2024-2025学年江西省“金太阳”高二10月联考数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年江西省“金太阳”高二10月联考数学试题（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列直线中，倾斜角最小的是( )
A. 4x+3y−5=0B. 4x−3y−5=0C. 3x+4y−5=0D. 3x−4y−5=0
2.已知圆(x−1)2+(y−1)2=r2经过点P(2,2)，则圆在点P处的切线方程为( )
A. x+y−4=0B. x+y=0C. x−y=0D. x−y−4=0
3.若方程x21+m+y22−m=1表示椭圆，则m的取值范围为( )
A. (−1,2)B. (−2,1)C. (−1,32)∪(32,2)D. (−1,12)∪(12,2)
4.若点P(−1,2)在圆C:x2+y2+x+y+m=0的外部，则m的取值可能为( )
A. 5B. 1C. −4D. −7
5.已知A(−4,2)，B(3,1)，过点P(0,−1)的直线l与线段AB(含端点)有交点，则直线l的斜率的取值范围为( )
A. (−∞,−23]∪[34,+∞)B. (−∞,−34]∪[23,+∞)
C. [−34,23]D. [−23,34]
6.点(−2,3)关于直线2x+2y−3=0对称的点的坐标为( )
A. (−32,72)B. (72,−32)C. (−52,32)D. (32,−52)
7.已知圆C1:(x+3)2+y2=81和C2:(x−3)2+y2=1，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为( )
A. x216+y27=1B. x225+y29=1C. x225+y216=1D. x216+y29=1
8.已知P是圆C:x2+y2−6y=0上一动点，若直线l:3x−4y−12=0上存在两点A，B，使得∠APB=π2能成立，则线段AB的长度的最小值是( )
A. 185B. 225C. 435D. 985
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知A(2,2)，B(1,0)，C(3,−2)，且四边形ABCD是平行四边形，则( )
A. 直线AD的方程为x+y−4=0B. v=(1,2)是直线CD的一个方向向量
C. |BC|=4D. 四边形ABCD的面积为3
10.若直线y=kx−2与曲线y= −x2+6x−5恰有一个交点，则k的值可能为( )
A. 0B. 25C. 2D. 125
11.已知A(−1,0)，B(3,0)，P是圆O:x2+y2=49上的一个动点，则下列结论正确的是( )
A. 过点B且被圆O截得最短弦长的直线方程为x=3
B. 直线x−my+4m−3=0与圆O总有两个交点
C. 过点A作两条互相垂直的直线，分别交圆O于点E，G和F，H，则四边形EFGH的面积的最小值为97
D. sin∠APB的最大值为713
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知O为坐标原点，F(1,0)是椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点，过点F且与M的长轴垂直的直线交M于C，D两点.若△OCD为直角三角形，则M的长轴长为 ．
13.已知A(−1,3)，直线l:(m+2)x−(m+1)y+2m−1=0，过点A作l的垂线，垂足为B，则点B到x轴的距离的最小值为 ．
14.在某城市中，F地位于E地的正南方向，相距2km;Q地位于E地的正东方向，相距1km.现有一条沿湖小径RS(曲线)，其上任意一点到E和F的距离之和为4km.现计划在该小径上选择一个合适的点P建造一个观景台，经测算从P到F，Q两地修建观景步道的费用都是5万元/km，则修建两条观景步道的总费用最低是 万元．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知直线l:(a−1)x−(2a+1)y+1=0．
(1)若l在两坐标轴上的截距相反，求a的值;
(2)若直线m:4x−2y+1=0，且l//m，求l与m间的距离．
16.(本小题12分)
已知F1，F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，P为C上一点．
(1)若|F1F2|=2，点P的坐标为(0,−3)，求椭圆C的标准方程;
(2)若PF1⊥PF2，△F1PF2的面积为4，求b的值．
17.(本小题12分)
已知圆M与y轴相切，其圆心在x轴的负半轴上，且圆M被直线x−y=0截得的弦长为2 2．
(1)求圆M的标准方程;
(2)若过点P(0,3)的直线l与圆M相切，求直线l的方程．
18.(本小题12分)
已知A，B分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上、下顶点，M是椭圆C上一动点．
(1)若直线MA，MB的斜率之积为−34，且椭圆C的短轴长为2 6，求椭圆C的方程;
(2)若P是圆x2+y2−2by=0上一动点，且|MP|≤3b，求椭圆C的离心率的取值范围，
19.(本小题12分)
定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记|MN|的最大值为m，|MN|的最小值为n，若m=2n，则称N为圆C的“黄金点”;若G同时是圆E和圆F的“黄金点”，则称G为圆“E−F”的“钻石点”.已知圆A:(x+1)2+(y+1)2=13，P为圆A的“黄金点”．
(1)求点P所在曲线的方程．
(2)已知圆B:(x−2)2+(y−2)2=1，P，Q均为圆“A−B”的“钻石点”．
(ⅰ)求直线PQ的方程．
(ⅱ)若圆H是以线段PQ为直径的圆，直线l:y=kx+13与圆H交于I，J两点，对于任意的实数k，在y轴上是否存在一点W，使得y轴平分∠IWJ?若存在，求出点W的坐标;若不存在，请说明理由．
参考答案
1.D
2.A
3.D
4.C
5.B
6.A
7.C
8.A
9.AB
10.BD
11.ABD
12. 5+1
13.4− 5
14.15
15.解：(1)
由题意知，截距存在，
令x=0，则y=12a+1，令y=0，则x=−1a−1，
所以12a+1−1a−1=0，解得a=−2；
(2)因为l/​/m，所以a−14=−(2a+1)−2≠1，解得a=−1，
则l的方程为−2x+y+1=0，即4x−2y−2=0，
则l与m间的距离|1−(−2)| 42+(−2)2=3 510．
16.解：(1)已知|F1F2|=2，因为|F1F2|=2c，所以c=1，
点P(0,−3)在椭圆上，将其代入椭圆方程x2a2+y2b2=1，
可得02a2+(−3)2b2=1，即9b2=1，解得b=3．
又因为c2=a2−b2，c=1，b=3，
所以a2=b2+c2=9+1=10．
所以椭圆C的标准方程为x210+y29=1．
(2)因为PF1⊥PF2，所以△F1PF2的面积S=12×|PF1|×|PF2|=4，
则|PF1|×|PF2|=8．
根据椭圆定义，|PF1|+|PF2|=2a．
由勾股定理可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2．
又(|PF1|+|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|×|PF2|，
即(2a)2=(2c)2+16．
在椭圆中有c2=a2−b2，将(2a)2=(2c)2+16变形为a2=c2+4，即b2=4，解得b=2．
17.解：(1)因为圆心在x轴的负半轴上，所以设圆M:(x−a)2+y2=r2(a<0)，
又圆M与y轴相切，所以|a|=r，即r=−a．
圆心M(a,0)到直线x−y=0的距离为|a| 2，
所以(|a| 2)2+( 2)2=a2，解得a=−2，则r=2．
故圆的标准方程为(x+2)2+y2=4．
(2)由(1)知，圆心为M(−2,0)，r=2，
因为22+32>4，所以点P在圆M外，过圆M外一点作圆M的切线，其切线有2条．
①当l的斜率k存在时，设l的方程为y=kx+3，即kx−y+3=0，
则圆心M到l的距离d=|−2k+3| 1+k2=2，解得k=512，
此时l的方程为5x−12y+36=0．
②当l的斜率k不存在时，直线l的方程为x=0，圆心M(−2,0)到直线x=0的距离为2，
所以直线x=0与圆M相切．
综上，l的方程为5x−12y+36=0或x=0．
18.解：(1)设M(x,y)，
根据题意2b=2 6，b= 6，A(0, 6)，B(0,− 6)，
kAM=y− 6x,kBM=y+ 6x,
kAM·kBM=−34， y2−6x2=−34，化简可得x28+y26=1，
椭圆C的方程为x28+y26=1；
(2)
圆x2+y2−2by=0的标准方程为x2+(y−b)2=b2，圆心为A(0,b)，半径为b，
如图，当M，A，P三点共线，且A在线段MP上时，|MP|最大，此时|MP|=|MA|+|AP|=|MA|+b，
设M(x,y)，则x2a2+y2b2=1，x2=a2(1−y2b2)，
|MA|2=x2+(y−b)2=a2(1−y2b2)+(y−b)2=−c2b2y+b3c22+a4c2+a2+b2，−b≤y0≤b，
当−b3c2≤−b，即b2≥c2时，(|MA|2)max=4b2，即|MA|max=2b，符合题意，由b2≥c2，可得a2≥2c2，即0当−b3c2>−b，即b2综上，C的离心率的取值范围为(0, 22].
19.解：(1)因为P为圆A的“黄金点”，所以|PA|+ 33=2(|PA|− 33)，即|PA|= 3，
所以点P的轨迹是以A为圆心， 3为半径的圆，
故点P所在曲线的方程为(x+1)2+(y+1)2=3．
(2)(i)因为P为圆B的“黄金点”，所以|PB|=3，即点P在圆(x−2)2+(y−2)2=9上，
则P是圆(x+1)2+(y+1)2=3和(x−2)2+(y−2)2=9的交点.
因为P，Q均为圆“A−B”的“钻石点”，
所以直线PQ即为圆(x+1)2+(y+1)2=3和(x−2)2+(y−2)2=9的公共弦所在直线，
两圆方程相减可得x+y=0，故直线PQ的方程为x+y=0．
(ii)设(x+1)2+(y+1)2=3的圆心为S(−1,−1)，半径为 3;
(x−2)2+(y−2)2=9的圆心为T(2,2)，半径为3.直线ST的方程为y=x，得P，Q的中点坐标为(0,0)，
点S到直线x+y=0的距离为2 2= 2，则|PQ|2= ( 3)2−( 2)2=1，
所以圆H的方程为x2+y2=1．
假设y轴上存在点W(0,t)满足题意，设I(x1,y1)，J(x2,y2)，x1x2≠0.
若y轴平分∠IWJ，则kIW+kJW=0，即y1−tx1+y2−tx2=0，整理得x2(y1−t)+x1(y2−t)=0．
又y1=kx1+13，y2=kx2+13，所以代入上式可得x2(kx1+13−t)+x1(kx2+13−t)=0，
整理得2kx1x2+(13−t)(x1+x2)=0， ①
由y=kx+13,x2+y2=1,得(k2+1)x2+23kx−89=0，所以x1+x2=−23kk2+1，x1x2=−89k2+1，
代入 ①并整理，得−2k+23kt=0，此式对任意的k都成立，
所以t=3.故y轴上存在点W(0,3)，使得y轴平分∠IWJ．