2024-2025学年湖北省荆州中学高一（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年湖北省荆州中学高一（上）月考数学试卷（9月份）（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若a+2∈{1,3,a2}，则a的值为( )
A. −1或1或2B. −1或1C. −1或2D. 2
2.设集合U={1,2,3,4,5}，M={1,2}，N={2,3}，则∁U(M∪N)=( )
A. {4,5}B. {1,2}C. {2,3}D. {1,3,4,5}
3.已知集合A={x|x=k+16,k∈Z}，B={x|x=m2−13,m∈Z}，C={x|x=n2+16,n∈Z}，则集合A，B，C的关系是( )
A. A⫋C⫋BB. C⫋A⫋BC. A⫋C=BD. A⫋B⫋C
4.设等腰三角形△ABC的腰长为x，底边长为y，且y=x+1，则“△ABC的周长为16”是“△ABC其中一条边长为6”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.下面命题正确的是( )
A. 已知x∈R，则“x>1”是“1x<1”的充要条件
B. 命题“若∃x0≥1，使得x02<2”的否定是“∀x<1，x2≥2”
C. 已知x，y∈R，则“|x|+|y|>0”是“x>0”的既不充分也不必要条件
D. 已知a，b∈R，则“a−3b=0”是“ab=3”的必要不充分条件
6.已知a>b>c>d，下列选项中正确的是( )
A. 1a<1bB. ac2+1>bc2+1C. ad>bcD. ac>bd
7.已知正实数x，y满足1x+3y=1，则4x+3y的最小值为( )
A. 24B. 25C. 26D. 27
8.若不等式x2−(2a+2)x+2a<0(a>0)有且只有三个整数解，实数a的取值范围为( )
A. 034D. 34二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设全集为U，在下列选项中，是B⊆A的充要条件的有( )
A. A∪B=AB. A∩B=AC. (∁UA)⊆(∁UB)D. A∪(∁UB)=U
10.对任意A，B⊆R，记A⊕B={x|x∈A∪B,x∉A∩B}，并称A⊕B为集合A，B的对称差.例如，若A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A⊕B={1,4}，下列命题中，为真命题的是( )
A. 若A，B⊆R且A⊕B=B，则A=⌀
B. 若A，B⊆R且A⊕B=⌀，则A=B
C. 若A，B⊆R且A⊕B⊆A，则A⊆B
D. 存在A，B⊆R，使得A⊕B=∁RA⊕∁RB
11.已知a>0，b>0，且3a+b=2，则( )
A. ab的最大值为13B. 13a+1b的最大值是2
C. 1a2+9b2的最小值是18D. 12a+b+a+b的最小值是2 2−2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若−113.已知方程2x2−x|y|+4=0，则y的取值范围为 ______．
14.高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理的有32人，选择化学的有24人，选择生物的有22人，其中选择了物理和化学的有18人，选择了化学和生物的有10人，选择了物理和生物的有16人.那么班上选择物理或者化学或者生物的学生最多有______人.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知命题p：∀1≤x≤2，x2−a≥0，命题q：∃x∈R，x2+2ax+2a+a2=0．
(1)若命题￢p为真命题，求实数a的取值范围；
(2)若命题p和￢q均为真命题，求实数a的取值范围．
16.(本小题15分)
已知集合U={x|00}，B={x|a(1)当a=3时，求(∁UA)∩(∁UB)．
(2)若(∁UB)∩A={x|017.(本小题15分)
为了丰富学生的课余生活、给学生更好的校园生活体验，某高中决定扩大学校规模，为学生打造一所花园式的校园.学校决定在原有的矩形花园ABCD的基础上，拓展建成一个更大的矩形花园AMPN.为了方便施工，建造时要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，如图所示.已知AB=30m，AD=20m．
(1)当DN的长度为多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积；
(2)要使矩形AMPN的面积大于3200m2，则DN的长应在什么范围内？
18.(本小题17分)
设a，b为正实数，且2a+1b=1．
(1)求a+2b−ab和(a−2)(b−1)的值；
(2)求2aa−2+bb−1的最小值．
(3)求(3a+2b)2a+2b的最小值．
19.(本小题17分)
高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称.函数y=[x]成为高斯函数，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.2]=1，[−1.2]=−2．
(1)求−52≤[x]≤52的解集和2[x]2−11[x]+15≤0的解集．
(2)若∀1≤x≤72，[x]2−m[x]+4>0恒成立，求m取值范围．
(3)若[x]2−2[x]−a2+1≤0的解集为{x|0≤x<3}，求a的范围．
参考答案
1.D
2.A
3.C
4.A
5.D
6.B
7.B
8.D
9.ACD
10.ABD
11.ABC
12.(3,11)
13.{y|y≥4 2或y≤−4 2}
14.44
15.解：(1)根据题意，当1≤x≤2时，1≤x2≤4，
￢p：存在1≤x≤2，x2−a<0为真命题，则a>1，
所以实数a的取值范围是(1,+∞)；
(2)由(1)可知，命题p为真命题时，a≤1，
命题q为真命题时，Δ=4a2−4(2a+a2)≥0，解得a≤0，
所以￢q为真命题时，a>0，
所以a≤1a>0，解得0所以实数a的取值范围为(0,1]．
16.解：(1)a=3时，A={x|0则A∪B={x|0因为U={x|0所以(∁UA)∩(∁UB)=∁U(A∪B)={x|5≤x<9}．
(2)若(∁UB)∩A={x|0①B=⌀时，a≥2a−1，解得，a≤1，
此时B⊆U，∁UB=U，(∁UB)∩A={x|0②B≠⌀时，a>1，又B⊆U，故a≥02a−1≤9，
此时(CUB)∩A={x|0所以4≤a≤5，
综上：a的范围为{a|a≤1或4≤a≤5}．
17.解：(1)设出DN的长为x(x>0)m，则AN=(x+20)m，AB=30m，AD=20m，
∵CD//AM，∴NDAN=CDAM，
∴AM=30(x+20)x，
∴矩形AMPN的面积S=(x+20)⋅30(x+20)x=30x2+1200x+12000x=30x+12000x+1200(x>0)，
由基本不等式得：30x+12000x+1200≥2 30x⋅12000x+1200=2400，
当且仅当30x=12000x⇒x=20时，取“=”，∴当x=20，即DN=20m时，Smin=2400m2；
(2)由(1)得30x2+1200x+12000x>3200，即3x2−200x+1200>0，
∴(x−60)(3x−20)>0，
∴060，
∴DN的范围在(0,203)∪(60,+∞)．
18.解：(1)由题设有a+2b−ab=0，故(a−2)(b−1)=2；
(2)2aa−2+bb−1=2+1+4a−2+1b−1，
因为2a+1b=1，故0<2a>1,0<1b<1，故a>2，b>1，
由基本不等式得：4a−2+1b−1≥2 4(a−2)(b−1)=2×2 2=2 2，
当且仅当4a−2=1b−1(a−2)(b−1)=2时，即a=2+2 2，b=1+ 22时取等号，
故2aa−2+bb−1最小值为3+2 2．
(3)由(1)a+2b=ab得，
(3a+2b)2a+2b=9a2+4b2+12abab=9ab+4ba+12≥24，
当且仅当9ab=4ba且a+2b=ab，即a=83b=4时取等号，
故(3a+2b)2a+2b最小值为24．
19.解：(1)由题意得[x]≤x<[x]+1，且[x]∈Z，
由−52≤[x]≤52，即−2≤[x]≤2，所以−2≤x<3，
故−52≤[x]≤52的解集为{x|−2≤x<3}；
由2[x]2−11[x]+15≤0，得52≤[x]≤3，则[x]=3，所以3≤x<4．
所以原不等式的解集为{x|3≤x<4}．
(2)∀1≤x≤72，[x]2−m[x]+4>0恒成立，此时1≤[x]≤3，
即∀1≤x≤72，m<[x]+4[x]恒成立，
又[x]+4[x]≥4，当且仅当[x]=4[x]，即[x]=2时，即2≤x<3时等号成立．
所以要使[x]+4[x]>m恒成立，则m<4．
故m的取值范围为(−∞,4)．
(3)不等式[x]2−2[x]−a2+1≤0，即([x]+a−1)([x]−a−1)≤0，
①若a=0，不等式为[x]2−2[x]+1≤0，
即[x]=1，所以0≤x<1，显然不符合题意；
②若a>0，1−a<1+a，
由([x]+a−1)([x]−a−1)≤0，解得1−a≤[x]≤1+a，
因为不等式的解集为{x|1−a≤[x]≤1+a}={x|0≤x<3}={x|−1<[x]<3}，
所以−1<1−a≤02≤1+a<3，解得1≤a<2，
③若a<0，1+a<1−a，
由([x]+a−1)([x]−a−1)≤0，解得1+a≤[x]≤1−a，
因为不等式解集为{x|1+a≤[x]≤1−a}={x|0≤x<3}={x|−1<[x]<3}，
所以−1<1+a≤02≤1−a<3，解得−2综上所述，−2故a的范围为(−2,−1]∪[1,2)．