2024-2025学年江苏省如东一中、宿迁一中、徐州中学高一上学期10月联考数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省如东一中、宿迁一中、徐州中学高一上学期10月联考数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设全集U=−2,−1,1,2,A=x∣x2−1=0,B=x∣x−1x−2=0，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A. 1,−1,2B. −1,2C. 1D. −2
2.设x∈R，则“x−12<12”是“x<1”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.若实数m，n满足2m=3n=6，则下列关系中正确的是( )
A. 1m+1n=1B. 1m+2n=2C. 2m+1n=2D. 1m+2n=12
4.不等式ax2−bx+c>0的解集为x−2A. B.
C. D.
5.若命题“∃x∈[−1,3]，x2−2x−a≤0”为真命题，则实数a可取的最小整数值是( )
A. −1B. 0C. 1D. 3
6.下列命题中正确的是( )
A. 若a>b，则ac2>bc2
B. 若a>b，则a2>b2
C. 若−1D. 若a>b>0，m>0，则b+ma+m7.已知2a=b,2b=3,lgb6=c，则( )
A. b+1=acB. 3b+a=cC. ac+a=2bD. b=ac
8.已知正实数a,b满足2a+b=1.则5a+ba2+ab的最小值为( )
A. 3B. 9C. 4D. 8
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法不正确的是( )
A. 命题“∀x<1，都有x2<1”的否定是“∃x≥1，使得x2≥1”
B. 集合A=−2,1,B=x∣ax=2，若A∩B=B，则实数a的取值集合为−1,2
C. 集合A=1,a，B=1,a2,4，若A∪B=B，则a的值为0或4
D. 已知集合M=0,1，则满足条件M∪N=M 的 集合N的个数为4
10.下列说法正确的有( )
A. y=x2+1x的最小值为2
B. 已知x>1，则y=2x+4x−1−1的最小值为4 2+1
C. 若正数x，y为实数，若x+2y=3xy，则2x+y的最大值为3
D. 设x，y为实数，若9x2+y2+xy=1，则3x+y的最大值为2 217
11.已知有限集A={a1,a2,⋅⋅⋅,an}(n≥2,n∈N)，如果A中元素ai(i=1,2,⋅⋅⋅,n)满足a1+a2+⋅⋅⋅+an=a1×a2×⋅⋅⋅×an，就称A为“完美集”.下列结论中正确的有( )
A. 集合{−1,− 3,−1+ 3}是“完美集”
B. 若a1、a2是两个不同的正数，且{a1,a2}是“完美集”，则a1、a2至少有一个大于2
C. 二元“完美集”有无穷多个
D. 若ai∈N∗，则“完美集”A有且只有一个，且n=3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合A=x|−1≤x≤2,B=x|x<1，则A∩(∁RB)= ．
13.若“1−m14.已知正实数a，b满足2a+b=3，则2a2+1a+b2−2b+2的最小值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知集合A=−2,6,B=x|x2−10x+21≤0,C=x|2a−3≤x≤a+1，实数集R为全集．
(1)求A∪B,∁RA∩B；
(2)若x∈B是x∈C的必要条件，求a的取值范围．
16.(本小题12分)
求下列各式的值：
(1)338−23+0.008−23×2 25÷150−12−π−30；
(2)(lg5)2+lg2lg5+12lg4−lg34×lg23．
(3)已知a>0，b>0且1a+1+1b+1=1，求2a+b的最小值．
17.(本小题12分)
为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张面积为36000cm2的矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计四个等高的宣传栏(栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形)，为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm，设DC=xcm．
(1)将四个宣传栏的总面积y表示为x的表达式，并写出x的范围；
(2)为充分利用海报纸空间，应如何选择海报纸的尺寸(AD和CD分别为多少时)，可使用宣传栏总面积最大？并求出此时宣传栏的最大面积．
18.(本小题12分)
已知函数y=ax2−x+3．
(1)若函数y=ax2−x+3的图象恒在x轴上方，求实数a的取值范围；
(2)已知集合M=x1≤x≤3，N=xax2−x+3=9，若M∩N≠⌀，求a的取值范围．
19.(本小题12分)
设函数y=ax2+x−ba∈R,b∈R．
(1)若b=a−54，且集合xy=0中有且只有一个元素，求实数a的取值集合；
(2)当a<0时，求不等式y<2a+2x−b−2的解集；
(3)当a>0，b>1时，记不等式y>0的解集为P，集合Q=x−2−t参考答案
1.D
2.A
3.A
4.A
5.A
6.C
7.A
8.B
9.AB
10.BD
11.BCD
12.{x|1≤x≤2}
13.1,+∞
14.135
15.解：(1)
解：集合B=x|x2−10x+21≤0=x|3≤x≤7，
又A=x|−2则∁RA=x|x≤−2或x≥6，
∴∁RA∩B=x|6≤x≤7；
(2)
因为x∈B是x∈C的必要条件，且C=x|2a−3≤x≤a+1，
所以C⊆B，
当C=⌀时，2a−3>a+1，解得a>4；
当C≠⌀时，a≤42a−3≥3a+1≤7，解得3≤a≤4，
综上：a的取值范围是a|a≥3．

16.解：(1)
原式=[(32)3]−23+81000−23×2 25×1 50−1
=(32)3×−23+2103×−23×2 25×15 2−1
=(32)−2+(15)−2×225−1=49+1=139．
(2)
原式=lg5(lg5+lg2)+lg2−2lg32×lg23
=lg5+lg2−2=1−2=−1．
(3)
由题意，1a+1+1b+1=1，
则2a+b=2(a+1)+(b+1)−3=[2(a+1)+(b+1)](1a+1+1b+1)−3
=2+2(a+1)b+1+b+1a+1+1−3=2(a+1)b+1+b+1a+1
=2(a+1)b+1+b+1a+1≥2 2(a+1)b+1⋅b+1a+1=2 2，
当且仅当2(a+1)b+1=b+1a+1，即a= 22b= 2取等号．
所以2a+b的最小值为2 2．

17.解：(1)
根据题意DC=xcm，矩形海报纸面积为36000cm2，
所以AD=36000xcm，
又因为海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm，
所以四个宣传栏的总面积y=CD−5×10AD−2×10=x−5036000x−20，
其中x−50>036000x−20>0所以x∈50,1800．
即y=x−5036000x−20,x∈50,1800．
(2)
由(1)知y=x−5036000x−20,x∈50,1800，
则y=x−5036000x−20=37000−20x+1800000x,x∈50,1800
20x+1800000x≥2 20x×1800000x=12000，当且仅当x=300时取等号，
则y=37000−20x+1800000x≤25000，当且仅当x=300时取等号，
即CD=300cm，AD=36000300=120cm时，
可使用宣传栏总面积最大为25000cm2．

18.解：(1)
①a=0，y=−x+3，不符合题意(舍)，
②a≠0，(i)a<0时，y=ax2−x+3不恒在x轴上方(舍)，
(ii)a>0，若函数y=ax2−x+3的图象恒在x轴上方，
则Δ=b2−4ac=1−4×a×3<0，即a>112，
综上所述：实数a的取值范围为112,+∞；
(2)
法1：∵M∩N≠⌀,∴∃x∈M,使得ax2−x+3=9有解，
∵x∈1,3，∴a=6+xx2=6x2+1x，
令y=6x2+1x，令t=1x，则t∈13,1，y=6t2+t，
其对称轴为t=−112，故函数在13,1上单调递增，故y∈1,7，
故实数a的取值范围为1,7．
法2：①a=0时，x=−6(舍)；
②a>0时，y=ax2−x−6，Δ=1+24a>0，x=1± 1+24a2a，
正根1≤x=1+ 1+24a2a≤3，解得a∈1,7．
③a<0时，y=ax2−x−6过0,−6，对称轴x=12a<0，
所以y=ax2−x−6在1,3内与x轴无交点(舍)．
综上可知实数a的取值范围为1,7．

19.解：(1)
b=a−54时，y=ax2+x−a+54，
①当a=0时，由y=0解得x=−54，满足题意；
②当a≠0时，由y=0有一解可得Δ=1+4aa−54=0，解得a=1或a=14，
综上，实数a的取值集合0,14,1．
(2)
由y<2a+2x−b−2可得ax2+x−b<2a+2x−b−2，
化简可得ax2−2a+1x+2<0，即(ax−1)(x−2)<0，
∵a<0，∴x<1a或x>2，
故不等式的解集为(−∞,1a)∪(2,+∞)．
(3)
∵集合Q={x|−2−t∵P∩Q≠⌀，
∴满足当x=−2时，函数y≥0，则4a−2−b≥0，
∴4a≥b+2>3，
则1a−1b≤4b+2−1b=3b−2b(b+2)，
令t=3b−2>1，此时b=t+23，
则1a−1b≤9t(t+2)(t+8)=9t+16t+10≤12，
当且仅当t=16t，即t=4，即a=1，b=2时，取等号，
故1a−1b的最大值为12．