2024-2025学年湖南省娄底市涟源市部分学校高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年湖南省娄底市涟源市部分学校高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法正确的是( )
A. 零向量没有方向
B. 空间向量不可以平行移动
C. 如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等
D. 同向且等长的有向线段表示同一向量
2.设复数z=i(i−1)，则|z|=( )
A. 12B. 22C. 1D. 2
3.已知a=(2,3,−1)，b=(2,0,4)，c=(−4,−6,2)，则下列结论正确的是( )
A. b//cB. a//bC. a⊥bD. a⊥c
4.两平面α，β的法向量分别为u=(3,−1,z)，v=(−2,−y,1)，若α⊥β，则y+z的值是( )．
A. −3B. 6C. −6D. −12
5.学校开展学生对食堂满意度的调查活动，已知该校高一年级有学生550人，高二年级有学生500人，高三年级有学生450人．现从全校学生中用分层抽样的方法抽取60人调查，则抽取的高二年级学生人数为( )
A. 18B. 20C. 22D. 24
6.如图：在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M为A1C1，B1D1的交点.若A1B1=a，A1D1=b，A1A=c，则向量BM=( )
A. −12a+12b+c
B. −12a+12b−c
C. −12a−12b+c
D. 12a−12b+c
7.已知空间中两条不同的直线m，n，其方向向量分别为a，b，则“∀λ∈R，a≠λb”是“直线m，n相交”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
8.已知二面角α−l−β中，平面α的一个法向量为n1=( 32,12, 2)，平面β的一个法向量为n2=(0,12, 2)，则二面角α−l−β的平面角满足( )
A. 余弦值为 32B. 正弦值为12C. 大小为60°D. 大小为30°
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题是真命题的有( )
A. A，B，M，N是空间四点，若BA,BM,BN能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面
B. 直线l的方向向量为a=(1,−1,2)，直线m的方向向量为b=(2,1,−12)，则l与m垂直
C. 直线l的方向向量为a=(0,1,−1)，平面α的法向量为n=(1,−1,−1)，则l⊥α
D. 平面α经过三点A(1,0,−1),B(0,1,0),C(−1,2,0),n=(1,u,t)是平面α的法向量，则u+t=1
10.在空间直角坐标系Oxyz中，A(2,0,0)，B(1,1,−2)，C(2,3,1)，则( )
A. AB⋅BC=−5
B. |AC|=2 3
C. 异面直线OB与AC所成角的余弦值为 1530
D. 点O到直线BC的距离是3 4214
11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E为A1B1的中点，P为棱BC上的动点(包含端点)，则下列结论正确的是( )
A. 存在点P，使D1P⊥AC1
B. 存在点P，使PE=D1E
C. 四面体EPC1D1的体积为定值83
D. 二面角P−D1E−C1的余弦值的取值范围是[23, 63]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(2,4,5),b=(4,x,y)，分别是直线l1、l2的方向向量，若l1//l2，则x+y= ______．
13.已知AB=(2,3,1)，AC=(4,5,3)，那么向量BC= ．
14.若a,b,c为空间两两夹角都是120°的三个单位向量，则|a+2b−3c|= ______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知向量a=(2,−1,2),b=(1,4,1)．
(1)求a+b,a−b,|2a|；
(2)求向量a+2b与a−b夹角的余弦值．
16.(本小题12分)
已知正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为2，若F为C1C的中点，则

(1)求直线BB1与直线DF的夹角的余弦值；
(2)求证：平面A1BD⊥平面BDF．
17.(本小题12分)
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且(b+a)(sinB−sinA)=c(sinC−sinA)．
(1)求B；
(2)若b=2，△ABC的面积为 3，求△ABC的周长．
18.(本小题12分)
在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，且PA=2，四边形ABCD是直角梯形，且AB⊥AD，BC//AD，AD=AB=2，BC=4，M为PC中点，E在线段BC上，且BE=1．

(1)求证：DM//平面PAB；
(2)求直线PB与平面PDE所成角的正弦值；
(3)求点E到PD的距离．
19.(本小题12分)
如图所示，在三棱锥P−ABC中，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．
(1)证明：BC⊥平面PAB；
(2)若PA=AB=6，BC=3，在线段PC上(不含端点)，是否存在点D，使得二面角B−AD−C的余弦值为 105，若存在，确定点D的位置；若不存在，说明理由．
参考答案
1.D
2.D
3.C
4.B
5.B
6.B
7.B
8.B
9.BD
10.AC
11.AB
12.18
13.(2,2,2)
14. 21
15.解：(1)因为向量a=(2,−1,2),b=(1,4,1)．
由空间向量的坐标运算法则可知：
a+b=(2,−1,2)+(1,4,1)=(3,3,3)，
a−b=(1,−5,1)，|2a|=2 22+(−1)2+22=6．
(2)设a−b与a+2b的夹角为θ，则csθ=(a+2b)⋅(a−b)|a+2b|⋅|a−b|，
a+2b=(4,7,4)，|a+2b|=9，a−b=(1,−5,1)，|a−b|=3 3，
所以csθ=4×1+7×(−5)+4×19×3 3=−2727 3=− 33，
所以向量a−b与a+2b夹角的余弦值为− 33．
16.(1)解：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，BB1//CC1，
所以直线BB1与直线DF的夹角，
即直线CC1与直线DF的夹角，即为∠DFC，
在Rt△DCF中，DC=2，CF=1，
所以DF= 5，则cs∠DFC=CFDF=1 5= 55，
所以直线BB1与直线DF的夹角的余弦值为 55；
(2)证明：如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，
取BD的中点O，连接A1O，FO，A1F，A1C1，

易得A1B=A1D=2 2，FB=FD= 5，
所以A1O⊥BD，FO⊥BD，
又A1O⊂平面A1BD，FO⊂平面FBD，且平面A1BD∩平面FBD=BD，
所以∠A1OF即为平面A1BD与平面FBD所成角，
在Rt△DOF中，OF= DF2−OD2= 3，
又BD=2 2，O是BD的中点，则DO=BO= 2，
在Rt△A1BD中，A1O= A1B2−BO2= 6，
又CC1⊥平面A1B1C1D1，
所以在Rt△A1C1F中，A1F= A1C12+C1F2=3，
则A1F2=A1O2+OF2，所以∠A1OF=π2，
所以平面A1BD⊥平面FBD．
17.解：(1)因为(b+a)(sinB−sinA)=c(sinC−sinA)，
由正弦定理可得(b+a)(b−a)=c(c−a)，
整理可得b2=a2+c2−ac，
而由正弦定理可得b2=a2+c2−2accsB，
所以csB=12，B∈(0,π)，
解得B=π3；
(2)由(1)及S△ABC=12acsinB=12ac⋅ 32= 3，可得ac=4，
由余弦定理可得b2=a2+c2−2accsB=(a+c)2−3ac，
b=2，
所以(a+c)2=4+12=16，
所以a+c=4，
即三角形的周长为a+b+c=2+4=6．
所以△ABC的周长为6．
18.解：(1)如图，取 BC 中点 F ，连接 MF,DF

因为 F 为 BC 中点， BC//AD ， AD=AB=2 ， BC=4 ，所以 BF=AD ， BF//AD
所以四边形 ABFD 为平行四边形，所以 AB//DF ，
又 DF⊄ 平面 PAB ， AB⊂ 平面 PAB ，所以 DF// 平面 PAB ，
因为 F 为 BC 中点， M 为 PC 中点，则 MF//PB ，
又 MF⊄ 平面 PAB ， PB⊂ 平面 PAB ，所以 MF// 平面 PAB ，
因为 MF∩DF=F,MF,DF⊂ 平面 MDF ，所以平面 MDF// 平面 PAB ，
又 DM⊂ 平面 MDF ，故 DM// 平面 PAB ．
(2)
根据题意，分别以 AB,AD,AP 所在直线为 x,y,z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，
由条件可得， A(0,0,0),P(0,0,2),B(2,0,0),D(0,2,0),E(2,1,0) ，
则 PB=(2,0,−2),PD=(0,2,−2),PE=(2,1,−2) ，
设平面 PDE 的法向量为 n=(x,y,z) ，
则 PD⋅n=2y−2z=0PE⋅n=2x+y−2z=0 ，解得 y=zy=2x ，
取 y=2 ，则 x=1,z=2 ，所以平面 PDE 的一个法向量为 n=(1,2,2) ，
设直线PB与平面 PDE 所成角为 θ ，
则 sin θ=|cs|=|PB⋅n||PB|⋅|n|=|2−4|2 2×3= 26 ．
所以直线PB与平面 PDE 所成角的正弦值为 26 ．
(3)由(2)可知， PD=(0,2,−2),PE=(2,1,−2) ，
所以点 E 到PD的距离为 (PE)2−(PE⋅PD|PD|)2= 9−(62 2)2=3 22 ．

19.(1)证明：过点A作AE⊥PB于点E，
因为平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC=PB，AE⊂平面PAB，
所以AE⊥平面PBC，
又BC⊂平面PBC，
所以AE⊥BC，
又PA⊥平面ABC，BC⊂平面PBC，所以PA⊥BC，
又因为AE∩PA=A，AE，PA⊂平面PAB，
所以BC⊥平面PAB．
(2)解：假设在线段PC上(不含端点)，存在点D，使得二面角B−AD−C的余弦值为 105，
以B为原点，分别以BC、BA为x轴，y轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
则A(0,6,0)，B(0,0,0)，C(3,0,0)，P(0,6,6)，
AC=(3,−6,0)，AP=(0,0,6)，PC=(3,−6,−6)，BA=(0,6,0)，
设平面ACD的一个法向量为m=(x,y,z)，
m⋅AC=0,m⋅AP=0,即3x−6y=0,6z=0,
取x=2，y=1，z=0，则m=(2,1,0)，
因为D在线段PC上(不含端点)，
所以可设PD=λPC=(3λ,−6λ,−6λ)，0