2024-2025学年江苏省扬州市“六校联盟”高二上学期第一次联测数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省扬州市“六校联盟”高二上学期第一次联测数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线 3x+y−1=0的倾斜角为( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
2.经过点A(5,0)，且与直线2x+y−1=0垂直的直线方程为( )
A. x+2y−5=0B. x−2y−5=0C. x−2y−1=0D. 2x+y−10=0
3.“a=−3”是“直线l1：ax+3y+1=0与直线l2：2x+a+1y+1=0互相平行”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知直线l倾斜角的余弦值为− 55，且经过点(2,1)，则直线l的方程为( )
A. 2x+y−5=0B. 2x−y−3=0C. x−2y=0D. x+2y−4=0
5.已知圆(x−1)2+y2=4内一点P(2,1)，则过P点的最短弦所在的直线方程是( )
A. x−y−1=0B. x+y−3=0C. x+y+3=0D. x=2
6.若直线l:y=kx+3−k与曲线C:y= 1−x2恰有两个交点，则实数k的取值范围是( )
A. 43,+∞B. 43,32C. 0,43D. 43,32
7.直线l1:x+1+ay=1−aa∈R，直线l2:y=−12x，给出下列命题：
①∃a∈R，使得l1//l2； ②∃a∈R，使得l1⊥l2；
③∀a∈R，l1与l2都相交； ④∃a∈R，使得原点到l1的距离为2．
其中正确的是( )
A. ①②B. ②③C. ②④D. ①④
8.已知圆C:x−32+y−42=1，直线l:3kx−3y+5k−6=0上存在点P，过点P作圆C的切线，切点分别为A,B，使得∠APB=60∘，则实数k的取值范围是( )
A. 34,145B. 43,145C. 43,125D. 34,125
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线l:m+2x−y+m−2=0，下列说法正确的是( )
A. 若m=−3，则直线l的倾斜角为135∘
B. 若直线l的在两坐标轴的截距相等，则m=−3
C. 直线l与直线x+y=0垂直，则m=−1
D. 若直线l不过第二象限，则m∈−2,2
10.已知直线l:kx−y+2k=0和圆O:x2+y2=16，则( )
A. 直线l恒过定点2,0
B. 存在k使得直线l与直线l0：x−2y+2=0垂直
C. 直线l与圆O相交
D. 若k=−1，直线l被圆O截得的弦长为 14
11.已知圆O:x2+y2=4，则( )
A. 圆O与直线mx+y−m−1=0必有两个交点
B. 圆O上存在4个点到直线l:x−y+ 2=0的距离都等于1
C. 圆O与圆x2+y2−6x−8y+m=0恰有三条公切线，则m=16
D. 动点P在直线x+y−4=0上，过点P向圆O引两条切线，A､B为切点，则四边形PAOB面积最小值为2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线3x+4y+1=0与直线mx+8y+7=0平行，则这两条直线间的距离为 ．
13.写出圆M：x−12+y−22=5与圆N：x+12+y+22=5的一条公切线方程 ．
14.过直线l:x−y+4=0上任意点P作圆O:x2+y2=4的两条切线，切点分别为A，B，直线AB过定点 ;记线段AB的中点为Q，则点Q到直线l的距离的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知△ABC的顶点A(0,4)，B(2,0)，C(−5,m)，线段AB的中点为D，且CD⊥AB．
(1)求m的值；
(2)求BC边上的中线所在直线的方程．
16.(本小题12分)
在ΔABC中，已知顶点A(2,4)，AB边上的中线所在直线方程为x+2y−5=0，内角∠ABC的平分线所在直线方程为2x−y+10=0．
(1)求点B的坐标；
(2)求直线BC的方程．
17.(本小题12分)
已知定点A−1,0，B0,0，动点P满足PA= 2PB.设动点P的轨迹是曲线T，
(1)求曲线T的方程；
(2)直线l:2x−y−1=0和曲线T交于两点C、D，求线段CD的长；
(3)若实数x，y满足曲线T的方程，求y−2x−3的最大值．
18.(本小题12分)
已知圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，且与直线3x+4y−8=0相切．
(1)求圆C的标准方程；
(2)直线l:y=kx+2与圆C交于A，B两点．
①求k的取值范围；
②证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值．
19.(本小题12分)
已知圆C过点A2,6，且与直线l1:x+y−10=0相切于点B6,4．
(1)求圆C的方程；
(2)过点P6,24的直线l2与圆C交于M,N两点，若▵CMN为直角三角形，求直线l2的方程；
(3)在直线l3:y=x−2上是否存在一点Q，过点Q向圆C引两切线，切点为E,F，使▵QEF为正三角形，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．
参考答案
1.C
2.B
3.C
4.A
5.B
6.B
7.C
8.D
9.AC
10.BC
11.AC
12.12
13.x+2y=0(2x−y+5=0或2x−y−5=0之一也可以)
14.(−1,1)
2

15.解：(1)因为A(0,4)，B(2,0)，所以D的坐标为(1,2)，
因为CD⊥AB，所以m−2−5−1×4−00−2=−1，
解得m=−1．
(2)设线段BC的中点为E，由(1)知C(−5,−1)，则E(−32,−12)，
所以kAE=4+0.50+1.5=3，
所以直线AE的方程为y−4=3(x−0)，化简得3x−y+4=0，
即BC边上的中线所在直线的方程为3x−y+4=0．
16.解：1由内角∠ABC的平分线所在直线方程为2x−y+10=0知，
点B在直线2x−y+10=0上，
设B(m,2m+10)，
则AB中点D的坐标为m+22 , 2m+142．
由AB边上的中线所在直线方程为x+2y−5=0知，
点D在直线x+2y−5=0上，
∴m+22+2×2m+142−5=0，解得m=−4．
∴点B的坐标为(−4,2)．
(2)设点E(a,b)与点A(2,4)关于直线2x−y+10=0对称，
则∴ 2×a+22−b+42+10=0 b−4a−2×2=−1,
2a−b=−20a+2b=10，解得 a=−6 b=8．
∴点E的坐标为(−6,8)．
由直线2x−y+10=0为内角∠ABC的平分线所在直线，知点E在直线BC上．
∴直线BC方程为y−2=8−2−6−−4x+4，即3x+y+10=0．

17.解：(1)设P(x,y)，由PA= 2PB得 x+12+y2= 2 x2+y2，
两边平方化简得x−12+y2=2，
所以曲线T的方程x−12+y2=2．
(2)由(1)知曲线T是以(1,0)为圆心， 2为半径的圆，
所以圆心到直线l:2x−y−1=0的距离是d=2×1−0−1 22+−12=1 5，
所以AB=2 22−1 52=6 55；
(3)设点M(x,y)在圆上，Q3,2，
所以k=y−2x−3表示圆上的点M(x,y)与定点Q3,2两点所在直线的斜率，如图，

由图可知直线与圆相切时k取得最大值和最小值，
此时圆心到直线距离为 2=k−0+2−3k 1+k2，整理得k2−4k+1=0，解得k=2± 3，
所以y−2x−3的最大值为2+ 3．

18.解：(1)由题意，设圆心为Ca,0(a>0)，因为圆C过原点，所以半径r=a，
又圆C与直线3x+4y−8=0相切，所以圆心C到直线的距离d=|3a−8|5=a⇒a=1(负值舍去)，所以圆C的标准方程为：x−12+y2=1．
(2)(ⅰ)将直线l代入圆的方程可得：k2+1x2+4k−2x+4=0，因为有两个交点，
所以Δ=4k−22−16k2+1>0⇒k<−34，即k的取值范围是−∞,−34．
(ⅱ)设Ax1,y1,Bx2,y2，由根与系数的关系：x1+x2=−4k−2k2+1x1+x2=4k2+1,
所以kOA+kOB=y1x1+y2x2=kx1+2x1+kx2+2x2=2x1+x2x1x2+2k=−2⋅4k−2k2+14k2+1+2k=1．
即直线OA，OB斜率之和为定值．

19.解：(1)设圆心坐标为a,b，则b−4a−6=1a−22+b−62=a−62+b−42，解得：a=1b=−1,
∴圆的半径r= a−62+b−42=5 2，
∴圆C的方程为：x−12+y+12=50．
(2)∵△CMN为直角三角形，CM=CN，∴CM⊥CN，
则圆心C到直线l2的距离d= 22r=5；
当直线l2斜率不存在，即l2:x=6时，满足圆心C到直线l2的距离d=5；
当直线l2斜率存在时，可设l2:y−24=kx−6，即kx−y−6k+24=0，
∴d=k+1−6k+24 k2+1=5，解得：k=125，
∴l2:125x−y+485=0，即12x−5y+48=0；
综上所述：直线l2的方程为x=6或12x−5y+48=0．
(3)假设在直线l3存在点Q，使▵QEF为正三角形，∴∠EQC=π6，∴QC=2r=10 2，
设Qt,t−2，∴QC2=t−12+t−2+12=200，解得：t=−9或t=11，
∴存在点Q−9,−11或11,9，使▵QEF为正三角形．