2024-2025学年辽宁省大连市滨城高中联盟高一上学期10月份考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年辽宁省大连市滨城高中联盟高一上学期10月份考试数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={−2,−1,1,3,5}，集合B={x|−x2+5>0,x∈Z}，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A. {−2,−1,1}B. {0,3,5}C. {0,1}D. {0,2}
2.若a<0，b<0，则p=b2a+a2b与q=a+b的大小关系为( )
A. pqD. p≥q
3.命题“∃x∈R,x2−ax+1<0”为假命题的一个必要不充分条件是( )
A. a∈[−2,2]B. a∈(−2,1)C. a∈[−2,3]D. a∈(−2,3)
4.下列不等式正确的是( )
A. 已知1≤a+b≤4，−1≤a−b≤2，则4a−2b取值范围是−2,10
B. 若1a>1b，则aC. 若ac2≥bc2，则a≥b
D. 若a>0，b>0，且aab
5.若关于x、y的方程组y−kx−2=0y2−4x−2y+1=0的解集中只有一个元素，则实数k的值为( )
A. 1B. 0或1C. −1D. 0或−1
6.当一个非空数集G满足“如果a,b∈G，则a+b，a−b，ab∈G，且b≠0时，ab∈G”时，我们称G就是一个数域，以下四个数域的命题：
①0是任何数域的元素：
②若数域G有非零元素，则2024∈G；
③集合P=x∣x=3k,k∈Z是一个数域
④有理数集是一个数域
其中真命题的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
7.已知关于x的不等式ax2−bx+1>0的解集为(−∞,2m)∪(m,+∞)，其中m>0，则b+1m的最小值为( )
A. 4B. 2 2C. 2D. 1
8.对于问题“已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为−2,4，解关于x的不等式ax2−bx+c>0”，给出一种解法：由ax2+bx+c>0的解集为−2,4，得a−x2+b−x+c>0的解集为−4,2，即关于x的不等式ax2−bx+c>0的解集为−4,2，类比上述解法，若关于x的不等式ax3+bx2+cx+d>0的解集为1,4∪8,+∞，则关于x的不等式−a8x3+b4x2−c2x+d>0的解集为( )
A. −∞,−16∪−8,−2B. −∞,−4∪−2,−1
C. −∞,−12∪−18,−116D. −12,−18∪−116,0
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知正数x，y满足x+y=2，则下列选项正确的是( )
A. 1x+1y的最小值是2B. xy的最小值是1
C. x2+y2的最小值是4D. xy+1的最大值是94
10.下面命题正确的是( )
A. 对任意的x∈R，x−a2+x−2a+1≥4恒成立，则a≤−1或a≥3
B. x2+5 x2+4的最小值是2
C. 已知a，b，c∈−∞,0，则a+1b，b+4c，c+9a至少有一个不大于−4
D. 设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件
11.设非空集合S=xm≤x≤n满足：当x∈S时，有x2∈S.给出如下命题，其中真命题是( )
A. 若m=1，则S=x|x≥1B. 若m=−12，则14≤ n≤1
C. 若n=12，则− 22≤m≤0D. 若n=1，则−1≤m≤0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.命题“∀x≤1，x2−x>0”的否定是 ．
13.关于x的一元二次方程x2−ax+6a−4=0的两个正实数根分别为x1,x2，且2x1+x2=8，则a的值是 ．
14.若a>b>1，且a+3b=5，则1a−b+4b−1的最小值为 ，ab−b2−a+b的最大值为
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知集合A=x4x−10≤−1，B=x2+a(1)当a=3时，求A∩B；
(2)若A∪B=A，求实数a的取值范围．
16.(本小题12分)
已知a，b为正实数，且满足ab+2a+b=16．
(1)求ab的最大值；
(2)求a+b的最小值；
(3)写出1a+1+1b+2的最小值(直接写出结果即可)．
17.(本小题12分)
(1)已知∀a∈0,2时，不等式ax2+a+1x+1−32a<0恒成立，求x的取值范围．
(2)已知存在x∈−2,2，使不等式x2+mx+3−2m≤0成立，求m的取值范围．
18.(本小题12分)
若实数x、y、m满足x−m(1)x2比0接近1，求x的取值范围；
(2)判断：“x比y接近0”是“x+2yy−x>2”的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件)，并加以证明．
19.(本小题12分)
已知函数y=ax2−a+2x+2,a∈R
(1)求不等式y≥0的解集；
(2)若存在m>0使关于x的方程ax2−a+2x+2=m+1m+1有4个不同的实根，求实数a的取值范围
参考答案
1.D
2.B
3.C
4.A
5.B
6.C
7.C
8.D
9.AD
10.ACD
11.BC
12.∃x≤1，x2−x≤0
13.5
14.25；116
15.(1)
由4x−10≤−1，即x−6x−10≤0，等价于x−6x−10≤0x−10≠0，解得6≤x<10，
所以A=x4x−10≤−1=x6≤x<10，
当a=3时B=x5所以A∩B=x6≤x<7．
(2)
因为A∪B=A，所以B⊆A，
当B=⌀时，则2+a≥2a+1，解得a≤1；
当B≠⌀时，则2+a<2a+12+a≥62a+1≤10，解得4≤a≤92；
综上可得实数a的取值范围为−∞,1∪4,92．

16.(1)
由2a+b≥2 2ab，从而ab+2 2ab≤16，
令t= ab>0，则有t2+2 2t−16≤0，
解得0从而ab≤8，当且仅当2a=b，即a=2,b=4时取到等号，
所以ab的最大值为8；
(2)
由16=ab+2a+b，得b=16−2aa+1=18a+1−2，
从而a+b=a+18a+1−2=a+1+18a+1−3≥6 2−3；
当且仅当a+1=18a+1即a=3 2−1时取等号，
故a+b最小值为6 2−3；
(3)
由ab+2a+b=16即(a+1)(b+2)=18，
所以1a+1+1b+2≥2 1a+1⋅1b+2=2 118= 23，当且仅当a+1=b+2时取等号．
故1a+1+1b+2的最小值为 23．

17.(1)由题意，因为当a∈0,2，不等式ax2+a+1x+1−32a<0恒成立，
可转化为关于a的函数fa=x2+x−32a+x+1，a∈0,2，
则fa<0对任意a∈0,2恒成立，
则满足f(0)=x+1<0f(2)=2x2+2x−3+x+1<0,
解得−2即x的取值范围为−2,−1．
(2)令gx=x2+mx+3−2m，x∈−2,2，
因为存在x∈−2,2，使不等式x2+mx+3−2m≤0成立，
所以存在x∈−2,2，使不等式gx≤0成立，
函数gx=x2+mx+3−2m开口向上，对称轴为x=−m2，
当−m2≤−2，即m≥4时，gxmin=g−2=7−4m≤0，解得m≥74，所以m≥4；
当−m2≥2，即m≤−4时，gxmin=g2=7，不符合题意；
当−2<−m2<2，即−4所以2 7−4≤m<4，
综上可得m≥2 7−4，即m的取值范围为2 7−4,+∞．

18.(1)
解：因为x2比0接近1，则x2−1<0−1，即−1解得− 2所以，x的 取值范围是x− 2(2)
解：若x比y接近0，则x由x+2yy−x>2可得x+2yy−x−2=x+2y−2y−xy−x=3xy−x>0，即3xx−y<0，可得xx−y<0，
若x>0，则x−y<0，即y>x>0，此时，x若x<0，则x−y>0，则y−x>0，此时，x所以，“x比y接近0”⇐“x+2yy−x>2”，
另一方面，若x所以，“x比y接近0”⇏ “x+2yy−x>2”，
因此，“x比y接近0”是“x+2yy−x>2”的必要不充分条件．

19.(1)
解：由题ax2−(a+2)x+2≥0，即(ax−2)(x−1)≥0，
当a=0时原不等式即为−2(x−1)≥0，解得x≤1，即不等式的解集为x|x≤1；
当a<0时不等式即x−2ax−1≤0，解得2a≤x≤1，即不等式的解集为x|2a≤x≤1；
当a>0，则x−2ax−1≥0，且2a−1=2−aa，
①当01，不等式的解集为{x|x≤1或x≥2a}，
②当a=2时，不等式的解集为R，
③当a>2时，2a<1，不等式解集为{x|x≤2a或x≥1}，
综上可得：
当a=0时，不等式的解集为x|x≤1，
当a<0时不等式的解集为x|2a≤x≤1，
当0当a=2时，不等式的解集为R，
当a>2时，不等式解集为{x|x≤2a或x≥1}；
(2)
解：当m>0时，令t=m+1m+1≥2 m×1m+1=3，
当且仅当m=1时取等号，
令fx=ax2−a+2x+2，则ax2−a+2x+2=m+1m+1，
即ax2−a+2x+2=m+1m+1，可化为ax2−a+2x+2−t=0，
即关于x的方程为ax2−a+2x+2−t=0有四个不等的实数根，
即ax2−(a+2)x+2−t=0有两个不同的正实数根，
则Δ=(a+2)2−4a(2−t)>0a+2a>02−ta>0，解得a<−2，
由Δ=(a+2)2−4a(2−t)>0，可知存在t∈[3,+∞)使得不等式4at+(a+2)2−8a>0成立，
故4a×3+(a+2)2−8a>0，即a2+8a+4>0，
解得a<−4−2 3或a>−4+2 3，
综上可得a<−4−2 3，
所以a的取值范围为(−∞,−4−2 3)．