2024-2025学年辽宁省沈阳二中高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年辽宁省沈阳二中高二（上）第一次月考数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.过点(−4,2)，倾斜角为3π4的直线方程为( )
A. x−y+2=0B. x+y+2=0C. x−y=2D. x−y+1=0
2.已知两条直线l1：ax+4y−1=0，l2：x+ay+2=0，则“a=2”是“l1//l2”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.点P(−2,−1)到直线l：(1+3λ)x+(1+λ)y−2−4λ=0(λ∈R)的距离最大时，直线l的方程为( )
A. 3x+2y−5=0B. 3x+2y+8=0C. 2x−3y−2=0D. 2x−3y+1=0
4.关于空间向量，以下说法错误的是( )
A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B. 若a⋅b>0，则a与b的夹角是锐角
C. 已知向量a、b、c是不共面的向量，则2a、b、c−a也是不共面的向量
D. 若对空间中任意一点O，有OP=112OA+14OB+23OC，则P，A，B，C四点共面
5.如图，正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB=2，点E和F分别是线段AC1与BD上的动点，则EF间最小距离为( )
A. 22
B. 1
C. 33
D. 66
6.直线l过点(2,1)，且与圆C：(x−2)2+(y−4)2=10相交所形成的长度为整数的弦的条数为( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
7.直线y=x+1关于直线y=2x对称的直线方程为( )
A. 3x−y−1=0B. 4x−y−2=0C. 5x−y−3=0D. 7x−y−5=0
8.已知三棱锥A−BCD的所有顶点都在球O的球面上，AD⊥平面ABC，∠BAC=π2，AD=2，若球O的表面积为22π，则三棱锥A−BCD(以A为顶点)的侧面积的最大值为( )
A. 6 B. 212 C. 252 D. 272
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设l，m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列判断错误的是( )
A. 若l//α，m//β，α//β，则l//m
B. 若α⊥β，l//α，m//β，则l//m
C. 若直线m⊂α，n⊂α，且l⊥m，l⊥n，则l⊥α
D. 若l，m是异面直线，l⊂α，m⊂β，且l//β，m//α，则α//β
10.下列结论正确的是( )
A. 已知点P(x,y)在圆C：(x−1)2+(y−1)2=2上，则x+y的最大值是4
B. 已知直线kx−y−1=0和以M(−3,1)，N(3,2)为端点的线段相交，则实数k的取值范围为−23≤k≤1
C. 已知点P(a,b)是圆x2+y2=r2外一点，直线l的方程是ax+by=r2，则直线l与圆相离
D. 已知直线l1：mx−y+2=0，l2：x+my+2=0，则存在实数m，使得l1和l2关于直线x+y=0对称
11.设圆C：(x−1)2+(y−1)2=3，直线l：x+y+1=0，P为l上的动点，过点P作圆C的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，则下列说法中正确的有( )
A. |PA|的取值范围为[ 62,+∞)B. 四边形PACB面积的最小值为3 22
C. 存在点P使∠APB=120°D. 直线AB过定点(0,0)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若点A(2,1)在圆x2+y2−2mx−2y+5=0(m为常数)外，则实数m的可能取值为______．
13.已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(1,1)，B(4,2)，C(3,0)，则△ABC外接圆的方程是______．
14.如图所示，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=AA1=2，AB=4，B1D与平面ACD1交于点P，则点P到直线BC的距离为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=5，AD=3，AA1=4，∠DAB=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°，E是CC1的中点，设AB=a,AD=b,AA1=c．
(1)求AE的长；
(2)求异面直线AE和BC夹角的余弦值．
16.(本小题15分)
在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90°，A1A=AB=AC=3，B1C∩BC1=P，G是△A1B1C1的重心，点Q在线段AB(不包括两个端点)上．
(1)若Q为AB的中点，证明：PG//平面A1CQ；
(2)若直线PG与平面A1CQ所成的角正弦值为 3333，求AQ．
17.(本小题15分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB1⊥A1C，AB⊥BC，AB=BC=2．
(1)求证：平面AB1C1⊥平面A1BC；
(2)设点P为A1C的中点，求平面ABP与平面BCP夹角的余弦值．
18.(本小题17分)
已知半径为83的圆C的圆心在y轴的正半轴上，且直线12x−9y−1=0与圆C相切．
(1)求圆C的标准方程．
(2)若M(x,y)是圆C上任意一点，求(x+3)2+(y−13)2的取值范围．
(3)已知A(0,−1)，P为圆C上任意一点，试问在y轴上是否存在定点B(异于点A)，使得|PB||PA|为定值？若存在，求点B的坐标；若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
如图，在三棱台ABC−DEF中，AB=BC=AC=2，AD=DF=FC=1，N为DF的中点，二面角D−AC−B的大小为θ．
(1)求证：AC⊥BN；
(2)若θ=π2，求三棱台ABC−DEF的体积；
(3)若A到平面BCFE的距离为 62，求csθ的值．
参考答案
1.B
2.A
3.A
4.B
5.C
6.D
7.D
8.B
9.ABC
10.AD
11.ABD
12.−3(答案不唯一)
13.x2+y2−5x−3y+6=0(或(x−52)2+(y−32)2=52)
14.2 173
15.解：(1)在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，
因为AB=5，AD=3，AA1=4，∠DAB=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°，E是CC1的中点，
AE=AB+BC+CE=AB+BC+12CC1，
所以AE2=AB2+BC2+14CC12+2AB⋅BC+AB⋅CC1+BC⋅CC1，
由题意AB2=25，BC2=AD2=9，CC12=AA12=4，
AB⋅BC=|AB|⋅|BC|cs(180°−90°)=0，AB⋅CC1=|AB|⋅|CC1|cs60°=5×4×12=10，
BC⋅CC1=|BC|⋅|CC1|cs60°=3×4×12=6，
所以AE2=25+9+14×16+0+10+6=54，
所以AE=|AE|=3 6；
(2)AE⋅BC=(AB+BC+CE)⋅BC=AB⋅BC+BC2+12BC⋅CC1=0+9+12×6=12，
|AE|=3 6，|BC|=3，
所以cs=AEBC|AE|⋅|BC|=123 6×3=29 6．
设异面直线AE和BC夹角为θ，则θ∈(0,π2]，
所以csθ=|cs|=29 6．
所以异面直线AE和BC夹角的余弦值为29 6．
16.解：(1)证明：根据题意可建系如图：

则A1(0,0,3)，B1(0,3,3)，C1(3,0,3)，G(1,1,3)，C(3,0,0)，P(32,32,32)，
设Q(0,t,0)，t∈(0,3)，
∴GP=(12,12,−32)，A1C=(3,0,−3)，QC=(3,−t,0)，
设平面A1CQ的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅A1C=3x−3z=0n⋅QC=3x−ty=0，取n=(t,3,t)，
若Q为AB的中点，则t=32，
∴GP⋅n=t2+32−3t2=32−t=0，又PG⊄平面A1CQ，
∴PG//平面A1CQ；
(2)由(1)可知直线PG与平面A1CQ所成的角正弦值为：
|cs|=|GP⋅n||GP||n|=|32−t| 14+14+94× t2+9+t2= 3333，t∈(0,3)，
∴(5t−3)(t−3)=0，t∈(0,3)，解得t=35，
∴AQ=35．
17.(1)证明：∵AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴AA1⊥BC，
又∵AB⊥BC，AA1∩AB=A，且AA1，AB⊂平面ABB1A1，
∴BC⊥平面ABB1A1，
∵AB1⊂平面ABB1A1，∴BC⊥AB1，
又∵AB1⊥A1C，A1C∩BC=C，且A1C，BC⊂平面A1BC，
∴AB1⊥平面A1BC，
∵AB1⊂平面AB1C1，
∴平面AB1C1⊥平面A1BC．
(2)解：由(1)知AB1⊥平面A1BC，
∵A1B⊂平面A1BC，
∴AB1⊥A1B，
∴四边形ABB1A1为正方形，即AA1=AB=2，且AC=2 2，
以点A为原点，AC，AA1所在直线分别为y，z轴，以过A点和AC垂直的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz，

则A1(0,0,2),C(0,2 2,0),B( 2, 2,0),B1( 2, 2,2),P(0, 2,1)，
∴BP=(− 2,0,1),AP=(0, 2,1),CB=( 2,− 2,0)，
设平面ABP的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅BP=0n⋅AP=0，即− 2x+z=0 2y+z=0，
取z= 2，则x=1，y=−1，∴n=(1,−1, 2)，
同理可得，平面PBC的一个法向量为m=( 2, 2,2)，
∴|cs|=|m⋅n||m|⋅|n|= 2− 2+2 22 2×2=12，
故平面ABP与平面BCP夹角的余弦值为12．
18.解：(1)依题可设圆心坐标为(0,b)(b>0)，
则圆C的方程为x2+(y−b)2=649，
因为直线12x−9y−1=0与圆C相切，
所以点C(0,b)到直线l2x−9y−1=0的距离d=|−9b−1| 122+92=83，
因为b>0，解得b=133，
故圆C的标准方程为x2+(y−133)2=649；
(2)若M(x,y)是圆C上任意一点，

则(x+3)2+(y−13)2表示圆上任意一点到点D(−3,13)距离的平方，
所以(x+3)2+(y−13)2的最大值为|DB|2=(|DC|+r)2=( (0−3)2+(133−13)2+83)2=(5+83)2=(233)2=5299；
(x+3)2+(y−13)2的最小值为：|DA|2=(|DC|−r)2=( ( 0−3)2+(133−13)2−83)2=(5−83)2=(73)2=499．
所以(x+3)2+(y−13)2的取值范围为：[499,5299]；
(3)假设存在定点B，设B(0,m)(m≠−1)，P(x,y)，
则x2=649−(y−133)2=−y2+263y−353，
则|PB||PA|= x2+(y−m)2 x2+(y+1)2= −y2+263y−353+(y−m)2 −y2+263y−353+(y+1)2= m2−353+(263−2m)y −323+323y，
当m2−353−323=263−2m323>0，
即m=3，m=−1(舍去)时，|PB||PA|为定值，且定值为12，
故存在定点B，且B的坐标为(0,3)．
19.(1)证明：取AC的中点O，连接ON，OB，
由题意知，四边形ACFD是等腰梯形，△ABC是等边三角形，
所以ON⊥AC，OB⊥AC，
因为ON∩OB=O，ON、OB⊂平面OBN，
所以AC⊥平面OBN，
又BN⊂平面OBN，所以AC⊥BN．
(2)解：由(1)知，ON⊥AC，OB⊥AC，
所以∠BON就是二面角D−AC−B的平面角，即∠BON=θ，
若θ=π2，则∠BON=90°，即OB⊥ON，
因为ON⊥AC，OB∩AC=O，所以ON⊥平面ABC，
即三棱台ABC−DEF的高为ON，
因为AB=BC=AC=2，AD=DF=FC=1，
所以ON= AD2−(OA−DN)2= 1−(1−12)2= 32，S△DEF=12×1× 32= 34，S△ABC=12×2× 3= 3，
所以三棱台ABC−DEF的体积V=13×( 34+ 3+ 34× 3)× 32=78．
(3)解：以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1,0,0)，B(0, 3,0)，C(−1,0,0)，F(−12, 32csθ, 32sinθ)，其中θ∈(0,π)，
所以CB=(1, 3,0)，CF=(12, 32csθ, 32sinθ)，CA=(2,0,0)，
设平面BCFE的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅CB=x+ 3y=0n⋅CF=12x+ 32csθ⋅y+ 32sinθ⋅z=0，
取y=−1，则x= 3，z=csθ−1sinθ，所以n=( 3,−1,csθ−1sinθ)，
因为A到平面BCFE的距离为 62，
所以|CA⋅n||n|=|2 3| 3+1+(csθ−1sinθ)2= 62，整理得(csθ−1sinθ)2=4，即(csθ−1)21−cs2θ=4，
解得csθ=−35或csθ=−1(舍)，
故csθ的值为−35．