2024-2025学年福建省龙岩二中高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年福建省龙岩二中高二（上）第一次月考数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知数列{an}是等差数列，若a2+a4+2a7=24，则a5=( )
A. 8B. 6C. 5D. 4
2.在等比数列{an}中，已知a1=3，an=48，Sn=93，则n的值为( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
3.在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和是( )
A. −4或1712B. 4或1712C. 4D. 1712
4.从1，2，3，⋯，9这9个数字中任取3个不同的数字，使它们成等差数列，则这样的等差数列共有( )
A. 16个B. 24个C. 32个D. 48个
5.已知{an}的前n项和为Sn，a1=1，当n≥2时，an+2Sn−1=n，则S2023的值为( )
A. 1009B. 1010C. 1011D. 1012
6.已知{an}是递增的等比数列，且a3+a4+a5=28，等差数列{bn}满足b2=a3，b5=a4+2，b8=a5.设m为正整数，且对任意的n∈N∗，m≥b1a2+b2a3+⋯+bnan+1，则m的最小值为( )
A. 8B. 7C. 5D. 4
7.在数列{an}中，已知a1=3，且an+1=4an+6n−5(n∈N∗)，则a15=( )
A. 415−15B. 215−29C. 215−15D. 415−29
8.设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d1,S2=12,S4=120，求证：数列an具有“性质P”；
(2)若等差数列bn的首项b1=1，公差d∈Z，求证：数列bn具有“性质P”，当且仅当d∈N；
(3)如果各项均为正整数的无穷等比数列cn具有“性质P”，且213,512,415,1012四个数中恰有两个出现在数列cn中，求c1的所有可能取值之和．
参考答案
1.B
2.B
3.B
4.C
5.D
6.D
7.D
8.C
9.ABD
10.ACD
11.BCD
12.73
13.k=15m+10，m∈N
14.(−∞, 2)
15.解：(1)∵an+1=3an+2(n∈N∗)，
∴an+1+1=3(an+1)，
又∵a1+1=2+1=3，
∴数列{an+1}是首项、公比均为3的等比数列，
∴an+1=3n，即an=3n−1；
(2)由(1)得bn=n(an+1)=n(3n−1+1)=n⋅3n，
则Sn=1⋅31+2⋅32+3⋅33+⋯+n⋅3n，
则13Sn=1⋅30+2⋅31+3⋅32+⋯+(n−1)⋅3n−2+n⋅3n−1，
两式相减得−23Sn=30+31+32+⋯+3n−2+3n−1−n⋅3n=1−3n1−3−n⋅3n=(12−n)⋅3n−12，
∴Sn=−32[(12−n)⋅3n−12]=(n2−14)⋅3n+1+34．
16.解：(1)设数列{an}的公差为d，
由题意得a2+a4=2a1+4d=14,S3=3a1+3d=15,
解得a1=3，d=2，
所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，
所以数列{an}的通项公式为an=2n+1，n∈N+．
(2)由(1)知，an=2n+1，
所以bn=1anan+1=1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1−12n+3)．
设数列{bn}的前n项和为Tn，
则Tn=b1+b2+⋯+bn=12[(13−15)+(15−17)+⋯+(12n+1−12n+3)]
=12(13−12n+3)=n3(2n+3)．
17.解：(Ⅰ)假设甲超市前n年总销售额为Sn，第n年销售额为an则Sn=a2(n2−n+2)(n≥2)，因为n=1时，a1=a，则n≥2时，
an=Sn−Sn−1=a2(n2−n+2)−a2[(n−1)2−(n−1)+2]=a(n−1)，
故an=a.n=1(n−1)a,n≥2；
设乙超市第n年销售额为bn，
又b1=a，n≥2时，bn−bn−1=a(23)n−1
故bn=b1+(b2−b1)+(b3−b2)+…+(bn−bn−1)=[3−2⋅(23)n−1]a．
显然n=1也适合，故bn=[3−2⋅(23)n−1]a(n∈N∗).
(Ⅱ)当n=2时，a2=a，b2=53a，有a2>12b2；当n=3时，a3=2a，b3=199a，有a3>12b3；
当n≥4时，an≥3a，而bnbn，则12(n−1)a>[3−2⋅(23)n−1]a，∴n−1>6−4⋅(23)n−1，即n>7−4⋅(23)n−1．
又当n≥7时，01,q=3,a1=3,an=3n,
若ak=ai⋅aj,则3k=3i⋅3j=3i+j,
则当k=i+j,对任意正整数i,ji≠j，都存在正整数k使得ak=ai⋅aj,
则等比数列an满足性质P ；
(2)因为数列bn具有“性质P”bn=b1+n−1d，
则bk=b1+k+1d,bi=b1+i−1d,bj=b1+j−1d,
若数列具有性质P,则b1+k−1d=b1+i−1db1+j−1d，
则b1+k−1d=b12+b1⋅d⋅j−1+i−1+i−1j−1d2，
又b1=1,则1+(k−1)d=12+dj−1+i−1+i−1j−1d2,
则k−1d=dj−1+i−1+i−1j−1d2，
则dj−1+i−1−k−1+i−1j−1d2=0，
则d(j−1)i−1−k−1+i−1j−1d=0，
又d∈Z则当d=0时上式成立，
当d≠0时.j−1i−1−k−1+i−1j−1d=0，
则i−1j−11+d−k−1=0,i−1j−11+d=k−1.
因为i,j,k∈N∗,则i,j≠1时，则k−1≠0,则k≠1,k−1∈N,则1+d∈N,则d∈N.
反之，若d∈N,则1+d∈N,则上面各式成立，则数列bn具有“性质P”，
综上数列bn具有“性质P”，当且仅当d∈N ；
(3)从213,512,415,1012这四个数中任选两个，
共有以下6种情况：213，1012；213，415；213，512;1012，415;1012，512;415，512．
①对于213，415因为415213=217为正整数，
可以认为an是等比数列中的项，an=2n−1，首项的最小值为1．
下面说明此数列具有性质P：
213=a12，415=a29，任取i,j∈N∗，j>i≥1，
则ai⋅aj=2i−1⋅2j−1=ai+j−1，
i+j−1为正整数，因此此数列具有性质P；
②对于1012，512.因为1012512=212为正整数，认为是等比数列an中的项，an=512⋅2n−1，
首项的最小值为512，下面说明此数列不具有性质P：
512=a1，1012=a13，
若ak=a1⋅a13=512⋅1012不为等比数列an中的项，
因此此数列不具有性质P，
同理可得213，1012；213，512；1012，415；415，512，
每组所在等比数列an不具有“性质P”．