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2024-2025学年广东省深圳市高一（上）第一次月考数学试卷（含答案）
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这是一份2024-2025学年广东省深圳市高一（上）第一次月考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.命题“∃x>0,x2−1x<0”的否定为( )
A. ∃x>0,x2−1x≥0B. ∃x≤0,x2−1x≥0
C. ∀x>0,x2−1x≥0D. ∀x≤0,x2−1x≥0
2.从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f(m)=1.06(2+1)(元)决定，其中m>0，是不小于m的最小整数(如：<3>=3，<3.8>=4，<5.1>=6)，则从甲地到乙地通话时间为7.3分钟的电话费为( )
A. 4.24元B. 4.77元C. 5.30元D. 4.93元
3.若函数f(x)的定义域为R，则“f(2)A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.甲、乙两人解关于x的不等式x2+bx+c<0，甲写错了常数b，得到的解集为{x|−6A. {x|15.函数y=3x2+5x2−2,x∈[−4,−2)的值域为( )
A. (5314,172)B. [5314,172)C. [5314,172]D. (5314,172]
6.已知不等式ax2−3x+2>0的解集为(−∞,1)∪(b,+∞)，则a，b的取值分别为( )
A. 3，−1B. 2，1C. −1，3D. 1，2
7.设f(x)是定义在R上的奇函数，在(−∞,0)上递减，且f(−3)=0，则不等式xf(x)<0的解集为( )
A. {x|−33}B. {x|x<−3或x>3}
C. {x|x<−3或08.对于集合M，N，定义M−N={x|x∈M，且x∉N}，M⊕N=(M−N)∪(N−M)，设A={y|y≥−94}，B={y|y<0}，则A⊕B=( )
A. (−94,0]B. [−94,0)
C. (−∞,−94)∪[0,+∞)D. (−∞,−94)∪(0,+∞)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如表表示y是x的函数，则( )
A. 函数的定义域是(0,20]B. 函数的值域是[2,5]
C. 函数的值域是{2,3,4,5}D. 函数是增函数
10.已知f( 2x2−1)=4x2−3，则下列结论错误的是( )
A. f(1)=1B. f(x)=2x2−1C. f(x)是偶函数D. f(x)有唯一零点
11.给出以下四个命题，其中为真命题的是( )
A. 函数y= x2−4与函数y= x+2⋅ x−2表示同一个函数
B. 若函数f(2x)的定义域为[0,2]，则函数f(x)的定义域为[0,4]
C. 若函数y=f(x)是奇函数，则函数y=f(x)−f(−x)也是奇函数
D. 函数y=−1x在(−∞,0)∪(0,+∞)上是单调增函数
12.下列命题正确的是( )
A. 若对于∀x1，x2∈R，x1≠x2，都有x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)，则函数y=f(x)在R上是增函数
B. 若对于∀x1，x2∈R，x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2>−1，则函数y=f(x)+x在R上是增函数
C. 若对于∀x∈R，都有f(x+1)D. 若对于∀x∈R，都有f(x)，g(x)为增函数，则函数y=f(x)⋅g(x)在R上也是增函数
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.A={x|014.若“∀x∈R，mx2+mx+100>0”是真命题，则m的取值范围是______．
15.已知函数f(x)=xx−1(x>1)，g(x)=x−1 x(x≥2)，若存在函数F(x)，G(x)满足：F(x)=|f(x)|⋅g(x),G(x)f(x)=|g(x)|，学生甲认为函数F(x)，G(x)一定是同一函数，乙认为函数F(x)，G(x)一定不是同一函数，丙认为函数F(x)，G(x)不一定是同一函数，观点正确的学生是 ．
16.已知函数f(x)=x2−csx，x∈[−π2,π2]，则满足f(x0)>f(π6)的x0的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)设x(2)已知a，b，x，y∈(0,+∞)且1a>1b,x>y，求证：xx+a>yy+b．
18.(本小题12分)
求下列不等式的解集．
(1)0<−2x2−7x−3<5；
(2)x+12x−3≤1．
19.(本小题12分)
冰墩墩(BingDwenDwen)、雪容融(SℎueyRℎnRℎn)分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉样物.冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国.小雅在某网店选中两种玩偶，决定从该网店进货并销售，第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．
(1)求两种玩偶的进货价分别是多少？
(2)第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍.小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？
20.(本小题12分)
某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x(n∈N∗)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10(a−3x500)万元(a>0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．
(1)若要保证剩余与员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
(2)在(1)的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余与员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=x+2x．
(1)判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论；
(2)用函数单调性的定义证明函数f(x)在[ 2,+∞)上是增函数；
(3)当x∈[1,3]时，求函数f(x)的值域．
22.(本小题12分)
某企业用1960万元购得一块空地，计划在该空地建造一栋x(x≥8,x∈N)层，每层2800平方米的楼房．经测算，该楼房每平方米的平均建筑费用为565+70x(单位：元)．
(1)当该楼房建多少层时，每平方米的平均综合费用最少？最少为多少元？
(2)若该楼房每平方米的平均综合费用不超过2000元，则该楼房最多建多少层？
注：综合费用=建筑费用+购地费用．
参考答案
1.C
2.C
3.B
4.D
5.B
6.D
7.B
8.C
9.AC
10.BC
11.BC
12.AB
13.{x|014.[0,400)
15.甲
16.[−π2,−π6)∪(π6,π2]
17.(1)解：方法一：
(x2+y2)(x−y)−(x2−y2)(x+y)
=(x−y)[(x2+y2)−(x+y)2]
=−2xy(x−y)；
因为x0，x−y<0，
所以−2xy(x−y)>0，
所以(x2+y2)(x−y)>(x2−y2)(x+y)；
方法二：xy2，x+y<0，
所以(x2+y2)(x−y)<0，(x2−y2)(x+y)<0；
所以0<(x2+y2)(x−y)(x2−y2)(x+y)=x2+y2x2+y2+2xy<1，
所以(x2+y2)(x−y)>(x2−y2)(x+y)；
(2)证明：xx+a−yy+b=bx−ay(x+a)(y+b)，
因为1a>1b且a，b∈(0,+∞)，
所以b>a>0；
又因为x>y>0，所以bx>ay>0，
所以xx+a>yy+b．
18.解：(1)原不等式化为：0<−2x2−7x−3−2x2−7x−3<5，
解不等式0<−2x2−7x−3，即(2x+1)(x+3)<0，解得−3解不等式−2x2−7x−3<5，即2x2+7x+8>0，Δ<0，解集为R，
综上，不等式组的解集为(−3,−12)．
(2)由x+12x−3≤1，即x+1−(2x−3)2x−3≤0，即x−42x−3≥0，
等价于(x−4)(2x−3)≥02x−3≠0，解得x≥4或x<32，
所以不等式x+12x−3≤1的解集为(−∞,32)∪[4,+∞)．
19.(1)解：设冰墩墩进价为x元，雪容融进价为y元．
得x+y=13615x+5y=1400，解得x=72y=64．
∴冰墩墩进价为72元，雪容融进价为64元．
(2)设冰墩墩进货a个，雪容融进货40−a个，利润为w元，
则w=28a+20(40−a)=8a+800，
∵a>0，所以w随a增大而增大，
又因为冰墩墩进货量不能超过雪容融进货量的1.5倍，
得a≤1.5(40−a)，解得a≤24．
∴当a=24时，w最大，此时40−a=16，w=8×24+800=992．
答：冰墩墩进货24个，雪容融进货16个时，获得最大利润，最大利润为992元．
20.解：(1)由题意得：10(1000−x)(1+0.2x%)≥10×1000，
即x2−500x≤0，又x>0，所以0即最多调整500名员工从事第三产业．
(2)从事第三产业的员工创造的年总利润为10(a−3x500)x万元，
从事原来产业的员工的年总利润为10(1000−x)(1+1500x)万元，
则10(a−3x500)x≤10(1000−x)(1+0.2x%)
所以ax−3x2500≤1000+2x−x−1500x2，
所以ax≤2x2500+1000+x，
即a≤2x500+1000x+1恒成立，
因为2500x+1000x≥2 2x5001000x=4，
当且仅当2x500=1000x，即x=500时等号成立．
所以a≤5，又a>0，所以0即a的取值范围为(0,5]．
21.解：(1)f(x)为奇函数，证明如下，
函数f(x)=x+2x的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
又f(−x)=−x−2x=−(x+2x)=−f(x)，
所以f(x)为奇函数；
(2)设x1>x2≥ 2，
f(x1)−f(x2)=x1+2x1−x2−2x2=(x1−x2)x1x2−2x1x2，
因为x1>x2≥ 2，所以x1x2>2，x1−x2>0，
所以(x1−x2)x1x2−2x1x2>0，f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)在( 2,+∞)上是增函数；
(3)设1≤x1f(x1)−f(x2)=x1+2x1−x2−2x2=(x1−x2)x1x2−2x1x2，
因为1≤x1所以(x1−x2)x1x2−2x1x2>0，f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)在[1, 2)上是减函数，
由(2)知，函数f(x)在[ 2,3]上是增函数
又f( 2)= 2+2 2=2 2，f(1)=1+21=3，
f(3)=3+23=113，
所以函数f(x)的值域为[2 2,113]．
22.解：(1)设该楼房每平方米的平均综合费用为y元，
则y=1960×1042800x+565+70x=7000x+70x+565≥2 7000x⋅70x+565=1965，
当且仅当7000x=70x，即x=10时，等号成立，
故当该楼房建10层时，每平方米的平均综合费用最少，且最小值为700+700+565=1965元．
(2)由(1)可知该楼房每平方米的平均综合费用y=7000x+70x+565，
则7000x+70x+565≤2000，即2x2−41x+200≤0，即(2x−25)(x−8)≤0，解得8≤x≤12.5，
∵x∈N，
∴该楼房最多建12层． x
05≤x<10
10≤x<15
15≤x≤20
y
2
3
4
5
1.命题“∃x>0,x2−1x<0”的否定为( )
A. ∃x>0,x2−1x≥0B. ∃x≤0,x2−1x≥0
C. ∀x>0,x2−1x≥0D. ∀x≤0,x2−1x≥0
2.从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f(m)=1.06(
A. 4.24元B. 4.77元C. 5.30元D. 4.93元
3.若函数f(x)的定义域为R，则“f(2)
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.甲、乙两人解关于x的不等式x2+bx+c<0，甲写错了常数b，得到的解集为{x|−6
A. (5314,172)B. [5314,172)C. [5314,172]D. (5314,172]
6.已知不等式ax2−3x+2>0的解集为(−∞,1)∪(b,+∞)，则a，b的取值分别为( )
A. 3，−1B. 2，1C. −1，3D. 1，2
7.设f(x)是定义在R上的奇函数，在(−∞,0)上递减，且f(−3)=0，则不等式xf(x)<0的解集为( )
A. {x|−3
C. {x|x<−3或0
A. (−94,0]B. [−94,0)
C. (−∞,−94)∪[0,+∞)D. (−∞,−94)∪(0,+∞)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如表表示y是x的函数，则( )
A. 函数的定义域是(0,20]B. 函数的值域是[2,5]
C. 函数的值域是{2,3,4,5}D. 函数是增函数
10.已知f( 2x2−1)=4x2−3，则下列结论错误的是( )
A. f(1)=1B. f(x)=2x2−1C. f(x)是偶函数D. f(x)有唯一零点
11.给出以下四个命题，其中为真命题的是( )
A. 函数y= x2−4与函数y= x+2⋅ x−2表示同一个函数
B. 若函数f(2x)的定义域为[0,2]，则函数f(x)的定义域为[0,4]
C. 若函数y=f(x)是奇函数，则函数y=f(x)−f(−x)也是奇函数
D. 函数y=−1x在(−∞,0)∪(0,+∞)上是单调增函数
12.下列命题正确的是( )
A. 若对于∀x1，x2∈R，x1≠x2，都有x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)，则函数y=f(x)在R上是增函数
B. 若对于∀x1，x2∈R，x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2>−1，则函数y=f(x)+x在R上是增函数
C. 若对于∀x∈R，都有f(x+1)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.A={x|0
15.已知函数f(x)=xx−1(x>1)，g(x)=x−1 x(x≥2)，若存在函数F(x)，G(x)满足：F(x)=|f(x)|⋅g(x),G(x)f(x)=|g(x)|，学生甲认为函数F(x)，G(x)一定是同一函数，乙认为函数F(x)，G(x)一定不是同一函数，丙认为函数F(x)，G(x)不一定是同一函数，观点正确的学生是 ．
16.已知函数f(x)=x2−csx，x∈[−π2,π2]，则满足f(x0)>f(π6)的x0的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)设x
18.(本小题12分)
求下列不等式的解集．
(1)0<−2x2−7x−3<5；
(2)x+12x−3≤1．
19.(本小题12分)
冰墩墩(BingDwenDwen)、雪容融(SℎueyRℎnRℎn)分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉样物.冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国.小雅在某网店选中两种玩偶，决定从该网店进货并销售，第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．
(1)求两种玩偶的进货价分别是多少？
(2)第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍.小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？
20.(本小题12分)
某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x(n∈N∗)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10(a−3x500)万元(a>0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．
(1)若要保证剩余与员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
(2)在(1)的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余与员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=x+2x．
(1)判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论；
(2)用函数单调性的定义证明函数f(x)在[ 2,+∞)上是增函数；
(3)当x∈[1,3]时，求函数f(x)的值域．
22.(本小题12分)
某企业用1960万元购得一块空地，计划在该空地建造一栋x(x≥8,x∈N)层，每层2800平方米的楼房．经测算，该楼房每平方米的平均建筑费用为565+70x(单位：元)．
(1)当该楼房建多少层时，每平方米的平均综合费用最少？最少为多少元？
(2)若该楼房每平方米的平均综合费用不超过2000元，则该楼房最多建多少层？
注：综合费用=建筑费用+购地费用．
参考答案
1.C
2.C
3.B
4.D
5.B
6.D
7.B
8.C
9.AC
10.BC
11.BC
12.AB
13.{x|0
15.甲
16.[−π2,−π6)∪(π6,π2]
17.(1)解：方法一：
(x2+y2)(x−y)−(x2−y2)(x+y)
=(x−y)[(x2+y2)−(x+y)2]
=−2xy(x−y)；
因为x
所以−2xy(x−y)>0，
所以(x2+y2)(x−y)>(x2−y2)(x+y)；
方法二：x
所以(x2+y2)(x−y)<0，(x2−y2)(x+y)<0；
所以0<(x2+y2)(x−y)(x2−y2)(x+y)=x2+y2x2+y2+2xy<1，
所以(x2+y2)(x−y)>(x2−y2)(x+y)；
(2)证明：xx+a−yy+b=bx−ay(x+a)(y+b)，
因为1a>1b且a，b∈(0,+∞)，
所以b>a>0；
又因为x>y>0，所以bx>ay>0，
所以xx+a>yy+b．
18.解：(1)原不等式化为：0<−2x2−7x−3−2x2−7x−3<5，
解不等式0<−2x2−7x−3，即(2x+1)(x+3)<0，解得−3
综上，不等式组的解集为(−3,−12)．
(2)由x+12x−3≤1，即x+1−(2x−3)2x−3≤0，即x−42x−3≥0，
等价于(x−4)(2x−3)≥02x−3≠0，解得x≥4或x<32，
所以不等式x+12x−3≤1的解集为(−∞,32)∪[4,+∞)．
19.(1)解：设冰墩墩进价为x元，雪容融进价为y元．
得x+y=13615x+5y=1400，解得x=72y=64．
∴冰墩墩进价为72元，雪容融进价为64元．
(2)设冰墩墩进货a个，雪容融进货40−a个，利润为w元，
则w=28a+20(40−a)=8a+800，
∵a>0，所以w随a增大而增大，
又因为冰墩墩进货量不能超过雪容融进货量的1.5倍，
得a≤1.5(40−a)，解得a≤24．
∴当a=24时，w最大，此时40−a=16，w=8×24+800=992．
答：冰墩墩进货24个，雪容融进货16个时，获得最大利润，最大利润为992元．
20.解：(1)由题意得：10(1000−x)(1+0.2x%)≥10×1000，
即x2−500x≤0，又x>0，所以0
(2)从事第三产业的员工创造的年总利润为10(a−3x500)x万元，
从事原来产业的员工的年总利润为10(1000−x)(1+1500x)万元，
则10(a−3x500)x≤10(1000−x)(1+0.2x%)
所以ax−3x2500≤1000+2x−x−1500x2，
所以ax≤2x2500+1000+x，
即a≤2x500+1000x+1恒成立，
因为2500x+1000x≥2 2x5001000x=4，
当且仅当2x500=1000x，即x=500时等号成立．
所以a≤5，又a>0，所以0
21.解：(1)f(x)为奇函数，证明如下，
函数f(x)=x+2x的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
又f(−x)=−x−2x=−(x+2x)=−f(x)，
所以f(x)为奇函数；
(2)设x1>x2≥ 2，
f(x1)−f(x2)=x1+2x1−x2−2x2=(x1−x2)x1x2−2x1x2，
因为x1>x2≥ 2，所以x1x2>2，x1−x2>0，
所以(x1−x2)x1x2−2x1x2>0，f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)在( 2,+∞)上是增函数；
(3)设1≤x1
因为1≤x1
所以函数f(x)在[1, 2)上是减函数，
由(2)知，函数f(x)在[ 2,3]上是增函数
又f( 2)= 2+2 2=2 2，f(1)=1+21=3，
f(3)=3+23=113，
所以函数f(x)的值域为[2 2,113]．
22.解：(1)设该楼房每平方米的平均综合费用为y元，
则y=1960×1042800x+565+70x=7000x+70x+565≥2 7000x⋅70x+565=1965，
当且仅当7000x=70x，即x=10时，等号成立，
故当该楼房建10层时，每平方米的平均综合费用最少，且最小值为700+700+565=1965元．
(2)由(1)可知该楼房每平方米的平均综合费用y=7000x+70x+565，
则7000x+70x+565≤2000，即2x2−41x+200≤0，即(2x−25)(x−8)≤0，解得8≤x≤12.5，
∵x∈N，
∴该楼房最多建12层． x
0
10≤x<15
15≤x≤20
y
2
3
4
5
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