2024-2025学年天津五中高二（上）段考数学试卷（10月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年天津五中高二（上）段考数学试卷（10月份）（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线 3x−y+2=0的倾斜角为( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
2.与直线3x−4y+5=0关于坐标原点对称的直线方程为( )
A. 3x+4y−5=0B. 3x+4y+5=0C. 3x−4y+5=0D. 3x−4y−5=0
3.已知圆M：(x−5)2+(y−3)2=9，圆N：x2+y2−4x+2y−9=0，则两圆圆心的距离等于( )
A. 25B. 10C. 2 5D. 5
4.已知直线l1：ax+2y=0与直线l2：x+(a+1)y+4=0平行，则实数a的值为( )
A. a=−2B. a=1C. a=−2或a=1D. 不存在
5.若椭圆经过点B(0, 3)，且焦点分别为F1(−1,0)和F2(1,0)，则椭圆的离心率为( )
A. 34B. 23C. 12D. 14
6.若方程x22+m−y2m+1=1表示双曲线，则实数m的取值范围是( )
A. −20)的一条渐近线的斜率 3，一个焦点为(−6,0)，则双曲线的顶点到渐近线的距离为( )
A. 3B. 3 32C. 3 3D. 6
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
10.椭圆x22+y24=1的焦距是______．
11.已知双曲线4x2−y2−64=0上一点P与它的一个焦点的距离等于5，那么点P与另一个焦点的距离等于______．
12.经过点P(−3,−4)，且在x轴、y轴上的截距相等的直线l的方程是____________．
13.已知圆C的圆心在x轴上，并且过点A(−1,1)和B(1,3)，则圆的方程是 ．
14.由直线y=x+1上的一点向圆(x−3)2+y2=1引切线，则切线长的最小值为______．
15.如图：已知圆C：(x+1)2+y2=25内有一点A(1,0)，Q是圆C上的任意一点，线段AQ的垂直平分线与CQ相交于点M，当点Q在圆C上运动时，点M的轨迹方程为______．
三、解答题：本题共3小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
求经过直线l1：3x+4y−5=0，l2：2x−3y+8=0的交点M，且满足下列条件的直线的方程．
(1)经过点P(1,3)；
(2)与直线2x+y+5=0平行；
(3)与直线2x+y+5=0垂直．
17.(本小题13分)
如图，圆(x−1)2+y2=8内有一点.P0(−1,−1)，AB为过点P0且倾斜角为α的弦．
(1)当α=135°时，求AB的长；
(2)当弦AB被点P0平分时，写出AB所在的直线的方程；
(3)当|AB|=4时，写出AB所在的直线的方程．
18.(本小题15分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率是 32，椭圆C的一个顶点为(2,0)，直线l：y=k(x+1)(k>0)与椭圆C相交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若线段AB的中点的横坐标为−12，求直线l的斜率以及弦长|AB|．
参考答案
1.B
2.D
3.D
4.C
5.C
6.D
7.B
8.B
9.C
10.2 2
11.13
12.4x−3y=0或x+y+7=0
13.(x−2)2+y2=10
14. 7
15.x2254+y2214=1
16.解：(1)由3x+4y−5=02x−3y+8=0，求得x=−1y=2，可得直线l1：3x+4y−5=0，l2：2x−3y+8=0的交点M(−1,2)．
∵直线还经过点P(1,3)，故它的方程为y−23−2=x+11+1，即x−2y+5=0．
(2)根据所求直线与直线2x+y+5=0平行，可设它的方程为2x+y+m=0，
再把点M(−1,2)代入，可得−2+2+m=0，求得m=0，故所求的直线的方程为2x+y=0．
(3)根据所求直线与直线2x+y+5=0垂直，可设它的方程为x−2y+n=0，
再把点M(−1,2)代入，可得−1−4+n=0，求得n=5，故所求的直线的方程为x−2y+5=0．
17.解：(1)设圆(x−1)2+y2=8的圆心C(1,0)，半径r=2 2，
P0(−1,−1)，当α=135°时，则直线的斜率k=tan135°=−1，
所以直线AB的方程为y+1=−(x+1)，
即x+y+2=0，
圆心C(1,0)到直线AB的距离d=|1+0+2| 12+12=3 22，
所以弦长|AB|=2 r2−d2=2 8−92= 14；
(2)因为kCP=0−(−1)1−(−1)=12，
由圆的性质过圆心的直线垂直线且平分弦，
所以以P为中点的AB的斜率为−1kPC=−2，
所以直线AB的方程为y+1=−2(x+1)，
即2x+y+3=0；
(3)因为|AB|=4，设圆心C到直线AB的距离为d′，
则4=2 r2−d′2=2 8−d′2，
所以d′=2，
当过点P(−1,−1)的斜率不存在时，则直线的方程为x=−1，
则圆心C(1,0)到此直线的距离为2，显然成立，
当直线的斜率存在时，设直线AB的方程为y+1=k(x+1)，
即kx−y+k−1=0，
则点C(1,0)到直线B的距离d′=|k−0+k−1| k2+(−1)2=2，
解得k=−34，
即此时直线BA的方程为：−34x−y−34−1=0，
即3x+4y+7=0，
综上所述：直线AB的方程为x=−1或3x+4y+7=0．
18.解：(1)已知椭圆C的一个顶点为(2,0)，
则a=2，
由离心率e=ca= 32，
可得c= 3，b= a2−c2=1，
即椭圆的方程为x24+y2=1；
(2)将y=k(x+1)代入椭圆方程x2+4y2=4，
可得：(1+4k2)x2+8k2x+4k2−4=0，
Δ=(8k2)2−4(1+4k2)(4k2−4)>0恒成立，
则x1+x2=−8k21+4k2，x1x2=4k2−41+4k2，
由线段AB的中点的横坐标为−12，
可得x1+x2=−8k21+4k2=−1，
解得k=±12，
由k>0，
可得k=12；
弦长|AB|= 1+k2⋅ (x1+x2)2−4x1x2
= 1+14⋅ 1−4×−32= 352．