2024--2025学年江苏南通八年级（上）第一次月考数学试卷

这是一份2024--2025学年江苏南通八年级（上）第一次月考数学试卷，共29页。试卷主要包含了已知点P等内容，欢迎下载使用。

1．下列倡导节约的图案中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知三角形三边长分别为3，a，8，且a为奇数，则这样的三角形有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
3．如图，在△ABC和△ABD中，∠CAB＝∠DAB，点A，B，E在同一条直线上，则添加以下条件，仍然不能判定△ABC≌△ABD的是（ ）
A．∠C＝∠DB．∠CBE＝∠DBEC．BC＝BDD．AC＝AD
4．直角三角形的两个锐角平分线所夹的锐角是（ ）
A．30°B．60°C．45°D．15°和75°
5．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝50°，则∠A的度数是（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
6．已知点P（a+1，2a﹣3）关于x轴的对称点在第四象限，则a的取值范围（ ）
A．a＜﹣1B．﹣1C．﹣＜a＜1D．a
7．如图，点P是△ABC内部的一点，点P到三边AB，AC，BC的距离PD＝PE＝PF，∠BPC＝130°，则∠BAC的度数为（ ）
A．65°B．80°C．100°D．70°
8．如图，在△ABC中，BD是△ABC的中线，EF是BC边的中垂线，且BD与EF相交于点G，连结AG，CG，若四边形CDGE与四边形ACEG的面积分别为7和11，则△ABC的面积为（ ）
A．18B．20C．22D．36
9．如图，△ABC中，∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF．则下列结论中正确的个数（ ）
①BP平分∠ABC；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠CAB＝2∠CPB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC和∠ACB的平分线BD、CE相交于点O，BD交AC于点D，CE交AB于点E，若已知△ABC周长为20，BC＝7，AE：AD＝4：3，则AE长为（ ）
A．B．C．D．4
二．填空题（共8小题）
11．在平面直角坐标系中，点P1（a，﹣5）与P2（3，b）关于y轴对称，则a+b＝ ．
12．如图，Rt△CED≌Rt△ABC，AB＝3，DC＝5，则AE＝ ．
13．如果一个多边形的内角和为900°，那么过这个多边形的一个顶点可作 条对角线．
14．在△ABC中，AB＝6，AC＝8，则BC边上中线AD的取值范围为 ．
15．△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与直线AC相交所成锐角为40°，则此等腰三角形的顶角为 ．
16．如图，△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，，AB＝6，BC＝4，那么DE＝ ．
17．如图，点F坐标为（﹣3，﹣3），点G（0，m）在y轴负半轴上，点H（n，0）在x轴的正半轴上，且FH⊥FG，则m+n＝ ．
18．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②PF＝PA；③AH+BD＝AB；④连接DE，S四边形ABDE＝2S△ABP．其中正确的是 ．（填序号）
三．解答题（共13小题）
19．如图，点A、B、C、D在一条直线上，AB＝DC，AE＝BF，∠A＝∠FBD．求证：
（1）EC＝FD；
（2）FD∥EC．
20．如图，△ABC在平面直角坐标系中，顶点A（2，0）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A′B′C′，其中A、B、C分别和A′、B′、C′对应；
（2）分别写出A′、B′、C′三点坐标；
（3）若y轴上有一点P，且满足S△APC＝S△ABC，直接写出点P坐标．
21．如图，△ABC中，三个内角的角平分线交于点O，OH⊥BC垂足为H．
（1）求∠ABO+∠BCO+∠CAO的度数；
（2）求证：∠BOD＝∠COH．
22．如图，∠B＝∠C＝90°，点E是BC的中点．DE平分∠ADC．
（1）求证：AE是∠DAB的平分线；
（2）已知AE＝4，DE＝3，求四边形ABCD的面积．
23．如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线DG相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．若AB＝15，AC＝9，求BE的长．
24．如图，已知在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC，且AE⊥BE，交BD的延长线于点E，求证：BD＝2AE．
25．在△ABC中，AB＝AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC＝90°时，那么∠DCE＝ 度；
（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．
①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；
②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，写出此时α与β之间的数量关系并证明．
26．问题背景：
如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD．∠BAD＝120°．∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
（1）小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；（直接写结论，不需证明）
探索延伸：
（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADF＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出它们之间的数量关系．
2024年八年级数学第一次独立作业
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列倡导节约的图案中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：B．
2．已知三角形三边长分别为3，a，8，且a为奇数，则这样的三角形有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【解答】解：三角形三边长分别为3，a，8，
∴8﹣3＜a＜8+3，即5＜a＜11，且a为奇数，
∴a的取值可以为7，9，
∴三角形三边长分别为3，7，8或3，9，8，
∴这样的三角形有2个，
故选：A．
3．如图，在△ABC和△ABD中，∠CAB＝∠DAB，点A，B，E在同一条直线上，则添加以下条件，仍然不能判定△ABC≌△ABD的是（ ）
A．∠C＝∠DB．∠CBE＝∠DBEC．BC＝BDD．AC＝AD
【解答】解：添加A用AAS判断△ABC≌△ABD，
添加B，∵∠CBA+∠CBE＝180°，∠ABD+∠EBD＝180°，
∠CBE＝∠DBE
∴∠ABC＝∠ABD
∴△ABC≌△ABD（ASA），
添加C，不能判断△ABC≌△ABD
添加D用SAS判断△ABC≌△ABD，
故选：C．
4．直角三角形的两个锐角平分线所夹的锐角是（ ）
A．30°B．60°C．45°D．15°和75°
【解答】解：如图，∠C＝90°，BP，AP是两个锐角的平分线交于点P，
∵∠C＝90°
∴∠BAC+∠ABC＝90°
∴（∠BAC+∠ABC）＝45°
∵BD平分∠ABC，AP平分∠BAC
∴∠BAP＝∠BAC，∠ABP＝∠ABC
∴直角三角形的两个锐角平分线所夹的锐角＝∠BAP+∠ABP＝45°．
故选：C．
5．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝50°，则∠A的度数是（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【解答】解：在△FBD和△DCE中，
，
∴△FBD≌△DCE（SAS），
∴∠BFD＝∠CDE，
∵∠FDE+∠CDE＝∠B+∠BFD，
∴∠B＝∠FDE＝50°，
∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
故选：D．
6．已知点P（a+1，2a﹣3）关于x轴的对称点在第四象限，则a的取值范围（ ）
A．a＜﹣1B．﹣1C．﹣＜a＜1D．a
【解答】解：∵P（a+1，2a﹣3）关于x轴的对称点在第四象限，
∴点P在第一象限，
∴，
解不等式①得，a＞﹣1，
解不等式②得，a＞，
所以，不等式组的解集是a＞，
故a的取值范围为a＞．
故选：D．
7．如图，点P是△ABC内部的一点，点P到三边AB，AC，BC的距离PD＝PE＝PF，∠BPC＝130°，则∠BAC的度数为（ ）
A．65°B．80°C．100°D．70°
【解答】解：∵点P到三边AB，AC，BC的距离PD＝PE＝PF，
∴BP、CP是∠ABP、∠ACP的角平分线，
∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠PCB，
∵∠BPC＝130°，
∴∠PBC+∠PCB＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝2∠PBC+2∠PCB＝2（∠PBC+∠PBC）＝100°，
∴∠BAC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣100°＝80°．
故选：B．
8．如图，在△ABC中，BD是△ABC的中线，EF是BC边的中垂线，且BD与EF相交于点G，连结AG，CG，若四边形CDGE与四边形ACEG的面积分别为7和11，则△ABC的面积为（ ）
A．18B．20C．22D．36
【解答】解：∵四边形CDGE与四边形ACEG的面积分别为7和11，
∴S△AGD＝11﹣7＝4，
∵BD是△ABC的中线，
∴S△CGD＝S△AGD＝4，
∴S△CGE＝3，
∵EF是BC边的中垂线，
∴E是BC的中点，
∴S△BEG＝S△CGE＝3，
∴S△BDC＝3+3+4＝10，
∴S△ABC＝20，
故选：B．
9．如图，△ABC中，∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF．则下列结论中正确的个数（ ）
①BP平分∠ABC；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠CAB＝2∠CPB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：过P作PQ⊥AC于Q，
∵∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，
∴PM＝PQ，PQ＝PN，
∴PM＝PN，
∴P在∠ABC的角平分线上，即BP平分∠ABC，故①正确；
∵PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，
∴∠PMA＝∠PQA＝90°，∠PQC＝∠PNC＝90°，
在Rt△PMA和Rt△PQA中，
，
∴Rt△PMA≌Rt△PQA（HL），
∴∠MPA＝∠QPA，
同理Rt△PQC≌Rt△PNC，
∴∠QPC＝∠NPC，
∵∠PMA＝∠PNC＝90°，
∴∠ABC+∠MPN＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，故②正确；
∵PC平分∠FCA，BP平分∠ABC，
∴∠FCA＝∠ABC+∠CAB＝2∠PCN，
又∵∠PCN＝∠ABC+∠CPB，
∴∠ABC+∠CAB＝2（∠ABC+∠CPB），
∴∠CAB＝2∠CPB，故③正确；
∵Rt△PMA≌Rt△PQA，Rt△PQC≌Rt△PNC，
∴S△PAC＝S△MAP+S△NCP，故④正确；
即正确的个数是4，
故选：D．
10．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC和∠ACB的平分线BD、CE相交于点O，BD交AC于点D，CE交AB于点E，若已知△ABC周长为20，BC＝7，AE：AD＝4：3，则AE长为（ ）
A．B．C．D．4
【解答】解：如图，在BC上截取BH＝BE，连接OH，
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠ABD＝∠CDB，∠ACE＝∠BCE，
∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠DBC+∠BCE＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∴∠BOE＝∠COD＝60°，
在△BOE和△BOH中，
，
∴△BOE≌△BOH（SAS），
∴∠EOH＝∠BOH＝60°，
∴∠COD＝∠COH＝60°，
在△COD和△COH中，
，
∴△COD≌△COH（ASA），
∴CD＝CH，
∴BE+CD＝BH+CH＝BC＝7，
∵△ABC周长为20，
∴AB+AC+BC＝20，
∴AE+AD＝6，
∵AE：AD＝4：3，
∴AE＝＝，
故选：B．
二．填空题（共8小题）
11．在平面直角坐标系中，点P1（a，﹣5）与P2（3，b）关于y轴对称，则a+b＝ ﹣8 ．
【解答】解：∵P1（a，﹣5）与P2（3，b）关于y轴对称，
∴a＝﹣3，b＝﹣5，
∴a+b＝﹣3+（﹣5）＝﹣8，
故答案为：﹣8．
12．如图，Rt△CED≌Rt△ABC，AB＝3，DC＝5，则AE＝ 2 ．
【解答】解：∵Rt△CED≌Rt△ABC，AB＝3，DC＝5，
∴CD＝AC＝5，AB＝CE＝3，
∴AE＝AC﹣CE＝5﹣3＝2，
故答案为：2．
13．如果一个多边形的内角和为900°，那么过这个多边形的一个顶点可作 4 条对角线．
【解答】解：根据题意，得
（n﹣2）•180＝900，
解得：n＝7．
那么过这个多边形的一个顶点可作4条对角线．
14．在△ABC中，AB＝6，AC＝8，则BC边上中线AD的取值范围为 1＜AD＜7 ．
【解答】解：如图，延长AD到E，使DE＝AD，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE＝AB，
∵AB＝6，AC＝8，
∴8﹣6＜AE＜8+6，
即2＜AE＜14，
1＜AD＜7．
故答案为：1＜AD＜7．
15．△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与直线AC相交所成锐角为40°，则此等腰三角形的顶角为 50°或130° ．
【解答】解：作AB的垂直平分线交AB于D，交直线AC于F，
当点F在AC上，如图1，
∵∠AFD＝40°，
∴∠BAC＝90°﹣40°＝50°；
当点F在AC的延长线上，如图2，
∵∠AFD＝40°，
∴∠DAF＝90°﹣40°＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣50°＝130°，
综上所述，此等腰三角形的顶角为50°或130°．
故答案为50°或130°．
16．如图，△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，，AB＝6，BC＝4，那么DE＝ 2.5 ．
【解答】解：过D作DF⊥BC于F，
∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，
∴DE＝DF，
∵△ABC的面积＝△ABD的面积+△DBC的面积，
∴BC•DF+AB•DE＝，
∵AB＝6，BC＝4，
∴4DE+6DE＝25，
∴DE＝2.5．
故答案为：2.5．
17．如图，点F坐标为（﹣3，﹣3），点G（0，m）在y轴负半轴上，点H（n，0）在x轴的正半轴上，且FH⊥FG，则m+n＝ ﹣6 ．
【解答】解：过F点作FA⊥x轴交于A，作FA⊥y轴交于B，
∴∠FAH＝∠FBG＝90°，
∠AFH+∠BFH＝90°，
∵FH⊥FG，
∴∠BFG+∠BFH＝90°，
∴∠AFH＝∠BFG，
∵（﹣3，﹣3），
∴FA＝FB＝3，
AH＝n+3，BG＝﹣3﹣m，
在△AFH和△BFG中
，
∴△AFH≌△BFG（SAS），
∴AH＝BG，
∴n+3＝﹣3﹣m，
∴m+n＝﹣6；
故答案为：﹣6．
18．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②PF＝PA；③AH+BD＝AB；④连接DE，S四边形ABDE＝2S△ABP．其中正确的是 ①②③④ ．（填序号）
【解答】解：在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAD+∠ABE＝（∠A+∠B）＝45°，
∴∠APB＝135°，故①正确．
∴∠BPD＝45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠FPB＝90°+45°＝135°，
∴∠APB＝∠FPB，
又∵∠ABP＝∠FBP，BP＝BP，
∴△ABP≌△FBP（AAS），
∴∠BAP＝∠BFP，AB＝FB，PA＝PF，故②正确．
∵∠APH＝∠FPD＝90°，∠PAH＝∠BAP＝∠BFP，PA＝PF，
∴△APH≌△FPD（AAS），
∴AH＝FD，
又∵AB＝FB，
∴AB＝FD+BD＝AH+BD．故③正确．
连接HD，ED．
∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，
∴S△APB＝S△FPB，S△APH＝S△FPD，PH＝PD，
∵∠HPD＝90°，
∴∠HDP＝∠DHP＝45°＝∠BPD，
∴HD∥EP，
∴S△EPH＝S△EPD，
∵S四边形ABDE＝S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD
＝S△ABP+（S△AEP+S△EPH）+S△PBD
＝S△ABP+S△APH+S△PBD
＝S△ABP+S△FPD+S△PBD
＝S△ABP+S△FBP
＝2S△ABP，故④正确．
故答案为：①②③④．
三．解答题（共13小题）
19．如图，点A、B、C、D在一条直线上，AB＝DC，AE＝BF，∠A＝∠FBD．求证：
（1）EC＝FD；
（2）FD∥EC．
【解答】证明：（1）∵AB＝DC，
∴AC＝BD，
在△EAC和△FBD中，
，
∴△EAC≌△FBD（SAS），
∴EC＝FD；
（2）∵△EAC≌△FBD，
∴∠ECA＝∠FDB，
∴FD∥EC．
20．如图，△ABC在平面直角坐标系中，顶点A（2，0）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A′B′C′，其中A、B、C分别和A′、B′、C′对应；
（2）分别写出A′、B′、C′三点坐标；
（3）若y轴上有一点P，且满足S△APC＝S△ABC，直接写出点P坐标．
【解答】解：（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，
分别找出点A、B、C关于x轴的对称点，顺次连接A′、B′、C′，如图：
△A′B′C′即为所求；
（2）根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴A′（2，0）、B′（3，﹣3）、C′（0，﹣1）；
（3）∵，
∵S△APC＝S△ABC，
∴，
∵A（2，0），即OA＝2，
∴，
∴PC＝，
∵C（0，1），
∴P（0，）或（0，﹣）．
21．如图，△ABC中，三个内角的角平分线交于点O，OH⊥BC垂足为H．
（1）求∠ABO+∠BCO+∠CAO的度数；
（2）求证：∠BOD＝∠COH．
【解答】（1）解：∵AD、BE、CF分别是△ABC的三个内角的角平分线，
∴∠ABO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，∠CAO＝∠CAB．
又∵∠ABC+∠ACB+∠CAB＝180°，
∴∠ABO+∠BCO+∠CAO＝（∠ABC+∠ACB+∠CAB）＝×180°＝90°；
（2）证明：∵∠BOD＝∠BAO+∠ABO，∠BAO＝∠CAO，
∴∠BOD＝∠CAO+∠ABO＝（∠BAC+∠ABC）＝（180°﹣∠ACB）＝90°﹣∠ACB＝90°﹣∠BCO．
又∵OH⊥BC，
∴∠OHC＝90°，
∴∠COH＝90°﹣∠HCO．
∴∠BOD＝∠COH．
22．如图，∠B＝∠C＝90°，点E是BC的中点．DE平分∠ADC．
（1）求证：AE是∠DAB的平分线；
（2）已知AE＝4，DE＝3，求四边形ABCD的面积．
【解答】（1）证明：过点E作EF⊥DA于点F，
∵∠C＝90°，DE平分∠ADC，
∴CE＝EF，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∴BE＝EF，
又∵∠B＝90°，EF⊥AD，
∴AE平分∠DAB．
（2）解：∵BD平分∠ADC，EF⊥DA，EC⊥DC，
∴∠EDF＝∠EDC，∠EFD＝∠C＝90°，
∵ED＝ED，
∴△EDF≌△EDC（AAS），
同法可证△EAB≌△EAF，
∴S梯形ABCD＝2S△AED＝2××3×4＝12．
23．如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线DG相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．若AB＝15，AC＝9，求BE的长．
【解答】解：如图，连接CD，BD，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE，∠F＝∠DEB＝90°，∠ADF＝∠ADE，
∴AE＝AF，
∵DG是BC的垂直平分线，
∴CD＝BD，
在Rt△CDF和Rt△BDE中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），
∴BE＝CF，
∴AB＝AE+BE＝AF+BE＝AC+CF+BE＝AC+2BE，
∵AB＝15，AC＝9，
∴BE＝3．
24．如图，已知在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC，且AE⊥BE，交BD的延长线于点E，求证：BD＝2AE．
【解答】解：延长AE、BC交于点F，
∵∠AED＝∠ACB＝90°，
∠EDA＝∠CDB，
∴∠FAC＝∠DBC，
在△AFC与DBC中，
，
∴△AFC≌△DBC（ASA），
∴AF＝BD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
在△ABE与△FBE中，
∴△ABE≌△FBE（ASA），
∴AE＝EF，
∴BD＝AF＝2AE，
25．在△ABC中，AB＝AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC＝90°时，那么∠DCE＝ 90 度；
（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．
①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；
②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，写出此时α与β之间的数量关系并证明．
【解答】解：（1）∵∠BAD+∠DAC＝90°，∠DAC+∠CAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠B，
∵∠B+∠ACB＝90°，
∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝90°；
故答案为 90．
（2）∵∠BAD+∠DAC＝α，∠DAC+∠CAE＝α，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠B，
∵∠B+∠ACB＝180°﹣α，
∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝180°﹣α＝β，
∴α+β＝180°；
（3）作出图形，
∵∠BAD+∠BAE＝α，∠BAE+∠CAE＝α，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠AEC＝∠ADB，
∵∠ADE+∠AED+α＝180°，∠CDE+∠CED+β＝180°，
∠CED＝∠AEC+∠AED，
∴α＝β．
26．问题背景：
如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD．∠BAD＝120°．∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
（1）小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 EF＝BE+FD ；（直接写结论，不需证明）
探索延伸：
（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADF＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出它们之间的数量关系．
【解答】解：（1）EF＝BE+FD．
延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS）．
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG．
∴∠BAE+∠DAF＝∠DAG+∠DAF＝∠EAF＝60°．
∴∠GAF＝∠EAF＝60°．
在△AGF和△AEF中，
，
∴△AGF≌△AEF（SAS）．
∴FG＝EF．
∵FG＝DF+DG．
∴EF＝BE+FD．
故答案为：EF＝BE+FD．
（2）（1）中的结论EF＝BE+FD仍然成立．
证明：如图②中，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM．
∵∠ABC+∠D＝180°，∠1+∠ABC＝180°，
∴∠1＝∠D，
在△ABM与△ADF中，
，
∴△ABM≌△ADF（SAS）．
∴AF＝AM，∠2＝∠3．
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠2+∠4＝∠BAD＝∠EAF．
∴∠3+∠4＝∠EAF，即∠MAE＝∠EAF．
在△AME与△AFE中，
，
∴△AME≌△AFE（SAS）．
∴EF＝ME，即EF＝BE+BM，
∴EF＝BE+DF．
（3）结论EF＝BE+FD不成立，结论：EF＝BE﹣FD．
证明：如图③中，在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF．
在△ABG与△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS）．
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．
∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD．
∴∠GAE＝∠EAF．
∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF（SAS），
∴EG＝EF，
∵EG＝BE﹣BG，
∴EF＝BE﹣FD．