2024-2025学年上海市浦东新区华东师大二附中高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年上海市浦东新区华东师大二附中高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α=60°，则β为( )
A. 60°B. 120°C. 30°D. 60°或120°
2.若直线l不垂直于平面α，那么平面α内( )
A. 不存在与l垂直的直线B. 只存在一条与l垂直的直线
C. 存在无数条直线与l垂直D. 以上都不对
3.若直线l与平面α所成角为π3，直线a在平面α内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成的角的取值范围是( )
A. [0,23π]B. [π3,2π3)C. [π3,π2]D. [π3,2π3]
4.正方体ABCD−A1B1C1D1有六个面，每个面有两条对角线，则这十二条对角线所在的十二条直线中，可以组成异面直线( )
A. 24对B. 30对C. 32对D. 64对
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.直线与平面所成角的范围是______．
6.“平面α经过直线AB”用集合符号语言可表示为______．
7.若两直线a、b与面α所成的角相等，则a与b的位置关系是______．
8.已知斜线段长是它在平面上的射影长的2倍，则斜线与平面所成的角为______．
9.在空间四边形P−ABC的边与对角线六条边所在的直线中，异面直线共有______对.
10.如图所示，正四面体ABCD的棱长为1，则点A到平面BCD的距离为______．
11.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，若E是BC1的中点，则直线DE与平面ABCD所成
角的大小为______．
12.如图，PA⊥平面ABC，在△ABC中，BC⊥AC，∠PBA=θ1，∠PBC=θ2，∠ABC=θ3.则角θ1，θ2，θ3的余弦值之间的关系可以是______．
13.已知直角三角形ABC中，AC=6，BC=8，若EC⊥平面ABC，且EC=4，则E到斜边AB的距离为______．
14.如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，且E为CD的中点，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，则下列说法正确的是______.(写出所有正确说法的序号)
①不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN/​/平面DEC；
②不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN⊥AE；
③不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN//AB；
④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC⊥AD．
15.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，对角线AC1与棱AB，AD，AA1所成的角分别为α1，α2，α3，与平面ABCD，平面ABB1A1，平面ADD1A1所成的角分别为β1，β2，β3，则下列说法中正确的是______．
①sin2α1+sin2α2+sin2α3=1；
②sin2α1+sin2α2+sin2α3=2；
③cs2α1+cs2α2+cs2α3=1；
④sin2β1+sin2β2+sin2β3=1
16.空间给定不共面的A，B，C，D四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面α：A，B，C，D中有三个点到的距离相同，另一个点到α的距离是前三个点到α的距离的2倍，这样的平面α的个数是______个．
三、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．
(Ⅰ)求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值；
(Ⅱ)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F//平面A1BE？证明你的结论．
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，AD⊥平面PDC，AD//BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．
(Ⅰ)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；
(Ⅱ)求证：PD⊥平面PBC；
(Ⅲ)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
19.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB//DC，DC⊥AC．
(1)求证：DC⊥平面PAC；
(2)若PC=AB=AC=1，求PB与平面PAC成角的正弦值；
(3)设点E为AB的中点，过点C，E的平面与棱PB交于点F，且PA//平面CEF，求PFPB的值．
参考答案
1.D
2.C
3.C
4.B
5.[0,π2]
6.AB⊂平面α
7.平行或相交或异面
8.60°
9.3
10. 63
11.arctan 55
12.csθ1⋅csθ3=csθ2
13.4 615
14.①②④
15.②③④
16.32
17.解：(Ⅰ)如图(a)，取AA1的中点M，连接EM，BM，
因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，
所以EM/​/AD．
又在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，
所以EM⊥面ABB1A1，
从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，
∠EBM是直线BE与平面ABB1A1所成的角．
设正方体的棱长为2，则EM=AD=2，BE= 22+22+12=3，
于是在Rt△BEM中，sin∠EBM=EMBE=23，
即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为23．
(Ⅱ)在棱C1D1上存在点F，使B1F/​/平面A1BE，
事实上，如图(b)所示，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD1，FG，
因A1D1/​/B1C1/​/BC，且A1D1=BC，
所以四边形A1BCD1为平行四边形，
因此D1C/​/A1B，又E，G分别为D1D，CD的中点，
所以EG/​/D1C，从而EG/​/A1B，
这说明A1，B，G，E共面，所以BG⊂平面A1BE
因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，
所以FG/​/C1C/​/B1B，且FG=C1C=B1B，
因此四边形B1BGF为平行四边形，
所以B1F/​/BG，
又B1F不在平面A1BE内，BG⊂平面A1BE，
故B1F/​/平面A1BE．
18.(Ⅰ)解：由已知AD//BC，
故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角，
因为AD⊥平面PDC，PD在平面PDC上，
所以AD⊥PD，
在Rt△PDA中，由已知，得AP= AD2+PD2= 5，
故cs∠DAP=ADAP= 55，
所以异面直线AP与BC所成角的余弦值为 55；
(Ⅱ)证明：因为AD⊥平面PDC，PD在平面PDC上，
所以AD⊥PD，
又因为BC/​/AD，所以PD⊥BC，
又PD⊥PB，PB∩BC=B，PB，BC均在平面PBC上，
所以PD⊥平面PBC；
(Ⅲ)解：过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF，如图，
则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角，
因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，
所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角，
由于AD//BC，DF/​/AB，
所以四边形ABFD为平行四边形，
故BF=AD=1，
由已知，得CF=BC−BF=2，
因为AD⊥平面PDC，DC在平面PDC上，
∴AD⊥DC，又AD//BC，
故BC⊥DC，
∴DF= DC2+CF2=2 5，
在Rt△DPF中，可得sin∠DFP=PDDF= 55．
所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为 55．
19.(1)证明：因为PC⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
所以PC⊥CD，
又DC⊥AC，AC∩PC=C，AC，PC⊂平面PAC，
所以DC⊥平面PAC．
(2)解：因为AB//DC，DC⊥平面PAC，
所以AB⊥平面PAC，
所以∠APB为直线PB与平面PAC所成角的平面角，
在Rt△PAC中，PA= PC2+AC2= 2，
在Rt△PAB中，PB= PA2+AB2= 3，
所以sin∠APB=ABPB= 33．
(3)解：因为PA//平面CEF，平面PAB∩平面CEF=EF，PA⊂平面PAB，
所以PA/​/EF，
因为点E为AB的中点，
所以点F为PB的中点，
所以PFPB=12．