2024-2025学年北京市西城区育才学校高二上学期10月月考数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市西城区育才学校高二上学期10月月考数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知a=2,−1,3，b=−4,2,x，且a⊥b，则x=( )
A. 103B. −6C. 6D. 1
2.直线x+y−1=0的倾斜角是( )
A. 45°B. 135°C. 120°D. 90°
3.已知空间向量a=0,2,0，b=(1,0,−1)，则a+b⋅b=( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
4.在空间直角坐标系中，点P(1,2,−3)关于坐标平面xOy的对称点为( )
A. (−1,−2,3)B. (−1,−2,−3)C. (−1,2,−3)D. (1,2,3)
5.若a=x,−1,3，b=2,y,6，且a//b，则( )
A. x=1，y=2B. x=1，y=−2
C. x=12，y=−2D. x=−1，y=−2
6.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为CD的中点，则直线A1E与平面BB1C1C所成角的正弦值为( )
A. 25B. 35C. 13D. 23
7.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为A1D1的中点，则点C1到直线CE的距离为( )
A. 13B. 33C. 53D. 63
8.如图，空间四边形OABC中，OA⇀=a⇀,OB⇀=b⇀,OC⇀=c⇀，点M是OA的中点，点N在BC上，且CN⇀=2NB⇀，设MN⇀=xa⇀+yb⇀+zc⇀，则x，y，z的值为( )
A. 12, 13, 23B. 12, 23, 13C. −12, 23, 13D. −12, 13, 23
9.已知在棱长均为2的正三棱柱ABC−A1B1C1中，点D为B1C1的中点，若在棱AB上存在一点P，使得B1P//平面ACD，则B1P的长度为( )
A. 2B. 5C. 6D. 3
10.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E是侧面BB1C1C内的一个动点，若点E满足D1E⋅CE=0，则点E的轨迹为( )
A. 圆B. 半圆C. 直线D. 线段
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知向量a=(1,2,2),b=(3,2,0)，则a−b= ．
12.已知点A(−2,0,−2),B(−1,6,−8),AB的中点坐标为 ．
13.如图，以长方体ABCD−A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB1⇀的坐标为(4,3,2)，则AC1⇀的坐标为
14.正四棱锥所有棱长均为2，则侧面与底面所成二面角的正切值为 ．
15.棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，若点P为线段A1B上的动点(不含端点)，则下列结论正确的是 ．
①平面A1D1P⊥平面AA1P
②四面体D1−B1CP的体积是定值
③△APD1可能是钝角三角形
④直线D1P与AB所成的角可能为π6
三、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=3,AD=AA1=2，点E在AB上，且AE=1．
(1)求直线BC1与平面A1EC所成角的正弦值；
(2)求点B1到平面A1EC的距离．
17.(本小题12分)
如图，已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，若∠ACB=90∘,AC=BC=1,AA1=2,M为AB的中点．

(1)求异面直线AC1与CB1所成角的余弦值
(2)求二面角M−CB1−C1的余弦值．
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，CD⊥平面PAD,▵PAD为正三角形，AD//BC,AD=CD=2BC=2,E,F分别为棱PD，PB的中点．
(1)如图，O为棱AD的中点，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，是否合理？请说明理由；
(2)求证：AE⊥平面PCD；
(3)求平面AEF与平面PAD夹角的余弦值．
19.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，且AB=2,∠DAB=60∘，点M为棱DP的中点．
(1)在棱BC上是否存在一点N，使得CM//平面PAN？如果存在，确定点N的位置，如果不存在，请并说明理由；
(2)若二面角B−CM−D的余弦值为 66时，求棱DP的长度，并求点A到平面BCM的距离．
参考答案
1.A
2.B
3.D
4.D
5.B
6.C
7.C
8.C
9.B
10.B
11.2 2
12.−32,3,−5
13.(−4,3,2)
14. 2
15.①②③
16.(1)以D为坐标原点，DA,DC,DD1分别为x,y,z轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则A12,0,2,E2,1,0,B2,3,0,C10,3,2,C0,3,0,B12,3,2，
可得A1E=0,1,−2,BC1=−2,0,2,EC=−2,2,0，
设平面A1EC的法向量为n=x,y,z，则n⋅A1E=y−2z=0n⋅EC=−2x+2y=0,
令z=1，则x=y=2，可得n=2,2,1，
可得csBC1,n=BC1⋅nBC1⋅n=23×2 2= 26，
所以直线BC1与平面A1EC所成角的正弦值 26．
(2)由(1)可得：EB1=0,2,2，
所以B1到平面A1EC的距离为n⋅B1En=63=2．

17.(1)因为AA1⊥平面ABC，且AC⊥BC，
如图，以C为坐标原点，CA,CB,CC1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，

则A1,0,0,B0,1,0,C0,0,0,B10,1,2,C10,0,2,M12,12,0，
可得AC1=−1,0,2,CB1=0,1,2，
则csAC1,CB1=AC1⋅CB1AC1⋅CB1=4 5× 5=45，
所以异面直线AC1与CB1所成角的余弦值为45．
(2)由(1)可得：CM=12,12,0，
设平面B1CM的法向量n=x,y,z，则n⋅CM=12x+12y=0n⋅CB1=y+2z=0,
令x=2，则y=−2,z=1，可得n=2,−2,1，
且平面BB1C1C的法向量m=1,0,0，
可得csn,m=n⋅mn⋅m=23×1=23，
由图形可知二面角M−CB1−C1为钝角，所以二面角M−CB1−C1的余弦值为−23．

18.(1)合理，理由如下：
由题意可知：BC//OD，且BC=OD，
可知BCDO为平行四边形，可得CD//OB，
因为CD⊥平面PAD，可得OB⊥平面PAD，
且OP,AD⊂平面PAD，可得OB⊥OP,OB⊥AD，
又因为▵PAD为正三角形，且O为棱AD的中点，则OP⊥AD，
即OB,OP,AD两两垂直，所以可以以O为坐标原点建立空间直角坐标系．
(2)由(1)中空间直角坐标系可得：A1,0,0,B0,2,0,C−1,2,0,D−1,0,0,P0,0, 3,E−12,0, 32,F0,1, 32，
则EA=32,0,− 32,DC=0,2,0,DP=1,0, 3，
可得EA⋅DC=0,EA⋅DP=32−32=0，即EA⊥CD,EA⊥DP，
且CD∩DP=D，CD,DP⊂平面PCD，所以AE⊥平面PCD．
(3)由(2)可知：EA=32,0,− 32，EF=12,1,0，
设平面AEF的法向量为n=x,y,z，则n⋅EA=32x− 32z=0n⋅EF=12x+y=0,
令x=2，则y=−1,z=2 3，可得n=2,−1,2 3，
且平面PAD的法向量为m=0,1,0，
可得csn,m=n⋅mn⋅m=−1 17×1=− 1717，
所以平面AEF与平面PAD夹角的余弦值 1717．

19.(1)取AD的中点E，连接ME,CE，
因为M,E分别为PD,AD的中点，则ME//PA，
且ME⊄平面PAN，PA⊂平面PAN，可得ME//平面PAN，
又因为CM//平面PAN，CM∩ME=M，CM,ME⊂平面CME，
可得平面CME//平面PAN，
且平面CME∩平面ABCD=CE，平面PAN∩平面ABCD=AN，可得CE//AN，
由题意可知：AE//CN，则ANCE为平行四边形，
可得CN=AE=12AD，即点N为BC的中点，
所以棱BC上是存在一点N，使得CM//平面PAN，此时点N为BC的中点．
(2)取AB的中点F，连接DF,BD，
由题意可知：▵ABD为等边三角形，则DF⊥AB，
且AB//CD，可得DF⊥CD，
又因为PD⊥底面ABCD，
则可以D为坐标原点，DF,DC,DP分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，
设DP=2a>0，则A 3,−1,0,B 3,1,0,C0,2,0,D0,0,0,M0,0,a，
可得AB=0,2,0,CB= 3,−1,0,CM=0,−2,a，
设平面BCM的法向量n=x,y,z，则n⋅CB= 3x−y=0n⋅CM=−2y+az=0,
令y= 3a，则x=a,z=2 3，可得n=a, 3a,2 3，
且平面PCD的法向量m=1,0,0，
由题意可得：csn,m=n⋅mn⋅m=a a2+3a2+12= 66，解得a= 6(舍负)，
可得DP=2a=2 6，n= 6,3 2,2 3，
所以点A到平面BCM的距离d=n⋅ABn=6 26= 2．