2024-—2025学年广东省东莞市九年级（上）第一次月考数学试卷

这是一份2024-—2025学年广东省东莞市九年级（上）第一次月考数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）对于一元二次方程2x2+1＝3x，下列说法错误的是（ ）
A．二次项系数是2B．一次项系数是﹣3x
C．常数项是1D．x＝1是它的一个根
2．（3分）二次函数y＝x2﹣2x+1与x轴的交点个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
3．（3分）将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y＝2（x+2）2+3B．y＝2（x﹣2）2+3
C．y＝2（x﹣2）2﹣3D．y＝2（x+2）2﹣3
4．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0时，配方后得的方程为（ ）
A．（x+1）2＝0B．（x﹣1）2＝0C．（x+1）2＝2D．（x﹣1）2＝2
5．（3分）抛物线y＝﹣3的顶点为（ ）
A．（2，﹣3）B．（﹣2，﹣3）C．（﹣3，2）D．（﹣3，﹣2）
6．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞且k≠1B．k＞C．k≥且k≠1D．k≥
7．（3分）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步＝10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（ ）
A．x2+102＝（x+1）2B．（x+1）2+102＝x2
C．x2+102＝（x﹣4）2D．（x﹣4）2+102＝x2
8．（3分）某公司2018年获利润1000万元，计划到2020年年利润达到1210万元设该公司的年利润平均增长率为x，下列方程正确的是（ ）
A．1000（1+x）2＝1210
B．1210（1+x）2＝1000
C．1000（1+2x）＝1210
D．1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝1210
9．（3分）函数y＝ax2﹣x+2和y＝﹣ax﹣a（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，下列结论：
①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0，
正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（3分）已知A（﹣1，y1）、B（﹣2，y2）都在抛物线y＝x2+1上，试比较y1与y2的大小：y1 y2．
12．（3分）如图，某小区规划在一个长为24m、宽为10m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若草坪部分的总面积为160m2，则小路的宽度为 m．
13．（3分）已知x＝a是方程x2﹣3x﹣5＝0的根，则代数式4﹣2a2+6a的值为 ．
14．（3分）学校要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排10场比赛，应邀请 个球队参加比赛．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝12cm，点D从点A开始沿边AB以2cm/s的速度向点B移动，移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC，则出发 秒时，四边形DFCE的面积为20cm2．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．（7分）解方程：
（1）x2+4x﹣5＝0；
（2）3x2﹣2x﹣2＝0．
17．（7分）关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2+1＝2有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两根x1，x2满足（x1﹣2）（x2﹣2）＝11，求k的值．
18．（7分）已知二次函数y＝x2+bx﹣c的图象经过点（3，0），且对称轴为直线x＝1．
（1）求二次函数的解析式．
（2）当﹣2＜x＜3时，求y的取值范围．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．（9分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
20．（9分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）向右平移2个单位得到抛物线y＝a（x﹣3）2﹣1，且平移后的抛物线经过点A（2，1）．
（1）求平移后抛物线的解析式；
（2）设原抛物线与y轴的交点为B，顶点为P，平移后抛物线的对称轴与x轴交于点M，求△BPM的面积．
21．（9分）信阳位于中国南北地理分界线，地处淮河中上游，素有“北国江南，江南北国”美誉，自古雨水充沛，河流众多，降雨量和人均水资源量久居河南第一，素以“水广桥多”著称，被誉为“千湖之市”．其中一座桥的桥洞形状符合抛物线形状，如图1所示，桥墩高3米，拱顶A与起拱线BC相距4米，桥孔宽6米．
（1）若以起拱点B为坐标原点建立平面坐标系，求抛物线的函数表达式，并求其顶点坐标．
（2）河面的平均水位2米，信阳游客服务部门打算建造河上观赏船，故应考虑船下水后的吃水线问题．额定载客后，观赏船吃水线上面部分的截面图为矩形EFGH（如图2），当船宽FG为3米时．①求吃水线上船高EF约多少米时，可以恰好通过此桥；②若考虑涝季水面会再往上升1米，则求此时吃水线上船高的设计范围．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．（13分）如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣）三点．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标．
（Ⅲ）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（14分）问题情境
有一堵长为am的墙，利用这堵墙和长为60m的篱笆围成一个矩形养鸡场，怎样围面积最大？最大面积是多少？
题意理解
根据题意，有两种设计方案：一边靠墙（如图①）和一边“包含”墙（如图②）．
特例分析
（1）当a＝12时，若按图①的方案设计，则该方案中养鸡场的最大面积是 m2；若按图②的方案设计，则该方案中养鸡场的最大面积是 m2．
（2）当a＝20时，解决“问题情境”中的问题．
解决问题
（3）直接写出“问题情境”中的问题的答案．
2024-2025学年广东省东莞市九年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）对于一元二次方程2x2+1＝3x，下列说法错误的是（ ）
A．二次项系数是2B．一次项系数是﹣3x
C．常数项是1D．x＝1是它的一个根
【分析】首先将原式化为一般式，然后根据一元二次方程的定义以及解的定义进行分析即可．
【解答】解：原方程一般式为：2x2﹣3x+1＝0，
∴二次项系数是2，一次项系数是﹣3，常数项是1，A、C正确，B错误，
当x＝1时，2×12+1＝3，∴x＝1是它的一个根，D正确，
故选：B．
2．（3分）二次函数y＝x2﹣2x+1与x轴的交点个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】根据b2﹣4ac与零的关系即可判断出二次函数y＝x2﹣2x+1的图象与x轴交点的个数．
【解答】解：∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，
∴二次函数y＝x2﹣2x+1的图象与x轴有一个交点．
故选：B．
3．（3分）将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y＝2（x+2）2+3B．y＝2（x﹣2）2+3
C．y＝2（x﹣2）2﹣3D．y＝2（x+2）2﹣3
【分析】根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为y＝2（x﹣2）2+3，
故选：B．
4．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0时，配方后得的方程为（ ）
A．（x+1）2＝0B．（x﹣1）2＝0C．（x+1）2＝2D．（x﹣1）2＝2
【分析】在本题中，把常数项﹣1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．
【解答】解：把方程x2﹣2x﹣1＝0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x＝1，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1＝1+1
配方得（x﹣1）2＝2．
故选：D．
5．（3分）抛物线y＝﹣3的顶点为（ ）
A．（2，﹣3）B．（﹣2，﹣3）C．（﹣3，2）D．（﹣3，﹣2）
【分析】由抛物线顶点式y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），直接得到答案．
【解答】解：抛物线y＝（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（2，﹣3），
故选：A．
6．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞且k≠1B．k＞C．k≥且k≠1D．k≥
【分析】由二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：k＞且k≠1，
∴k的取值范围是k＞且k≠1．
故选：A．
7．（3分）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步＝10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（ ）
A．x2+102＝（x+1）2B．（x+1）2+102＝x2
C．x2+102＝（x﹣4）2D．（x﹣4）2+102＝x2
【分析】设秋千的绳索长为 x 尺，根据题意可得 AB＝（ x﹣4）尺，利用勾股定理可得x2＝102+（ x﹣4）2．
【解答】解：设秋千的绳索长为 x 尺，根据题意可列方程为：x2＝102+（ x﹣4）2．
故选：D．
8．（3分）某公司2018年获利润1000万元，计划到2020年年利润达到1210万元设该公司的年利润平均增长率为x，下列方程正确的是（ ）
A．1000（1+x）2＝1210
B．1210（1+x）2＝1000
C．1000（1+2x）＝1210
D．1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝1210
【分析】设年利润平均增长率为x，则2019年的利润是1000（1+x），2020年的利润是1000（1+x）（1+x），据此列出方程．
【解答】解：设年利润平均增长率为x，则2019年的利润是1000（1+x），2020年的利润是1000（1+x）（1+x），
依题意得：1000（1+x）2＝1210．
故选：A．
9．（3分）函数y＝ax2﹣x+2和y＝﹣ax﹣a（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据所给二次函数和一次函数的解析式，再结合二次函数与一次函数的图象与性质对所给选项依次进行判断即可．
【解答】解：由所给一次函数图象可知，
﹣a＜0，
即a＞0，
所以抛物线的开口向上，且对称轴x＝．
故A选项符合题意．
由所给一次函数图象可知，
﹣a＜0，
即a＞0，
所以抛物线的开口向上，且对称轴x＝．
故B选项不符合题意．
由所给一次函数图象可知，
﹣a＞0，
即a＜0，
所以抛物线的开口向下．
故C选项不符合题意．
由所给一次函数图象可知，
﹣a＜0，
即a＞0，
所以抛物线的开口向上．
故D选项不符合题意．
故选：A．
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，下列结论：
①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0，
正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点判定系数符号及运用一些特殊点解答问题．
【解答】解：由抛物线的开口向下可得：a＜0，
根据抛物线的对称轴在y轴右边可得：a，b异号，所以b＞0，
根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故②正确；
∵直线x＝1是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，所以﹣＝1，可得b＝﹣2a，
由图象可知，当x＝﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，
∴4a﹣2×（﹣2a）+c＜0，
即8a+c＜0，故③正确；
由图象可知，当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
两式相加得，5a+b+2c＞0，故④正确；
∴结论正确的是②③④3个，
故选：B．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（3分）已知A（﹣1，y1）、B（﹣2，y2）都在抛物线y＝x2+1上，试比较y1与y2的大小：y1 ＜ y2．
【分析】先求得函数的对称轴为x＝0，再判断A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）在对称轴左侧，从而判断出y1与y2的大小关系．
【解答】解：∵函数y＝x2+1的对称轴为x＝0，
∴A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）在对称轴左侧，
∴抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小．
∵﹣1＞﹣2，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
12．（3分）如图，某小区规划在一个长为24m、宽为10m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若草坪部分的总面积为160m2，则小路的宽度为 2 m．
【分析】此题是典型的“平移”方法，将三条道路平移到场地的边上，形成整体的草坪．再设修建的路宽应为x米，根据题意可知：新草坪的仍然是矩形，这样草坪面积可以建立，解方程即可．
【解答】解：如图，设修建的小路宽应为x米，
则新的草坪面积等于矩形DEFG的面积，
即得到方程：（24﹣2x）×（10﹣x）＝160，
整理得：x2﹣22x+40＝0，解得x＝20或x＝2．
但x＝20不合题意，舍去，
所以修建的小路宽应为2米．
故答案为：2．
13．（3分）已知x＝a是方程x2﹣3x﹣5＝0的根，则代数式4﹣2a2+6a的值为 ﹣6 ．
【分析】先根据一元二次方程根的定义得到a2﹣3a＝5，再把4﹣2a2+6a变形为4﹣2（a2﹣3a），然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵x＝a是方程x2﹣3x﹣5＝0的根，
∴a2﹣3a﹣5＝0，
∴a2﹣3a＝5，
∴4﹣2a2+6a＝4﹣2（a2﹣3a）＝4﹣2×5＝﹣6．
故答案为﹣6．
14．（3分）学校要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排10场比赛，应邀请 5 个球队参加比赛．
【分析】设邀请x个球队参加比赛，那么第一个球队和其他球队打（x﹣1）场球，第二个球队和其他球队打（x﹣2）场，以此类推可以知道共打（1+2+3+…+x﹣1）场球，然后根据计划安排10场比赛即可列出方程求解．
【解答】解：设邀请x个球队参加比赛，
依题意得1+2+3+…+x﹣1＝10，
则＝10，
∴x2﹣x﹣20＝0，
∴解得：x1＝5，x2＝﹣4（不合题意，舍去）．
故答案为：5．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝12cm，点D从点A开始沿边AB以2cm/s的速度向点B移动，移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC，则出发 1或5 秒时，四边形DFCE的面积为20cm2．
【分析】设点D从点A出发x秒时，则四边形DFCE的面积为20cm2．根据S四边形DECF＝S△ABC﹣S△ADE﹣S△BDF，就可以求出结论．
【解答】解：设点D从点A出发x秒时，则四边形DFCE的面积为20cm2，由题意，得
，
解得：x1＝1，x2＝5．
故答案为：1或5．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．（7分）解方程：
（1）x2+4x﹣5＝0；
（2）3x2﹣2x﹣2＝0．
【分析】（1）先运用因式分解法把原方程转化为x+5＝0或x﹣1＝0，然后解两个一次方程即可；
（2）先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．
【解答】解：（1）x2+4x﹣5＝0，
（x+5）（x﹣1）＝0，
x+5＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝﹣5，x2＝1；
（2）3x2﹣2x﹣2＝0，
∵a＝3，b＝﹣2，c＝﹣2，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×3×（﹣2）＝28，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
17．（7分）关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2+1＝2有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两根x1，x2满足（x1﹣2）（x2﹣2）＝11，求k的值．
【分析】（1）把方程x2+2（k﹣1）x+k2+1＝2可转化为x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0，利用判别式的意义得到Δ＝4（k﹣1）2﹣4（k2﹣1）≥0，然后解不等式；
（2）利用根与系数的关系得到x1+x2＝﹣2（k﹣1），x1x2＝k2﹣1，再由（x1﹣2）（x2﹣2）＝11得到k2﹣1+4（k﹣1）+4＝11，解方程可得到满足条件的k的值．
【解答】解：（1）关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2+1＝2可转化为x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0，
根据题意得Δ＝4（k﹣1）2﹣4（k2﹣1）＝4k2﹣8k+4﹣4k2+4＝﹣8k+8≥0，
解得k≤1；
（2）根据题意得x1+x2＝﹣2（k﹣1），x1x2＝k2﹣1，
∵（x1﹣2）（x2﹣2）＝11，
∴x1x2﹣2（x1+x2）+4＝11，
∴k2﹣1+4（k﹣1）+4＝11，
∴k2+4k﹣12＝0，
解得k1＝﹣6，k2＝2．
∵k≤1，
∴k的值为﹣6．
18．（7分）已知二次函数y＝x2+bx﹣c的图象经过点（3，0），且对称轴为直线x＝1．
（1）求二次函数的解析式．
（2）当﹣2＜x＜3时，求y的取值范围．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（3）x＝﹣2比x＝3离对称轴的距离远，则x＝﹣2时，y＝x2﹣2x﹣3＝5为函数的最大值，而函数的顶点坐标为：（1，﹣4），函数在此处取得最小值，即可求解．
【解答】解：（1）抛物线的图象经过点（3，0），且对称轴为直线x＝1，
则抛物线和x轴另外一个交点坐标为：（﹣1，0），
则抛物线的表达式为：y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3；
（3）x＝﹣2比x＝3离对称轴的距离远，
则x＝﹣2时，y＝x2﹣2x﹣3＝5为函数的最大值，
而函数的顶点坐标为：（1，﹣4），函数在此处取得最小值，
即﹣4≤y＜5．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．（9分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
【分析】（1）设每件衬衫降价x元，商场平均每天盈利y元，可得每件盈利40﹣x元，每天可以售出20+2x件，进而得到商场平均每天盈利（40﹣x）（20+2x）元，依据方程1200＝（40﹣x）（20+2x）即可得到x的值；
（2）用“配方法”即可求出y的最大值，即可得到每件衬衫降价多少元．
【解答】解：（1）设每件衬衫降价x元，商场平均每天盈利y元，
则y＝（40﹣x）（20+2x）＝800+80x﹣20x﹣2x2＝﹣2x2+60x+800，
当y＝1200时，1200＝（40﹣x）（20+2x），
解得 x1＝10，x2＝20，
经检验，x1＝10，x2＝20都是原方程的解，但要尽快减少库存，
所以x＝20，
答：每件衬衫应降价20元；
（2）∵y＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250，
∴当x＝15时，y的最大值为1250，
答：当每件衬衫降价15元时，专卖店每天获得的利润最大，最大利润是1250元．
20．（9分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）向右平移2个单位得到抛物线y＝a（x﹣3）2﹣1，且平移后的抛物线经过点A（2，1）．
（1）求平移后抛物线的解析式；
（2）设原抛物线与y轴的交点为B，顶点为P，平移后抛物线的对称轴与x轴交于点M，求△BPM的面积．
【分析】（1）把点A代入平移后的抛物线y＝a（x﹣3）2﹣1来求a的值；
（2）根据平移前、后的函数解析式，然后求出B、P、M三点的坐标，根据三角形的面积公式即可求出△BPM的面积．
【解答】解：（1）把点A（2，1）代入y＝a（x﹣3）2﹣1，得
1＝a（2﹣3）2﹣1，
整理，得
1＝a﹣1，
解得 a＝2．
则平移后的抛物线解析式为：y＝2（x﹣3）2﹣1；
（2）由（1）知，平移后的抛物线解析式为：y＝2（x﹣3）2﹣1，则M（3，0）．
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）向右平移2个单位得到抛物线y＝2（x﹣3）2﹣1，
∴平移前的抛物线解析式为：y＝2（x﹣1）2﹣1．
∴P（1，﹣1）．
令x＝0，则y＝1．
故B（0，1），
∴BM＝
易推知BM2＝BP2+PM2，即△BPM为直角三角形，
∴S△BPM＝BP•MP＝××＝．
21．（9分）信阳位于中国南北地理分界线，地处淮河中上游，素有“北国江南，江南北国”美誉，自古雨水充沛，河流众多，降雨量和人均水资源量久居河南第一，素以“水广桥多”著称，被誉为“千湖之市”．其中一座桥的桥洞形状符合抛物线形状，如图1所示，桥墩高3米，拱顶A与起拱线BC相距4米，桥孔宽6米．
（1）若以起拱点B为坐标原点建立平面坐标系，求抛物线的函数表达式，并求其顶点坐标．
（2）河面的平均水位2米，信阳游客服务部门打算建造河上观赏船，故应考虑船下水后的吃水线问题．额定载客后，观赏船吃水线上面部分的截面图为矩形EFGH（如图2），当船宽FG为3米时．①求吃水线上船高EF约多少米时，可以恰好通过此桥；②若考虑涝季水面会再往上升1米，则求此时吃水线上船高的设计范围．
【分析】（1）易得抛物线经过点（0，0），（6，0），那么抛物线的对称轴是直线x＝3，所以拱顶A坐标为（3，4），为抛物线的顶点坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，把（0，0）代入可得a的值，即可求得抛物线的解析式；
（2）①水深2米，桥墩高3米，可得FG在BC下方1米．所以把截面矩形EFGH放在抛物线的正中间，可得点E的横坐标，把横坐标代入（1）中得到的抛物线解析式，可得点E的纵坐标，加上起拱线下面的部分可得吃水线上船高EF约多少米时，可以恰好通过此桥；
（3）涝季水面会再往上升1米，船也向上升1米，那么吃水线上船高就要减少1米．
【解答】解：（1）由题意得：抛物线经过点（0，0），（6，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝3．
∴拱顶A的坐标为（3，4），为抛物线的顶点．
设抛物线解析式为：y＝a（x﹣3）2+4．
∵经过点（0，0），
∴9a+4＝0．
解得：a＝﹣．
∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣（x﹣3）2+4，顶点坐标为（3，4）；
（2）①如图，把船EFGH放在抛物线的正中间．
∵水深2米，桥墩高3米，
∴FG在起拱线下方1米处．
∵BC＝6米，EH＝3米，
∴点E的横坐标为：＝．
当x＝时，y＝﹣（﹣3）2+4＝3．
∴吃水线上船高EF约为3+1＝4（米）．
答：吃水线上船高EF约为4米；
②∵涝季水面上升1米，
∴船也会上升1米．
∴船高应不超过4﹣1＝3米．
答：此时吃水线上船高的设计范围应不超过3米．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．（13分）如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣）三点．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标．
（Ⅲ）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（Ⅰ）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），再把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣）三点代入求出a、b、c的值即可；
（Ⅱ）因为点A关于对称轴对称的点B的坐标为（5，0），连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可；
（Ⅲ）分点N在x轴下方和上方两种情况进行讨论．
【解答】解：（Ⅰ）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣）三点在抛物线上，
∴，
解得．
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣；
（Ⅱ）∵抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣，
∴其对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝2，
连接BC，如图1所示，
∵B（5，0），C（0，﹣），
∴设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∴，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣，
当x＝2时，y＝1﹣＝﹣，
∴P（2，﹣）；
（Ⅲ）存在点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形．
如图2所示，
①当点N在x轴下方时，
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，C（0，﹣），
∴N1（4，﹣）；
②当点N在x轴上方时，
如图，过点N2作N2D⊥x轴于点D，
在△AN2D与△M2CO中，
∴△AN2D≌△M2CO（ASA），
∴N2D＝OC＝，即N2点的纵坐标为．
∴x2﹣2x﹣＝，
解得x＝2+或x＝2﹣，
∴N2（2+，），N3（2﹣，）．
综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，﹣），（2+，）或（2﹣，）．
23．（14分）问题情境
有一堵长为am的墙，利用这堵墙和长为60m的篱笆围成一个矩形养鸡场，怎样围面积最大？最大面积是多少？
题意理解
根据题意，有两种设计方案：一边靠墙（如图①）和一边“包含”墙（如图②）．
特例分析
（1）当a＝12时，若按图①的方案设计，则该方案中养鸡场的最大面积是 288 m2；若按图②的方案设计，则该方案中养鸡场的最大面积是 324 m2．
（2）当a＝20时，解决“问题情境”中的问题．
解决问题
（3）直接写出“问题情境”中的问题的答案．
【分析】（1）如图，设：AB＝x，则BC＝60﹣2x，则0＜60﹣2x≤12，即：24≤x＜30，即可求解；
（2）如图①，设AB＝xm，则BC＝（60﹣2x）m．所以S矩形ABCD＝x（60﹣2x）＝﹣2（x﹣15）2+450即可求解，如图②，同理可解；
（3）分0＜a≤20、20＜a＜30、a≥30，三种情况求解即可．
【解答】解：（1）如图，设：AB＝x，则BC＝60﹣2x，
则0＜60﹣2x≤12，即：24≤x＜30，
S矩形ABCD＝x（60﹣2x）＝﹣2（x﹣15）2+450．
∵24≤x＜30，则x＝24时，S矩形ABCD取得最大值为288，
同理，图②的方案设计，S矩形ABCD取得最大值为324，
故：答案为288，324；
（2）如图①，设AB＝x m，则BC＝（60﹣2x） m．
所以S矩形ABCD＝x（60﹣2x）＝﹣2（x﹣15）2+450．
根据题意，得20≤x＜30．
因为﹣2＜0，
所以当20≤x＜30时，S矩形ABCD随x的增大而减小．
即当x＝20时，S矩形ABCD有最大值，最大值是400（m2）．
如图②，设AB＝x m，则BC＝（40﹣x） m．
所以S矩形ABCD＝x（40﹣x）＝﹣（x﹣20）2+400．
根据题意，得0＜x≤20．
因为﹣1＜0，
所以当x＝20时，
S矩形ABCD有最大值，最大值是400（m2）．
综上，当a＝20时，该养鸡场围成一个边长为20 m的正方形时面积最大，最大面积是400 m2．
（3）①A：S＝（60﹣2x）x＝﹣2（x﹣15）2+450，
x＞0且0＜60﹣2x≤a，即≤x＜30，
（Ⅰ）当＞15时，即a＜30，
当x＝（60﹣a）时，Smax＝（﹣a2+60a）；
（Ⅱ）当≤15时，即a≥30，
x＝15时，Smax＝450；
②B：S＝（﹣x）x，
x＞0且（60+a）﹣x＞a，即0＜x＜30﹣a，
（Ⅰ）当（60﹣a）≤时，即a≥20，
当x＝0时，S＝0，
当x＝（60﹣a）时，Smax＝（﹣a2+60a）；
（Ⅱ）当（60﹣a）＞（60+a）时，即a＜20，
当x＝时，Smax＝；
综上，当0＜a＜20时，围成边长为 m的正方形面积最大，最大面积是 m2．
当20≤a＜30时，围成两邻边长分别为a m， m的养鸡场面积最大，最大面积为m2．
当a≥30时，当矩形的长为30 m，宽为15 m时，养鸡场最大面积为450 m2．
备注：当a＝20时，两个方案的面积相同．