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2024-2025学年广东省开平市教伦中学高一上第一次月考数学试题（含答案）
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这是一份2024-2025学年广东省开平市教伦中学高一上第一次月考数学试题（含答案），共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设集合M= x−1A. {x∣−12.已知命题p:∀x>0，5x2−4x−1≥0，则命题p的否定为( )
A. ∀x>0，5x2−4x−1<0B. ∀x>0，5x2−4x−1≤0
C. ∃x>0，5x2−4x−1<0D. ∃x>0，5x2−4x−1≤0
3.设P=a(2a+5),Q=(2a+1)(a+2)，则( )
A. P>QB. P=Q
C. P4.王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的( )
A. 充分条件B. 既不充分也不必要条件
C. 充要条件D. 必要条件
5.下列各组函数表示同一函数的是( )
A. f(x)= x2 , g(x)=( x)2B. f(x)=x，g(x)=3x3
C. f(x)=1，g(x)=x0D. f(x)=x+1 , g(x)=x2−1x−1
6.已知集合A=x∣x2−3x+2=0，B={x∣xA. a>2B. a<2C. a≤2D. a≥2
7.若a,b,c∈R，则下列命题正确的是( )
A. 若a1bB. 若a>b>0，则b+1a+1C. 若a>b，则ac2>bc2D. 若ac2>bc2，则a>b
8.已知关于x的一元二次不等式x2+bx+c≤0的解集为{x|2≤x≤3}，则关于x的不等式cx2+bx+1≤0的解集为( )
A. {x|13≤x≤12}B. {x|2≤x≤3}
C. {x|−3≤x≤−2}D. {x|−12≤x≤−13}
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列四个命题中，是存在量词命题并且是真命题的是( )
A. 存在实数x，使x2≤0B. 有一个无理数，它的立方是有理数
C. 存在一个实数，它的倒数是它的相反数D. 每个三角形的内角和都是180∘
10.如图，已知矩形U表示全集，A,B是U的两个子集，则阴影部分可表示为( )
A. ∁UA∩BB. ∁U(A∩B)C. ∁B(A∩B)D. ∁(A∪B)(A∩B)
11.设正实数a，b满足a+b=1，则( )
A. 1a+1b有最小值4B. ab有最小值12
C. a+ b有最大值 2D. a2+b2有最小值12
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数f(x)=(x+1)0 2−x的定义域为 ．
13.已知114.命题“∃x∈R，ax2+ax+1≤0”为假命题，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知函数fx= 2x+3+1 3−x的定义域为A，gx=x2−2x+2的值域为B．
(Ⅰ)求A、B；
(Ⅱ)求A⋂∁RB．
16.(本小题12分)
已知非空集合P=x|a+1≤x≤2a+1,Q=x|−2≤x≤5．
(1)若a=3，求∁RP∩Q；
(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分条件，求实数a的取值范围．
17.(本小题12分)
已知集合A={x|(x−a)(x−3a)≤0}，集合B={x|(x−3)(2−x)≥0}．
(1)当a=1时，求A∩B，A∪B；
(2)设a>0，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
开平市教伦中学计划在田径场建造一间地面为矩形、背面靠墙的器材室，占地面积为48m2，器材室正面每平方米的造价为1200元，侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元.墙高为3m，且不计器材室背面和地面的费用．
(1)列出总造价y与器材室正面长度x的关系式；
(2)器材室正面长度x为多少时能使总造价最低？并求出最低总造价．
19.(本小题12分)
已知A为方程ax2+2x+1=0的所有实数解构成的集合，其中a为实数．
(1)若A是空集，求a的范围；
(2)若A是单元素集合，求a的范围：
(3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围．
参考答案
1.B
2.C
3.C
4.D
5.B
6.A
7.D
8.A
9.AB
10.AC
11.ACD
12.{x|x<2且x≠−1}
13.(−15,0)
14.[0,4)
15.解：(Ⅰ)由fx= 2x+3+1 3−x得2x+3≥0,3−x>0,
解得−32≤x<3．
gx=x2−2x+2=x−12+1≥1，
所以A=x−32≤x<3，B=yy≥1．
(Ⅱ)∁RB=yy<1，所以A∩∁RB=x−32≤x<1．
16.解：(1)当a=3时，P=x4≤x≤7 ，∁RP={xx<4或x>7}，又Q=x|−2≤x≤5，
所以∁RP∩Q=x−2≤x<4 ．
(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分条件，即P⊆Q，
因为P是非空集合，所以2a+1≥a+1，即a≥0，
所以a+1≥−22a+1≤5a≥0，解得0≤a≤2，
故实数a的取值范围为：[0,2]．
17.解：(1)a=1时，A={x|x2−4x+3<0}=(1,3)，集合B=[2,3]．
∴A∩B=[2,3),A∪B=(1,3]．
(2)a>0时，A=(a,3a)，B=[2,3]．
∵“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，
∴B⫋A，∴a<23a>3，解得1∴实数a的取值范围是(1,2).
18.解：(1)由题意可知正面长度为x，由占地面积为48m2，则侧面长度为48x，
可得y=3x⋅1200+3⋅48x⋅800×2+48×5800=3600(x+64x)+278400(x>0)；
(2)令f(x)=x+64x(x>0)，根据基本不等式可得f(x)≥2x⋅64x=16，
当且仅当x=8时，等号成立，即f(x)min=16，
ymin=3600⋅f(x)min+278400=336000，
所以器材室正面长度x=8时能使总造价最低，最低总造价为336000元．
19.解：(1)若A是空集，则方程ax2+2x+1=0无解，
当a=0时，方程2x+1=0有解，不符合题意；
当a≠0时，Δ=4−4a<0，得a>1．
综上所述：a>1．
(2)若A是单元素集合，则方程ax2+2x+1=0有唯一实根，
当a=0时，方程2x+1=0有唯一解x=−12，符合题意；
当a≠0时，Δ=4−4a=0，得a=1．
综上所述：a=0或a=1．
(3)若A中至多有一个元素，则方程ax2+2x+1=0至多有一个解，
当方程ax2+2x+1=0无解时，由(1)知，a>1；
方程ax2+2x+1=0有唯一实根时，由(2)知，a=0或a=1．
综上所述：a=0或a≥1．
1.设集合M= x−1
A. ∀x>0，5x2−4x−1<0B. ∀x>0，5x2−4x−1≤0
C. ∃x>0，5x2−4x−1<0D. ∃x>0，5x2−4x−1≤0
3.设P=a(2a+5),Q=(2a+1)(a+2)，则( )
A. P>QB. P=Q
C. P
A. 充分条件B. 既不充分也不必要条件
C. 充要条件D. 必要条件
5.下列各组函数表示同一函数的是( )
A. f(x)= x2 , g(x)=( x)2B. f(x)=x，g(x)=3x3
C. f(x)=1，g(x)=x0D. f(x)=x+1 , g(x)=x2−1x−1
6.已知集合A=x∣x2−3x+2=0，B={x∣x
7.若a,b,c∈R，则下列命题正确的是( )
A. 若a
8.已知关于x的一元二次不等式x2+bx+c≤0的解集为{x|2≤x≤3}，则关于x的不等式cx2+bx+1≤0的解集为( )
A. {x|13≤x≤12}B. {x|2≤x≤3}
C. {x|−3≤x≤−2}D. {x|−12≤x≤−13}
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列四个命题中，是存在量词命题并且是真命题的是( )
A. 存在实数x，使x2≤0B. 有一个无理数，它的立方是有理数
C. 存在一个实数，它的倒数是它的相反数D. 每个三角形的内角和都是180∘
10.如图，已知矩形U表示全集，A,B是U的两个子集，则阴影部分可表示为( )
A. ∁UA∩BB. ∁U(A∩B)C. ∁B(A∩B)D. ∁(A∪B)(A∩B)
11.设正实数a，b满足a+b=1，则( )
A. 1a+1b有最小值4B. ab有最小值12
C. a+ b有最大值 2D. a2+b2有最小值12
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数f(x)=(x+1)0 2−x的定义域为 ．
13.已知1
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知函数fx= 2x+3+1 3−x的定义域为A，gx=x2−2x+2的值域为B．
(Ⅰ)求A、B；
(Ⅱ)求A⋂∁RB．
16.(本小题12分)
已知非空集合P=x|a+1≤x≤2a+1,Q=x|−2≤x≤5．
(1)若a=3，求∁RP∩Q；
(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分条件，求实数a的取值范围．
17.(本小题12分)
已知集合A={x|(x−a)(x−3a)≤0}，集合B={x|(x−3)(2−x)≥0}．
(1)当a=1时，求A∩B，A∪B；
(2)设a>0，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
开平市教伦中学计划在田径场建造一间地面为矩形、背面靠墙的器材室，占地面积为48m2，器材室正面每平方米的造价为1200元，侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元.墙高为3m，且不计器材室背面和地面的费用．
(1)列出总造价y与器材室正面长度x的关系式；
(2)器材室正面长度x为多少时能使总造价最低？并求出最低总造价．
19.(本小题12分)
已知A为方程ax2+2x+1=0的所有实数解构成的集合，其中a为实数．
(1)若A是空集，求a的范围；
(2)若A是单元素集合，求a的范围：
(3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围．
参考答案
1.B
2.C
3.C
4.D
5.B
6.A
7.D
8.A
9.AB
10.AC
11.ACD
12.{x|x<2且x≠−1}
13.(−15,0)
14.[0,4)
15.解：(Ⅰ)由fx= 2x+3+1 3−x得2x+3≥0,3−x>0,
解得−32≤x<3．
gx=x2−2x+2=x−12+1≥1，
所以A=x−32≤x<3，B=yy≥1．
(Ⅱ)∁RB=yy<1，所以A∩∁RB=x−32≤x<1．
16.解：(1)当a=3时，P=x4≤x≤7 ，∁RP={xx<4或x>7}，又Q=x|−2≤x≤5，
所以∁RP∩Q=x−2≤x<4 ．
(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分条件，即P⊆Q，
因为P是非空集合，所以2a+1≥a+1，即a≥0，
所以a+1≥−22a+1≤5a≥0，解得0≤a≤2，
故实数a的取值范围为：[0,2]．
17.解：(1)a=1时，A={x|x2−4x+3<0}=(1,3)，集合B=[2,3]．
∴A∩B=[2,3),A∪B=(1,3]．
(2)a>0时，A=(a,3a)，B=[2,3]．
∵“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，
∴B⫋A，∴a<23a>3，解得1
18.解：(1)由题意可知正面长度为x，由占地面积为48m2，则侧面长度为48x，
可得y=3x⋅1200+3⋅48x⋅800×2+48×5800=3600(x+64x)+278400(x>0)；
(2)令f(x)=x+64x(x>0)，根据基本不等式可得f(x)≥2x⋅64x=16，
当且仅当x=8时，等号成立，即f(x)min=16，
ymin=3600⋅f(x)min+278400=336000，
所以器材室正面长度x=8时能使总造价最低，最低总造价为336000元．
19.解：(1)若A是空集，则方程ax2+2x+1=0无解，
当a=0时，方程2x+1=0有解，不符合题意；
当a≠0时，Δ=4−4a<0，得a>1．
综上所述：a>1．
(2)若A是单元素集合，则方程ax2+2x+1=0有唯一实根，
当a=0时，方程2x+1=0有唯一解x=−12，符合题意；
当a≠0时，Δ=4−4a=0，得a=1．
综上所述：a=0或a=1．
(3)若A中至多有一个元素，则方程ax2+2x+1=0至多有一个解，
当方程ax2+2x+1=0无解时，由(1)知，a>1；
方程ax2+2x+1=0有唯一实根时，由(2)知，a=0或a=1．
综上所述：a=0或a≥1．
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