面是边长为2 3的正三角形，侧棱长为2 5，则球O的表面积为( )
A. 10πB. 25πC. 100πD. 125π
8.已知函数f(x)=ax+1+lnx.若对任意x1，x2∈(0,2]，且x1≠x2，都有f(x2)−f(x1)x2−x1>−1，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,274]B. (−∞,2]C. (−∞,272]D. (−∞,8]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设a，b，c为实数，且a>b>0，则下列不等式中正确的是( )
A. 1a<1bB. ac2>bc2C. (12)a<(12)bD. lga2>lg(ab)
10.对于(2x−1x2)6的展开式，下列说法正确的是( )
A. 展开式共有6项B. 展开式中的常数项是−240
C. 展开式中各项系数之和为1D. 展开式中的二项式系数之和为64
11.已知函数f(x)=2sinxcsx+2cs2x−1，则下列说法正确的是( )
A. 函数f(x)的最小正周期为π
B. 函数f(x)的增区间为[kπ−π8,kπ+3π8](k∈Z)
C. 点(π4,0)是函数f(x)图象的一个对称中心
D. 将函数y= 2sin2x的图象向左平移π8个单位长度，可得到函数f(x)的图象
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知a=(x,1)，b=(1,2)，c=(−1,5)，若(a+2b)//c，则|a|= ．
13.已知函数f(x)=x2−4x，则f(x)在x=2处的切线方程是______．
14.定义在R上的函数f(x)满足：f(x)+f′(x)>1，f(0)=4，则不等式exf(x)>ex+3(其中e为自然对数的底数)的解集为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=bcsC+csinB．
(1)求角B的度数；
(2)若b=2，a+c=4，求△ABC的面积．
16.(本小题15分)
已知数列{an}的前n项和Sn满足 Sn= Sn−1+1(n≥2,n∈N)，且a1=1．
(1)求数列{an}的前n项和Sn；
(2)求数列{an}的通项公式an；
(3)记bn=1an⋅an+1，Tn为{bn}前n项和，求Tn．
17.(本小题15分)
如图，三棱锥P−ABC中，底面△ABC为直角三角形，AB=BC=2，D为AC的中点，PD=DB，PD⊥DB，PB⊥CD．
(1)求证：PD⊥平面BCD；
(2)求PA与平面PBC所成角的正弦值．
18.(本小题17分)
已经函数f(x)=ax−2−lnx，a∈R．
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间；
(Ⅱ)若函数f(x)在x=1处取得极值，对∀x∈(0,+∞)，f(x)≥bx−3恒成立，求实数b的取值范围．
19.(本小题17分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点A(0,−1)，期左、右焦点分别为F1、F2，过F2的一条直线与椭圆交于M、N两点，△MF1N的周长为4 2
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)经过点B(1,1)且斜率为k的直线与椭圆C交于不同的两点P、Q(均异于点A)，证明直线AP与AQ斜率之和为定值．
参考答案
1.D
2.C
3.B
4.C
5.D
6.C
7.B
8.A
9.ACD
10.CD
11.AD
12. 10
13.5x−y−8=0
14.(0,+∞)
15.解：(1)因为a=bcsC+csinB，
所以sinA=sinBcsC+sinCsinB，
所以sin(B+C)=sinBcsC+sinCsinB，
所以sinBcsC+sinCcsB=sinBcsC+sinCsinB，
所以sinCcsB=sinCsinB，
因为sinC>0，
所以csB=sinB，即tanB=1，
所以B=45°；
(2)因为b=2，a+c=4，
由余弦定理得，b2=a2+c2− 2ac=(a+c)2−2ac− 2ac=16−(2+ 2)ac，
所以ac=122+ 2=6(2− 2)，
所以△ABC的面积S=12acsinB=12×6(2− 2)× 22=3 2−3．
16.解：(1)由已知 Sn− Sn−1=1(n≥2,n∈N)，
且 S2− S1=1， S1= a1=1，
∴数列{ Sn}为首项为1，公差为1的等差数列，
∴ Sn=n，即Sn=n2，
(2)由(1)知当n≥2时，
an=Sn−Sn−1=n2−(n−1)2=2n−1，
又a1=1也满足上式，
∴an=2n−1；
(3)由(2)知，bn=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，
∴Tn=12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1．
17.(1)证明：∵AB=BC，D为AC的中点，∴BD⊥CD，
∵PB⊥CD，BD∩PB=D，BD、PB⊂平面PBD，
∴CD⊥平面PBD，
∵PD⊂平面PBD，∴CD⊥PD，
又PD⊥DB，CD∩DB=D，CD、DB⊂平面BCD，
∴PD⊥平面BCD．
(2)解：由(1)知，PD⊥平面BCD，BD⊥AC，
故以D为原点，DA，DB，DP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A( 2,0,0)，B(0, 2,0)，C(− 2,0,0)，P(0,0, 2)，
∴PA=( 2,0,− 2)，PB=(0, 2,− 2)，PC=(− 2,0,− 2)，
设平面PBC的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅PB=0n⋅PC=0，即 2y− 2z=0− 2x− 2z=0，
令z=1，则x=−1，y=1，∴n=(−1,1,1)，
设PA与平面PBC所成角为θ，则sinθ=|cs|=|PA⋅n|PA|⋅|n||=|− 2− 22× 3|= 63，
故PA与平面PBC所成角的正弦值为 63．
18.解：(Ⅰ)在区间(0,+∞)上，f′(x)=a−1x=ax−1x．
①若a≤0，则f′(x)<0，f(x)是区间(0,+∞)上的减函数；
②若a>0，令f′(x)=0得x=1a．
在区间(0,1a)上，f′(x)<0，函数f(x)是减函数；
在区间 上，f′(x)>0，函数f(x)是增函数；
综上所述，①当a≤0时，f(x)的递减区间是(0,+∞)，无递增区间；
②当a>0时，f(x)的递增区间是(1a,+∞)，递减区间是(0,1a)．
(II)因为函数f(x)在x=1处取得极值，所以f′(1)=0
解得a=1，经检验满足题意．
由已知f(x)≥bx−3，则x+1−lnxx≥b
令g(x)=x+1−lnxx=1+1x−lnxx，则g′(x)=−1x2−1−lnxx2=lnx−2x2，
易得g(x)在(0,e2]上递减，在[e2,+∞)上递增，
所以g(x)min=g(e2)=1−1e2，即b≤1−1e2．
19.解：(Ⅰ)由已知可知△MF1N 的周长为4a，∴4a=4 2，得a= 2，
又椭圆经过点A(0,−1)，得b=1，
∴椭圆C的方程为x22+y2=1.…(4分)
证明：(Ⅱ)由题设可设直线PQ的方程为y−1=k(x−1)，k≠2，
化简，得y=kx−k+1，代入x22+y2=1，得(1+2k2)x2−4k(k−1)x+2k(k−2)=0，
由已知△>0，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，x1x2≠0，
则x1+x2=4k(k−1)1+2k2，x1x2=2k(k−2)1+2k2，…(6分)
从而直线AP，AQ的斜率之和
kAP+kAQ=y1+1x1+y2+1x2=kx1−k+2x1+kx2−k+2x2=2k−(k−2)(1x1+1x2) …(8分)
=2k−(k−2)x1+x2x1x2=2k−(k−2)4k(k−1)2k(k−2)=2k−2(k−1)=2，
故直线AP与AQ斜率之和为定值2.…(12分)