2024-2025学年山东省淄博市高青一中高二（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年山东省淄博市高青一中高二（上）开学数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若z=3+4i，则|z|z−=( )
A. 1B. −1C. 35−45iD. 35+45i
2.已知a=(2,3)，b=(−1,2)，则(a+2b)⋅b=( )
A. 13B. −14C. 14D. 30
3.如图，在△ABC中，点D在线段BC上，BD=2DC，如果AD=xAB+yAC，那么( )
A. x=13，y=23B. x=23，y=13
C. x=−23，y=13D. x=13，y=−23
4.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2−b2=c2+bc，则角A=( )
A. 120°B. 30°C. 150°D. 60°
5.如图，若△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积是( )
A. 6B. 3 2C. 6 2D. 12
6.如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，PA⊥平面ABC，则四面体P−ABC的四个面中，直角三角形的个数有( )
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
7.正三棱锥P−ABC中，直线PA与BC所成的角的大小为( )
A. π3B. π2C. 2π3D. 3π4
8.甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4，0.5，则恰有一人击中敌机的概率为( )
A. 0.9B. 0.2C. 0.7D. 0.5
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，则下列结论成立的是( )
A. OM//平面PCDB. OM//平面PDA
C. OM//平面PBAD. OM//平面PBC
10.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法中正确的是( )
A. 若A>B，则a>b
B. sin(A+B)=sinC
C. 若a2+b2>c2，则△ABC是锐角三角形
D. 若a2+b211.青少年是国家的未来和民族的希望，党中央历来高度重视青少年体质与健康管理工作，亲切关怀青少年和儿童的健康成长，不断出台相关政策法规，引导广大青少年积极参与体育健身.近年来，随着政策措施牵引带动，学生体质与健康水平不断迈上新台阶.某学校共有2000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100名男生的体重情况.根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是( )
A. 样本的众数为67.5
B. 样本的80%分位数为72.5
C. 样本的平均值为66
D. 该校男生中低于60kg的学生大约为300人
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知a=(1,2)，b=(x,4)，若a与b的夹角是锐角，则实数x的取值范围是 ．
13.已知m，n是不同的直线，α，β是不重合的平面，给出下面三个命题：
①若α//β，m⊂α，n⊂β则m//n．
②若m，n⊂α，m//β，n//β，则α//β．
③若m，n是两条异面直线，若m//α，m//β，n//α，n//β则α//β．
上面命题中，正确的序号为______.(把正确的序号都填上)
14.若一个圆柱的底面半径为1，侧面积为10π，球O是该圆柱的外接球，则球O的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知向量a，b满足|a|=4，b=(1,2)．
(Ⅰ)若a//b，求向量a的坐标;
(Ⅱ)若(a+b)⊥b，求向量a与向量b夹角的余弦值．
16.(本小题12分)
记▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCcsA= 3csB−sinAcsC，a+c=3 2，b=3．
(1)求角B的大小；
(2)求▵ABC的面积．
17.(本小题12分)
如图，四边形ABCD是矩形，AD=2，DC=1，AB⊥平面BCE，BE⊥EC，EC=1.点F为线段BE的中点．
(1)求证：DE/​/平面ACF；
(2)求AC和平面ABE所成角的正弦值．
18.(本小题12分)
某校在“全民健身日”举行了投篮活动，每名参赛者投篮10次.投中一次得1分，没投中得0分.活动结束后统计50名参赛者的平均得分为8分，方差为20.后经核实有两名参赛者的分数统计错误，把一个9分错记为7分，一个8分错记为10分，求实际得分的方差．
19.(本小题12分)
某校高二期中考试后，教务处计划对全年级数学成绩进行统计分析，从男、女生中各随机抽取100名学生，分别制成了男生和女生数学成绩的频率分布直方图，如图所示．
(1)若所得分数大于等于80分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？
(2)在(1)中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意任取2人，求至少有1名男生的概率．
参考答案
1.D
2.C
3.A
4.A
5.D
6.A
7.B
8.D
9.AB
10.ABD
11.ABD
12.(−8,2)∪(2,+∞)
13.③
14.29π
15.解：(Ⅰ)∵a//b，∴可设a=λb=(λ,2λ)，
∵|a|=4，∴ λ2+4λ2=4∴λ=±4 55
∴a=(4 55,8 55)或a=(−4 55,−8 55);
(Ⅱ)∵(a+b)⊥b
∴(a+b)⋅b=0即a⋅b+b 2=0，
∴|a||b|cs+5=0，
∴cs=−54× 5=− 54．
16.解：(1)
因为sinCcsA= 3csB−sinAcsC，
所以csAsinC+sinAcsC= 3csB，
所以sinA+C= 3csB，
即sinB= 3csB，
显然csB≠0，所以tanB= 3，
又B∈0,π，所以B=π3；
(2)
由余弦定理b2=a2+c2−2accsB，
即9=a2+c2−ac，
又a+c=3 2，
所以18=a2+c2+2ac，
解得ac=3，
所以S△ABC=12acsinB=12×3× 32=3 34．

17.(1)证明：连接BD交AC于M，连接FM，
因为M，F为BD、BE的中点，
所以FM为△BDE的中位线，
所以FM//DE，
而FM⊂平面ACF，DE⊄平面ACF，
故DE//平面ACF；
(2)解：因为AB⊥平面BCE，CE⊂平面BCE，
所以AB⊥CE，
又由BE⊥EC，
而AB∩BE=B，AB，BE⊂平面ABE，
故CE⊥平面ABE，
故∠CAE即为AC和平面ABE所成的角，
又AC= AD2+DC2= 5，EC=1，
在直角三角形ACE中，可得sin∠CAE=ECAC= 55，
所以AC和平面ABE所成角的正弦值为 55．
18.解：依题意平均数不发生变化，
设除这2名记错分的另外48名参赛者的分数分别为a1，a2，⋯，a48，
因为150[(a1−8)2+(a2−8)2+⋯+(a48−8)2+(7−8)2+(10−8)2]=20，
所以(a1−8)2+(a2−8)2+⋯+(a48−8)2=995，
则实际得分的方差为：
150[(a1−8)2+(a2−8)2+⋯+(a48−8)2+(9−8)2+(8−8)2]=150×996=19.92．
19.解：(1)由题意可得，男生优秀人数为100×(0.01+0.02)×10=30人，
女生优秀人数为100×(0.015+0.03)×10=45人．
(2)因为样本容量与总体中的个体数的比是530+45=115，
所以样本中包含男生人数为30×115=2人，女生人数为45×115=3人，
设两名男生为A1，A2，三名女生为B1，B2，B3，
则从5人中任意选取2人构成的所有基本事件为：
{A1,A2}，{A1,B1}，{A1,B2}，{A1,B3}，{A2,B1}，{A2,B2}，{A2,B3}，{B1,B2}，{B1,B3}，{B2,B3}共10个，
每个样本被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
记事件C：“选取的2人中至少有一名男生”，则事件C包含的基本事件有：
{A1,A2}，{A1,B1}，{A1,B2}，{A1,B3}，{A2,B1}，{A2,B2}，{A2,B3}共7个，
所以P(C)=710，即选取的2人中至少有一名男生的概率为710．