2024-2025学年江苏省常州市教科院附属高级中学高一（上）学情调研数学试卷（9月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省常州市教科院附属高级中学高一（上）学情调研数学试卷（9月份）（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.满足{2}⊆A⊆{2,4,6}的集合A的个数为
A. 2B. 3C. 4D. 8
2.设x∈R，则“x>2”是“x2+4≥4x”的( )
A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要
3.命题“∀x>1,x2−m>1”的否定是( )
A. ∃x>1,x2−m⩽1B. ∃x⩽1,x2−m⩽1
C. ∀x>1,x2−m⩽1D. ∀x⩽1,x2−m⩽1
4.已知全集U=R，集合A={x|x≥4或x≤0}，B={x|x>4或x≤−2}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A. (−2,0]B. [−2,0]
C. [−2,0]∪{4}D. (−2,0]∪{4}
5.集合A={xx<−1或x≥3}，B=xax+1≤0 ，若B⊆A，则实数a的取值范围是( )
A. [ −13,1B. −13,1
C. −∞,−1∪ 0,+∞D. −13,0∪0,1
6.某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为0.1万元，已知使用x年的维修总费用为x2+x27万元，则该设备年平均费用最少时的年限为( )
A. 7B. 8C. 9D. 10
7.已知命题“∃x0∈[−1,1]，−x02+3x0+a>0”为真命题，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,−2)B. (−∞,4)C. (−2,+∞)D. (4,+∞)
8.已知关于x的不等式a≤34x2−3x+4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b}，则b的值为( )
A. 4B. 43C. 34D. 83
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若不等式x2−2x−3≤0对∀x∈[a,a+2]恒成立，则实数a的值可能为( )
A. −2B. −1C. 12D. 2
10.若a，b，c∈R，则下列说法不成立的有( )
A. 若ab≠0且a1bB. 若0C. 若a>b>0，则b+1a+111.设U是一个非空集合，F是U的子集构成的集合，如果F同时满足：①⌀∈F，②若A，B∈F，则A∩(∁UB)∈F且A∪B∈F，那么称F是U的一个环.则下列说法正确的是( )
A. 若U={1,2,3,4,5,6}，则F={⌀,{1,3,5}，{2,4,6}，U}是U的环
B. 若U={a,b,c}，则存在U的一个环F，F含有8个元素
C. 若U=Z，则存在U的一个环F，F含有4个元素且{2}，{3,5}∈F
D. 若U=R，则存在U的一个环F，F含有7个元素且[0,3]，[3,5]∈F
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知关于x的不等式2x2+ax−a2>0的解集中的一个元素为2，则实数a的取值范围为______．
13.已知集合A={−2,0,2,4}，B={x||x−3|≤m}，若A∩B=A，则m的最小值为 ．
14.若a>−1，2ab=2−3a−2b，则a+2b的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知命题“∃x∈R，方程x2+2x−m+6=0有实根”是真命题．
(1)求实数m的取值集合A；
(2)已知集合B={x|2a−1≤x≤3a−1}，若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，求a的取值范围．
16.(本小题12分)
已知全集U=R，不等式ax2+bx−1>0的解集是A={x|4m}．
(1)求实数a，b的值；
(2)求(∁UA)∪B；
(3)若A∩C=⌀，B∩C≠⌀，求m的取值范围．
17.(本小题12分)
已知函数y=ax2−x+3．
(1)若函数y=ax2−x+3的图象恒在x轴上方，求实数a的取值范围；
(2)已知集合M={x|1≤x≤3}，N={x|ax2−x+3=9}，若M∩N≠⌀，求a的取值范围．
18.(本小题12分)
常州市某企业为紧抓新能源发展带来的历史机遇，决定开发一款锂电池生产设备.生产此设备的年固定成本为280万元，且每生产x台(x∈N∗)需要另投入成本c(x)(万元)，当年产量x不足40台时，c(x)=13x2+40x−430(万元)；当年产量x不少于40台时c(x)=61x+3600x+2−1290(万元).经过市场调查和分析，若每台设备的售价定为60万元时，则该企业生产的锂电池设备能全部售完．
(1)分别求年产量x不足40台和年产量x不少于40台时，年利润y(万元)关于年产量x(台)的函数关系式；
(2)年产量x为多少台时，企业在这款锂电池生产设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？
19.(本小题12分)
已知关于x的不等式|ax−3|≤2的解集为{x|1≤x≤5}．
(1)求实数a的值；
(2)解不等式|ax−3|<2|a(x+1)−3|−1；
(3)若在函数y=|ax−3|图象上，分别取横坐标为x1，x2(x1≥3,x2≥3)时，其纵坐标之和为3，证明：4x1+x2+4x1x2+x2>910．
参考答案
1.C
2.B
3.A
4.D
5.A
6.C
7.C
8.A
9.BC
10.ACD
11.ABC
12.{a|−213.5
14.2 5−4
15.(1)由题可知，命题“∃x∈R，方程x2+2x−m+6=0有实根”是真命题，
则Δ=b2−4ac=4−4(6−m)≥0，则m≥5，
所以A={m|m≥5}．
(2)若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，则B⫋A，
①当B=⌀时，2a−1>3a−1，即a<0，满足题意；
②当B≠⌀时，2a−1≤3a−12a−1≥5，即a≥3，满足题意；
综上所述：a的取值范围为(−∞,0)∪[3，+∞)．
16.(1)由不等式ax2+bx−1>0的解集是A={x|4可得a<016a+4b−1=064a+8b−1=0，解得a=−132,b=38．
(2)由不等式5x−10+1≤0，可得x−5x−10≤0，B={x|5≤x<10}，
因为A={x|4可得(∁UA)∪B=(−∞,4]∪[5,+∞)．
(3)因为A∩C=⌀，A={x|4m}，
可得m≥8，
又因为B∩C≠⌀，B={x|5≤x<10}，C={x|x>m}，
可得m<10，
所以实数m的取值范围为[8,10)．
17.解：(1)①a=0，y=−x+3，不符合题意(舍去)，
②a≠0，(i)a<0时，y=ax2−x+3不恒在x轴上方(舍去)，
(ii)a>0，若函数y=ax2−x+3的图象恒在x轴上方，则Δ=b2−4ac<0，即a>112，
综上所述：实数a的取值范围为(112,+∞)；
(2)法1：∵M∩N≠⌀，∴∃x∈M，使得ax2−x+3=9有解，
∵x∈[1,3]，∴a=6x2+1x，
令y=6x2+1x，令t=1x，则t∈[13,1]，y=6t2+t，
其对称轴为t=−112，故函数在[13,1]上单调递增，故y∈[1,7]，
故实数a的取值范围为[1,7]．
法2：①a=0时，x=−6(舍去)；
②a>0时，y=ax2−x−6，Δ=1+24a>0，x=1± 1+24a2a，
正根1≤x=1+ 1+24a2a≤3，解得a∈[1,7]．
③a<0时，y=ax2−x−6过点(0,−6)，对称轴x=12a<0，
所以y=ax2−x−6在[1,3]内与x轴无交点(舍去)；
综上可知实数a的取值范围为[1,7]．
18.解：(1)由题意可知，当0y=60x−280−(13x2+40x−430)=−13x2+20x+150，
当x≥40，x∈N∗时，
y=60x−280−(61x+3600x+2−1290)=−x−3600x+2+1010，
所以年利润y关于年产量x的函数关系式为y=−13x2+20x+150,0(2)当0由二次函数的性质可知，当x=30时，y取得最大值450，
当x≥40，x∈N∗时，
y=−x−3600x+2+1010=−[(x+2)+3600x+2]+1012≤−2 (x+2)⋅3600x+2+1012=−2×60+1012=892，
当且仅当x+2=3600x+2时，即x=58时，等号成立，
即x=58时，y取得最大值892，
由于892>450，
所以当年生产58台时，该企业年利润的最大值为892万元．
19.解：(1)因为|ax−3|≤2，则−2≤ax−3≤2，即1≤ax≤5，
又因为解集为{x|1≤x≤5}，则a>0，且1a≤x≤5a，
可得1a=15a=5，解得a=1．
(2)由(1)可知：a=1，则不等式化为|x−3|<2|x−2|−1，
则x<2−(x−3)<−2(x−2)−1或x≥3x−3<2(x−2)−1或2≤x<3−(x−3)<2(x−2)−1，解得x≥3，或83所以不等式的解集为{x|x<0或x>83}．
(3)由(1)知a=1，
在函数y=|ax−3|图象上，分别取横坐标为x1，x2(x1≥3,x2≥3)时，其纵坐标之和为3，
则|x1−3|+|x2−3|=x1+x2−6=3，
可得x1+x2=9，即(x1+1)+x2=10，且4x1+x2+4x1x2+x2=1x1+1+4x2，
则1x1+1+4x2=110(1x1+1+4x2)[(x1+1)+x2]=110[5+x2x1+1+4(x1+1)x2]
≥110[5+2 x2x1+1⋅4(x1+1)x2]=910，当且仅当x2x1+1=4(x1+1)x2，即x1=73,x2=203时，等号成立，
又因为x1≥3，故等号取不到，所以4x1+x2+4x1x2+x2>910．