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北京市十一学校晋元中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试卷
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这是一份北京市十一学校晋元中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试卷，共23页。
A．2，﹣3B．0，﹣3C．1，﹣3D．1，0
2．（2分）图中是北京十一晋元中学的lg，将它顺时针旋转90°后的图形是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2分）将抛物线y＝3x2向左平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝3（x+2）2B．y＝3（x﹣2）2C．y＝3x2+2D．y＝3x2﹣2
4．（2分）在平面直角坐标系中，点P（﹣1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，2）D．（﹣2，﹣1）
5．（2分）用配方法解方程x2+8x+7＝0，则配方正确的是（ ）
A．（x+4）2＝9B．（x﹣4）2＝9C．（x﹣8）2＝16D．（x+8）2＝57
6．（2分）二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
7．（2分）如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD，CD，OA，若∠ADC＝25°，则∠ABO的度数为（ ）
A．35°B．40°C．50°D．55°
8．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以（3，0）为圆心作⊙P，⊙P与x轴交于A、B，与y轴交于点C（0，2），Q为⊙P上不同于A、B的任意一点，连接QA、QB，过P点分别作PE⊥QA于E，PF⊥QB于F．设点Q的横坐标为x，PE2+PF2＝y．当Q点在⊙P上顺时针从点A运动到点B的过程中，下列图象中能表示y与x的函数关系的部分图象是（ ）
A．B．
C．D．
二.填空题（共8小题，每题2分，共16分）
9．（2分）二次函数y＝x2+4x+6的顶点坐标是 ．
10．（2分）已知x＝3是方程x2﹣2x+m＝0的一个根，那么m＝ ．
11．（2分）若一个二次函数的二次项系数为2，且经过点（1，0），请写出一个符合上述条件的二次函数表达式： ．
12．（2分）如图，月洞门为中国古典建筑中常见的过径门，因圆形如月而得名．某地园林中有一个圆弧形门洞，高为2.5m，地面入口宽为1m，则该门洞的半径为 m．
13．（2分）读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一．据统计，某书院对外开放的第一个月进书院600人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末累计进书院2850人次，若进书院人次的月平均增长率为x，则可列方程为 ．
14．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，将△ABC 绕点A逆时针旋转到△ADE．若AD⊥BC，则旋转角的度数是 ．
15．（2分）如图，在一块长为36米，宽为25米的矩形空地上修建三条宽均为x米的笔直小道，其余部分（即图中阴影部分）改造为草坪进行绿化，若草坪的面积为840平方米，根据题意可列方程 ．
16．（2分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），B（3，0），T（0，2）．点C为坐标平面内的一个动点，满足∠ACB＝60°，则线段CT长度的最大值为 ．
三.解答题（共68分，其中17-22题，每题5分，23-26题，每题6分，27-28每题7分）
17．（5分）解方程：x2﹣2x﹣8＝0．
18．（5分）如图，AB是⊙O的直径，CD是的⊙O弦，若，求BD的长．
19．（5分）已知：如图，△ABC．求作：点D（点D与点B在直线AC的异侧），使得点D在∠ABC的角平分线上，且∠ADC+∠ABC＝180°．
作法：①分别作线段AC的垂直平分线l1和线段BC的垂直平分线l2，直线l1与l2交于点O；
②以点O为圆心，OA的长为半径画圆，⊙O与l1在直线BC上方的交点为D；
则点D就是所求作的点．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OA，OB，OC，DA，DB，DC．
∵直线l1垂直平分AC，点O，D都在直线l1上，
∴OA＝OC，DA＝DC．
∵直线l2垂直平分BC，点O在直线l2上，
∴OB＝OC．
∴OA＝OB＝OC．
∴点A，B，C都在⊙O上．
∵点D在⊙O上，
∴∠ADC+∠ABC＝180°．（ ）（填推理的依据）
∵DA＝DC，
∴．（ ）（填推理的依据）
∴∠ABD＝∠CBD．（ ）（填推理的依据）
∴点D在∠ABC的角平分线上．
20．（5分）若二次函数y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：
（1）求此二次函数的解析式；
（2）画出此函数图象（不用列表）；
（3）结合函数图象，当﹣4≤x＜1时，直接写出y的取值范围．
21．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为旋转中心，将△AOB顺时针旋转90°得到△A'OB'，其中点A'与点A对应，点B'与点B对应．如果A（﹣4，0），B（﹣1，2）．请回答：
（1）点B'的坐标为 ．
（2）点A经过的路径的长度为 π．（友情提示：已经有π）
22．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+2k+6＝0．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程恰有一个根小于﹣1，求k的取值范围．
23．（6分）在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的对应关系如图所示：
（1）试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；
（2）若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式；
（3）在（2）的前提下，若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大的利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润．
24．（6分）如图，在△ABC中，AB＝BC，AB为⊙O的直径，AC与⊙O相交于点D，过点D作DE⊥BC于点E，CB延长线交⊙O于点F．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若BE＝1，BF＝2，求AD的长．
25．（6分）【问题背景】
水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．图1是某学校兴趣小组制做出的一款简易弹射水火箭．
【实验操作】
为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的数据，并确定了函数表达式为：x＝3t．同时也收集了飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示：
【建立模型】
任务1：求y关于t的函数表达式．
【反思优化】
图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为PQ），当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段AB为水火箭回收区域，已知AP＝42m，．
任务2：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为0m）时，求水火箭飞行的水平距离．
任务3：当水火箭落到AB内（包括端点A，B），求发射台高度PQ的取值范围．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（5，m），点B（7，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上．设抛物线的对称轴为直线x＝t．
（1）若m＝n，求t的值；
（2）点C（x0，p）在该抛物线上，若对于2＜x0＜3，都有m＜n＜p，求t的取值范围．
27．（7分）在△ABC中，∠B＝∠C＝α，点D是腰AB上一个动点（不与点A、B重合），连接DC，将线段DC绕点D逆时针旋转2α得到线段DE．
（1）求证：∠ADE＝∠ACD；
（2）连接BE，取BE中点F连接连接AF、DF；
①依题意补全图形；②求∠AFD的大小．
28．（7分）【问题提出】
在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为18m的正方形草坪（如图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案．
说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为r（m）的圆面．喷洒覆盖率，s为待喷洒区域面积，k为待喷洒区域中的实际喷洒面积．
【数学建模】
这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题．
【探索发现】
（1）如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为9m的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率ρ＝ ．
（2）如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为3m的自动喷洒装置；…，以此类推，如图5，设计安装n2个喷洒半径均为的自动喷洒装置．与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由．
（3）如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率ρ＝1．已知AE＝BF＝CG＝DH，设AE＝x（m），⊙O1的面积为y（m2），求y关于x的函数表达式，并求当y取得最小值时r的值．
【问题解决】
（4）该公司现有喷洒半径为的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率ρ＝1？（直接写出结果即可）
2024-2025学年北京市十一学校晋元中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一.选择题（共8小题，每题2分，共16分）
1．【解答】解：一元二次方程4x2+x﹣3＝0的一次项系数，常数项分别是1、﹣3．
故选：C．
2．【解答】解：将它顺时针旋转90°后，只有C选项符合题意．
故选：C．
3．【解答】解：∵抛物线y＝3x2向左平移2个单位后的顶点坐标为（﹣2，0），
∴所得抛物线的解析式为y＝3（x+2）2．
故选：A．
4．【解答】解：根据中心对称的性质，可知：点P（﹣1，﹣2）关于原点O中心对称的点的坐标为（1，2）．
故选：C．
5．【解答】解：∵x2+8x+7＝0，
∴x2+8x＝﹣7，
⇒x2+8x+16＝﹣7+16，
∴（x+4）2＝9．
∴故选：A．
6．【解答】解：一元二次方程ax2+bx＝0的根即为二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象与直线x轴的交点的横坐标，
结合图象，可知二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象与x轴有两个不同的交点，即方程ax2+bx＝0有两个不相等的实数根，
故选：B．
7．【解答】解：∵∠ADC＝25°，
∴∠AOC＝50°，
∵AB为⊙O的切线，点A为切点，
∴∠OAB＝90°，
∴∠ABO＝∠OAB﹣∠AOC＝90°﹣50°＝40°，
故选：B．
8．【解答】解：连接PC．
∵P（3，0），C（0，2），
∴PC2＝13．
∵AC是直径，
∴∠Q＝90°．
又PE⊥QA于E，PF⊥QB于F，
∴四边形PEQF是矩形．
∴PE＝QF．
∵PF⊥QB于F，
∴QF＝BF．
∴PE＝BF．
∴y＝PE2+PF2＝BF2+PF2＝PC2＝13．
故选：A．
二.填空题（共8小题，每题2分，共16分）
9．【解答】解：把二次函数化为顶点式为：y＝x2+4x+6＝（x+2）2+2；
∴顶点坐标为：（﹣2，2）．
故答案为：（﹣2，2）．
10．【解答】解：将x＝3代入x2﹣2x+m＝0，
∴9﹣6+m＝0，
∴m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
11．【解答】解：∵二次函数的二次项系数为2，设抛物线解析式为y＝2x2+bx+c，
∵抛物线经过点（1，0），
∴2+b+c＝0，
∴b＝﹣2，c＝0，
∴解析式为y＝2x2﹣2x．
故答案为：y＝2x2﹣2x．
12．【解答】解：设圆的半径为r，
由题意可知，，EF＝2.5m
在Rt△OFD中，，r+OF＝2.5m，
∴，
解得r＝1.3．
经检验：r＝1.3是方程的解，
故答案为：1.3．
13．【解答】解：∵该书院对外开放的第一个月进书院600人次，且进书院人次的月平均增长率为x，
∴第二个月进书院600（1+x）人次，第三个月进书院600（1+x）2人次．
根据题意得：600+600（1+x）+600（1+x）2＝2850．
故答案为：600+600（1+x）+600（1+x）2＝2850．
14．【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，
∵∠BAC＝50°，
∴∠BAD＝25°，
故答案为：25°．
15．【解答】解：由平移的性质可得，草坪面积可以看作是一个长为（36﹣x）米，宽为（25﹣x）米的矩形，
由题意得，（36﹣x）（25﹣x）＝840，
故答案为：（36﹣x）（25﹣x）＝840．
16．【解答】解：作△ABC的外接圆⊙P，
当C、P、T在同一直线上，且T在⊙P外，线段CT长度的最大，如图，
∵点A（﹣3，0），B（3，0），
∴OA＝OB，
∵点P在AB的垂直平分线上，
∴点P在y轴上，
∵T（0，2）在y轴上，
∴点C在y轴上时，线段CT长度的最大，
∴CT垂直平分AB，
∴AC＝BC，
∵∠ACB＝60°，
∴此时△ACB是等边三角形，
∴AC＝AB＝6，
∴OC＝＝3，
∵OT＝2，
∴CT＝3+2，
故线段CT长度的最大值为3+2．
故答案为：3+2．
三.解答题（共68分，其中17-22题，每题5分，23-26题，每题6分，27-28每题7分）
17．【解答】解：x2﹣2x﹣8＝0，
∴（x﹣4）（x+2）＝0，
∴x﹣4＝0或x+2＝0，
∴x1＝4，x2＝﹣2．
18．【解答】解：因为AB是⊙O的直径，
所以∠ADB＝90°．
因为∠ACD＝30°，
所以∠B＝∠ACD＝30°．
所以在Rt△ABD中，AB＝2AD＝，
由勾股定理，得：AD2+BD2＝AB2，即＝，
解得：BD＝3．
19．【解答】（1）解：如图所示．
（2）证明：连接OA，OB，OC，DA，DB，DC．
∵直线l1垂直平分AC，点O，D都在直线l1上，
∴OA＝OC，DA＝DC．
∵直线l2垂直平分BC，点O在直线l2上，
∴OB＝OC．
∴OA＝OB＝OC．
∴点A，B，C都在⊙O上．
∵点D在⊙O上，
∴∠ADC+∠ABC＝180°．（圆内接四边形对角互补 ）
∵DA＝DC，
∴．（ 在同圆或等圆中，相等的弦所对的劣弧相等）
∴∠ABD＝∠CBD．（等弧所对的圆周角相等 ）
∴点D在∠ABC的角平分线上．
故答案为：圆内接四边形对角互补；在同圆或等圆中，相等的弦所对的劣弧相等；等弧所对的圆周角相等．
20．【解答】解：（1）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
将（﹣2，3），（﹣1，4），（0，3）代入得：
，
解得，
∴y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）函数图象如下：
（3）由图象可得，当﹣4≤x＜1时，y的取值范围是﹣5≤y≤4．
21．【解答】解：如图所示：
∵A（﹣4，0），B（﹣1，2）．
∴A'的坐标为（0，4），
B'的坐标为（2，1），
∴OA＝OA'＝4，
∴点A经过的路径的长度＝＝2π．
22．【解答】（1）证明：一元二次方程x2﹣（k+5）x+2k+6＝0，
∵a＝1，b＝﹣（k+5），c＝2k+6，
∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+5）]2﹣4（2k+6）＝k2+2k+1＝（k+1）2≥0，
∴此方程总有两个实数根；
（2）解：一元二次方程x2﹣（k+5）x+2k+6＝0，
∵a＝1，b＝﹣（k+5），c＝2k+6，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（k+1）2，
∴，
∴x1＝2，x2＝k+3，
∵此方程恰有一个根小于﹣1，
∴k+3＜﹣1，
∴k＜﹣4．
23．【解答】解：（1）y是x的一次函数，设y＝kx+b图象过点（10，300），（12，240），
，
解得．
故y与x 之间的函数关系为：y＝﹣30x+600，
当x＝14时，y＝180；当x＝16时，y＝120，
即点（14，180），（16，120）均在函数y＝﹣30x+600的图象上．
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣30x+600；
（2）w＝（x﹣6）（﹣30x+600）＝﹣30x2+780x﹣3600
即w与x之间的函数关系式为w＝﹣30x2+780x﹣3600；
（3）由题意得6（﹣30x+600）≤900，解得x≥15．
w＝﹣30x2+780x﹣3600图象对称轴为x＝﹣＝13，
∵a＝﹣30＜0，
∴抛物线开口向下，当x≥15时，w随x增大而减小，
∴当x＝15时，w最大＝1350．
即以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元．
24．【解答】（1）证明：∵OB＝OD，
∴∠ABD＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ODB＝∠ACB，
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图，过点O作OH⊥AF于点H，则∠ODE＝∠DEH＝∠OHE＝90°，
∴四边形ODEH是矩形，
∴OD＝EH，OH＝DE，
∵OF＝OB，
∴BH＝FH＝1，
∴OD＝EH＝EH＝2，
∴AB＝2OD＝4，OH＝＝，
∴DE＝OH＝，
∴BD＝＝2，
∴AD＝＝＝2．
25．【解答】解：任务1：∵二次函数经过点（4，16），（8，16），
∴抛物线的顶点坐标为（6，18）．
设抛物线解析式为：y＝a（t﹣6）2+18．
∵抛物线经过点（0，0），
∴36a+18＝0．
解得：a＝﹣．
∴y关于t的函数表达式为：y＝﹣（t﹣6）2+18；
任务2：∵x＝3t，
∴t＝．
∴y＝﹣（﹣6）2+18
＝﹣x2+2x．
当水火箭落地（高度为0m）时，﹣ x2+2x＝0．
解得：x1＝0（不合题意，舍去），x2＝36．
答：水火箭飞行的水平距离为36米；
任务3：设PQ的长度为c．
∴水火箭的抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+c．
①当抛物线经过点A时．
∵AP＝42m，
∴点A的坐标为（42，0）．
∴﹣×422+2×42+c＝0．
解得：c＝14．
②当抛物线经过点B时．
∵AP＝42m，．
∴BP＝（18+18）m．
∴点B的坐标为（18+18，0）．
∴﹣×（18+18）2+2×（18+18）+c＝0．
解得：c＝18．
∵水火箭落到AB内（包括端点A，B），
∴14m≤c≤18m．
∴14m≤PQ≤18m．
答：发射台高度PQ的取值范围为：14m≤PQ≤18m．
26．【解答】解：（1）由题意，∵m＝n，且抛物线过A（5，m），点B（7，n），
∴对称轴是直线x＝t＝＝6．
∴t的值为6．
（2）∵a＞0，
∴离对称轴水平距离越近的点，其纵坐标越小，
①当t≥7时，t﹣7≤t﹣5，
∴n≤m，不符合题意；
②当5≤t＜7时，
由m＜n可知t﹣5＜7﹣t，
∴t＜6，
由C（x0，p），2＜x0＜3，n＜p可知7﹣t≤t﹣3，
∴t≥5，
∴t的取值范围是5≤t＜6；
③当3≤t＜5时，
由m＜p可知5﹣t＜t﹣3，
∴t＞4，
由n＜p可知7﹣t＜t﹣3，
∴t＞5，
∴此时无解；
④当t＜3时，
∵3﹣t＜5﹣t＜7﹣t，
∴p＜m＜n，不符合题意；
综上所述，t的取值范围是5≤t＜6．
27．【解答】（1）证明：设∠ACD＝β，
∵∠B＝∠C＝α，
∴∠BCD＝α﹣β，
∴∠ADC＝∠B+∠BCD＝2α﹣β，
∵将线段DC绕点D逆时针旋转2α得到线段DE，
∴∠CDE＝2α，
∴∠ADE＝∠CDE﹣∠ADC＝β，
∴∠ADE＝∠ACD；
（2）①补全图形如图，
②延长BA到H，使DH＝AB，连接EH、AE，延长AF到点G，使GF＝AF，连接BG、DG，
∵AB＝AC，
∴HD＝AC，
∵旋转，
∴DE＝DC，
在△HDE和△ACD中，
，
∴△HDE≌△ACD（SAS），
∴EH＝AD，
∵F是BE中点，
∴BF＝EF，
在△BGF和△EAF中，
，
∴△BGF≌△EAF（SAS），
∴BG＝AE，∠GBF＝∠AEF，
∴AE∥BG，
∴∠GBD＝∠EAH，
∵AB＝DH，
∴BD＝AH，
在△BGD和△AEH中，
，
∴△BGD≌△AEH（SAS），
∴DG＝EH，
∴DG＝AD，
∵FG＝AF，
∴DF⊥AG，
∴∠AFD＝90°．
28．【解答】解：（1）当喷洒半径为9m时，喷洒的圆面积s＝π r2＝π×92＝81π（m2）．
正方形草坪的面积S＝a2＝182＝324（m2）．
故喷洒覆盖率．
故答案为：0.785．
（2）对于任意的n，喷洒面积，而草坪面积始终为324m2．
因此，无论n取何值，喷洒覆盖率始终为．
这说明增加装置个数同时减小喷洒半径，对提高喷洒覆盖率不起作用．
（3）如图所示，连接EF，
要使喷洒覆盖率ρ＝1，即要求，其中s为草坪面积，k为喷洒面积．
∴⊙O1，⊙O2，⊙O3，⊙O4都经过正方形的中心点O，
在Rt△AEF中，EF＝2r，AE＝x，
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴AF＝18﹣x，
在Rt△AEF中，AE2+AF2＝EF2，
∴4r2＝x2+（18﹣x）2，
∴
＝
∴当x＝9时，y取得最小值，此时4r2＝92+92，
解得：．
（4）由（3）可得，当⊙O1的面积最小时，此时圆为边长为9m的正方形的外接圆，
则当时，圆的内接正方形的边长为，
而草坪的边长为18m，，即将草坪分为9个正方形，将半径为的自动喷洒装置放置于9个正方形的中心，此时所用装置个数最少，
∴至少安装9个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率ρ＝1．
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣5
0
3
4
3
0
…
飞行时间t/s
0
2
4
6
8
…
飞行高度y/m
0
10
16
18
16
…
A．2，﹣3B．0，﹣3C．1，﹣3D．1，0
2．（2分）图中是北京十一晋元中学的lg，将它顺时针旋转90°后的图形是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2分）将抛物线y＝3x2向左平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝3（x+2）2B．y＝3（x﹣2）2C．y＝3x2+2D．y＝3x2﹣2
4．（2分）在平面直角坐标系中，点P（﹣1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，2）D．（﹣2，﹣1）
5．（2分）用配方法解方程x2+8x+7＝0，则配方正确的是（ ）
A．（x+4）2＝9B．（x﹣4）2＝9C．（x﹣8）2＝16D．（x+8）2＝57
6．（2分）二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
7．（2分）如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD，CD，OA，若∠ADC＝25°，则∠ABO的度数为（ ）
A．35°B．40°C．50°D．55°
8．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以（3，0）为圆心作⊙P，⊙P与x轴交于A、B，与y轴交于点C（0，2），Q为⊙P上不同于A、B的任意一点，连接QA、QB，过P点分别作PE⊥QA于E，PF⊥QB于F．设点Q的横坐标为x，PE2+PF2＝y．当Q点在⊙P上顺时针从点A运动到点B的过程中，下列图象中能表示y与x的函数关系的部分图象是（ ）
A．B．
C．D．
二.填空题（共8小题，每题2分，共16分）
9．（2分）二次函数y＝x2+4x+6的顶点坐标是 ．
10．（2分）已知x＝3是方程x2﹣2x+m＝0的一个根，那么m＝ ．
11．（2分）若一个二次函数的二次项系数为2，且经过点（1，0），请写出一个符合上述条件的二次函数表达式： ．
12．（2分）如图，月洞门为中国古典建筑中常见的过径门，因圆形如月而得名．某地园林中有一个圆弧形门洞，高为2.5m，地面入口宽为1m，则该门洞的半径为 m．
13．（2分）读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一．据统计，某书院对外开放的第一个月进书院600人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末累计进书院2850人次，若进书院人次的月平均增长率为x，则可列方程为 ．
14．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，将△ABC 绕点A逆时针旋转到△ADE．若AD⊥BC，则旋转角的度数是 ．
15．（2分）如图，在一块长为36米，宽为25米的矩形空地上修建三条宽均为x米的笔直小道，其余部分（即图中阴影部分）改造为草坪进行绿化，若草坪的面积为840平方米，根据题意可列方程 ．
16．（2分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），B（3，0），T（0，2）．点C为坐标平面内的一个动点，满足∠ACB＝60°，则线段CT长度的最大值为 ．
三.解答题（共68分，其中17-22题，每题5分，23-26题，每题6分，27-28每题7分）
17．（5分）解方程：x2﹣2x﹣8＝0．
18．（5分）如图，AB是⊙O的直径，CD是的⊙O弦，若，求BD的长．
19．（5分）已知：如图，△ABC．求作：点D（点D与点B在直线AC的异侧），使得点D在∠ABC的角平分线上，且∠ADC+∠ABC＝180°．
作法：①分别作线段AC的垂直平分线l1和线段BC的垂直平分线l2，直线l1与l2交于点O；
②以点O为圆心，OA的长为半径画圆，⊙O与l1在直线BC上方的交点为D；
则点D就是所求作的点．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OA，OB，OC，DA，DB，DC．
∵直线l1垂直平分AC，点O，D都在直线l1上，
∴OA＝OC，DA＝DC．
∵直线l2垂直平分BC，点O在直线l2上，
∴OB＝OC．
∴OA＝OB＝OC．
∴点A，B，C都在⊙O上．
∵点D在⊙O上，
∴∠ADC+∠ABC＝180°．（ ）（填推理的依据）
∵DA＝DC，
∴．（ ）（填推理的依据）
∴∠ABD＝∠CBD．（ ）（填推理的依据）
∴点D在∠ABC的角平分线上．
20．（5分）若二次函数y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：
（1）求此二次函数的解析式；
（2）画出此函数图象（不用列表）；
（3）结合函数图象，当﹣4≤x＜1时，直接写出y的取值范围．
21．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为旋转中心，将△AOB顺时针旋转90°得到△A'OB'，其中点A'与点A对应，点B'与点B对应．如果A（﹣4，0），B（﹣1，2）．请回答：
（1）点B'的坐标为 ．
（2）点A经过的路径的长度为 π．（友情提示：已经有π）
22．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+2k+6＝0．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程恰有一个根小于﹣1，求k的取值范围．
23．（6分）在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的对应关系如图所示：
（1）试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；
（2）若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式；
（3）在（2）的前提下，若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大的利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润．
24．（6分）如图，在△ABC中，AB＝BC，AB为⊙O的直径，AC与⊙O相交于点D，过点D作DE⊥BC于点E，CB延长线交⊙O于点F．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若BE＝1，BF＝2，求AD的长．
25．（6分）【问题背景】
水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．图1是某学校兴趣小组制做出的一款简易弹射水火箭．
【实验操作】
为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的数据，并确定了函数表达式为：x＝3t．同时也收集了飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示：
【建立模型】
任务1：求y关于t的函数表达式．
【反思优化】
图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为PQ），当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段AB为水火箭回收区域，已知AP＝42m，．
任务2：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为0m）时，求水火箭飞行的水平距离．
任务3：当水火箭落到AB内（包括端点A，B），求发射台高度PQ的取值范围．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（5，m），点B（7，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上．设抛物线的对称轴为直线x＝t．
（1）若m＝n，求t的值；
（2）点C（x0，p）在该抛物线上，若对于2＜x0＜3，都有m＜n＜p，求t的取值范围．
27．（7分）在△ABC中，∠B＝∠C＝α，点D是腰AB上一个动点（不与点A、B重合），连接DC，将线段DC绕点D逆时针旋转2α得到线段DE．
（1）求证：∠ADE＝∠ACD；
（2）连接BE，取BE中点F连接连接AF、DF；
①依题意补全图形；②求∠AFD的大小．
28．（7分）【问题提出】
在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为18m的正方形草坪（如图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案．
说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为r（m）的圆面．喷洒覆盖率，s为待喷洒区域面积，k为待喷洒区域中的实际喷洒面积．
【数学建模】
这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题．
【探索发现】
（1）如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为9m的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率ρ＝ ．
（2）如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为3m的自动喷洒装置；…，以此类推，如图5，设计安装n2个喷洒半径均为的自动喷洒装置．与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由．
（3）如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率ρ＝1．已知AE＝BF＝CG＝DH，设AE＝x（m），⊙O1的面积为y（m2），求y关于x的函数表达式，并求当y取得最小值时r的值．
【问题解决】
（4）该公司现有喷洒半径为的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率ρ＝1？（直接写出结果即可）
2024-2025学年北京市十一学校晋元中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一.选择题（共8小题，每题2分，共16分）
1．【解答】解：一元二次方程4x2+x﹣3＝0的一次项系数，常数项分别是1、﹣3．
故选：C．
2．【解答】解：将它顺时针旋转90°后，只有C选项符合题意．
故选：C．
3．【解答】解：∵抛物线y＝3x2向左平移2个单位后的顶点坐标为（﹣2，0），
∴所得抛物线的解析式为y＝3（x+2）2．
故选：A．
4．【解答】解：根据中心对称的性质，可知：点P（﹣1，﹣2）关于原点O中心对称的点的坐标为（1，2）．
故选：C．
5．【解答】解：∵x2+8x+7＝0，
∴x2+8x＝﹣7，
⇒x2+8x+16＝﹣7+16，
∴（x+4）2＝9．
∴故选：A．
6．【解答】解：一元二次方程ax2+bx＝0的根即为二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象与直线x轴的交点的横坐标，
结合图象，可知二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象与x轴有两个不同的交点，即方程ax2+bx＝0有两个不相等的实数根，
故选：B．
7．【解答】解：∵∠ADC＝25°，
∴∠AOC＝50°，
∵AB为⊙O的切线，点A为切点，
∴∠OAB＝90°，
∴∠ABO＝∠OAB﹣∠AOC＝90°﹣50°＝40°，
故选：B．
8．【解答】解：连接PC．
∵P（3，0），C（0，2），
∴PC2＝13．
∵AC是直径，
∴∠Q＝90°．
又PE⊥QA于E，PF⊥QB于F，
∴四边形PEQF是矩形．
∴PE＝QF．
∵PF⊥QB于F，
∴QF＝BF．
∴PE＝BF．
∴y＝PE2+PF2＝BF2+PF2＝PC2＝13．
故选：A．
二.填空题（共8小题，每题2分，共16分）
9．【解答】解：把二次函数化为顶点式为：y＝x2+4x+6＝（x+2）2+2；
∴顶点坐标为：（﹣2，2）．
故答案为：（﹣2，2）．
10．【解答】解：将x＝3代入x2﹣2x+m＝0，
∴9﹣6+m＝0，
∴m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
11．【解答】解：∵二次函数的二次项系数为2，设抛物线解析式为y＝2x2+bx+c，
∵抛物线经过点（1，0），
∴2+b+c＝0，
∴b＝﹣2，c＝0，
∴解析式为y＝2x2﹣2x．
故答案为：y＝2x2﹣2x．
12．【解答】解：设圆的半径为r，
由题意可知，，EF＝2.5m
在Rt△OFD中，，r+OF＝2.5m，
∴，
解得r＝1.3．
经检验：r＝1.3是方程的解，
故答案为：1.3．
13．【解答】解：∵该书院对外开放的第一个月进书院600人次，且进书院人次的月平均增长率为x，
∴第二个月进书院600（1+x）人次，第三个月进书院600（1+x）2人次．
根据题意得：600+600（1+x）+600（1+x）2＝2850．
故答案为：600+600（1+x）+600（1+x）2＝2850．
14．【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，
∵∠BAC＝50°，
∴∠BAD＝25°，
故答案为：25°．
15．【解答】解：由平移的性质可得，草坪面积可以看作是一个长为（36﹣x）米，宽为（25﹣x）米的矩形，
由题意得，（36﹣x）（25﹣x）＝840，
故答案为：（36﹣x）（25﹣x）＝840．
16．【解答】解：作△ABC的外接圆⊙P，
当C、P、T在同一直线上，且T在⊙P外，线段CT长度的最大，如图，
∵点A（﹣3，0），B（3，0），
∴OA＝OB，
∵点P在AB的垂直平分线上，
∴点P在y轴上，
∵T（0，2）在y轴上，
∴点C在y轴上时，线段CT长度的最大，
∴CT垂直平分AB，
∴AC＝BC，
∵∠ACB＝60°，
∴此时△ACB是等边三角形，
∴AC＝AB＝6，
∴OC＝＝3，
∵OT＝2，
∴CT＝3+2，
故线段CT长度的最大值为3+2．
故答案为：3+2．
三.解答题（共68分，其中17-22题，每题5分，23-26题，每题6分，27-28每题7分）
17．【解答】解：x2﹣2x﹣8＝0，
∴（x﹣4）（x+2）＝0，
∴x﹣4＝0或x+2＝0，
∴x1＝4，x2＝﹣2．
18．【解答】解：因为AB是⊙O的直径，
所以∠ADB＝90°．
因为∠ACD＝30°，
所以∠B＝∠ACD＝30°．
所以在Rt△ABD中，AB＝2AD＝，
由勾股定理，得：AD2+BD2＝AB2，即＝，
解得：BD＝3．
19．【解答】（1）解：如图所示．
（2）证明：连接OA，OB，OC，DA，DB，DC．
∵直线l1垂直平分AC，点O，D都在直线l1上，
∴OA＝OC，DA＝DC．
∵直线l2垂直平分BC，点O在直线l2上，
∴OB＝OC．
∴OA＝OB＝OC．
∴点A，B，C都在⊙O上．
∵点D在⊙O上，
∴∠ADC+∠ABC＝180°．（圆内接四边形对角互补 ）
∵DA＝DC，
∴．（ 在同圆或等圆中，相等的弦所对的劣弧相等）
∴∠ABD＝∠CBD．（等弧所对的圆周角相等 ）
∴点D在∠ABC的角平分线上．
故答案为：圆内接四边形对角互补；在同圆或等圆中，相等的弦所对的劣弧相等；等弧所对的圆周角相等．
20．【解答】解：（1）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
将（﹣2，3），（﹣1，4），（0，3）代入得：
，
解得，
∴y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）函数图象如下：
（3）由图象可得，当﹣4≤x＜1时，y的取值范围是﹣5≤y≤4．
21．【解答】解：如图所示：
∵A（﹣4，0），B（﹣1，2）．
∴A'的坐标为（0，4），
B'的坐标为（2，1），
∴OA＝OA'＝4，
∴点A经过的路径的长度＝＝2π．
22．【解答】（1）证明：一元二次方程x2﹣（k+5）x+2k+6＝0，
∵a＝1，b＝﹣（k+5），c＝2k+6，
∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+5）]2﹣4（2k+6）＝k2+2k+1＝（k+1）2≥0，
∴此方程总有两个实数根；
（2）解：一元二次方程x2﹣（k+5）x+2k+6＝0，
∵a＝1，b＝﹣（k+5），c＝2k+6，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（k+1）2，
∴，
∴x1＝2，x2＝k+3，
∵此方程恰有一个根小于﹣1，
∴k+3＜﹣1，
∴k＜﹣4．
23．【解答】解：（1）y是x的一次函数，设y＝kx+b图象过点（10，300），（12，240），
，
解得．
故y与x 之间的函数关系为：y＝﹣30x+600，
当x＝14时，y＝180；当x＝16时，y＝120，
即点（14，180），（16，120）均在函数y＝﹣30x+600的图象上．
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣30x+600；
（2）w＝（x﹣6）（﹣30x+600）＝﹣30x2+780x﹣3600
即w与x之间的函数关系式为w＝﹣30x2+780x﹣3600；
（3）由题意得6（﹣30x+600）≤900，解得x≥15．
w＝﹣30x2+780x﹣3600图象对称轴为x＝﹣＝13，
∵a＝﹣30＜0，
∴抛物线开口向下，当x≥15时，w随x增大而减小，
∴当x＝15时，w最大＝1350．
即以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元．
24．【解答】（1）证明：∵OB＝OD，
∴∠ABD＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ODB＝∠ACB，
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图，过点O作OH⊥AF于点H，则∠ODE＝∠DEH＝∠OHE＝90°，
∴四边形ODEH是矩形，
∴OD＝EH，OH＝DE，
∵OF＝OB，
∴BH＝FH＝1，
∴OD＝EH＝EH＝2，
∴AB＝2OD＝4，OH＝＝，
∴DE＝OH＝，
∴BD＝＝2，
∴AD＝＝＝2．
25．【解答】解：任务1：∵二次函数经过点（4，16），（8，16），
∴抛物线的顶点坐标为（6，18）．
设抛物线解析式为：y＝a（t﹣6）2+18．
∵抛物线经过点（0，0），
∴36a+18＝0．
解得：a＝﹣．
∴y关于t的函数表达式为：y＝﹣（t﹣6）2+18；
任务2：∵x＝3t，
∴t＝．
∴y＝﹣（﹣6）2+18
＝﹣x2+2x．
当水火箭落地（高度为0m）时，﹣ x2+2x＝0．
解得：x1＝0（不合题意，舍去），x2＝36．
答：水火箭飞行的水平距离为36米；
任务3：设PQ的长度为c．
∴水火箭的抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+c．
①当抛物线经过点A时．
∵AP＝42m，
∴点A的坐标为（42，0）．
∴﹣×422+2×42+c＝0．
解得：c＝14．
②当抛物线经过点B时．
∵AP＝42m，．
∴BP＝（18+18）m．
∴点B的坐标为（18+18，0）．
∴﹣×（18+18）2+2×（18+18）+c＝0．
解得：c＝18．
∵水火箭落到AB内（包括端点A，B），
∴14m≤c≤18m．
∴14m≤PQ≤18m．
答：发射台高度PQ的取值范围为：14m≤PQ≤18m．
26．【解答】解：（1）由题意，∵m＝n，且抛物线过A（5，m），点B（7，n），
∴对称轴是直线x＝t＝＝6．
∴t的值为6．
（2）∵a＞0，
∴离对称轴水平距离越近的点，其纵坐标越小，
①当t≥7时，t﹣7≤t﹣5，
∴n≤m，不符合题意；
②当5≤t＜7时，
由m＜n可知t﹣5＜7﹣t，
∴t＜6，
由C（x0，p），2＜x0＜3，n＜p可知7﹣t≤t﹣3，
∴t≥5，
∴t的取值范围是5≤t＜6；
③当3≤t＜5时，
由m＜p可知5﹣t＜t﹣3，
∴t＞4，
由n＜p可知7﹣t＜t﹣3，
∴t＞5，
∴此时无解；
④当t＜3时，
∵3﹣t＜5﹣t＜7﹣t，
∴p＜m＜n，不符合题意；
综上所述，t的取值范围是5≤t＜6．
27．【解答】（1）证明：设∠ACD＝β，
∵∠B＝∠C＝α，
∴∠BCD＝α﹣β，
∴∠ADC＝∠B+∠BCD＝2α﹣β，
∵将线段DC绕点D逆时针旋转2α得到线段DE，
∴∠CDE＝2α，
∴∠ADE＝∠CDE﹣∠ADC＝β，
∴∠ADE＝∠ACD；
（2）①补全图形如图，
②延长BA到H，使DH＝AB，连接EH、AE，延长AF到点G，使GF＝AF，连接BG、DG，
∵AB＝AC，
∴HD＝AC，
∵旋转，
∴DE＝DC，
在△HDE和△ACD中，
，
∴△HDE≌△ACD（SAS），
∴EH＝AD，
∵F是BE中点，
∴BF＝EF，
在△BGF和△EAF中，
，
∴△BGF≌△EAF（SAS），
∴BG＝AE，∠GBF＝∠AEF，
∴AE∥BG，
∴∠GBD＝∠EAH，
∵AB＝DH，
∴BD＝AH，
在△BGD和△AEH中，
，
∴△BGD≌△AEH（SAS），
∴DG＝EH，
∴DG＝AD，
∵FG＝AF，
∴DF⊥AG，
∴∠AFD＝90°．
28．【解答】解：（1）当喷洒半径为9m时，喷洒的圆面积s＝π r2＝π×92＝81π（m2）．
正方形草坪的面积S＝a2＝182＝324（m2）．
故喷洒覆盖率．
故答案为：0.785．
（2）对于任意的n，喷洒面积，而草坪面积始终为324m2．
因此，无论n取何值，喷洒覆盖率始终为．
这说明增加装置个数同时减小喷洒半径，对提高喷洒覆盖率不起作用．
（3）如图所示，连接EF，
要使喷洒覆盖率ρ＝1，即要求，其中s为草坪面积，k为喷洒面积．
∴⊙O1，⊙O2，⊙O3，⊙O4都经过正方形的中心点O，
在Rt△AEF中，EF＝2r，AE＝x，
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴AF＝18﹣x，
在Rt△AEF中，AE2+AF2＝EF2，
∴4r2＝x2+（18﹣x）2，
∴
＝
∴当x＝9时，y取得最小值，此时4r2＝92+92，
解得：．
（4）由（3）可得，当⊙O1的面积最小时，此时圆为边长为9m的正方形的外接圆，
则当时，圆的内接正方形的边长为，
而草坪的边长为18m，，即将草坪分为9个正方形，将半径为的自动喷洒装置放置于9个正方形的中心，此时所用装置个数最少，
∴至少安装9个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率ρ＝1．
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
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飞行时间t/s
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