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2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第07讲拓展二：三角形中线，角平分线方法技巧篇(精讲)(学生版+解析)
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这是一份2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第07讲拓展二：三角形中线，角平分线方法技巧篇(精讲)(学生版+解析)，共26页。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc18718" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc18718 \h 1
\l "_Tc25473" 第二部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc25473 \h 2
\l "_Tc6099" 高频考点一：中线长问题（方法一：中线向量形式） PAGEREF _Tc6099 \h 2
\l "_Tc23324" 高频考点二：中线长问题（中线分第三条边所成两角互余） PAGEREF _Tc23324 \h 4
\l "_Tc28788" 高频考点三：角平分线问题（等面积法（核心方法）） PAGEREF _Tc28788 \h 5
\l "_Tc21252" 高频考点四：角平分线问题（角平分线分第三条边所成两角互余） PAGEREF _Tc21252 \h 7
第一部分：基础知识
1、中线：
在中，设是的中点角,,所对的边分别为，，
1.1向量形式：（记忆核心技巧，结论不用记忆）
核心技巧：
结论：
1.2角形式：
核心技巧：
在中有：;
在中有：;
2、角平分线
如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，，
2.1内角平分线定理：
核心技巧：或
2.2等面积法
核心技巧
2.3角形式：
核心技巧：
在中有：;
在中有：;
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：中线长问题（方法一：中线向量形式）
典型例题
例题1．（23-24高二下·辽宁本溪·开学考试）在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题（其中S为的面积）.
问题：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______.
(1)求角B的大小；
(2)AC边上的中线，求的面积的最大值.
例题2．（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且．
(1)求；
(2)若的面积为；
①已知E为BC的中点，求底边BC上中线AE长的最小值；
②求内角A的角平分线AD长的最大值．
例题3．（23-24高一下·安徽合肥·阶段练习）在中，内角的对边分别是，且， .
(1)求角B；
(2)若，求边上的角平分线长；
(3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围.
练透核心考点
1．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知的内角的对边分别为，且满足．
(1)求角的大小；
(2)已知是的中线，求的最小值．
例题3．（23-24高一下·重庆渝中·阶段练习）在中，角所对的边分别为，已知，若为边上的中线，且，则的面积等于 ．
练透核心考点
1．（23-24高一下·河北·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则中线AD的长为 .
2．（23-24高一下·福建三明·期中）的内角的对边分别是．已知，，边上的中线长度为，则
3．（23-24高一·全国·课时练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，，则BC边上的中线AD长度的最大值为 ．
高频考点三：角平分线问题（等面积法（核心方法））
典型例题
例题1．（23-24高一下·重庆·阶段练习）在中，，，，的角平分线交于D，则
例题2．（2024·四川广安·二模）已知的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角；
(2)若是的角平分线，，的面积为，求的值.
例题3．（2024·山东淄博·一模）如图，在△ABC中，的角平分线交 BC于P点，.
(1)若，求△ABC的面积;
(2)若，求BP的长.
练透核心考点
1．（2024·福建龙岩·一模）在中，为上一点，为的角平分线，则 .
2．（2024·四川遂宁·二模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角C；
(2)若CD是的角平分线，，的面积为，求c的值．
3．（23-24高二上·贵州六盘水·期末）在中，角的对边分别是，且．
(1)求；
(2)若的角平分线交于点，且，求的周长．
高频考点四：角平分线问题（角平分线分第三条边所成两角互余）
典型例题
例题1．（23-24高二上·云南玉溪·期中）已知的三个内角所对的边分别为，满足，且．
(1)求；
(2)若点在边上，，且满足 ，求边长；
请在以下三个条件：
①为的一条中线；②为的一条角平分线；③为的一条高线；
其中任选一个，补充在上面的横线中，并进行解答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
练透核心考点
1．（23-24高二上·辽宁·阶段练习）在中， ，，， 的角平分线交于，则 ．
2．（2023高三上·全国·专题练习）在中，记角、、所对的边分别为、、，已知，中线交于，角平分线交于，且，，求的面积．
第07讲 拓展二：三角形中线，角平分线方法技巧篇
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc18718" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc18718 \h 1
\l "_Tc25473" 第二部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc25473 \h 2
\l "_Tc6099" 高频考点一：中线长问题（方法一：中线向量形式） PAGEREF _Tc6099 \h 2
\l "_Tc23324" 高频考点二：中线长问题（中线分第三条边所成两角互余） PAGEREF _Tc23324 \h 8
\l "_Tc28788" 高频考点三：角平分线问题（等面积法（核心方法）） PAGEREF _Tc28788 \h 13
\l "_Tc21252" 高频考点四：角平分线问题（角平分线分第三条边所成两角互余） PAGEREF _Tc21252 \h 17
第一部分：基础知识
1、中线：
在中，设是的中点角,,所对的边分别为，，
1.1向量形式：（记忆核心技巧，结论不用记忆）
核心技巧：
结论：
1.2角形式：
核心技巧：
在中有：;
在中有：;
2、角平分线
如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，，
2.1内角平分线定理：
核心技巧：或
2.2等面积法
核心技巧
2.3角形式：
核心技巧：
在中有：;
在中有：;
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：中线长问题（方法一：中线向量形式）
典型例题
例题1．（23-24高二下·辽宁本溪·开学考试）在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题（其中S为的面积）.
问题：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______.
(1)求角B的大小；
(2)AC边上的中线，求的面积的最大值.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）若选①：根据正弦定理，化简得到，再由余弦定理得到，即可求解；
若选②：由三角形的面积公式和向量的数量积的运算公式，化简得到，得到，即可求解；
若选③：由正弦定理化简可得到，求得，即可求解.
（2）根据向量的运算法则和基本不等式，化简得到，结合面积公式，即可求解.
【详解】（1）解：若选①：在中，因为，
由，
可得，
由正弦定理得，即，
则，
又因为，故.
若选②：由，可得，所以，
因为，所以.
若选③：因为，
正弦定理得，
又因为，所以，
即，
因为，，所以，
又因为，可得；
综上所述：选择①②③，都有.
（2）解：由，可得，
所以，可得，当且仅当时取等号，
则，当且仅当时取等号，
则的面积的最大值为.
例题2．（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且．
(1)求；
(2)若的面积为；
①已知E为BC的中点，求底边BC上中线AE长的最小值；
②求内角A的角平分线AD长的最大值．
【答案】(1)
(2)长的最小值为，的最大值
【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到，进而求出；
（2）由面积公式求出，进而根据向量的模长公式结合不等式即可求解的最值，根据三角形面积公式，结合等面积法，利用基本不等式可求解的最值.
【详解】（1）由正弦定理，得，即，
故，
因为，所以，
所以；
（2）①由（1）知，
因为的面积为，所以，解得，
由于，所以
，
当且仅当时，等号取得到，所以；
②因为为角的角平分线，所以，
由于，
所以，
由于,所以，
由于，
又，所以
由于，当且仅当时，等号取得到，
故，故，
例题3．（23-24高一下·安徽合肥·阶段练习）在中，内角的对边分别是，且， .
(1)求角B；
(2)若，求边上的角平分线长；
(3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据正弦定理结合两角和的正弦公式化简求值即可；
（2）根据余弦定理及已知得，然后利用面积分割法列方程求解即可；
（3）利用向量加法运算及数量积模的运算得，利用正弦定理得，然后利用正弦函数的性质求解范围即可.
【详解】（1）由及正弦定理得，
即，
即，
所以，因为，所以.
因为，所以.
（2）由及余弦定理得，又，所以，
由得，
所以，所以，解得.
（3）因为的的中点，所以，
则，
由正弦定理得
，
因为为锐角三角形，所以，所以，
所以，所以，所以，
所以，所以，
即边上的中线的取值范围为.
练透核心考点
1．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知的内角的对边分别为，且满足．
(1)求角的大小；
(2)已知是的中线，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）由题设等式利用正弦定理化角为边，结合和余弦定理即可求得；
（2）利用三角形的中线表达式得到，两边平方后将其转化为边长和夹角的关系式，再利用重要不等式求得的最大值，最后借助于不等式性质即得.
【详解】（1）因，由正弦定理，，
由余弦定理，，又代入化简得，因，则
（2）因是的中线，故,两边平方可得：，
即，由（1）知，则，
又因，即，当且仅当时等号成立，
此时，即.
故当时，的最小值为.
2．（23-24高三上·浙江杭州·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，角C为锐角，已知的面积为.
(1)求c；
(2)若为上的中线，求的余弦值.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）由三角形的面积公式和余弦定理求解即可；
（2）因为为上的中线，所以，对其两边同时平方可求出，再由余弦定理求解即可.
【详解】（1）由的面积为可得：，
因为，，解得：得，
由角为锐角得，
故，解得.
（2）因为为上的中线，所以，
所以，
，
解得：.
故.
3．（23-24高二上·湖南长沙·期末）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
(1)求B；
(2)若的中线长为，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换计算即可；
（2）利用平面向量知，利用数量积与模关系及基本不等式可得，再根据面积公式求最值即可.
【详解】（1）在中，由正弦定理得：，
而，
所以，
化简得，
因为，则，，
即，所以，
又因为，所以，即.
（2）由是的中线，可知，
所以，即，
可得，即，
当且仅当时，等号成立，
所以三角形面积，
即的面积的最大值为.
高频考点二：中线长问题（中线分第三条边所成两角互余）
典型例题
例题1．（23-24高一下·辽宁沈阳·期中）在中，内角的对边分别为，且边上的中线，则（ ）
A．3B．C．1或2D．2或3
【答案】C
【分析】由正弦定理及可得，在中由余弦定理列式可得，在中由余弦定理可得，综上即可求解c
【详解】由得，∴，∵，∴，即.
在中，由余弦定理可得，整理得，
在中，，∴，即 （*），
当时，（*）式可解得，；
当时，（*）式可解得，；
故选：C
例题2．（23-24高三·河南郑州·阶段练习）在等腰中，AB＝AC，若AC边上的中线BD的长为3，则的面积的最大值是（ ）
A．6B．12C．18D．24
【答案】A
【分析】利用余弦定理得到边长的关系式，然后结合勾股定理和基本不等式即可求得面积的最大值．
【详解】设，，
由于，
在和中应用余弦定理可得：
，整理可得：，
结合勾股定理可得的面积：
，
当且仅当时等号成立．
则面积的最大值为6．
故选：A.
例题3．（23-24高一下·重庆渝中·阶段练习）在中，角所对的边分别为，已知，若为边上的中线，且，则的面积等于 ．
【答案】/
【分析】将条件式，利用正弦定理角化边，再根据余弦定理求得，以为邻边做平行四边形，在中，利用余弦定理求得，所以，得解；方法二，设，在中由余弦定理得，又，由余弦定理可得，解得，后面同解法一.
【详解】由，得，
，
注意，得，得，
记，由，知，
如图，以为邻边做平行四边形，
在中：，即，
得，所以，
故答案为：．
法（2）：设，在中：①
因为，则，
由余弦定理可得，得②
联立①②知：，即，解得，后面同上．
故答案为：
练透核心考点
1．（23-24高一下·河北·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则中线AD的长为 .
【答案】
【分析】在和中利用余弦定理建立方程求解即可.
【详解】如图，由余弦定理得，
，又，
两式相加得，即，化简得，
所以.
故答案为：
2．（23-24高一下·福建三明·期中）的内角的对边分别是．已知，，边上的中线长度为，则
【答案】
【分析】由已知条件结合余弦定理可得用，又由诱导公式得，从而再次利用余弦定理化简等式得到，由此得解.
【详解】记的中点为，连接，如图，
因为，，
所以在中，，则，
又因为，边上的中线长度为，即，
故由余弦定理得，整理可得，
所以.
故答案为：.
3．（23-24高一·全国·课时练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，，则BC边上的中线AD长度的最大值为 ．
【答案】
【分析】利用正弦定理将条件进行变形，结合三角形内角之和为π，可求得csA，设AD＝x，由cs∠ADB+cs∠ADC＝0，由余弦定理建立方程可得2x2+2＝b2+c2，，利用基本不等式可得b2+c2的取值范围，从而求得x的取值范围．
【详解】因为，
由正弦定理可知：，
又因为A+B+C＝π，所以sinC＝sin(A+B)＝sinAcsB+csAsinB，
则2csAsinB＝sinB，又由于B∈(0,π)，所以sinB＞0，
所以csA，因为A∈(0,π)，所以，
设AD＝x，又DB＝DC＝1，
在△ADB，△ADC中分别有：cs∠ADB，cs∠ADC，
又由于cs∠ADB+cs∠ADC＝0，所以2x2+2＝b2+c2，
在△ABC中，，即，
因为b2+c2≥2bc，所以，从而b2+c2≤8，
所以2x2+2≤8，解之得，（当且仅当b＝c时等号成立），
所以BC边上的中线AD长度的最大值为，
故答案为：．
高频考点三：角平分线问题（等面积法（核心方法））
典型例题
例题1．（23-24高一下·重庆·阶段练习）在中，，，，的角平分线交于D，则
【答案】
【分析】根据余弦定理求得的长，再利用建立的等式，即可求得答案.
【详解】在中,由余弦定理得，
则，即，
解得，（负值舍），
而平分，即，
又，故，
则.
故答案为：
例题2．（2024·四川广安·二模）已知的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角；
(2)若是的角平分线，，的面积为，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，结合三角恒等变换求解角度即可.
（2）利用三角形的面积公式和余弦定理列出方程，求解即可.
【详解】（1）由及正弦定理得，，
所以，因为，
所以，又，所以
（2）由，得，
又，
所以，
由余弦定理得
所以.
例题3．（2024·山东淄博·一模）如图，在△ABC中，的角平分线交 BC于P点，.
(1)若，求△ABC的面积;
(2)若，求BP的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）利用余弦定理和三角形面积公式即可求出答案；
（2）首先利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出，再根据三角恒变换求出，最后再根据正弦定理即可.
【详解】（1）中，设角A、B、C的对边分别为、、，
在中由余弦定理得，
即①
因，即，
整理得②
①②解得，
所以.
（2）因为，
所以在中由余弦定理可得，
所以
解得，
由正弦定理得，
即，解得，
所以，
中由正弦定理得，则，
解得，
所以.
练透核心考点
1．（2024·福建龙岩·一模）在中，为上一点，为的角平分线，则 .
【答案】
【分析】
根据给定条件，利用三角形面积公式列式计算即得.
【详解】
由得，，
解得.
故答案为：
2．（2024·四川遂宁·二模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角C；
(2)若CD是的角平分线，，的面积为，求c的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化角为边，结合和差角公式以及弦切互化可得，即可求解，
（2）由，可得，根据等面积法可求，由余弦定理即可求的值．
【详解】（1）由可得
故，进而，
由于所以
（2）由面积公式得，解得，
，，
即，，
又，，
．
3．（23-24高二上·贵州六盘水·期末）在中，角的对边分别是，且．
(1)求；
(2)若的角平分线交于点，且，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，利用正弦定理边转角，得到，再利用辅助角公式，得到，即可求出结果；
（2）根据条件，利用，得到，且有，联立解出，即可求出结果.
【详解】（1）在中，，
由正弦定理可化简得，
又，
所以，
化简得到，
又在中，，所以，得到，
即，所以，即，
又，所以，得，即
（2）由（1）知，又的角平分线交于点，且，
所以，得到
整理得到①，
又在中，，得到②，
联立①②解得
所以的周长为.
所以；
若选择②：若为的角平分线，则，
在中，由余弦定理得，即，
可知，即，可知，，
所以；
若选择③：若为的高线，则，
则，即，则，
可知，可知，,
所以．
练透核心考点
1．（23-24高二上·辽宁·阶段练习）在中， ，，， 的角平分线交于，则 ．
【答案】
【分析】由余弦定理求得，然后由角平分线定理求得，，再由余弦定理利用，求得．
【详解】中，由余弦定理得，
解得（舍去），
是角平分线，则，
所以，，
又由余弦定理得：
，
，
而，
因此，
，
，．
故答案为：．
2．（2023高三上·全国·专题练习）在中，记角、、所对的边分别为、、，已知，中线交于，角平分线交于，且，，求的面积．
【答案】
【分析】由三角恒等变换化简可得出，利用角平分线定理可得出，结合可得出，，然后在、中，应用余弦定理可得出，结合已知条件可得出的值，分析可知，再利用三角形的面积公式可求得的面积.
【详解】解：因为，
所以，，
即，由正弦定理可得，
因为的角平分线交于，则，所以，．
又因为，，由可得，
即，则，．
在中，由余弦定理得，①
在中，由余弦定理得．②
因为，
则①②可得，，即，
即，即，解得，
此时满足，故，所以，．
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc18718" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc18718 \h 1
\l "_Tc25473" 第二部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc25473 \h 2
\l "_Tc6099" 高频考点一：中线长问题（方法一：中线向量形式） PAGEREF _Tc6099 \h 2
\l "_Tc23324" 高频考点二：中线长问题（中线分第三条边所成两角互余） PAGEREF _Tc23324 \h 4
\l "_Tc28788" 高频考点三：角平分线问题（等面积法（核心方法）） PAGEREF _Tc28788 \h 5
\l "_Tc21252" 高频考点四：角平分线问题（角平分线分第三条边所成两角互余） PAGEREF _Tc21252 \h 7
第一部分：基础知识
1、中线：
在中，设是的中点角,,所对的边分别为，，
1.1向量形式：（记忆核心技巧，结论不用记忆）
核心技巧：
结论：
1.2角形式：
核心技巧：
在中有：;
在中有：;
2、角平分线
如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，，
2.1内角平分线定理：
核心技巧：或
2.2等面积法
核心技巧
2.3角形式：
核心技巧：
在中有：;
在中有：;
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：中线长问题（方法一：中线向量形式）
典型例题
例题1．（23-24高二下·辽宁本溪·开学考试）在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题（其中S为的面积）.
问题：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______.
(1)求角B的大小；
(2)AC边上的中线，求的面积的最大值.
例题2．（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且．
(1)求；
(2)若的面积为；
①已知E为BC的中点，求底边BC上中线AE长的最小值；
②求内角A的角平分线AD长的最大值．
例题3．（23-24高一下·安徽合肥·阶段练习）在中，内角的对边分别是，且， .
(1)求角B；
(2)若，求边上的角平分线长；
(3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围.
练透核心考点
1．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知的内角的对边分别为，且满足．
(1)求角的大小；
(2)已知是的中线，求的最小值．
例题3．（23-24高一下·重庆渝中·阶段练习）在中，角所对的边分别为，已知，若为边上的中线，且，则的面积等于 ．
练透核心考点
1．（23-24高一下·河北·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则中线AD的长为 .
2．（23-24高一下·福建三明·期中）的内角的对边分别是．已知，，边上的中线长度为，则
3．（23-24高一·全国·课时练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，，则BC边上的中线AD长度的最大值为 ．
高频考点三：角平分线问题（等面积法（核心方法））
典型例题
例题1．（23-24高一下·重庆·阶段练习）在中，，，，的角平分线交于D，则
例题2．（2024·四川广安·二模）已知的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角；
(2)若是的角平分线，，的面积为，求的值.
例题3．（2024·山东淄博·一模）如图，在△ABC中，的角平分线交 BC于P点，.
(1)若，求△ABC的面积;
(2)若，求BP的长.
练透核心考点
1．（2024·福建龙岩·一模）在中，为上一点，为的角平分线，则 .
2．（2024·四川遂宁·二模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角C；
(2)若CD是的角平分线，，的面积为，求c的值．
3．（23-24高二上·贵州六盘水·期末）在中，角的对边分别是，且．
(1)求；
(2)若的角平分线交于点，且，求的周长．
高频考点四：角平分线问题（角平分线分第三条边所成两角互余）
典型例题
例题1．（23-24高二上·云南玉溪·期中）已知的三个内角所对的边分别为，满足，且．
(1)求；
(2)若点在边上，，且满足 ，求边长；
请在以下三个条件：
①为的一条中线；②为的一条角平分线；③为的一条高线；
其中任选一个，补充在上面的横线中，并进行解答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
练透核心考点
1．（23-24高二上·辽宁·阶段练习）在中， ，，， 的角平分线交于，则 ．
2．（2023高三上·全国·专题练习）在中，记角、、所对的边分别为、、，已知，中线交于，角平分线交于，且，，求的面积．
第07讲 拓展二：三角形中线，角平分线方法技巧篇
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc18718" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc18718 \h 1
\l "_Tc25473" 第二部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc25473 \h 2
\l "_Tc6099" 高频考点一：中线长问题（方法一：中线向量形式） PAGEREF _Tc6099 \h 2
\l "_Tc23324" 高频考点二：中线长问题（中线分第三条边所成两角互余） PAGEREF _Tc23324 \h 8
\l "_Tc28788" 高频考点三：角平分线问题（等面积法（核心方法）） PAGEREF _Tc28788 \h 13
\l "_Tc21252" 高频考点四：角平分线问题（角平分线分第三条边所成两角互余） PAGEREF _Tc21252 \h 17
第一部分：基础知识
1、中线：
在中，设是的中点角,,所对的边分别为，，
1.1向量形式：（记忆核心技巧，结论不用记忆）
核心技巧：
结论：
1.2角形式：
核心技巧：
在中有：;
在中有：;
2、角平分线
如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，，
2.1内角平分线定理：
核心技巧：或
2.2等面积法
核心技巧
2.3角形式：
核心技巧：
在中有：;
在中有：;
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：中线长问题（方法一：中线向量形式）
典型例题
例题1．（23-24高二下·辽宁本溪·开学考试）在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题（其中S为的面积）.
问题：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______.
(1)求角B的大小；
(2)AC边上的中线，求的面积的最大值.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）若选①：根据正弦定理，化简得到，再由余弦定理得到，即可求解；
若选②：由三角形的面积公式和向量的数量积的运算公式，化简得到，得到，即可求解；
若选③：由正弦定理化简可得到，求得，即可求解.
（2）根据向量的运算法则和基本不等式，化简得到，结合面积公式，即可求解.
【详解】（1）解：若选①：在中，因为，
由，
可得，
由正弦定理得，即，
则，
又因为，故.
若选②：由，可得，所以，
因为，所以.
若选③：因为，
正弦定理得，
又因为，所以，
即，
因为，，所以，
又因为，可得；
综上所述：选择①②③，都有.
（2）解：由，可得，
所以，可得，当且仅当时取等号，
则，当且仅当时取等号，
则的面积的最大值为.
例题2．（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且．
(1)求；
(2)若的面积为；
①已知E为BC的中点，求底边BC上中线AE长的最小值；
②求内角A的角平分线AD长的最大值．
【答案】(1)
(2)长的最小值为，的最大值
【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到，进而求出；
（2）由面积公式求出，进而根据向量的模长公式结合不等式即可求解的最值，根据三角形面积公式，结合等面积法，利用基本不等式可求解的最值.
【详解】（1）由正弦定理，得，即，
故，
因为，所以，
所以；
（2）①由（1）知，
因为的面积为，所以，解得，
由于，所以
，
当且仅当时，等号取得到，所以；
②因为为角的角平分线，所以，
由于，
所以，
由于,所以，
由于，
又，所以
由于，当且仅当时，等号取得到，
故，故，
例题3．（23-24高一下·安徽合肥·阶段练习）在中，内角的对边分别是，且， .
(1)求角B；
(2)若，求边上的角平分线长；
(3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据正弦定理结合两角和的正弦公式化简求值即可；
（2）根据余弦定理及已知得，然后利用面积分割法列方程求解即可；
（3）利用向量加法运算及数量积模的运算得，利用正弦定理得，然后利用正弦函数的性质求解范围即可.
【详解】（1）由及正弦定理得，
即，
即，
所以，因为，所以.
因为，所以.
（2）由及余弦定理得，又，所以，
由得，
所以，所以，解得.
（3）因为的的中点，所以，
则，
由正弦定理得
，
因为为锐角三角形，所以，所以，
所以，所以，所以，
所以，所以，
即边上的中线的取值范围为.
练透核心考点
1．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知的内角的对边分别为，且满足．
(1)求角的大小；
(2)已知是的中线，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）由题设等式利用正弦定理化角为边，结合和余弦定理即可求得；
（2）利用三角形的中线表达式得到，两边平方后将其转化为边长和夹角的关系式，再利用重要不等式求得的最大值，最后借助于不等式性质即得.
【详解】（1）因，由正弦定理，，
由余弦定理，，又代入化简得，因，则
（2）因是的中线，故,两边平方可得：，
即，由（1）知，则，
又因，即，当且仅当时等号成立，
此时，即.
故当时，的最小值为.
2．（23-24高三上·浙江杭州·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，角C为锐角，已知的面积为.
(1)求c；
(2)若为上的中线，求的余弦值.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）由三角形的面积公式和余弦定理求解即可；
（2）因为为上的中线，所以，对其两边同时平方可求出，再由余弦定理求解即可.
【详解】（1）由的面积为可得：，
因为，，解得：得，
由角为锐角得，
故，解得.
（2）因为为上的中线，所以，
所以，
，
解得：.
故.
3．（23-24高二上·湖南长沙·期末）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
(1)求B；
(2)若的中线长为，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换计算即可；
（2）利用平面向量知，利用数量积与模关系及基本不等式可得，再根据面积公式求最值即可.
【详解】（1）在中，由正弦定理得：，
而，
所以，
化简得，
因为，则，，
即，所以，
又因为，所以，即.
（2）由是的中线，可知，
所以，即，
可得，即，
当且仅当时，等号成立，
所以三角形面积，
即的面积的最大值为.
高频考点二：中线长问题（中线分第三条边所成两角互余）
典型例题
例题1．（23-24高一下·辽宁沈阳·期中）在中，内角的对边分别为，且边上的中线，则（ ）
A．3B．C．1或2D．2或3
【答案】C
【分析】由正弦定理及可得，在中由余弦定理列式可得，在中由余弦定理可得，综上即可求解c
【详解】由得，∴，∵，∴，即.
在中，由余弦定理可得，整理得，
在中，，∴，即 （*），
当时，（*）式可解得，；
当时，（*）式可解得，；
故选：C
例题2．（23-24高三·河南郑州·阶段练习）在等腰中，AB＝AC，若AC边上的中线BD的长为3，则的面积的最大值是（ ）
A．6B．12C．18D．24
【答案】A
【分析】利用余弦定理得到边长的关系式，然后结合勾股定理和基本不等式即可求得面积的最大值．
【详解】设，，
由于，
在和中应用余弦定理可得：
，整理可得：，
结合勾股定理可得的面积：
，
当且仅当时等号成立．
则面积的最大值为6．
故选：A.
例题3．（23-24高一下·重庆渝中·阶段练习）在中，角所对的边分别为，已知，若为边上的中线，且，则的面积等于 ．
【答案】/
【分析】将条件式，利用正弦定理角化边，再根据余弦定理求得，以为邻边做平行四边形，在中，利用余弦定理求得，所以，得解；方法二，设，在中由余弦定理得，又，由余弦定理可得，解得，后面同解法一.
【详解】由，得，
，
注意，得，得，
记，由，知，
如图，以为邻边做平行四边形，
在中：，即，
得，所以，
故答案为：．
法（2）：设，在中：①
因为，则，
由余弦定理可得，得②
联立①②知：，即，解得，后面同上．
故答案为：
练透核心考点
1．（23-24高一下·河北·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则中线AD的长为 .
【答案】
【分析】在和中利用余弦定理建立方程求解即可.
【详解】如图，由余弦定理得，
，又，
两式相加得，即，化简得，
所以.
故答案为：
2．（23-24高一下·福建三明·期中）的内角的对边分别是．已知，，边上的中线长度为，则
【答案】
【分析】由已知条件结合余弦定理可得用，又由诱导公式得，从而再次利用余弦定理化简等式得到，由此得解.
【详解】记的中点为，连接，如图，
因为，，
所以在中，，则，
又因为，边上的中线长度为，即，
故由余弦定理得，整理可得，
所以.
故答案为：.
3．（23-24高一·全国·课时练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，，则BC边上的中线AD长度的最大值为 ．
【答案】
【分析】利用正弦定理将条件进行变形，结合三角形内角之和为π，可求得csA，设AD＝x，由cs∠ADB+cs∠ADC＝0，由余弦定理建立方程可得2x2+2＝b2+c2，，利用基本不等式可得b2+c2的取值范围，从而求得x的取值范围．
【详解】因为，
由正弦定理可知：，
又因为A+B+C＝π，所以sinC＝sin(A+B)＝sinAcsB+csAsinB，
则2csAsinB＝sinB，又由于B∈(0,π)，所以sinB＞0，
所以csA，因为A∈(0,π)，所以，
设AD＝x，又DB＝DC＝1，
在△ADB，△ADC中分别有：cs∠ADB，cs∠ADC，
又由于cs∠ADB+cs∠ADC＝0，所以2x2+2＝b2+c2，
在△ABC中，，即，
因为b2+c2≥2bc，所以，从而b2+c2≤8，
所以2x2+2≤8，解之得，（当且仅当b＝c时等号成立），
所以BC边上的中线AD长度的最大值为，
故答案为：．
高频考点三：角平分线问题（等面积法（核心方法））
典型例题
例题1．（23-24高一下·重庆·阶段练习）在中，，，，的角平分线交于D，则
【答案】
【分析】根据余弦定理求得的长，再利用建立的等式，即可求得答案.
【详解】在中,由余弦定理得，
则，即，
解得，（负值舍），
而平分，即，
又，故，
则.
故答案为：
例题2．（2024·四川广安·二模）已知的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角；
(2)若是的角平分线，，的面积为，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，结合三角恒等变换求解角度即可.
（2）利用三角形的面积公式和余弦定理列出方程，求解即可.
【详解】（1）由及正弦定理得，，
所以，因为，
所以，又，所以
（2）由，得，
又，
所以，
由余弦定理得
所以.
例题3．（2024·山东淄博·一模）如图，在△ABC中，的角平分线交 BC于P点，.
(1)若，求△ABC的面积;
(2)若，求BP的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）利用余弦定理和三角形面积公式即可求出答案；
（2）首先利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出，再根据三角恒变换求出，最后再根据正弦定理即可.
【详解】（1）中，设角A、B、C的对边分别为、、，
在中由余弦定理得，
即①
因，即，
整理得②
①②解得，
所以.
（2）因为，
所以在中由余弦定理可得，
所以
解得，
由正弦定理得，
即，解得，
所以，
中由正弦定理得，则，
解得，
所以.
练透核心考点
1．（2024·福建龙岩·一模）在中，为上一点，为的角平分线，则 .
【答案】
【分析】
根据给定条件，利用三角形面积公式列式计算即得.
【详解】
由得，，
解得.
故答案为：
2．（2024·四川遂宁·二模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角C；
(2)若CD是的角平分线，，的面积为，求c的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化角为边，结合和差角公式以及弦切互化可得，即可求解，
（2）由，可得，根据等面积法可求，由余弦定理即可求的值．
【详解】（1）由可得
故，进而，
由于所以
（2）由面积公式得，解得，
，，
即，，
又，，
．
3．（23-24高二上·贵州六盘水·期末）在中，角的对边分别是，且．
(1)求；
(2)若的角平分线交于点，且，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，利用正弦定理边转角，得到，再利用辅助角公式，得到，即可求出结果；
（2）根据条件，利用，得到，且有，联立解出，即可求出结果.
【详解】（1）在中，，
由正弦定理可化简得，
又，
所以，
化简得到，
又在中，，所以，得到，
即，所以，即，
又，所以，得，即
（2）由（1）知，又的角平分线交于点，且，
所以，得到
整理得到①，
又在中，，得到②，
联立①②解得
所以的周长为.
所以；
若选择②：若为的角平分线，则，
在中，由余弦定理得，即，
可知，即，可知，，
所以；
若选择③：若为的高线，则，
则，即，则，
可知，可知，,
所以．
练透核心考点
1．（23-24高二上·辽宁·阶段练习）在中， ，，， 的角平分线交于，则 ．
【答案】
【分析】由余弦定理求得，然后由角平分线定理求得，，再由余弦定理利用，求得．
【详解】中，由余弦定理得，
解得（舍去），
是角平分线，则，
所以，，
又由余弦定理得：
，
，
而，
因此，
，
，．
故答案为：．
2．（2023高三上·全国·专题练习）在中，记角、、所对的边分别为、、，已知，中线交于，角平分线交于，且，，求的面积．
【答案】
【分析】由三角恒等变换化简可得出，利用角平分线定理可得出，结合可得出，，然后在、中，应用余弦定理可得出，结合已知条件可得出的值，分析可知，再利用三角形的面积公式可求得的面积.
【详解】解：因为，
所以，，
即，由正弦定理可得，
因为的角平分线交于，则，所以，．
又因为，，由可得，
即，则，．
在中，由余弦定理得，①
在中，由余弦定理得．②
因为，
则①②可得，，即，
即，即，解得，
此时满足，故，所以，．
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