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2024-2025学年广东省肇庆市封开县广信中学高三（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）
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这是一份2024-2025学年广东省肇庆市封开县广信中学高三（上）月考数学试卷（9月份）（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|x−1x+3≤0}，B={x||x|<2}，则A∩B=( )
A. {x|−22.已知复数z1=3+4i，z2=3−2i，则z1−z−2等于( )
A. 2iB. 2C. 6iD. 6+2i
3.已知平面向量a=(1,−1)，b=(2,λ)，若a⊥b，则实数λ=( )
A. 2B. −2C. 1D. −1
4.{an}为等差数列，Sn为其前n项和，a7=5，S7=21，则S10=( )
A. 40B. 35C. 30D. 28
5.若函数f(x)=(1−2m)x+1,x<1−x2+(m−2)x,x≥1在R上单调递减，则实数m的取值范围为( )
A. (12,53]B. (12,53)C. (12,4]D. (12,4)
6.已知函数y=f(x)是偶函数，且对任意的x1，x2∈[0,+∞)(x1≠x2)，有f(x2)−f(x1)x2−x1<0，若f(a+2)>f(a−3)，则实数a的取值范围是( )
A. {a|a<12}B. {a|a>12}C. {a|a<1}D. {a|a>1}
7.已知f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，当x∈(0,1)时，f(x)=x+m.若f(172)+f(2)=1，则f(113)=( )
A. 73B. 56C. −73D. −56
8.如图，在Rt△ABC，∠A=90°，AC=1，AB=2，点P在以B为圆心，1为半径的圆上，则PA⋅PC的最大值为( )
A. 5 17+117
B. 5+ 17
C. 165
D. 565
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(2,1)，b=(−3,1)，则( )
A. (a+b)⊥a
B. 与向量a共线的单位向量是(2 55, 55)
C. |a+2b|=5
D. 向量a在向量b上的投影向量是− 102b
10.下列命题正确的是( )
A. 已知x<0，则y=x+1x有最大值−2
B. 已知a>0，b>0，a+2b=1，则1ab≤18
C. x2+5 x2+4的最小值是2
D. x2+7x2+2的最小值为2 7−2
11.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)为偶函数，f(x)的图象关于原点对称，且当0≤x≤1时，f(x)=−x2+2x，则下列说法正确的是( )
A. f(x)的图象关于直线x=2对称B. f(2.1)>f(3.5)
C. 当−1≤x≤0时，f(x)=x2+2xD. f(1)+f(2)+…+f(10)=0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知扇形的半径为2，弧长为2，则该扇形的圆心角是______.面积为______．
13.已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)=ln(−x)+4x，则曲线y=f(x)在点(1,−4)处的切线方程是______．
14.已知函数f(x)=−x3+2x2−3x，若过点P(−1,m)(其中m是整数)可作曲线y=f(x)的三条切线，则m的所有可能取值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csinB=bsin(C+π3)，
(1)求C；
(2)若b=6，且△ABC的面积为6 3，求△ABC的周长．
16.(本小题15分)
已知单调递增数列{an}的前n项和为Sn，且an2+n=2Sn．
(1)求{an}的通项公式；
(2)记lg3bn=an，求数列{anbn}的前n项和Tn．
17.(本小题15分)
在△ABC中，已知D为AB的中点，AC=2 3，CD=2，∠ADC=60°．
(1)求△ABC的面积；
(2)求BC的长．
18.(本小题17分)
设函数f(x)=x−3x−4lnx．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在[1e,e]上的最大值与最小值．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=ex−ax2−x−1．
(1)若f(1)=e−2，求f(x)的单调区间；
(2)若x∈(0,+∞)，f(x)>0，求实数a的取值范围．
参考答案
1.C
2.A
3.A
4.A
5.A
6.A
7.D
8.B
9.ACD
10.AD
11.BC
12.1 2
13.3x+y+1=0
14.2，3，4，5
15.解：(1)在△ABC中，由csinB=bsin(C+π3)及正弦定理，
得sinCsinB=sinBsin(C+π3)，而sinB>0，
则sin(C+π3)=sinC，即12sinC+ 32csC=sinC′，
化简得tanC= 3，又C∈(0,π)，
所以C=π3；
(2)由(1)及三角形面积公式，
得12absinC=3 32a=6 3，解得a=4，
由余弦定理，得c= a2+b2−2abcsC= 42+62−2×4×6×12=2 7，
所以△ABC的周长为a+b+c=10+2 7．
16.解：(1)因为an2+n=2Sn，
所以当n=1时，a12+1=2S1=2a1，解得a1=1；
当n≥2时，由an2+n=2Sn得，an−12+n−1=2Sn−1，
两式相减，得an2−an−12+1=2an，即(an−1)2−an−12=0，
所以(an−1+an−1)(an−1−an−1)=0，
因为{an}单调递增，且a1=1，
所以an≥1，an−1+an−1>0，
所以an−1−an−1=0，即an−an−1=1，
故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，
所以数列{an}的通项公式为an=n．
(2)由lg3bn=an，知bn=3an=3n，
所以anbn=n3n，
所以Tn=13+232+⋯+n3n①，
有13Tn=132+233+⋯+n−13n+n3n+1②，
①−②，得23Tn=13+132+⋯+13n−n3n+1=13(1−13n)1−13−n3n+1=12−2n+32×3n+1，
所以Tn=34−2n+34×3n．
17.解：(1)根据题意可知S△ABC=S△ADC+S△DBC，
又因为D为AB的中点，可得S△ADC=S△DBC，
AC=2 3，CD=2，∠ADC=60°，
根据余弦定理AC2=AD2+DC2−2AD⋅DC⋅cs∠ADC，
代入已知条件得(2 3)2=AD2+22−2×2×12AD，
解得AD=4，
因为AC2+CD2=AD2，
所以可得△ADC是直角三角形，且AB=8，
所以S△ADC=12CD⋅AC=12×2×2 3=2 3，
因为D为AB的中点，
所以S△ABC=2S△ACD=4 3；
(2)由第一问可知∠A=30°，AB=8，
根据余弦定理可知BC2=AC2+AB2−2AC⋅AB⋅cs∠A，
代入得BC2=(2 3)2+82−2×8×2 3× 32，
所以可得BC=2 7．
18.解：(1)求导可得f′(x)=(x−1)(x−3)x2．
当x∈(0,1)∪(3,+∞)时，f′(x)>0；
当x∈(1,3)时，f′(x)<0，
所以f(x)的单调递增区间为(0,1)，(3,+∞)，单调递减区间为(1,3)．
(2)令f′(x)=0，得x=1或x=3．
因为1∈[1e,e],3∉[1e,e]，
由(1)知f(x)在[1e,e]上的最大值为f(1)=−2．
f(1e)=1e−3e+4,f(e)=e−3e−4，
因为f(1e)−f(e)=8−4(e−1e)<0，
所以f(x)在[1e,e]上的最小值为f(1e)=1e−3e+4．
19.解：(1)f(x)=ex−ax2−x−1，
则f(1)e−a−2=e−2，得a=0，
则f(x)=ex−x−1，f′(x)=ex−1，
当x∈(−∞,0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
(2)由f(x)=ex−ax2−x−1，得f′(x)=ex−2ax−1，
令g(x)=f′(x)=ex−2ax−1，则g′(x)=ex−2a(x>0)，
当a≤12时，g′(x)=ex−2a>0在(0,+∞)上恒成立，
则g(x)单调递增，即f′(x)>f′(0)=0，
可得f(x)在(0,+∞)上单调递增，有f(x)>f(0)=0成立；
当a>12时，由g′(x)=ex−2a<0，得0可知当x∈(0,ln2a)时，g(x)即f′(x)f(x)在(0,ln2a)上单调递减，有f(x)<0，不满足对∀x∈(0,+∞)，有f(x)>0．
综上所述，实数a的取值范围是(−∞,12].
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|x−1x+3≤0}，B={x||x|<2}，则A∩B=( )
A. {x|−2
A. 2iB. 2C. 6iD. 6+2i
3.已知平面向量a=(1,−1)，b=(2,λ)，若a⊥b，则实数λ=( )
A. 2B. −2C. 1D. −1
4.{an}为等差数列，Sn为其前n项和，a7=5，S7=21，则S10=( )
A. 40B. 35C. 30D. 28
5.若函数f(x)=(1−2m)x+1,x<1−x2+(m−2)x,x≥1在R上单调递减，则实数m的取值范围为( )
A. (12,53]B. (12,53)C. (12,4]D. (12,4)
6.已知函数y=f(x)是偶函数，且对任意的x1，x2∈[0,+∞)(x1≠x2)，有f(x2)−f(x1)x2−x1<0，若f(a+2)>f(a−3)，则实数a的取值范围是( )
A. {a|a<12}B. {a|a>12}C. {a|a<1}D. {a|a>1}
7.已知f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，当x∈(0,1)时，f(x)=x+m.若f(172)+f(2)=1，则f(113)=( )
A. 73B. 56C. −73D. −56
8.如图，在Rt△ABC，∠A=90°，AC=1，AB=2，点P在以B为圆心，1为半径的圆上，则PA⋅PC的最大值为( )
A. 5 17+117
B. 5+ 17
C. 165
D. 565
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(2,1)，b=(−3,1)，则( )
A. (a+b)⊥a
B. 与向量a共线的单位向量是(2 55, 55)
C. |a+2b|=5
D. 向量a在向量b上的投影向量是− 102b
10.下列命题正确的是( )
A. 已知x<0，则y=x+1x有最大值−2
B. 已知a>0，b>0，a+2b=1，则1ab≤18
C. x2+5 x2+4的最小值是2
D. x2+7x2+2的最小值为2 7−2
11.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)为偶函数，f(x)的图象关于原点对称，且当0≤x≤1时，f(x)=−x2+2x，则下列说法正确的是( )
A. f(x)的图象关于直线x=2对称B. f(2.1)>f(3.5)
C. 当−1≤x≤0时，f(x)=x2+2xD. f(1)+f(2)+…+f(10)=0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知扇形的半径为2，弧长为2，则该扇形的圆心角是______.面积为______．
13.已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)=ln(−x)+4x，则曲线y=f(x)在点(1,−4)处的切线方程是______．
14.已知函数f(x)=−x3+2x2−3x，若过点P(−1,m)(其中m是整数)可作曲线y=f(x)的三条切线，则m的所有可能取值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csinB=bsin(C+π3)，
(1)求C；
(2)若b=6，且△ABC的面积为6 3，求△ABC的周长．
16.(本小题15分)
已知单调递增数列{an}的前n项和为Sn，且an2+n=2Sn．
(1)求{an}的通项公式；
(2)记lg3bn=an，求数列{anbn}的前n项和Tn．
17.(本小题15分)
在△ABC中，已知D为AB的中点，AC=2 3，CD=2，∠ADC=60°．
(1)求△ABC的面积；
(2)求BC的长．
18.(本小题17分)
设函数f(x)=x−3x−4lnx．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在[1e,e]上的最大值与最小值．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=ex−ax2−x−1．
(1)若f(1)=e−2，求f(x)的单调区间；
(2)若x∈(0,+∞)，f(x)>0，求实数a的取值范围．
参考答案
1.C
2.A
3.A
4.A
5.A
6.A
7.D
8.B
9.ACD
10.AD
11.BC
12.1 2
13.3x+y+1=0
14.2，3，4，5
15.解：(1)在△ABC中，由csinB=bsin(C+π3)及正弦定理，
得sinCsinB=sinBsin(C+π3)，而sinB>0，
则sin(C+π3)=sinC，即12sinC+ 32csC=sinC′，
化简得tanC= 3，又C∈(0,π)，
所以C=π3；
(2)由(1)及三角形面积公式，
得12absinC=3 32a=6 3，解得a=4，
由余弦定理，得c= a2+b2−2abcsC= 42+62−2×4×6×12=2 7，
所以△ABC的周长为a+b+c=10+2 7．
16.解：(1)因为an2+n=2Sn，
所以当n=1时，a12+1=2S1=2a1，解得a1=1；
当n≥2时，由an2+n=2Sn得，an−12+n−1=2Sn−1，
两式相减，得an2−an−12+1=2an，即(an−1)2−an−12=0，
所以(an−1+an−1)(an−1−an−1)=0，
因为{an}单调递增，且a1=1，
所以an≥1，an−1+an−1>0，
所以an−1−an−1=0，即an−an−1=1，
故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，
所以数列{an}的通项公式为an=n．
(2)由lg3bn=an，知bn=3an=3n，
所以anbn=n3n，
所以Tn=13+232+⋯+n3n①，
有13Tn=132+233+⋯+n−13n+n3n+1②，
①−②，得23Tn=13+132+⋯+13n−n3n+1=13(1−13n)1−13−n3n+1=12−2n+32×3n+1，
所以Tn=34−2n+34×3n．
17.解：(1)根据题意可知S△ABC=S△ADC+S△DBC，
又因为D为AB的中点，可得S△ADC=S△DBC，
AC=2 3，CD=2，∠ADC=60°，
根据余弦定理AC2=AD2+DC2−2AD⋅DC⋅cs∠ADC，
代入已知条件得(2 3)2=AD2+22−2×2×12AD，
解得AD=4，
因为AC2+CD2=AD2，
所以可得△ADC是直角三角形，且AB=8，
所以S△ADC=12CD⋅AC=12×2×2 3=2 3，
因为D为AB的中点，
所以S△ABC=2S△ACD=4 3；
(2)由第一问可知∠A=30°，AB=8，
根据余弦定理可知BC2=AC2+AB2−2AC⋅AB⋅cs∠A，
代入得BC2=(2 3)2+82−2×8×2 3× 32，
所以可得BC=2 7．
18.解：(1)求导可得f′(x)=(x−1)(x−3)x2．
当x∈(0,1)∪(3,+∞)时，f′(x)>0；
当x∈(1,3)时，f′(x)<0，
所以f(x)的单调递增区间为(0,1)，(3,+∞)，单调递减区间为(1,3)．
(2)令f′(x)=0，得x=1或x=3．
因为1∈[1e,e],3∉[1e,e]，
由(1)知f(x)在[1e,e]上的最大值为f(1)=−2．
f(1e)=1e−3e+4,f(e)=e−3e−4，
因为f(1e)−f(e)=8−4(e−1e)<0，
所以f(x)在[1e,e]上的最小值为f(1e)=1e−3e+4．
19.解：(1)f(x)=ex−ax2−x−1，
则f(1)e−a−2=e−2，得a=0，
则f(x)=ex−x−1，f′(x)=ex−1，
当x∈(−∞,0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
(2)由f(x)=ex−ax2−x−1，得f′(x)=ex−2ax−1，
令g(x)=f′(x)=ex−2ax−1，则g′(x)=ex−2a(x>0)，
当a≤12时，g′(x)=ex−2a>0在(0,+∞)上恒成立，
则g(x)单调递增，即f′(x)>f′(0)=0，
可得f(x)在(0,+∞)上单调递增，有f(x)>f(0)=0成立；
当a>12时，由g′(x)=ex−2a<0，得0
综上所述，实数a的取值范围是(−∞,12].
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