2024-2025学年北京市海淀区清华大学附属中学高三上学期第一次月考数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市海淀区清华大学附属中学高三上学期第一次月考数学试题（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=x∣1<3x≤9,B={x∈Z∣x≥1}，则A∩B=( )
A. (1,2]B. {1,2}C. [1,2]D. {1}
2.已知复数z=1+2i2−i，则z的共轭复数z=( )
A. −12B. 2+iC. −iD. i
3.已知aA. a2C. lna+14.已知fx=sinωxω>0，fx1=−1，fx2=1，x1−x2min=π4，则ω=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.如图，在▵ABC中，点D，E满足BC=2BD，CA=3CE.若DE=xAB+yAC(x,y∈R)，则x+y=( )
A. −12B. −13C. 12D. 13
6.若α是第二象限角，且tanπ−α=12，则csπ2+α=( )
A. 32B. − 32C. 55D. − 55
7.已知数列an为无穷项等比数列，Sn为其前n项和，a1>0，则“Sn存在最小项”是“S2≥0”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
8.若过点a,b可以作曲线y=ex的两条切线，则( )
A. eb9.血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度，药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确的是
A. 首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用
B. 每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒
C. 每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用
D. 首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒
10.数列an满足a4n−3=−1，a4n−1=1，a2n=an，该数列的前n项和为Sn，则下列论断中错误的是( )
A. a31=1
B. a2024=−1
C. ∃非零常数T，∀n∈N∗，使得an+T=an
D. ∀n∈N∗，都有S2n=−2
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.若lg2x+1≤0，则实数x的取值范围是 ．
12.已知角θ的顶点为坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，点A(1,a)(a∈Z)在角θ终边上，且OA≤3，则tanθ的值可以是 .(写一个即可)
13.在矩形ABCD中，|AB|=2,|AD|=1，且点E，F分别是边BC,CD的中点，则(AE+AF)⋅AC= ．
14.已知函数f(x)=xcsπx2.数列{an}满足an=f(n)+f(n+1)(n∈N∗)，则数列{an}的前100项和是 ．
15.已知平面内点集A=P1,P2,⋅⋅⋅,Pnn>1，A中任意两个不同点之间的距离都不相等.设集合B=PiPj∀m∈1,2,⋯,nm≠i,0①若n=2，则A=M；
②若n为奇数，则A≠M；
③若n为偶数，则A=M；
④若Pi1Pj,Pi2Pj,⋯,PikPj⊆B，则k≤5．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
在等差数列an中，a2=5，a3+a6=20．
(1)求数列an的通项公式：
(2)设bn=an+12an，其中n∈N∗，求数列bn的前n项和Sn．
17.(本小题12分)
已知函数fx=asin2x−π6−2cs2x+π6，其中a>0.且fx的图象与直线y=−3的两个相邻交点的距离等于π．
(1)求函数fx的解析式及最小正周期：
(2)若关于x的方程fx=1在区间0,m上恰有两个不同解，求实数m的取值范围．
18.(本小题12分)
在▵ABC中，bsin2A= 3asinB．
(1)求∠A；
(2)若▵ABC的面积为3 3，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使▵ABC存在且唯一确定，求a的值．
条件①：sinC=2 77；条件②：bc=3 34；条件③：csC= 217．
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
19.(本小题12分)
已知函数fx=ex−x+ax−1．
(1)求证：对∀a∈R.曲线y=fx在点0,f0处的切线恒过定点；
(2)当a>2时，判断函数fx的零点的个数，并说明理由．
20.(本小题12分)
设函数fx=12ax2−2a+1x+lnx−1+4.其中a>0．
(1)求函数fx的单调区间；
(2)当a=12时．对于∀x1,x2∈2,m，不等式fx2≤2fx1−14恒成立，求m的取值范围．
21.(本小题12分)
已知无穷数列an，bn各项都是正整数，定义集合：Da=nan≤bn+j,j=1,2,⋯，Db=nbn≤an+j,j=1,2,⋯；
(1)已知an=2n−1，bn=3n−2，直接写出集合Da,Db；
(2)若an−bn=1n=1,2,⋯，a1=1，Da∩Db=⌀，求证：an中有无穷多个1；
(3)若an，bn均为等差数列，且Da，Db均为无限集，求证：Da=Db．
参考答案
1.B
2.C
3.D
4.D
5.B
6.D
7.A
8.D
9.D
10.C
11.−112.1(0,±1,±2均可)
13.152
14.100
15.①③④
16.(1)设等差数列an的公差为d，则有a1+d=5,2a1+7d=20.
解得a1=3，d=2．
所以数列an的通项公式为an=a1+n−1d=2n+1．
(2)bn=an+12an=2n+1+122n+1．
因为数列122n+1是首项为18，公比为14的等比数列，
所以Sn=n2n+42+181−14n1−14=n2+2n+16−14n6=6n2+12n+1−14n6．

17.(1)函数fx=asin2x−π6−2cs2x+π6
=asin2x−π6−cs2x+π3−1
=asin2x−π6−sin−2x+π6−1
=a+1sin2x−π6−1
函数fx的最小正周期为T=2π2=π，
因为fx的图象与直线y=−3的两个相邻交点的距离等于π，
所以函数fx的最小值为−3，
所以−(a+1)−1=−3，解得a=1，
所以fx=2sin2x−π6−1．
(2)由fx=2sin2x−π6−1=1，知sin2x−π6=1，
因为x∈[0,m]，所以2x−π6∈−π6,2m−π6，
由于fx=1在区间0,m上有两个不同解，所以2m−π6∈5π2,9π2，即m∈4π3,7π3．

18.解：(1)因为bsin2A= 3asinB，由正弦定理得，sinBsin2A= 3sinAsinB，
又B∈(0,π)，所以sinB≠0，得到sin2A= 3sinA，
又sin2A=2sinAcsA，所以2sinAcsA= 3sinA，
又A∈(0,π)，所以sinA≠0，得到csA= 32，
所以A=π6．
(2)选条件 ①:sinC=2 77
由(1)知，A=π6，根据正弦定理知，ca=sinCsinA=2 7712=4 77>1，即c>a，
所以角C有锐角或钝角两种情况，△ABC存在，但不唯一，故不选此条件．
选条件 ②:bc=3 34
因为S△ABC=12bcsinA=12bcsinπ6=14bc=3 3，所以bc=12 3，
又bc=3 34，得到b=3 34c，代入bc=12 3，得到3 34c2=12 3，解得c=4，所以b=3 3，
由余弦定理得，a2=b2+c2−2bccsA=(3 3)2+42−2×3 3×4× 32=27+16−36=7，
所以a= 7．
选条件 ③:csC= 217
因为S△ABC=12bcsinA=12bcsinπ6=14bc=3 3，所以bc=12 3，
由csC= 217，得到sinC= 1−cs2C= 1−2149=2 77，
又sinB=sin(π−A−C)=sin(A+C)=sinAcsC+csAsinC，由(1)知A=π6，
所以sinB=12× 217+2 77× 32=3 2114
又由正弦定理得，bc=sinBsinC=3 21142 77=3 34，得到b=3 34c，
代入bc=12 3，得到3 34c2=12 3，解得c=4，所以b=3 3，
由余弦定理得，a2=b2+c2−2bccsA=(3 3)2+42−2×3 3×4× 32=27+16−36=7，
所以a= 7．
19.(1)由fx=ex−x+ax−1求导可得，f′(x)=ex−−a−1(x−1)2=ex+a+1(x−1)2，
依题意，f(0)=1+a,f′(0)=2+a，
故曲线y=f(x)在点0,f0处的切线为y−(1+a)=(2+a)x，
即(x+1)a+2x−y+1=0，因a∈R，故有x+1=02x−y+1=0，解得x=−1y=−1,
即切线恒过点(−1,−1)，得证；
(2)fx=ex−x+ax−1的定义域为(−∞,1)∪(1,+∞)，由(1)已得：f′(x)=ex+a+1(x−1)2，a>2，
①当x∈(−∞,1)时，f′(x)>0，则fx在(−∞,1)上单调递增．
由f(0)=1+a>0，而f(−a−1)=e−a−1−−1−a−2=1ea+1−1a+2，
因ea+1>a+2>0(下面证明)，故f(−a−1)<1a+2−1a+2=0，
即f(0)f(−a−1)<0，由零点存在定理可得，f(x)在(−a−1,0)上有且仅有一个零点，
即f(x)在(−∞,1)上只有一个零点；
下证：ex>x+1,(x>0).设g(x)=ex−(x+1)，则g′(x)=ex−1>0，
即g(x)在(0,+∞)上单调递增，故g(x)>g(0)=0，即ex>x+1,(x>0)成立．
②当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，则fx在1,+∞上单调递增．
由f(32)=e32−a−3，因a>2，则−a−3<−5，而e32= e3< 25=5，故f(32)<0，
又f(a+1)=ea+1−2a+1a=ea+1−1a−2>a+2−1a−2=a−1a，
因y=x−1x在(2,+∞)上单调递增，故fa+1>a−1a>2−12=32>0，
即f(32)f(a+1)<0，由零点存在定理可得，f(x)在(32,a+1)上有且仅有一个零点，
即f(x)在(1,+∞)上只有一个零点．
综上所述，a>2时，fx在(−∞,1)∪(1,+∞)上有两个零点．

20.(1)由fx=12ax2−2a+1x+lnx−1+4(x>1)，
可得f′x=ax−2a+1+1x−1=ax2−(3a+1)x+2a+2x−1=[ax−(a+1)](x−2)x−1，
令f′x=0，可得[ax−(a+1)](x−2)x−1=0，解得x=1+1a或x=2，
当02，
若10，函数fx在(1,2)上单调递增，
若2若x>1+1a，f’(x)>0，函数fx在(1+1a,+∞)上单调递增；
当a=1时，1+1a=2，此时f’(x)≥0，函数fx在(1,+∞)上单调递增；
当a>1时，1+1a<2，
若10，函数fx在(1,1+1a)上单调递增，
若1+1a若x>2，f’(x)>0，函数fx在(2,+∞)上单调递增；
综上所述：
当0当a=1时，函数fx在(1,+∞)上单调递增，
当a>1时，函数fx在(1,1+1a)和(2,+∞)上单调递增，在(1+1a,2)上单调递减．
(2)当a=12时，fx=14x2−2x+lnx−1+4(x>1)，
由(1)可知fx在(2,3)上单调递减，在(3,+∞)上单调递增，
所以fxmin=f(3)=14+ln2，又f2=1，
因为对于∀x1,x2∈2,m，不等式fx2≤2fx1−14恒成立，
所以fx2max≤2fx1min−14，
由1≤2×(14+ln2)−14=2ln2成立，所以f(2)≤2f(3)−14①成立，
故2当m>3时，对于∀x1,x2∈2,m，不等式fx2≤2fx1−14恒成立，
若f3以下讨论m>3且fm>f2，
此时，只需14m2−2m+lnm−1+4≤2(14+ln2)−14，
即14m2−2m+lnm−1+154−2ln2≤0，
令g(m)=14m2−2m+lnm−1+154−2ln2，所以g′(m)=12m−2+1m−1，
令φ(m)=g′(m)=12m−2+1m−1，所以φ(m)=12−1(m−1)2>0，
所以φ(m)≥φ(3)=0，即g′(m)≥0，
所以g(m)在(3,+∞)上单调递增，又g(5)=254−10+ln4+154−2ln2=0，
所以3综上所述：m的取值范围为(2,5]．

21.(1)对于集合Da，已知an=2n−1,bn=3n−2，根据Da的定义n∈Da当且仅当an≤bn+j，j=1,2,⋯当j=1时，bn+1=3(n+1)−2=3n+1．
要使an≤bn+1，即2n−1≤3n+1，解得n≥−2.因为n是正整数，
所以n=1,2,⋯都满足．
所以Da={n|n∈N+}
对于集合Db，已知an=2n−1，bn=3n−2．
根据Db的定义n∈Db当且仅当bn≤an+j,j=1,2,⋯
当j=1时，an+1=2(n+1)−1=2n+1.要使bn≤an+1，即3n−2≤2n+1，解得n≤3 ．
当n=1时，b1=1,a2=3，满足b1≤a2;
当n=2时，b2=4,a3=5，满足b2≤a3;
当n=3时，b3=7,a4=7，满足b3≤a4
所以Db={1,2,3}.
(2)假设{an}中只有有限个1.因为|an−bn|=1，所以an=bn±1．
由于Da∩Db=⌀，则存在N，当n>N时，an>bn+j或者bn>an+j恒成立．
不妨设an=bn+1(n>N)，那么an>bn+1，即bn+1>bn+1，这与{bn}各项都是正整数矛盾.所以假设不成立，即{an}中有无穷多个1．
(3)设an=a1+(n−1)d1,bn=b1+(n−1)d2．
因为Da是无限集，对于任意大的n，存在j使得an≤bn+j，
即a1+(n−1)d1≤b1+(n+j−1)d2，整理得(d2−d1)n+(b1+jd2−a1)≥0对任意大的n成立，所以d2≥d1.同理，因为Db是无限集，对于任意大的n，存在j使得bn≤an+j，
即b1+(n−1)d2≤a1+(n+j−1)d1，整理得(d1−d2)n+(a1+jd1−b1)≥0对任意大的n成立，d1≥d2.所以d1=d2．
设d=d1=d2.对于任意n∈Da，存在j使得an≤bn+j，
即a1+(n−1)d≤b1+(n+j−1)d，移项得a1−b1≤jd．
对于这个n，也存在k使得bn≤an+k，即b1+(n−1)d≤a1+(n+k−1)d，
移项得b1−a1≤kd，所以n∈Db，即Da⊆Db．
同理可证Db⊆Da，所以Da=Db．