2024-2025学年江苏省南京市中华中学高二（上）学情调研数学试卷（9月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省南京市中华中学高二（上）学情调研数学试卷（9月份）（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z满足z=1+2i1−i，则|z|=( )
A. 32B. 52C. 102D. 5
2.两条平行直线x+2y−1=0与2x−4y=−3之间的距离为( )
A. 12B. 52C. 1D. 53
3.直线mx+(2m−1)y+1=0，3x+my+3=0垂直，则m的值为( )
A. 0B. 1C. 2D. 0或−1
4.事件A与B独立，A−、B−分别是A、B的对立事件，则下列命题中成立的是( )
A. P(A∪B)=P(A)P(B)B. P(A∪B)=P(A)+P(B)
C. P(AB−)=P(A)P(B−)D. P(A∪B−)=P(A)+1−P(B)
5.已知a=1，b=2，且a⊥a+b，则a在b上的投影向量为( )
A. −bB. bC. −14bD. 14b
6.已知圆C：(x−3)2+(y−4)2=9，直线l：mx+y−2m−3=0.则直线l被圆C截得的弦长的最小值为( )
A. 2 7B. 10C. 2 2D. 6
7.已知P是直线l：x+y−1=0上一点，M，N分别是圆C1：(x−1)2+(y−8)2=1和C2：(x−5)2+(y−5)2=9上的动点，则|PM|+|PN|的最小值是( )
A. 7B. 8C. 9D. 10
8.已知直线x+y−k=0k>0与圆x2+y2=4交于不同的两点A,B，O是坐标原点，且有OA+OB≥ 3AB，则实数k的取值范围是( )
A. 3, 6B. 2, 6C. 6,2 2D. 6,2 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线l：mx−y+2=0，A(0,0)，B(1,−1)，则下列结论正确的是( )
A. 当m= 3时，直线l的倾斜角为30°B. 直线l过定点(0,2)
C. 当m=1时，直线l在x轴上的截距为2D. 当m=−1时，直线l与直线AB平行
10.下列结论正确的是( )
A. 已知点P(x,y)在圆C：(x−1)2+(y−1)2=2上，则x+y的最大值是4
B. 已知直线kx−y−1=0和以M(−3,1)，N(3,2)为端点的线段相交，则实数k的取值范围为−23≤k≤1
C. 已知P(a,b)是圆x2+y2=r2外一点，直线l的方程是ax+by=r2，则直线l与圆相离
D. 若圆M：(x−4)2+(y−4)2=r2(r>0)上恰有两点到点N(1,0)的距离为1，则r的取值范围是(4,6)
11.如图所示，在矩形ABCD中，AB= 3，AD=1，AF⊥平面ABCD，且AF=3，点E为线段CD(除端点外)上的动点，沿直线AE将△DAE翻折到△D′AE，则下列说法中正确的是( )
A. 存在点E，使AB⊥平面D′AE．
B. 当点E固定在线段CD的某位置时，点D′的运动轨迹为圆
C. 点A到平面BCF的距离为32
D. 异面直线EF与BC所成角的余弦值的取值范围是( 1313, 1010)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若tanθ=3，则csθsinθ+csθ= ______．
13.若曲线y= 4−x2与直线x−y+m=0有两个公共点，则实数m的取值范围是______．
14.已知圆C：(x+1)2+(y−1)2=4，若直线y=kx+5上总存在点P，使得过点P的圆C的两条切线夹角为60°，则实数k的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知两直线l1：x+y+2=0和l2：3x−2y+1=0的交点为P．
(1)直线l过点P且与直线x+3y+1=0平行，求直线l的一般式方程；
(2)圆C过点(1,0)且与l1相切于点P，求圆C的一般方程．
16.(本小题12分)
已知以点A(−1,2)为圆心的圆与_____，过点B(−2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点.从①直线x+2y+7=0相切；②圆(x−3)2+y2=20关于直线2x−y−1=0对称.这2个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并回答下列问题．
(1)求圆A的方程；
(2)当|MN|=2 19时，求直线l的方程．
17.(本小题12分)
已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.且满足ccsA+ 3csinA=b+a．
(1)求角C；
(2)若D点在线段AB上，且CD平分∠BCA，若AD=2DB，且CD= 3，求△ABC的面积．
18.(本小题12分)
如图，四棱锥P−ABCD的侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD为矩形，且平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别为AB，AD的中点，二面角D−PN−C的正切值为2．
(1)求四棱锥P−ABCD的体积；
(2)证明：DM⊥PC；
(3)求直线PM与平面PNC所成角的正弦值．
19.(本小题12分)
已知定点S(−1,0)，T(2,0)，动点M满足|MS|=2|MT|．
(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)设T(2,0)，过点T作与x轴不重合的直线l交曲线C于E、F两点．
(i)过点T作与直线l垂直的直线m交曲线C于G、H两点，求四边形EGFH面积的最大值；
(ii)设曲线C与x轴交于P、Q两点，直线PE与直线QF相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．
参考答案
1.C
2.B
3.D
4.C
5.C
6.A
7.C
8.C
9.BD
10.AD
11.BCD
12.14
13.[2,2 2)
14.{k|k≥0或k≤−815}
15.解：(1)直线l与直线x+3y+1=0平行，故设直线l为x+3y+C1=0，
联立方程组x+y+2=03x−2y+1=0，解得x=−1y=−1．
∴直线l1：x+y+2=0和l2：3x−2y+1=0的交点P(−1,−1)．
又直线l过点P，则−1−3+C1=0，解得C1=4，
即直线l的方程为x+3y+4=0．
(2)设所求圆的标准方程为(x−a)2+(y−b)2=r2，
l1：x+y+2=0的斜率为−1，故直线CP的斜率为1，
由题意可得(−1−a)2+(−1−b)2=r2(1−a)2+(0−b)2=r2b+1a+1=1，
解得a=−16b=−16r2=2518，
故所求圆的方程为(x+16)2+(y+16)2=2518．
化为一般式：x2+y2+13x+13y−43=0．
16.解：(1)选①：因为圆A与直线x+2y+7=0相切，
所以圆A的半径为|−1×1+2×2+7| 12+22=2 5，
因此圆A的方程为(x+1)2+(y−2)2=20；
选②：因为圆A与圆(x−3)2+y2=20关于直线2x−y−1=0对称，
所以两个圆的半径相等，因此圆A的半径为2 5，
所以圆A的方程为(x+1)2+(y−2)2=20．
(2)两种选择圆A的方程都是(x+1)2+(y−2)2=20，
当过点B(−2,0)的动直线l不存在斜率时，直线方程为x=−2，
把x=−2代入(x+1)2+(y−2)2=20中，得y=2± 19，
显然2+ 19−(2− 19)=2 19，符合题意，
当过点B(−2,0)的动直线l存在斜率时，设为k，
直线方程为y=k(x+2)⇒kx−y+2k=0，
圆心到该直线的距离为：|−k−2+2k| k2+1=|k−2| k2+1，
因为|MN|=2 19，所以有(|k−2| k2+1)2+(12×2 19)2=20⇒k=34，
即方程为：3x−4y+6=0．
综上所述：直线l的方程为3x−4y+6=0或x=−2．
17.解：(1)由ccsA+ 3csinA=b+a及正弦定理，
可得sinCcsA+ 3sinCsinA=sinB+sinA，
在△ABC中，sinB=sin(A+C)=sinAcsC+csAsinC，
则sinCcsA+ 3sinCsinA=sinAcsC+csAsinC+sinA，
即 3sinCsinA=sinAcsC+sinA，
又A∈(0,π2)，则sinA≠0，则 3sinC−csC=1，
即2sin(C−π6)=1，sin(C−π6)=12，
又C∈(0,π2)，所以C−π6∈(−π6,π3)，
则C−π6=π6，即C=π3；
(2)由题可知∠BCD=∠ACD=π6，
设BD=x，则AD=2x，BC=a，AC=b，
在△ACD与△BCD中，由正弦定理得：
CDsinA=ADsin∠ACD，CDsinB=BDsin∠BCD，
即 3sinA=2x12, 3sinB=x12，
解得sinBsinA=ba=2,b=2a，
由S△ACD+S△BCD=S△ABC，
可得12AC⋅CDsin∠ACD+12BC⋅CDsin∠BCD=12AC⋅BCsin∠ACB，
即12b⋅ 3⋅12+12a⋅ 3⋅12=12b⋅a⋅ 32，
又b=2a，故a=32，b=3，
则△ABC的面积S=12absinC=12×32×3× 32=9 38．
18.(1)解：∵△PAD为正三角形，N为AD中点，
∴PN⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PN⊥平面ABCD，
又NC⊂平面ABCD，
∴PN⊥NC，
∴∠DNC为二面角D−PN−C的平面角，
∴tan∠DNC=2=DCDN，
又DN=1，∴DC=2，
∴底面ABCD为正方形．
又易得PN= 3，
∴四棱P−ABCD的体积V=13×2×2× 3=4 33．
(2)证明：由(1)知，PN⊥平面ABCD，DM⊂平面ABCD，
∴PN⊥DM，
在正方形ABCD中，易知△DAM≌△CDN，
∴∠ADM=∠DCN，
而∠ADM+∠MDC=90°，
∴∠DCN+∠MDC=90°，
∴DM⊥CN，
∵PN∩CN=N，
∴DM⊥平面PNC，
∵PC⊂平面PNC，
∴DM⊥PC．
(3)解：设DM∩CN=O，连接PO，MN．
∵DM⊥平面PNC．
∴∠MPO为直线PM与平面PNC所成的角，
可求得，DM= 5，DO=1×2 5=2 55，
∴MO= 5−2 55=3 55，
又MN= 2，PM= PN2+MN2= 5，
∴sin∠MPO=MOPM=3 55 5=35，
∴直线PM与平面PNC所成角的正弦值为35．
19.解：(1)设动点M的坐标为(x,y)，
∵S(−1,0)，T(2,0)，且|MS|=2|MT|，
∴ (x+1)2+y2=2⋅ (x−2)2+y2，
整理得x2+y2−6x+5=0，即(x−3)2+y2=4
∴动点M的轨迹C的方程为(x−3)2+y2=4
(2)(i)∵直线l不与x轴重合，∴设直线l的方程为x=my+2，即x−my−2=0，
则直线GH为mx+y−2m=0，设曲线C的圆心到直线/和直线GH的距离分别为d1，d2，
则d1=1 1+m2,d2=|m| m2+1，
∴|EF|=2 r2−d12=2 4−11+m2=2 4m2+3m2+1，
|GH|=2 r2−d22=2 4−m2m2+1=2 3m2+4m2+1，
∴SEGFH=12×2 4m2+3m2+1×2 3m2+4m2+1=2 12+m2m4+2m2+1，
当m=0时，SEGFH=4 3；
当m≠0时，SEGFH=2 12+1m2+2+1m2≤2 12+12+2 m2⋅1m2=7，
当且仅当m2=1时等号成立，
综上，四边形EGFH面积的最大值为7．
(ii)设E(x1,y1)，F(x2,y2)，
联立x=my+2(x−3)2+y2=4，得(m2+1)y2−2my−3=0，
则y1+y2=2mm2+1,y1y2=−3m2+1,y1y2=−32m(y1+y2)，
∵曲线C与x轴交于P，Q两点，∴P(1,0)，Q(5,0)，
则直线PE的方程为y=y1x1−1(x−1)=y1my1+1(x−1)，
直线QF的方程为y=y2x2−5(x−5)=y2my2−3(x−5)，
联立两直线方程得x=4my1y2+3y1+5y23y1+y2=−6y1−6y2+3y1+5y23y1+y2=−3y1−y23y1+y2=−1，
∴N在定直线x=−1上．