2024-2025学年河南省郑州市省级示范性高中高二上学期第一次月考数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年河南省郑州市省级示范性高中高二上学期第一次月考数学试题（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在空间直角坐标系中，点−2,1,4关于x轴对称的点坐标是( )
A. −2,1,−4B. 2,1,4C. −2,−1,−4D. 2,−1,4
2.已知直线l1:ax+y−2=0,l2:2x+a+1y+2=0，若l1//l2，则a=( )
A. −1或2B. 1C. 1或−2D. −2
3.直线l:x−y+1=0与圆O:x2+y2−2x−3=0交于A,B两点，则▵AOB的面积为( )
A. 3B. 2C. 2 2D. 32
4.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，则直线EC1与平面ACD1所成角的正弦值为( )
A. 155B. 789C. 105D. 2 23
5.若向量e1,e2,e3是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量a，存在唯一的有序实数组x,y,z，使得：a=xe1+ye2+ze3，我们把有序实数组x,y,z叫做基底e1,e2,e3下向量a的斜坐标.设向量p在基底a,b,c下的斜坐标为−1,2,3，则向量p在基底a+b,a−b,c下的斜坐标为( )
A. 12,−32,−3B. −12,−32,3C. −12,32,3D. 12,−32,3
6.点P在直线l:x−y−1=0上运动，A2,3,B2,0，则PA−PB的最大值是( )
A. 5B. 6C. 3D. 4
7.在空间中，“经过点Px0,y0,z0，法向量为e=(A,B,C)的平面的方程(即平面上任意一点的坐标x,y,z满足的关系式)为：Ax−x0+By−y0+Cz−z0=0用此方法求得平面α和平面β的方程，化简后的结果为分别x−y−z=1和x−2y+z=6，则这两平面所成角的余弦值为( )
A. − 23B. 23C. − 73D. 73
8.已知动点M与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离之比为2，那么直线OM的斜率的取值范围是( )
A. 2 6,6 2B. − 72, 72C. [− 33, 33]D. −3,−32
二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=1,1,0，b=0,1,1，c=1,2,1，则下列结论正确的是( )
A. 向量a与向量b的夹角为π3
B. c⊥a−b
C. 向量a在向量b上的投影向量为12,0,12
D. 向量c与向量a，b共面
10.已知直线l：4x+3y+6=0与圆C：x2+y2−2x−8=0相交于E，F两点，则( )
A. 圆心C的坐标为1,0B. 圆C的半径为2 2
C. 圆心C到直线l的距离为2D. EF=2 5
11.已知圆C：(x−1)2+(y−2)2=25，直线l:2m+1x+m+1y−7m−4=0.则以下命题正确的有( )
A. 直线l恒过定点3,0
B. y轴被圆C截得的弦长为4 5
C. 直线l与圆C恒相交
D. 直线l被圆C截得弦长最长时，直线的方程为x+2y−5=0
12.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是( )
A. CC1⊥BDB. AA1⋅BD1=36
C. B1C与AA1夹角是60°D. 直线AC与直线A1C1的距离是2 6
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量a=(1,1,0),b=(−1,0,2)，且ka+b与2a−b互相垂直，则k的值是 ．
14.过点P(3,−2)且与圆C：x2+y2−2x−4y+1=0相切的直线方程为
15.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如下图，四面体P−ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且PA=AB=BC=1，则二面角A−PC−B的余弦值为____．
16.已知点P(−2,−1)和直线l:(1+2λ)x+(1−3λ)y+λ−2=0，则点P到直线l的距离的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知▵ABC三个顶点的坐标分别是A1,1,B4,2,C3,0．
(1)求▵ABC的面积；
(2)求▵ABC外接圆的方程．
18.(本小题12分)
已知直线l1:ax−a−4y+2=0，直线l2:2x+ay−1=0．
(1)若l1//l2，求实数a的值；
(2)若l1⊥l2，求实数a的值．
19.(本小题12分)
在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点．
(1)求点B到直线AC1的距离；
(2)求直线FC到平面AEC1的距离．
20.(本小题12分)
如图，在多面体ABCDEF中，正方形ABCD与梯形ADEF所在平面互相垂直，已知AF//DE，AD⊥AF，AF=AD=12DE=1．
(1)求证：EF⊥平面CDF；
(2)求平面CDF与平面BCE的夹角的余弦值，
21.(本小题12分)
一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20km的圆形区域内.已知小岛中心位于轮船正西40km处，港口位于小岛中心正北30km处.如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险?
22.(本小题12分)
图1是边长为 2的正方形ABCD，将▵ACD沿AC折起得到如图2所示的三棱锥P−ABC，且PB= 2．
(1)证明：平面PAC⊥平面ABC；
(2)点M是棱PA上不同于P，A的动点，设AMAP=λ0