2024-2025学年北京市西城外国语学校高三上学期9月月考数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市西城外国语学校高三上学期9月月考数学试题（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A={x|x2−5x+6>0}，B={x|x−1<0}，则A∩B=
A. (−∞,1)B. (−2,1)C. (−3,−1)D. (3,+∞)
2.复数z=3+i2−i在复平面上的对应点落在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.下列函数中，值域为R且在区间(0,+∞)上单调递增的是
A. y=x2+2xB. y=2x+1C. y=x3+1D. y=(x−1)|x|
4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，a2+a3=11，则S6−S3=
A. 27B. 39C. 45D. 63
5.设a=20.3,b=(12)−0.5,c=ln2，则( )
A. c6.已知函数fx=Asinωx+φ的部分图象如图所示，则fx的表达式为( )
A. fx=2sin32x+π4B. fx=2sin23x+2π9
C. fx=2sin32x+5π4D. fx=2sin23x+25π18
7.“csθ=0”是“函数f(x)=sin(x+θ)+csx为偶函数”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
8.点声源在空间中传播时，衰减量ΔL(单位：dB)与传播距离r(单位：米)的关系式为ΔL=10lgπr24，则r从5米变化到40米时，衰减量的增加值约为( )参考数据：lg2≈0.3
A. 24dBB. 18dBC. 16dBD. 12dB
9.已知函数f(x)=|2x−2|，若f(a)=f(a≠b)，则a+b的取值范围是( )( )
A. (−∞,1)B. (−∞,2)C. (1,+∞)D. (2,+∞)
10.如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为
A. 4β+4csβ B. 4β+4sinβ
C. 2β+2csβ D. 2β+2sinβ
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知角α终边上一点P(−2,−1)，则tan2α= ．
12.函数f(x)= xx−2的定义域为 ．
13.已知α为第二象限角，csπ2−α=1114，则sinα+π3= ．
14.已知函数fx的导函数为f′x，且f′x是偶函数，f′0=1，f′1=0.写出一个满足条件的函数fx= ．
15.已知函数f(x)=ax+1,x≤0lnx,x>0，给出下列三个结论：
①当a=−2时，函数f(x)的单调递减区间为(−∞,1)；
②若函数f(x)无最小值，则a的取值范围为(0,+∞)；
③若a<1且a≠0，则∃b∈R，使得函数y=f(x)−b.恰有3个零点x1，x2，x3，且x1x2x3=−1．
其中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB=2 6，CD= 6，csA= 63，cs∠ADB=13．
(1)求cs∠BDC；
(2)求BC的长．
17.(本小题12分)
已知函数fx=2sinxcsx+acs2x，且fπ3= 3．
(1)求a的值；
(2)求函数fx的最小正周期及单调递增区间；
(3)若对于任意的x∈0,m，总有fx≥f0，直接写出m的最大值．
18.(本小题12分)
已知函数fx=exx−a−1．
(1)当a=0时，求曲线y=fx在0,f0处的切线方程；
(2)求fx的单调性；
(3)求函数fx在0,1上的最小值．
19.(本小题12分)
在▵ABC中，已知a2+b2− 2ab=c2．
(1)求角C的大小；
(2)若c=2 2，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得▵ABC存在且唯一确定，求▵ABC的面积．
条件①：sinA=45；
条件②：2acsA=ccsB+bcsC；
条件③：▵ABC的周长是2 6+2 2．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
20.(本小题12分)
图象识别是人工智能领域的一个重要研究方向.某中学人.工智能兴趣小组研发了一套根据人脸照片识别性别的程序.在对该程序的一轮测试中，小组同学输入了200张不同的人脸照片作为测试样本，获得数据如下表(单位：张)：
假设用频率估计概率，且该程序对每张照片的识别都是独立的．
(1)从这200张照片中随机抽取一张，已知这张照片的识别结果为女性，求识别正确的概率；
(2)在新一轮测试中，小组同学对3张不同的男性人脸照片依次测试，每张照片至多测一次，当首次出现识别正确或3张照片全部测试完毕，则停止测试.设X表示测试的次数，估计X的分布列和数学期望EX；
(3)为处理无法识别的照片，该小组同学提出上述程序修改的三个方案：
方案一：将无法识别的照片全部判定为女性；
方案二：将无法识别的照片全部判定为男性；
方案三：将无法识别的照片随机判定为男性或女性(即判定为男性的概率为50%，判定为女性的概率为50%)．
现从若干张不同的人脸照片(其中男性､女性照片的数量之比为1:1)中随机抽取一张，分别用方案一､方案二､方案三进行识别，其识别正确的概率估计值分别记为p1,p2,p3.试比较p1,p2,p3的大小.(结论不要求证明)
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=lnxax(a>0)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)≤x−1a对x∈(0,+∞)恒成立，求a的取值范围；
(3)若x2lnx1+x1lnx2=0x1≠x2，证明：x1+x2>2．
参考答案
1.A
2.D
3.C
4.B
5.B
6.C
7.C
8.B
9.B
10.B
11.43/113
12.0,2∪2,+∞
13.−17
14.−13x3+x(答案不唯一)
15.②③
16.解：(Ⅰ)因为AB/​/CD，csA= 63，cs∠ADB=13，
所以角A，和∠ADB均为锐角，
所以sinA= 1−cs2A= 33，
sin∠ADB= 1−cs2∠ADB=2 23，
所以cs∠BDC=cs∠ABD=cs[π−(A+∠ADB)]=−cs(A+∠ADB)
=sinAsin∠ADB−csAcs∠ADB
= 33×2 23− 63×13= 69．
(Ⅱ)由已知及正弦定理BDsinA=ABsin∠ADB，可得BD 33=2 62 23，解得BD=3，
由于cs∠BDC= 69，CD= 6，
在△BCD中，由余弦定理可得BC= CD2+BD2−2CD⋅BD⋅cs∠BDC
= 6+9−2× 6×3× 69= 11．
17.(1)因为fx=2sinxcsx+acs2x，fπ3= 3，所以2sinπ3csπ3+acsπ32= 3，所以2× 32×12+a122= 3，所以a4= 32，所以a=2 3，
(2)由(1)fx=2sinxcsx+2 3cs2x，化简得fx=sin2x+ 3cs2x+1，
所以fx=sin2x+ 3cs2x+ 3=2sin2x+π3+ 3，
所以函数fx的最小正周期T=2π2=π，
由2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2，k∈Z，得kπ−5π12≤x≤kπ+π12，k∈Z，
所以函数fx的单调递增区间为kπ−5π12,kπ+π12，k∈Z；
(3)由fx≥f0，可得2sin2x+π3+ 3≥2 3，所以sin2x+π3≥ 32，所以2kπ+π3≤2x+π3≤2kπ+2π3，k∈Z，化简可得kπ≤x≤kπ+π6
由对于任意的x∈0,m，总有fx≥f0可得m的最大值为π6．

18.(1)当a=0时，fx=exx−1，则f′x=exx−1+ex=xex，
所以f0=−1，f′0=0，
所以曲线y=fx在0,f0处的切线方程为y=−1．
(2)由题意得f′x=exx−a，因为ex>0恒成立，
所以当x∈−∞,a时，f′x<0，fx单调递减，
当x∈a,+∞时，f′x>0，fx单调递增．
(3)由(2)得，①当a>1时，fx在0,1上单调递减，fminx=f1=−ae；
②当0③当a≤0时，fx在0,1上单调递增，fminx=f0=−a−1．

19.(1)因为a2+b2− 2ab=c2，即a2+b2−c2= 2ab，
可得csC=a2+b2−c22ab= 2ab2ab= 22，
且C∈0,π，所以C=π4．
(2)因为C=π4，c=2 2，由正弦定理可得asinA=bsinB=csinC=2 2 22=4，
可得a=4sinA,b=4sinB．
若选条件①：因为C=π4，sinA=45，即sinC可得A∈π4,π2∪π2,3π4，可知满足条件的角A有两个，不唯一，不合题意；
若选条件②：因为2acsA=ccsB+bcsC，
由正弦定理可得2sinAcsA=sinCcsB+sinBcsC=sinB+C=sinA，
且A∈0,π，则sinA≠0，可得csA=12，
则A=π3，a=4sinA=2 3，
因为两角和两边均已确定，根据三角形全等可知三角形存在且唯一，
又因为sinB=sinA+C=sinAcsC+csAsinC= 6+ 24，
所以▵ABC的面积S▵ABC=12acsinB=12×2 3×2 2× 6+ 24=3+ 3；
若选条件③：因为▵ABC的周长是2 6+2 2，
则a+b+c=a+b+2 2=2 6+2 2，即b=2 6−a，
由余弦定理可得c2=a2+b2−2abcsC，即8=a2+2 6−a2−2a2 6−a× 22，
整理可得a2−2 6a+82− 2=0，且Δ=24−4×1×82− 2=84 2−5>0，
可知方程a2−2 6a+82− 2=0有2个不相等的实根a1,a2，
且a1+a2=2 6>0a1a2=82− 2>0，可知方程a2−2 6a+82− 2=0有2个不相等的正实根，
即边a不唯一，不合题意．
综上，只有选条件②符合题意．

20.(1)根据题中数据，共有20+60=80张照片被识别为女性，其中确为女性的照片有60张，所以该照片确为女性的概率为6080=34．
(2)设事件A:输入男性照片且识别正确．
根据题中数据，PA可估计为90120=34．
由题意知X的所有可能取值为1,2,3．
PX=1=34,PX=2=14×34=316,PX=3=14×14=116．
所以X的分布列为
所以EX=1×34+2×316+3×116=2116．
(3)由题可知，调查的200张照片中，其中女生共有80个，男生共有120个，
程序将男生识别正确的频率为90120=34，识别为女生的频率为20120=16，无法识别的频率为10120=112，
程序将女生识别正确的频率为6080=34，识别为男生的频率为1080=18，无法识别的频率为1080=18，
由频率估计概率得
p1=12×34+12×34+12×112×0+12×18×1=34+116=1316，
p2=12×34+12×34+12×112×1+12×18×0=34+124=1924，
p3=12×34+12×34+12×112×12+12×18×12=34+596=7796，
所以p1>p3>p2

21.解：由已知得函数定义域为(0,+∞)，f′(x)=1−lnxax2，
(Ⅰ)令f′(x)=0得x=e，因为a>0，
f′(x)>0⇒0e，
所以f(x)的单调递增区间为(0,e)，单调递减区间为(e,+∞)；
(Ⅱ)结合a>0，由已知得lnx−ax2+x≤0在x∈(0,+∞)恒成立，
即a≥lnx+xx2在(0,+∞)上恒成立，令g(x)=lnx+xx2(x>0)，g′(x)=−2lnx−x+1x3，显然g′(1)=0，
再令ℎ(x)=−2lnx−x+1，ℎ′(x)=−2x−1<0，故ℎ(x)在(0,+∞)上单调递减，
结合ℎ(1)=0，
当00，即g′(x)>0，当x>1时，ℎ(x)<0，即g′(x)<0，
即g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
故g(1)=1是g(x)的极大值，也是g(x)的最大值，
故a≥1即为所求，故a的取值范围是[1,+∞)；
(Ⅲ)证明：由x2lnx1+x1lnx2=0(x1≠x2)得lnx1x1+lnx2x2=0，且x1≠1，x2≠1，
当a=1时，令m(x)=lnx−x2+x，(x>0)，显然m(1)=0，
m′(x)=−2x2+x+1x=−(x−1)(2x+1)x，
x∈(0,1)时，m′(x)>0，x∈(1,+∞)时，m′(x)<0，
即m(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
故m(1)=0是m(x)的极大值，也是最大值，即lnx−x2+x≤0(x=1时取等号)，
所以lnxx≤x−1，(当且仅当x=1时取等号)，
所以lnx1x1两式相加得lnx1x1+lnx2x20，
故x1+x2>2． 识别结果真实性别
男
女
无法识别
男
90
20
10
女
10
60
10
X
1
2
3
P
34
316
116