2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第07讲：第四章三角函数章节总结(精讲)(学生版+解析)

这是一份2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第07讲：第四章三角函数章节总结(精讲)(学生版+解析)，共120页。学案主要包含了考查意图等内容，欢迎下载使用。

TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc8527" 第一部分：典型例题讲解 PAGEREF _Tc8527 \h 1
\l "_Tc2475" 题型一：任意角 PAGEREF _Tc2475 \h 1
\l "_Tc32461" 题型二：弧度制 PAGEREF _Tc32461 \h 3
\l "_Tc10424" 题型三：任意角的三角函数 PAGEREF _Tc10424 \h 5
\l "_Tc4909" 题型四：同角三角函数的基本关系 PAGEREF _Tc4909 \h 5
\l "_Tc20124" 题型五：诱导公式的计算 PAGEREF _Tc20124 \h 7
\l "_Tc20888" 题型六：三角函数的奇偶性 PAGEREF _Tc20888 \h 9
\l "_Tc30655" 题型七：三角函数的周期性 PAGEREF _Tc30655 \h 9
\l "_Tc19241" 题型八：三角函数的对称性 PAGEREF _Tc19241 \h 10
\l "_Tc17853" 题型九：三角函数的单调性 PAGEREF _Tc17853 \h 11
\l "_Tc25654" 题型十：三角函数中与有关的计算 PAGEREF _Tc25654 \h 12
\l "_Tc22554" 题型十一：五点法作图 PAGEREF _Tc22554 \h 13
\l "_Tc24755" 题型十二：根据图象求三角函数解析式 PAGEREF _Tc24755 \h 15
\l "_Tc25486" 题型十三：函数图象的变换 PAGEREF _Tc25486 \h 17
\l "_Tc26813" 题型十四：和差倍角计算 PAGEREF _Tc26813 \h 18
\l "_Tc17630" 题型十五：拼凑角问题 PAGEREF _Tc17630 \h 19
\l "_Tc28319" 题型十六：三角函数综合（单调性及根据单调性求参数） PAGEREF _Tc28319 \h 20
\l "_Tc29535" 题型十七：三角函数综合（值域，最值） PAGEREF _Tc29535 \h 22
\l "_Tc27078" 题型十八：三角函数综合（恒成立，有解问题） PAGEREF _Tc27078 \h 23
\l "_Tc6284" 题型十九：三角函数综合（零点问题） PAGEREF _Tc6284 \h 25
\l "_Tc13947" 题型二十：三角函数模型 PAGEREF _Tc13947 \h 27
\l "_Tc32090" 第二部分：新定义题 PAGEREF _Tc32090 \h 30
第一部分：典型例题讲解
题型一：任意角
1．（多选）（22-23高一上·湖北武汉·期末）下列说法正确的是（ ）
A．角终边在第二象限或第四象限的充要条件是
B．圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角等于
C．经过小时，时针转了
D．若角和角的终边关于对称，则有
2．（多选）（2023·吉林·二模）如图，A，B是在单位圆上运动的两个质点.初始时刻，质点A在（1，0）处，质点B在第一象限，且.质点A以的角速度按顺时针方向运动，质点B同时以的角速度按逆时针方向运动，则（ ）
A．经过1后，扇形AOB的面积为
B．经过2后，劣弧的长为
C．经过6后，质点B的坐标为
D．经过后，质点A，B在单位圆上第一次相遇
3．（2023·江苏·二模）在平面直角坐标系中，已知点，将线段绕原点顺时针旋转得到线段，则点B的横坐标为 .
4．（23-24高一上·福建莆田·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，动点、从点出发在单位圆上运动，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，则、两点在第1804次相遇时，点的坐标是 .
题型二：弧度制
1．（多选）（2023高三·全国·专题练习）如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B 的坐标为(1，0)，∠BOA＝60°，质点A 以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B 以2 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则（ ）
A．经过1 s后，∠BOA的弧度数为＋3
B．经过 s后，扇形AOB的弧长为
C．经过s后，扇形AOB的面积为
D．经过 s后，A，B在单位圆上第一次相遇
2．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）如图，长为2，宽为1的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第三面后被一小木块挡住，使木块底与桌面成角，则点走过的路程是 .
3．（22-23高一·全国·课堂例题）如图，设扇形的圆心角，半径为，弧长为，扇形面积记为．

(1)用与表示扇形的面积；
(2)用与表示扇形的面积．
4．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）如图，圆心角为的扇形的半径为2，点是上一点，作这个扇形的内接矩形．设，．
(1)若，求矩形的面积；
(2)用表示矩形的面积，并求出矩形面积的最大值．
题型三：任意角的三角函数
1．（2024·全国·模拟预测）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的正半轴重合，点在角的终边上，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）已知角终边上点坐标为，则（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的坐标为 .
4．（23-24高一上·四川攀枝花·阶段练习）已知角的终边经过点，则 ．
5．（23-24高一下·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点.
(1)求、、的值；
(2)设，角的终边与角的终边关于轴对称，求的值.
题型四：同角三角函数的基本关系
1．（2024·山东泰安·一模）若，则（ ）
A．B．C．2D．
2．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知，则 .
3．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）（1）已知角终边上一点，求的值；
（2）已知，求的值.
4．（23-24高一下·云南·阶段练习）已知是的内角，且.
(1)求的值；
(2)求的值.
5．（23-24高一下·广东江门·阶段练习）（1）已知、都是锐角，若，，求的值；
（2）已知，，求的值．
6．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）（1）已知是第三象限角，且
①求的值；
②求的值．
（2）化简：．
题型五：诱导公式的计算
1．（2024高三·全国·专题练习）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）解答下列问题：
(1)计算的值；
(2)已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边在直线上，求的值．
3．（22-23高一下·江苏苏州·开学考试）（1）已知，求的值．
（2）已知是关于的方程的两个实根，求的值．
4．（22-23高一下·上海松江·阶段练习）已知
(1)求
(2)化简并求值：
5．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）如图所示，以轴非负半轴为始边作角，它的终边与单位圆相交于点，已知点坐标为．
(1)求，的值；
(2)求的值．
题型六：三角函数的奇偶性
1．（2024·河南·模拟预测）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，若函数的图象关于原点对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一下·辽宁阜新·阶段练习）已知函数是奇函数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）将函数的图像整体向右平移个单位长度后，得到的函数图像对应一个偶函数，则 ．
4．（2022高三·全国·专题练习）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若具有奇偶性，则的最小值为 ．
5．（2023高一下·海南·竞赛），且则 .
题型七：三角函数的周期性
1．（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，且函数在上单调递增，则函数的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）以下函数中最小正周期为的个数是（ ）

A．1B．2C．3D．4
3．（多选）（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知下列函数中，最小正周期为的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（多选）（23-24高一上·宁夏银川·期末）在下列函数中，最小正周期为的偶函数为（ ）
A．B．
C．D．
5．（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）已知函数，那么函数最小正周期为 ；对称轴方程为 .
题型八：三角函数的对称性
1．（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）已知，在上单调递减，为的一个对称轴，为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．1
2．（23-24高二下·湖南衡阳·阶段练习）已知函数图象的一个对称中心为，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
3．（22-23高一下·湖北荆州·期中）已知函数的图象关于点对称，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·全国·模拟预测）函数在上单调递增，且满足，，则 ．
5．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知函数的对称中心是，则 ．
题型九：三角函数的单调性
1．（23-24高一下·河南驻马店·阶段练习）函数和在下列哪个区间上都是单调递减的（ ）
A．B．C．D．
2．（2024高一下·上海·专题练习）函数的单调递减区间是 ．
3．（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知函数．
(1)求函数的解析式，并求其图象的对称轴方程；
(2)求函数在上的单调递增区间．
4．（23-24高一下·广东梅州·阶段练习）已知函数在区间上的最小值为3．
(1)求常数m的值；
(2)求函数单调递减区间．
5．（23-24高一下·北京·阶段练习）已知函数．
(1)求的值；
(2)求函数的单调递减区间．
题型十：三角函数中与有关的计算
1．（2024·全国·模拟预测）已知将函数（）的图象仅向左平移个单位长度和仅向右平移个单位长度都能得到同一个函数的图象，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·贵州贵阳·一模）将函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的倍，得到函数的图像.若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·四川成都·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图像，且函数是偶函数，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若在上单调递增，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
5．（23-24高三下·青海西宁·开学考试）将函数的图象先向左平移个单位长度得到函数的图象，再将图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若在区间上没有零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022高三上·河南·专题练习）已知函数，，若将的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数在区间内没有极大值点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型十一：五点法作图
1．（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）已知函数.
(1)填写下表，用“五点法”画出函数在一个周期上的图象；
(2)解不等式.
2．（23-24高一下·广东珠海·阶段练习）已知函数.

(1)求的最小正周期；
(2)在给定的坐标系中用五点法作出函数的简图.
3．（2024高一·全国·专题练习）已知函数．用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数在上的大致图象.

4．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）已知函数.
(1)求的最大值及取得最大值时对应的的取值集合；
(2)用“五点法”画出在上的图象.
题型十二：根据图象求三角函数解析式
1．（23-24高一下·广东韶关·阶段练习）函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ）

A．B．
C．D．
2．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）函数的部分图像如图所示，把函数的图像向右平移得到，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·天津·一模）已知函数（其中）的部分图象如图所示，有以下结论：
① ②函数为偶函数
③ ④在上单调递增
所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③④C．③④D．①④
4．（23-24高三下·山东济宁·开学考试）函数（其中）的部分图象如图所示，为了得到函数的图象，则只需将的图象（ ）

A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
5．（23-24高一上·云南大理·期末）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点向右平移个单位，得到函数的图象，则函数的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
题型十三：函数图象的变换
1．（23-24高三上·广东湛江·期末）已知函数，要得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度
2．（2024·全国·模拟预测）将函数的图象向右平移（）个单位长度，得到函数的图象，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2020高三·全国·专题练习）将函数的图象上各点向右平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图象的函数解析式是（ ）.
A．B．
C．D．
4．（多选）（2023·安徽安庆·三模）函数（其中）的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A．函数的最小正周期是
B．
C．为了得到的图像，只需将的图像向左平移个单位长度
D．为了得到的图像，只需将的图像向左平移个单位长度
5．（多选）（2023·河北·模拟预测）把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），最后把所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的解析式可以为（ ）
A．B．
C．D．
6．（多选）（22-23高一下·四川达州·阶段练习）下列能产生的图象的变换是（ ）
A．将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的
B．将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的
C．将函数的图象沿轴向左平移3个单位；
D．将函数的图象沿轴向右平移3个单位．
题型十四：和差倍角计算
1．（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）式子（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·重庆·模拟预测）若，且，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（多选）（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）下列式子化简正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2024高一下·江苏·专题练习）求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
题型十五：拼凑角问题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知tan α＝，tan β＝－，则tan (2α＋β)的值为（ ）
A．－B．－
C．1D．
2．（23-24高三下·陕西渭南·开学考试）已知角满足，则（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三下·河北保定·开学考试）已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·河北沧州·模拟预测）已知，则 ．
5．（2024·云南昆明·模拟预测）已知，则 .
题型十六：三角函数综合（单调性及根据单调性求参数）
1．（23-24高三上·北京朝阳·期末）已知函数的图象过原点.
(1)求的值及的最小正周期；
(2)若函数在区间上单调递增，求正数的最大值.
2．（22-23高一上·广西百色·期末）已知函数的部分图象如图所示.

(1)求的解析式；
(2)若在上单调递增，求的取值范围.
3．（22-23高一下·北京昌平·期末）已知函数.
(1)求的最小正周期；
(2)求在区间上的最大值及相应的的取值
(3)若函数在上是增函数，求的最小值.
4．（22-23高一下·北京·期中）已知函数.在下列条件①、条件②、条件③这三个条件中，选择可以确定ω和m值的两个条件作为已知. 条件①：＝2；条件②：最大值与最小值之和为0；条件③：最小正周期为π.
(1)求的值；
(2)若函数在区间［0，a］上是增函数，求实数a的最大值
5．（23-24高一上·山东淄博·期末）已知函数（），满足函数是奇函数．
(1)求函数，的值域；
(2)函数在区间和上均单调递增，求实数a的取值范围．
（19-20高一·全国·课时练习）是否存在实数a，且，使得函数在区间上单调递增？若存在，求出a的一个值；若不存在，请说明理由.
题型十七：三角函数综合（值域，最值）
1．（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）已知函数.
(1)求函数在的值域；
(2)将函数的图象上的每个点的横坐标都变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有最值，求的最大值.
2．（23-24高一上·浙江·期末）设函数
(1)求函数的对称中心；
(2)若函数在区间上有最小值，求实数m的最小值．
3．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)设函数，对任意的恒成立，求的取值范围.
4．（23-24高一上·湖南株洲·期末）已知函数，且．
(1)求的定义域与最小正周期；
(2)当时，求的值域
题型十八：三角函数综合（恒成立，有解问题）
1．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）函数（其中）的部分图像如图所示，把函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像.

(1)当时，求函数的解析式；
(2)对于，是否总存在唯一的实数，使得成立？若存在，求出实数的值或取值范围；若不存在，说明理由.
2．（23-24高一下·江西九江·阶段练习）设函数．
(1)若对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若关于x的方程在有实数解，求实数a的取值范围．
3．（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）已知函数（，且）为偶函数．
(1)求的值；
(2)若，使成立，求实数的取值范围．
4．（23-24高一下·河南三门峡·阶段练习）已知向量，，设函数．
(1)求的单调增区间；
(2)若对任意，恒成立，求m的取值范围．
5．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知函数．
(1)当时，求函数的单调递增区间；
(2)对于为任意实数，关于的方程恰好有两个不等的实根，求实数的值；
(3)在（2）的条件下，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
题型十九：三角函数综合（零点问题）
1．（23-24高一下·辽宁鞍山·阶段练习）已知函数（，），函数图象关于对称，且函数图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4．
(1)求，的值；
(2)求函数在上的单调减区间；
(3)若方程在有两个不同的根，求m的取值范围．
2．（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知函数，其中.
(1)求在上的解；
(2)已知，若关于的方程在时有解，求实数m的取值范围.
3．（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知向量，函数，，.
(1)当时，求的值；
(2)若，求的最小值；
(3)是否存在实数m，使函数，有四个不同的零点?若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.
4．（23-24高二下·安徽蚌埠·阶段练习）已知函数．
(1)求函数在上的单调递减区间；
(2)解关于x的不等式；
(3)若在区间上恰有两个零点，求的值．
5．（23-24高一下·上海金山·阶段练习）将函数的图像进行如下变换：先向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到函数的图像
(1)求的最小正周期及单调增区间
(2)当时，方程有两个不等的实根，求实数的取值范围
(3)若函数在区间内恰有2022个零点，求的所有可能取值
题型二十：三角函数模型
1．（23-24高一下·全国·课后作业）水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，工作示意图如图．设水车（即圆周）的直径为3m，其中心（即圆心）O到水面的距离，逆时针匀速旋转一圈的时间是，水车边缘上一点P距水面的高度为h（单位：m）．
(1)求h与旋转时间t（单位：s）的函数解析式，并画出这个函数的图象；
(2)当雨季河水上涨或旱季河流水量减少时，所求得的函数解析式中的参数将会发生哪些变化？若水车转速加快或减慢，函数解析式中的参数又会受到怎样的影响？
2．（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，某公园摩天轮的半径为40m，圆心距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处．

(1)已知在时刻t（单位：min）时点P距离地面的高度（其中，，，求函数解析式及5min时点P距离地面的高度；
(2)当点P距离地面及以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中有多少时间可以看到公园的全貌？
3．（23-24高一上·重庆·期末）如图所示，是一块边长为8米的荒地，小花想在其中开圼出一块地来种植玫瑰花.已知一半径为6米的扇形区域TAN已被小明提前撒下了蔬菜种子，扇形区域外能供小花随意种植玫瑰花.最后小花决定在能种植玫瑰的区域选定一块矩形PQCR区域进行种植，其中在边上，在边上，是弧上一点.设，矩形的面积为平方米.
(1)求关于的函数解析式；
(2)求的取值范围
4．（23-24高一上·浙江宁波·期末）已知一个半径为米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面米，且按顺时针方向匀速转动，每秒转动一圈.如果以水轮上点从水面浮现时
(1)写出函数的解析式：
(2)若另一个地区这一天的气温变化曲线也近似满足函数且气温变化也是从到，只不过最高气温都比地区早2个小时，求同一时刻，地与地的温差的最大值．
第二部分：新定义题
1．（23-24高一下·江西·阶段练习）对于分别定义在，上的函数，以及实数，若任取，存在，使得，则称函数与具有关系.其中称为的像.
(1)若，；，，判断与是否具有关系，并说明理由；
(2)若，；，，且与具有关系，求的像；
(3)若，；，，且与具有关系，求实数的取值范围.
2．（23-24高一下·上海·阶段练习）人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为
(1)若，，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离；
(2)已知，，，若，，求的值
(3)已知，、，，若，，求、之间的曼哈顿距离.
3．（22-23高一上·云南昆明·期末）人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为
(1)若，，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离；
(2)已知，，，若，，求的值
4．（21-22高一下·上海嘉定·期末）我们知道：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取其定义域D中的任意值时，有，且成立，那么函数叫做周期函数．对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数的最小正周期．对于定义域为R的函数，若存在正常数T，使得是以T为周期的函数，则称为正弦周期函数，且称T为其正弦周期．
(1)验证是以为周期的正弦周期函数．
(2)已知函数是周期函数，请求出它的一个周期．并判断此周期函数是否存在最小正周期，并说明理由．
(3)已知存在这样一个函数，它是定义在R上严格增函数，值域为R，且是以T为周期的正弦周期函数．若，，且存在，使得，求的值．
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第07讲：第四章 三角函数 章节总结 章节总结
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc8527" 第一部分：典型例题讲解 PAGEREF _Tc8527 \h 1
\l "_Tc2475" 题型一：任意角 PAGEREF _Tc2475 \h 1
\l "_Tc32461" 题型二：弧度制 PAGEREF _Tc32461 \h 4
\l "_Tc10424" 题型三：任意角的三角函数 PAGEREF _Tc10424 \h 8
\l "_Tc4909" 题型四：同角三角函数的基本关系 PAGEREF _Tc4909 \h 11
\l "_Tc20124" 题型五：诱导公式的计算 PAGEREF _Tc20124 \h 15
\l "_Tc20888" 题型六：三角函数的奇偶性 PAGEREF _Tc20888 \h 19
\l "_Tc30655" 题型七：三角函数的周期性 PAGEREF _Tc30655 \h 21
\l "_Tc19241" 题型八：三角函数的对称性 PAGEREF _Tc19241 \h 24
\l "_Tc17853" 题型九：三角函数的单调性 PAGEREF _Tc17853 \h 28
\l "_Tc25654" 题型十：三角函数中与有关的计算 PAGEREF _Tc25654 \h 31
\l "_Tc22554" 题型十一：五点法作图 PAGEREF _Tc22554 \h 35
\l "_Tc24755" 题型十二：根据图象求三角函数解析式 PAGEREF _Tc24755 \h 39
\l "_Tc25486" 题型十三：函数图象的变换 PAGEREF _Tc25486 \h 43
\l "_Tc26813" 题型十四：和差倍角计算 PAGEREF _Tc26813 \h 47
\l "_Tc17630" 题型十五：拼凑角问题 PAGEREF _Tc17630 \h 50
\l "_Tc28319" 题型十六：三角函数综合（单调性及根据单调性求参数） PAGEREF _Tc28319 \h 52
\l "_Tc29535" 题型十七：三角函数综合（值域，最值） PAGEREF _Tc29535 \h 58
\l "_Tc27078" 题型十八：三角函数综合（恒成立，有解问题） PAGEREF _Tc27078 \h 63
\l "_Tc6284" 题型十九：三角函数综合（零点问题） PAGEREF _Tc6284 \h 68
\l "_Tc13947" 题型二十：三角函数模型 PAGEREF _Tc13947 \h 75
\l "_Tc32090" 第二部分：新定义题 PAGEREF _Tc32090 \h 83
第一部分：典型例题讲解
题型一：任意角
1．（多选）（22-23高一上·湖北武汉·期末）下列说法正确的是（ ）
A．角终边在第二象限或第四象限的充要条件是
B．圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角等于
C．经过小时，时针转了
D．若角和角的终边关于对称，则有
【答案】ABD
【分析】对于A，利用三角函数定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可；对于B，转化求解弦所对的圆心角即可判断；对于C，根据任意角的定义即可判断；对于D，由角的终边得出两角的关系即可
【详解】对于A，因为角终边在第二象限或第四象限，此时终边上的点的横坐标和纵坐标异号，故；
因为，所以或，
故角终边上点坐标对应为：或即或，所以角终边在第二象限或第四象限，
综上，角终边在第二象限或第四象限的充要条件是，故A正确
对于B，圆的一条弦长等于半径，故由此弦和两条半径构成的三角形是等边三角形，所以弦所对的圆心角为，故B正确；
对于C，钟表上的时针旋转一周是，其中每小时旋转，
所以经过4小时应旋转，故C错误；
对于D，角和角的终边关于直线对称，则，，故D正确
故选：ABD
2．（多选）（2023·吉林·二模）如图，A，B是在单位圆上运动的两个质点.初始时刻，质点A在（1，0）处，质点B在第一象限，且.质点A以的角速度按顺时针方向运动，质点B同时以的角速度按逆时针方向运动，则（ ）
A．经过1后，扇形AOB的面积为
B．经过2后，劣弧的长为
C．经过6后，质点B的坐标为
D．经过后，质点A，B在单位圆上第一次相遇
3．（2023·江苏·二模）在平面直角坐标系中，已知点，将线段绕原点顺时针旋转得到线段，则点B的横坐标为 .
【答案】
【分析】利用三角函数定义可知，射线对应的的角满足，再利用任意角的关系和两角差的余弦公式即可得点B的横坐标为.
【详解】易知在单位圆上，记终边在射线上的角为，如下图所示：
根据三角函数定义可知，；
绕原点顺时针旋转得到线段，则终边在射线上的角为，
所以点B的横坐标为.
故答案为：
4．（23-24高一上·福建莆田·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，动点、从点出发在单位圆上运动，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，则、两点在第1804次相遇时，点的坐标是 .
【答案】
【分析】计算相遇时间，再确定转过的角度，得到坐标.
【详解】相遇时间为秒，
故转过的角度为，
故对应坐标为，即.
故答案为：
题型二：弧度制
1．（多选）（2023高三·全国·专题练习）如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B 的坐标为(1，0)，∠BOA＝60°，质点A 以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B 以2 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则（ ）
A．经过1 s后，∠BOA的弧度数为＋3
B．经过 s后，扇形AOB的弧长为
C．经过s后，扇形AOB的面积为
D．经过 s后，A，B在单位圆上第一次相遇
【答案】ABD
【分析】结合条件根据扇形面积，弧长公式逐项分析即得.
【详解】经过1 s后，质点A运动1 rad，质点B运动2 rad，此时∠BOA的弧度数为，故A正确；
经过 s后，，故扇形AOB的弧长为，故B正确；
经过 s后，，故扇形AOB的面积为，故C不正确；
设经过t s后，A，B在单位圆上第一次相遇，则，解得 (s)，故D正确.
故选：ABD.
2．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）如图，长为2，宽为1的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第三面后被一小木块挡住，使木块底与桌面成角，则点走过的路程是 .
【答案】
【分析】
由弧长公式计算各段弧长，相加即可得到答案.
【详解】
第一次是以B为旋转中心， 以为半径旋转90°,
此次点A走过的路径是第二次是以C为旋转中心，
以为半径旋转90°,此次点A走过的路径是
第三次是以D为旋转中心，以 为半径旋转60°,
此次点A走过的路径是∴点A三次共走过的路径是
故答案为：
3．（22-23高一·全国·课堂例题）如图，设扇形的圆心角，半径为，弧长为，扇形面积记为．

(1)用与表示扇形的面积；
(2)用与表示扇形的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据弧度的概念及圆的面积公式求解；
（2）由（1）结合弧长公式求解.
【详解】（1）角的大小是周角的，所形成扇形的面积是整个圆的面积的，
即.
（2）由（1）可得，
又因为，所以．
4．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）如图，圆心角为的扇形的半径为2，点是上一点，作这个扇形的内接矩形．设，．
(1)若，求矩形的面积；
(2)用表示矩形的面积，并求出矩形面积的最大值．
【答案】(1)
(2)，最大值.
【分析】（1）利用直角三角函数求出，进而可得矩形的面积；
（2）利用直角三角函数用表示出，进而就可以表示矩形的面积，然后利用正弦函数的性质求最值.
【详解】（1）当时，在直角三角形中，
，
又在直角三角形中，，
所以，
则；
（2）在直角三角形中，
，
又在直角三角形中，，
所以，
则
，
即，
因为，所以，
所以，
所以.
题型三：任意角的三角函数
1．（2024·全国·模拟预测）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的正半轴重合，点在角的终边上，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式化简，可求出P点坐标，根据三角函数定义即可求得，利用二倍角公式化简求值，即可得答案.
【详解】由于，
，
所以，
由于点在角的终边上，所以，
故，
故选：C.
2．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）已知角终边上点坐标为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先确定角的终边所在的位置，再根据诱导公式及商数关系即可得解.
【详解】因为，
所以角的终边在第二象限，
又因为
，
且，
所以.
故选：B.
3．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的坐标为 .
【答案】，
【分析】
结合三角函数的定义可先求出经过点的角的三角函数值，然后结合两角和的正弦及余弦公式及三角函数定义可求．
【详解】
设点的坐标，则，
设为终边上的一点，则，，
则，
，
即，，
故点的坐标为，．
故答案为：，．
4．（23-24高一上·四川攀枝花·阶段练习）已知角的终边经过点，则 ．
【答案】
【分析】
利用任意角的三角函数的定义、诱导公式，计算即可．
【详解】的终边经过点，
．
则
.
故答案为：．
5．（23-24高一下·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点.
(1)求、、的值；
(2)设，角的终边与角的终边关于轴对称，求的值.
【答案】(1)答案见解析.
(2)
【分析】（1）分，两种情况，根据三角函数的定义即可求解.
（2）先根据题意得出；再利用诱导公式即可求解.
【详解】（1）因为在直角坐标系中，角的终边经过点，
所以.
当时，，此时，，；
当时，，此时，，；
综上可得：当时， ，，；
当时，，，.
（2）由（1）知：当时，.
因为角的终边与角的终边关于轴对称，
所以.
则.
题型四：同角三角函数的基本关系
1．（2024·山东泰安·一模）若，则（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【分析】先利用诱导公式结合二倍角的正弦公式及商数关系和平方关系化弦为切，再根据二倍角的正切公式即可得解.
【详解】由，得，
即，即，
所以，所以，
则.
故选：C.
2．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知，则 .
【答案】
【分析】
化简，代入即可求解.
【详解】因为，所以
.
故答案为：.
3．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）（1）已知角终边上一点，求的值；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据给定条件，利用三角函数的定义求出函数值.
（2）利用二倍角公式，结合齐次式法求解即得.
【详解】（1）角终边上一点，则，
所以.
（2），
所以.
4．（23-24高一下·云南·阶段练习）已知是的内角，且.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意，从而可求得，得到，从而可求解.
（2）由（1）结论可求出，然后再利用二倍角公式及两角和的余弦公式从而可求解.
【详解】（1）由，所以，
则，因为，则，所以，则，
所以，
则.
（2）由（1）得，解得，
且，，
所以.
5．（23-24高一下·广东江门·阶段练习）（1）已知、都是锐角，若，，求的值；
（2）已知，，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系求出、，再由利用两角差的正弦公式计算可得；
（2）将两边平方即可得到，即可判断，从而求出，即可求出、，再由二倍角公式及两角差的正弦公式计算可得.
【详解】（1）已知、都是锐角，且，
，．
，，
.
（2）因为①，
所以，即，所以，
又，所以，故，
故，所以②，
由①②解得，
所以，，
故.
6．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）（1）已知是第三象限角，且
①求的值；
②求的值．
（2）化简：．
【答案】（1）①；②；（2）.
【分析】（1）①利用三角诱导公式和同角的基本关系式化简已知式求得，再根据角的象限确定值；②将所求的弦的二次齐次式通过构造分母化弦为切即得；
（3）利用二倍角公式化单角为半角，再逆用二倍角公式，最后根据角的范围去掉根号，化简即得．
【详解】（1）①依题意，，
即，而是第三象限角，所以.
②是第三象限角，，
所以.
（2）由
，
由，即，得，
所以原式.
题型五：诱导公式的计算
1．（2024高三·全国·专题练习）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据同角三角函数的关系可得，再根据诱导公式结合二倍角公式求解即可.
【详解】由，可知，故，
又，则，，解得.
所以，
所以.
故选：D.
【点睛】求解本题的关键：
①根据角的范围和角的正切值判断角的余弦值的符号；
②寻找角和角之间的关系，利用诱导公式和二倍角公式求的值.
2．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）解答下列问题：
(1)计算的值；
(2)已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边在直线上，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据诱导公式和特殊角的三角函数值求解；
（2）根据题意可知，再根据诱导公式和弦化切求解.
【详解】（1）
（2）根据题意可知，
所以
．
3．（22-23高一下·江苏苏州·开学考试）（1）已知，求的值．
（2）已知是关于的方程的两个实根，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据题意，利用三角函数的基本关系式，求得，再结合诱导公式，代入即可求解；
（2）根据题意，得到，求得，代入即可求解.
【详解】解：（1）因为，且，
解得，可得，
则.
（2）因为，是关于的方程的两个实根，
可得，平方可得，可得，
所以.
4．（22-23高一下·上海松江·阶段练习）已知
(1)求
(2)化简并求值：
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）由已知等式求出，再利用齐次式法求值即得.
（2）利用诱导公式、商数关系及和角的正弦公式化简，再利用齐次式法求值即得.
【详解】（1）由，得，解得，
.
（2）由（1）知，，
所以
.
5．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）如图所示，以轴非负半轴为始边作角，它的终边与单位圆相交于点，已知点坐标为．
(1)求，的值；
(2)求的值．
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）利用点在圆上以及三角函数的定义计算即可；
（2）利用诱导公式化简，然后转化为用表示，代入的值计算即可.
【详解】（1）在单位圆上，且点在第二象限
，
解得．
由三角函数定义可知，
（2）
题型六：三角函数的奇偶性
1．（2024·河南·模拟预测）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，若函数的图象关于原点对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先利用平移规律求函数的解析式，再根据函数是奇函数的性质，即可求解的值.
【详解】由题意可知，，
因为函数关于原点对称，所以，
则，,得，且，
所以.
故选：D
2．（23-24高一下·辽宁阜新·阶段练习）已知函数是奇函数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用余弦型函数的性质，求出的表达式，再利用诱导公式计算即得.
【详解】由函数是奇函数，得，
则，所以当时，.
故选：B
3．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）将函数的图像整体向右平移个单位长度后，得到的函数图像对应一个偶函数，则 ．
【答案】
【分析】根据题意，由条件可得平移之后的图像解析式，再由函数图像关于轴对称，列出方程，代入计算，即可得到结果.
【详解】把函数的图像整体向右平移个单位长度后
得到函数，
若该函数为偶函数，则，，
解得，．
当为奇数时，；
当为偶数时，；
所以．
故答案为：
4．（2022高三·全国·专题练习）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若具有奇偶性，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】根据平移变换求得，然后结合奇偶性可得.
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，
得到函数，
因为具有奇偶性，
所以，即，
因为，所以的最小值为.
故答案为：
5．（2023高一下·海南·竞赛），且则 .
【答案】18
【分析】
构造函数，利用奇函数性质求值即可.
【详解】
令，则为奇函数，
又，故，
由，得，
故.
故答案为：18
题型七：三角函数的周期性
1．（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，且函数在上单调递增，则函数的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由三角函数图象的平移变换以及函数图象的对称性，可得，由函数在上单调递增，推出，求得范围，即可求得的值，进而求得函数周期.
【详解】函数的图象向左平移个单位长度后，
得到函数的图象，该图象关于轴对称，
故，即，
由函数在上单调递增，且，
故，解得，故，
结合，可得，
故函数的最小正周期为，
故选：B
2．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）以下函数中最小正周期为的个数是（ ）

A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】对于A，直接画出函数图象验证即可；对于BCD，举出反例推翻即可.
【详解】画出函数的图象如图所示：

由图可知函数的最小正周期为，满足题意；
对于而言，，即函数的最小正周期不是，不满足题意；
对于而言，，即函数的最小正周期不是，不满足题意；
对于而言，，即函数的最小正周期不是，不满足题意；
综上所述，满足题意的函数的个数有1个.
故选：A.
3．（多选）（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知下列函数中，最小正周期为的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】由图象变换，周期为，则根据对称性，周期为，同理可判断A、B、C；而，可判定.
【详解】作的图象，如图，
由图可知函数的最小正周期为，故A正确；
由于的周期为，则根据对称性，
周期为，故B正确；
由于的周期为，周期为，故C正确；
而，周期为，故D错误.
故选：ABC
4．（多选）（23-24高一上·宁夏银川·期末）在下列函数中，最小正周期为的偶函数为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】由三角函数的周期性和奇偶性求解即可.
【详解】对于A，设的定义域为，
，所以为偶函数，
但不是周期函数，故A错误；
对于B，设的定义域为，
，所以为偶函数，
最小正周期为，故B正确；
对于C，设的定义域为，
，所以为偶函数，
最小正周期为，故C正确；
对于D，为向右平移个单位，不具备奇偶性，所以D错误.
故选：BC.
5．（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）已知函数，那么函数最小正周期为 ；对称轴方程为 .
【答案】
【分析】
根据二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，继而利用周期公式及整体代入法求解对称轴即可.
【详解】因为
，
所以函数的最小正周期，
令,
得，
所以函数的对称轴为.
故答案为：；.
题型八：三角函数的对称性
1．（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）已知，在上单调递减，为的一个对称轴，为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】首先由函数的单调性转化函数周期的范围，即可求的范围，再结合函数的对称性列式，确定，再分别代入函数的解析数，由对称性求，并验证函数的单调性后，即可求解.
【详解】因为函数在内单调递减，
所以，得，
因为是函数的一条对称轴，
所以，①
因为函数是奇函数，
所以，②，
由①②可得，，
而，所以
当时，，得，，
因为，所以，
即，
当时，，显然此时函数单调递减，符合题意，
所以
当时，，得，，
因为，所以，
即，
当时，，显然此时函数不是单调递减函数，不符合题意，
所以.
故选：A
2．（23-24高二下·湖南衡阳·阶段练习）已知函数图象的一个对称中心为，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】借助二次函数、正弦函数、余弦函数、正切函数的性质逐项计算即可得.
【详解】对A：二次函数不是中心对称图形，故A错误；
对B：当时，，由不是函数的对称中心，
故不是的对称中心，故B错误；
对C：当时，，由不是函数的对称中心，
故不是的对称中心，故C错误；
对D：当时，，由是函数的对称中心，
故是的对称中心，故D正确.
故选；D.
3．（22-23高一下·湖北荆州·期中）已知函数的图象关于点对称，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的对称中心，结合的范围，可得出，.代入，根据两角差的正切公式，即可得出答案.
【详解】因为的图象关于点对称，
所以，
所以.
因为，所以，即，
则.
故选：C.
4．（2024·全国·模拟预测）函数在上单调递增，且满足，，则 ．
【答案】
【分析】根据函数的对称性可得（），由函数的单调性可得，将的所有可能取值代入求得并验证即可求解.
【详解】由题意可知的一个对称中心为，一条对称轴为直线，
所以其中，，解得，其中．
又因为单调区间不超过半个周期，所以，则．
①当时，，解得，此时，
当时，，故在上单调递增；
②当时，，无解；
③当时，，解得，此时，
当时，，所以在上单调递减，舍去；
④当时，，解得，此时，
当时，，此时在上单调递减，舍去；
⑤当时，，无解．
综上，．
故答案为：
5．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知函数的对称中心是，则 ．
【答案】
【分析】利用辅助角公式，结合三角函数的性质可得，进而求得，从而代入求解即可得解.
【详解】因为，其中，
又的对称中心是知，则两个相邻的对称中心相距，
故的最小正周期，即，则，
所以，解得，
故.
故答案为：.
题型九：三角函数的单调性
1．（23-24高一下·河南驻马店·阶段练习）函数和在下列哪个区间上都是单调递减的（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据正余弦函数的性质逐项判断即可求解.
【详解】A．当时，单调递减，单调递减，故A正确；
B．当时，单调递减，单调递增，故B错误；
C．当时，单调递增，单调递增，故C错误；
D．当时，单调递增，单调递减，故D错误；
故选：A.
2．（2024高一下·上海·专题练习）函数的单调递减区间是 ．
【答案】．
【分析】根据正切函数的单调性，整体代入法求解即可.
【详解】令，，
解得，
故函数的单调递减区间是:．
故答案为:．
3．（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知函数．
(1)求函数的解析式，并求其图象的对称轴方程；
(2)求函数在上的单调递增区间．
【答案】(1)，对称轴方程为；
(2)和
【分析】（1）直接对的表达式进行三角恒等变换即可求出解析式，进而得到其图象的对称轴方程；
（2）先考虑的单调递增区间，然后令属于该区间即可解得的单调区间.
【详解】（1），
由，解得；
所以，函数的图象的对称轴方程为；
（2）（2）当时，有，要使单调递增，
则需要，或，
解得，或；
故函数在上的单调递增区间为和．
4．（23-24高一下·广东梅州·阶段练习）已知函数在区间上的最小值为3．
(1)求常数m的值；
(2)求函数单调递减区间．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先化简函数的解析式，再根据函数的定义域求函数的最小值，即可求解；
（2）根据（1）的结果，代入正弦函数单调递减区间，即可求解.
【详解】（1）因为
，
当时，，
所以，则，
因为的最小值为3，所以；
（2）由（1）得，
，
令，
则，
即的单调递减区间为，
5．（23-24高一下·北京·阶段练习）已知函数．
(1)求的值；
(2)求函数的单调递减区间．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）直接代入计算可得；
（2）根据余弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）因为，
所以
（2）由，
令，，解得，，
所以函数的单调递减区间为，.
题型十：三角函数中与有关的计算
1．（2024·全国·模拟预测）已知将函数（）的图象仅向左平移个单位长度和仅向右平移个单位长度都能得到同一个函数的图象，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】法一： 先利用平移变换分别得到函数解析式，再根据相位差为求解；法二：利用向左平移和向右平移的单位长度和为函数的周期的整数倍求解.
【详解】法一： 函数（）的图象仅向左平移个单位长度
得到函数的图象，
函数（）的图象仅向右平移个单位长度
得到的图象，
则（），即（），即（），
由于，所以当时，取得最小值，
故选：C．
法二： 函数的最小正周期为，
依题意有（），则（），
由于，所以当时取得最小值，
故选：C．
2．（2024·贵州贵阳·一模）将函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的倍，得到函数的图像.若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先求函数的解析式，再根据，代入函数的解析式，结合正弦导函数的图像和性质，即可求解.
【详解】由三角函数的图像变换规律可知，，
，，
因为函数在上单调递增，所以，且，
得.
故选：B
3．（2024·四川成都·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图像，且函数是偶函数，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由三角函数平移变换法则得表达式，且它是偶函数，进一步可得结合即可求解.
【详解】由题意是偶函数，
所以，解得，
又，所以当且仅当时，.
故选：A.
4．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若在上单调递增，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【分析】先得表达式，然后结合正弦函数单调性、复合函数单调性列出不等式即可求解.
【详解】由题意，
令，显然关于单调递增，且，
若在上单调递增，则，解得，
即的最大值为.
故选：C.
5．（23-24高三下·青海西宁·开学考试）将函数的图象先向左平移个单位长度得到函数的图象，再将图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若在区间上没有零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据三角函数图象的平移以及伸缩变换，可得的解析式，结合题意确定，继而结合题意得，再判断的范围，根据题意列出不等式，即可求得答案.
【详解】由题意得，，
在区间上没有零点，则，即，
又，故，
而，故，，
由于在区间上没有零点，故，解得，
故的取值范围是，
故选：C
6．（2022高三上·河南·专题练习）已知函数，，若将的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数在区间内没有极大值点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】化简的解析式得到平移后的解析式，求出其极大值点，列不等式组求解.
【详解】由题意，得．
将函数的图象向左平移个单位长度，可得的图象，
令，，得，．
由，解得，，
取，可得，
结合，可得的取值范围是．
故选:D．
题型十一：五点法作图
1．（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）已知函数.
(1)填写下表，用“五点法”画出函数在一个周期上的图象；
(2)解不等式.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）根据“五点法”作图的步骤求解即可；
（2）由转化为，由正弦函数图象与性质列出不等式求解即可.
【详解】（1）列表
描点、连线得到图象如下
（2）由可得，
即，所以，
所以或，，
即或，，
故不等式的解集为.
2．（23-24高一下·广东珠海·阶段练习）已知函数.

(1)求的最小正周期；
(2)在给定的坐标系中用五点法作出函数的简图.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由周期的计算公式即可求值，
（2）由五点作图法即可求解.
【详解】（1）的最小正周期.
（2）由（1），
列对应值表如下：
通过描出五个关键点，再用光滑曲线顺次连接作出函数，的简图如图所示：

3．（2024高一·全国·专题练习）已知函数．用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数在上的大致图象.

【答案】作图见解析
【分析】通过列表得函数在内的关键点以及端点值，在所给的坐标系中，描点连线画出图.
【详解】列表：
描点，连线，画出在上的大致图象如图：

4．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）已知函数.
(1)求的最大值及取得最大值时对应的的取值集合；
(2)用“五点法”画出在上的图象.
【答案】(1)4；
(2)答案见解析
【分析】
（1）根据正弦函数的性质，即可求解；
（2）首先列表，再根据“五点法”作图，即可画出图象.
【详解】（1）因为，所以，
所以，
则的最大值为4.
此时，
解得.
故当取得最大值时，对应的的取值集合为.
（2）列表如下：
题型十二：根据图象求三角函数解析式
1．（23-24高一下·广东韶关·阶段练习）函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ）

A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】首先根据函数图象得到的解析式，再根据平移变换求解即可.
【详解】由图知： 解得，
因为，所以，则，即
因为，
所以，即.
因为，得，
所以
所以
故选：C.
2．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）函数的部分图像如图所示，把函数的图像向右平移得到，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用函数图象求得函数的解析式为，再由平移规则即可得.
【详解】根据图像可知，可得，即；
又，可得，
解得，由可知；
即可得，
把函数的图像向右平移得到；
即.
故选：A
3．（2024·天津·一模）已知函数（其中）的部分图象如图所示，有以下结论：
① ②函数为偶函数
③ ④在上单调递增
所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③④C．③④D．①④
【答案】B
【分析】借助图象可得解析式，结合正弦函数的单调性、最值、奇偶性等逐项判断即可得.
【详解】由图可得，，
且，则，即，
，即，
又，故，即，
对①：，由时，函数取最大值，
故是函数的最大值，故①正确；
对②：，故②错误；
对③：，
则，故③正确；
对④：当时，，
由函数在上单调递增，
故函数在上单调递增，故④正确.
故选：B.
4．（23-24高三下·山东济宁·开学考试）函数（其中）的部分图象如图所示，为了得到函数的图象，则只需将的图象（ ）

A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】B
【分析】由题意，结合图形和诱导公式求得，利用三角函数图象的平移变换即可求解.
【详解】由图象知，，则，又，所以，
当时，，解得，
由，得，
所以.
要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位即可.
故选：B
5．（23-24高一上·云南大理·期末）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点向右平移个单位，得到函数的图象，则函数的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用函数的图象求得，再利用平移变换求解.
【详解】解：由函数的图象知：，，则，所以，
则，因为点在图象上，所以，
则，即，
因为，则，所以，
将函数图象上所有点向右平移个单位，得到，
故选：D
题型十三：函数图象的变换
1．（23-24高三上·广东湛江·期末）已知函数，要得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】D
【分析】先把，的解析式都化成或的形式，再用图象的平移解决问题.
【详解】，
，
故将的图象向右平移个单位长度可得，即为的图象.
故选：C
2．（2024·全国·模拟预测）将函数的图象向右平移（）个单位长度，得到函数的图象，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用两角差的余弦公式化简，再由诱导公式及图象平移即可得解.
【详解】因为，
，
所以把的图象向右平移个单位长度可以得到的图象，
则的最小值为，
故选：B．
3．（2020高三·全国·专题练习）将函数的图象上各点向右平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图象的函数解析式是（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】结合对函数图象的影响可得.
【详解】将函数的图象上各点向右平移个单位长度，得到函数即的图象，
再把函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半，就得到函数的图象，
然后再把函数的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的4倍，就得到函数的图象.
故选：A.
4．（多选）（2023·安徽安庆·三模）函数（其中）的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A．函数的最小正周期是
B．
C．为了得到的图像，只需将的图像向左平移个单位长度
D．为了得到的图像，只需将的图像向左平移个单位长度
【答案】BD
【分析】根据函数图像结合三角函数性质，根据周期，初相判断A,B选项，根据平移判断C,D选项即可.
【详解】对A，由图可知，，最小正周期满足，所以，
所以函数的最小正周期是，故A错误；
对B，，即，将代入可得，得，又，所以，故B正确；
对C，由上述结论可知，为了得到
，应将函数向左平移个单位长度.故C
错误，D正确.
故选：BD.
5．（多选）（2023·河北·模拟预测）把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），最后把所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的解析式可以为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】通过往回倒推，将函数的图象,向左平移个单位长度，再将其纵坐标伸长2倍，横坐标伸长3倍得到解析式，利用诱导公式一一对照化简即可.
【详解】把函数的图象,向左平移个单位长度,
得到的图象,
再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),得到的图象,
最后把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),
得到的图象.
而.
故选：BD.
6．（多选）（22-23高一下·四川达州·阶段练习）下列能产生的图象的变换是（ ）
A．将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的
B．将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的
C．将函数的图象沿轴向左平移3个单位；
D．将函数的图象沿轴向右平移3个单位．
【答案】AD
【分析】根据三角函数图象平移规律逐项判断可得答案.
【详解】对于A：函数图象上所有的点纵坐标不变，横坐标变为原来的，
得函数的图象，故A正确；
对于B：函数图象上所有的点纵坐标不变，横坐标变为原来的，
得函数的图象，故B错误；
对于C：函数的图象沿轴向左平移3个单位，
得函数的图象，故C错误；
对于D：根据诱导公式函数的图象沿轴向右平移3个单位，得函数的图象，故D正确．
故选：AD.
题型十四：和差倍角计算
1．（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）式子（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式和两角和的正弦公式求解.
【详解】解：，
，
.
故选：B
2．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】逆用和角正弦公式化简三角函数式，即可求值.
【详解】，故A正确.
故选：A.
3．（2024·重庆·模拟预测）若，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据两角和与差求解的余弦公式求解，进而求出，求出，利用二倍角求出
【详解】由，则,
由，
所以，则，
则，
故.
故选：D
4．（多选）（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）下列式子化简正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】利用诱导公式及两角和的余弦公式的逆用可判断选项A；利用辅助角公式可判断选项B；利用诱导公式及二倍角正弦公式可判断选项C；利用及两角差的正切公式可判断选项D.
【详解】对于选项A：因为
，故选项A错误；
对于选项B：
，故选项B正确；
对于选项C：因为，故选项C正确；
对于选项D：因为，故选项D错误.
故选：BC.
5．（2024高一下·江苏·专题练习）求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】
根据题意，结合两角和与差的三角函数公式，准确化简、运算，即可求解.
【详解】（1）解：由.
（2）解：由.
（3）解：由
.
（4）解：由
，
题型十五：拼凑角问题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知tan α＝，tan β＝－，则tan (2α＋β)的值为（ ）
A．－B．－
C．1D．
【答案】C
【详解】
因为tan α＝，tan β＝－，所以tan （α＋β）＝＝＝＝，所以tan （2α＋β）＝tan [α＋（α＋β）]＝＝＝1.
【考查意图】
利用和差倍角公式化简求值．
2．（23-24高三下·陕西渭南·开学考试）已知角满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
利用两角差的正切公式展开即可求出，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得.
【详解】因为，即，解得，
所以.
故选：D
3．（23-24高三下·河北保定·开学考试）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据正切的差角公式和二倍角公式求出答案.
【详解】，
故
故选：B
4．（2024·河北沧州·模拟预测）已知，则 ．
【答案】
【分析】根据题意，由余弦的和差角公式展开可得，再由二倍角公式，即可得到结果.
【详解】因为，整理得，
所以，所以，
所以．
故答案为：
5．（2024·云南昆明·模拟预测）已知，则 .
【答案】
【分析】
根据题意，由正弦的和差角公式展开可得，再由余弦的二倍角公式代入计算，即可得到结果.
【详解】
由题意，，
得，令，则，得，
所以.
故答案为：
题型十六：三角函数综合（单调性及根据单调性求参数）
1．（23-24高三上·北京朝阳·期末）已知函数的图象过原点.
(1)求的值及的最小正周期；
(2)若函数在区间上单调递增，求正数的最大值.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用函数图象过原点求得，然后利用三角恒等变换化简函数，利用周期公式求解周期；
（2）先利用换元法求解函数的单调递增区间，利用子集关系建立不等式求解即可.
【详解】（1）由得.所以
.
所以的最小正周期为.
（2）由（），得（）.
所以的单调递增区间为（）.
因为在区间上单调递增，且，此时，
所以，故的最大值为.
2．（22-23高一上·广西百色·期末）已知函数的部分图象如图所示.

(1)求的解析式；
(2)若在上单调递增，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合图像的最高点可求出，根据轴上的数据可求出周期，然后在代入一个点可求出解析式；
（2）根据三角恒等变换化简得出，然后根据正弦函数的单调性求解.
【详解】（1）依题意，由图知，，，即，
得，所以，
又，所以，，
即，，由得，所以.
（2）由（1）可知，，
则，
因为，所以，
根据正弦函数在上递增可知，
所以，即，
所以m的取值范围为.
3．（22-23高一下·北京昌平·期末）已知函数.
(1)求的最小正周期；
(2)求在区间上的最大值及相应的的取值
(3)若函数在上是增函数，求的最小值.
【答案】(1)；
(2)，；
(3).
【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数周期公式求解作答.
（2）利用（1）中解析式，求出相位所在区间，结合正弦函数性质求解作答.
（3）求出的单调递增区间，再借助集合包含关系列式作答.
【详解】（1）依题意，函数，
所以函数的最小正周期为.
（2）由（1）知，，当时，，
当，即时，函数取得最大值1，
所以，.
（3）由（1）知，，由，
得，即函数在上单调递增，
因为函数在上是增函数，则，因此，
所以的最小值是.
4．（22-23高一下·北京·期中）已知函数.在下列条件①、条件②、条件③这三个条件中，选择可以确定ω和m值的两个条件作为已知. 条件①：＝2；条件②：最大值与最小值之和为0；条件③：最小正周期为π.
(1)求的值；
(2)若函数在区间［0，a］上是增函数，求实数a的最大值
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】本题为劣构题；
（1）选择条件然后对应分析解析；
条件① ②：由①知，根据，解得m=2；由②知，根据，解得，矛盾，不能同时选；
选条件① ③：解得，从而解得，结合函数图像的单调性确定a的最大值为；
选条件② ③：根据条件解得，，解得，
（2）结合函数图像的单调性确定a的最大值为；
【详解】（1）函数．
选条件① ②：
由①知，，所以m=2；
由②知，，所以，矛盾，不能同时选；
选条件① ③：
由条件③得，，又因为ω>0，所以ω=2．
由①知，，所以m=2．
则．
所以．
选条件② ③：
由于最小正周期为，所以ω=2，所以；
由最大值与最小值之和为0，
，
故，解得．
所以，
所以．
（2）选条件① ③：
令，所以，
所以函数f（x）的单调增区间为．
因为函数在区间［0，a]上单调递增，且，此时k=0，
所以，故a的最大值为．
选条件② ③：解法同选择① ③ ：
令，所以，
所以函数的单调增区间为．
因为函数在区间［0，a]上单调递增，且，此时k=0，
所以，故a的最大值为．
5．（23-24高一上·山东淄博·期末）已知函数（），满足函数是奇函数．
(1)求函数，的值域；
(2)函数在区间和上均单调递增，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由奇函数解得，再将看成整体，将所求函数转化为二次函数值域求解即可；
（2）将复合函数单调性利用换元法转化为余弦函数的单调性即可求解参数范围.
【详解】（1）因为，
由是奇函数，
所以，则，
解得，
又，则.
验证：当时，，
由，得是奇函数.
因为函数
，
由，则，
所以，
故当时，；
当或时，.
故所求函数的值域为；
（2）因函数在区间和上均单调递增，
令，则在区间和单调递增，
故，且，
解得，
则实数的取值范围为.
6．（19-20高一·全国·课时练习）是否存在实数a，且，使得函数在区间上单调递增？若存在，求出a的一个值；若不存在，请说明理由.
【答案】存在；满足题意
【解析】由得，由题意得且，解得，则时存在，满足题意.
【详解】解：，
在区间上为增函数，
.
又由，得：，
，
，
解得
由得，
此时， ，
故存在，满足题意.
【点睛】本题考查了整体法求三角函数的单调性，属于中档题.
题型十七：三角函数综合（值域，最值）
1．（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）已知函数.
(1)求函数在的值域；
(2)将函数的图象上的每个点的横坐标都变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有最值，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化简得到，根据求出，结合函数图象求出值域；
（2）求出，并求出，根据在上没有最值，得到不等式，求出，结合和求出，且，从而求出的最大值.
【详解】（1），，
故
，
当时，，，
故，
所以函数在的值域为
（2），其中，故，
在上没有最值，故且，
解得，
令，解得，
又，故，解得，
所以，且，
当时，；当时，；
所以的最大值为
2．（23-24高一上·浙江·期末）设函数
(1)求函数的对称中心；
(2)若函数在区间上有最小值，求实数m的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根据正弦函数的对称性，即可求得答案；
（2）利用三角函数的诱导公式以及两角和差的正余弦公式化简，再结合余弦函数的性质，即可求得答案.
【详解】（1）
令，则，
故函数的对称中心为；
（2）
，
函数在区间上有最小值，即区间上有最小值，
而，即需，则，
即实数m的最小值为.
3．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)设函数，对任意的恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】
（1）根据正切函数的图象和性质，解不等式；
（2）首先求函数的值域，再换元为函数，转化为讨论对称轴与定义域的关系，求函数的最小值问题，即可求解.
【详解】（1）不等式，即，则，
从而，
解得，
故不等式的解集为.
（2）因为，所以，所以，
所以，即.
设，则.
设函数，则.
当，即时，在上单调递增，
则，解得，又，所以，即不符合题意.
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
则，解得，
又，所以.
当，即时，在上单调递减，
则，解得，
又，所以.
综上，的取值范围是.
4．（23-24高一上·湖南株洲·期末）已知函数，且．
(1)求的定义域与最小正周期；
(2)当时，求的值域
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据正切函数的性质即可求得函数的定义域，根据求出，再根据三角恒等变换化一，根据正弦函数的周期性求周期即可；
（2）根据正弦函数的性质结合整体思想求解即可.
【详解】（1）的定义域为；
因为，
由，得，所以，
所以，
即，
所以的最小正周期为；
（2）因为，所以，
所以当，即时，有最小值，
当，即时，有最大值，
所以的值域为．
题型十八：三角函数综合（恒成立，有解问题）
1．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）函数（其中）的部分图像如图所示，把函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像.

(1)当时，求函数的解析式；
(2)对于，是否总存在唯一的实数，使得成立？若存在，求出实数的值或取值范围；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）由函数图象求出的解析式，再根据三角函数的变换规则得到的解析式；
（2）依题意可得，由的取值范围求出的范围，由的范围求出的范围，依题意可得，即可得到关于的不等式组，解得即可.
【详解】（1）由函数图像可知，，
又，，所以，解得，
，当时，，
，所以，又，所以，
，
所以，
再将函数的图像向右平移个单位得到.
（2）由，得，
由得，，
，
又，得，所以，
又在上单调递减，在上单调递增，，，
由的唯一性可得即.
依题意可得，
所以，解得，
所以当时，使成立.
2．（23-24高一下·江西九江·阶段练习）设函数．
(1)若对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若关于x的方程在有实数解，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）转化为求函数的最值，再根据不等式，列式求解；
（2）首先换元，转化为关于的二次方程，再利用参变分离为在上有实数解，转化为求函数的值域问题.
【详解】（1）由函数，
令，可得，
因为对一切实数恒成立，即对任意的，恒成立，
又由函数的图像开口向下，对称轴为，
当时，；当时，，
则，解得，所以实数a的取值范围
（2）由，令，
要使得方程关于x的方程在有实数解，
即在上有实数解，即在上有实数解，
令，，由，
可当在上单调递减，在单调递增，
当时，，当或时，，
则，即实数的取值范围为.
3．（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）已知函数（，且）为偶函数．
(1)求的值；
(2)若，使成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据偶函数的定义结合对数运算求解；
（2）根据对数函数性质结合基本不等式可得，由存在性问题可得，换元，可得，构建，根据恒成立问题结合二次函数分析求解.
【详解】（1）因为函数为偶函数，则，
即，
整理得，
可得，结合x的任意性可得，
此时，
可得的定义域为，符合题意，
综上所述：.
（2）因为，则，
则，当且仅当，即时，等号成立，
所以，
由题意可得：，即，
因为，令，则，
设，
可得，解得，
若，可知的图象开口向上，对称轴，
由题意可得，
整理得，
又因为，则，解得，
所以实数的取值范围.
4．（23-24高一下·河南三门峡·阶段练习）已知向量，，设函数．
(1)求的单调增区间；
(2)若对任意，恒成立，求m的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用数量积的坐标表示求出，利用三角恒等变换化简，再利用正弦函数的性质求出增区间.
（2）由（1）的函数式，利用正弦函数的性质求出最大值即得.
【详解】（1）依题意，，
由，得，
所以函数单调增区间为.
（2）当时，则，则当，即时，函数取得最大值，
当，即时，函数取得最小值0，即，，
因此在上的最大值为1，由任意恒成立，得，
所以的取值范围为.
5．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知函数．
(1)当时，求函数的单调递增区间；
(2)对于为任意实数，关于的方程恰好有两个不等的实根，求实数的值；
(3)在（2）的条件下，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)，.
(2)
(3)
【分析】（1）先利用三角恒等变换化简，再利用整体代入法即可得解；
（2）将恰好有两个不等实根转化为区间的长度恰为的一个周期，从而得解；
（3）先利用正弦函数的性质求得的值域，再由恒成立得到关于的不等式组，解之即可得解.
【详解】（1）因为
，
当时，可得函数，
令，得，
所以函数的单调递增区间为，.
（2）当时，，其周期，
因为关于的方程恰好有两个不等实根，即恰好有两个不等实根，
所以区间的长度恰为的一个周期，
所以，可得.
（3）由（2）中，得，
因为，所以，则，
所以的值域为，
不等式可化为即，
所以，解得，即.
题型十九：三角函数综合（零点问题）
1．（23-24高一下·辽宁鞍山·阶段练习）已知函数（，），函数图象关于对称，且函数图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4．
(1)求，的值；
(2)求函数在上的单调减区间；
(3)若方程在有两个不同的根，求m的取值范围．
【答案】(1)，
(2)的单调减区间为，
(3)
【分析】（1）根据相邻的最高点与最低点的距离为4求得，根据图象关于对称求得；
（2）由解得的单调增区间；
（3）作出时的图象，观察图象得m的取值范围．
【详解】（1）∵图象上相邻的最高点与最低点的距离为4．且，
∴，
∴即，
∴，
又图象关于对称，
∴，，
∴，，
又∵，
∴．
（2），
由，，
解得，，
时；时
又∵
∴的单调减区间为，．
（3）在单调递增，在单调递减，
当时，，，
作出时的图象如下图：

若方程在有两个不同的根，则
2．（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知函数，其中.
(1)求在上的解；
(2)已知，若关于的方程在时有解，求实数m的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据题意得方程，然后通过的范围解方程即可；
（2）代入，然后利用三角公式化简，再将方程有解问题转化为函数值域问题，利用正弦函数的性质求值域即可.
【详解】（1）由已知，
又，所以，
所以或，
所以或，
即在上的解为或；
（2）由已知
，
则在时有解，即在时有解，
因为，所以，
所以，
所以.
3．（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知向量，函数，，.
(1)当时，求的值；
(2)若，求的最小值；
(3)是否存在实数m，使函数，有四个不同的零点?若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.
【答案】(1)；
(2)；
(3)存在，.
【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算求得函数的解析式，然后求解时的值即可.
（2）由（1）的解析式，把代入，利用余弦函数性质，结合二次函数性质求出最小值.
（3）令 求解的值，据此求得关于的不等式，求解不等式可得实数的取值范围.
【详解】（1）向量，，
，由，得，
，
因此，当时，，
所以.
（2）由（1）知，，
当时，，
当时，，则当，即时，，
所以当时，函数取得最小值.
（3）由（1）知，，则，，
函数是偶函数，其图象关于轴对称，显然在上的图象关于轴对称，
当时，，当取内任意一个值时，都有两个不同的值与之对应，
由，得，即或，
由函数，有四个不同的零点，得，解得，
所以存在实数m，使函数，有四个不同的零点，m的取值范围是.
4．（23-24高二下·安徽蚌埠·阶段练习）已知函数．
(1)求函数在上的单调递减区间；
(2)解关于x的不等式；
(3)若在区间上恰有两个零点，求的值．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）利用辅助角公式化简函数，再利用三角函数的性质，结合整体代入法即可得解.
（2）由（1）的信息，利用正弦函数性质解不等式即得.
（3）利用三角函数的对称性得到，由题设条件得到，从而利用诱导公式即可得解.
【详解】（1）依题意，
令，解得，
由，得当时，；当时，，
所以在上的单调递减区间为.
（2）由（1）知，，由，得，
解得，解得，
所以不等式的解集为.
（3）由函数在区间上恰有2个零点，得在有两个根，
令，解得，则函数图象的一条对称轴为，
因此在的两个根满足，则，
显然，则，
所以.
5．（23-24高一下·上海金山·阶段练习）将函数的图像进行如下变换：先向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到函数的图像
(1)求的最小正周期及单调增区间
(2)当时，方程有两个不等的实根，求实数的取值范围
(3)若函数在区间内恰有2022个零点，求的所有可能取值
【答案】(1)，；
(2)
(3)2022或2023或1348
【分析】（1）由三角恒等变换化简即可得到函数解析式，再由正弦型函数的单调性，即可得到结果；
（2）根据题意，结合正弦型函数的图像，即可得到结果；
（3）根据题意，由换元法可得，转化为二次函数零点问题，即可求解.
【详解】（1），
则由题意可得函数的解析式为，
令，，
则最小正周期为，单调递增区间为，.
（2）
，则，
若方程有两个不等的实根，结合函数图像可得
（3）
设，则函数等价为
由，得
有两个不等的实数根
当时，，此时在上恰有3个零点
当时，
此时在上恰有2个零点
或
或2023
综上所述，的所有可能取值为2022或2023或1348
题型二十：三角函数模型
1．（23-24高一下·全国·课后作业）水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，工作示意图如图．设水车（即圆周）的直径为3m，其中心（即圆心）O到水面的距离，逆时针匀速旋转一圈的时间是，水车边缘上一点P距水面的高度为h（单位：m）．
(1)求h与旋转时间t（单位：s）的函数解析式，并画出这个函数的图象；
(2)当雨季河水上涨或旱季河流水量减少时，所求得的函数解析式中的参数将会发生哪些变化？若水车转速加快或减慢，函数解析式中的参数又会受到怎样的影响？
【答案】(1)，图象见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据给定条件，设出h与t的函数关系式，列表，结合五点法作图；
（2）根据题意结合函数解析式分析判断.
【详解】（1）设点P在水面上时高度h为0，当点P旋转到水面以下时，点P距水面的高度为负值．
过点P向水面作垂线，交水面于点M，PM的长度为点P的高度h，
过水车中心O作PM的垂线，交PM于点N，
设Q为水车与水面交点，．
由已知可知：水车的半径，水车中心到水面的距离，
水车旋转一圈所需的时间为，转速为．
不妨从水车与水面交点Q时开始计时（）．旋转ts水车转动的角的大小为α，
即．
从图中不难看出：
．①
因为，所以．
因此，②
这就是点P距水面的高度h关于时间t的函数解析式．
列表如下：
画出函数在区间上的图象（如图）：
（2）雨季河水上涨或旱季河流水量减少，将造成水车中心O与水面距离的改变，导致函数解析式中的参数b发生变化．水面上涨时参数b减小；水面回落时参数b增大．
如果水车转速加快，将使周期T减小，转速减慢则使周期T增大．
2．（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，某公园摩天轮的半径为40m，圆心距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处．

(1)已知在时刻t（单位：min）时点P距离地面的高度（其中，，，求函数解析式及5min时点P距离地面的高度；
(2)当点P距离地面及以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中有多少时间可以看到公园的全貌？
【答案】(1)，70m
(2)0.5min
【分析】（1）根据题意得到振幅，最小正周期，求出，由求出，得到函数解析式，求出；
（2）在（1）的基础上，得到，解不等式，求出，，从而求出答案.
【详解】（1）依题意，，，，则，
所以，
由可得，，，
因为，所以．
故在时刻t时点P距离地面的离度，
因此，
故5min时点P距离地面的高度为70m；
（2）由（1）知，其中．
依题意，令，
即，所以，
解得，，
则，，
由，
可知转一圈中有0.5min可以看到公园全貌．
3．（23-24高一上·重庆·期末）如图所示，是一块边长为8米的荒地，小花想在其中开圼出一块地来种植玫瑰花.已知一半径为6米的扇形区域TAN已被小明提前撒下了蔬菜种子，扇形区域外能供小花随意种植玫瑰花.最后小花决定在能种植玫瑰的区域选定一块矩形PQCR区域进行种植，其中在边上，在边上，是弧上一点.设，矩形的面积为平方米.
(1)求关于的函数解析式；
(2)求的取值范围
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）用三角函数分别表示出，再由矩形的面积公式表示出关于的函数解析式即可.
（2）令，由同角的三角函数关系得到，即，再由二次函数的性质求出取值范围即可.
【详解】（1）如图，延长交于点，延长交于点.由四边形是正方形，四边形是矩形，
可知.由，可得
，
.
.
（2）令，由，可得，
故
，即，
，其对称轴为
所以当时，取最大值，最大值为16；
所以当时，取最小值，最小值为14.
即.
4．（23-24高一上·浙江宁波·期末）已知一个半径为米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面米，且按顺时针方向匀速转动，每秒转动一圈.如果以水轮上点从水面浮现时（图中点位置）开始计时，记点距离水面的高度关于时间的函数解析式为.
(1)在水轮转动的一周内，求点距离水面高度关于时间的函数解析式；
(2)在水轮转动的一周内，求点在水面下方的时间段.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据函数的最大值和最小值可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，求出该函数的最小正周期，可得出的值，再由，结合的取值范围，可得出的值，由此可得出函数的解析式；
（2）在时，解不等式即可得出结论.
【详解】（1）解：由题意知的最大值为，最小值为，
所以，，解得，
由题意可知，函数的最小正周期为，
则，所以.
当时，，即，可得，
又，所以，所以，.
（2）解：令，得.
由，得，所以，解得，
即在水轮转动的一圈内，点在水面下方的时段是秒到秒.
5．（23-24高一上·广西柳州·期末）建设生态文明是关系人民福祉，关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于时，才开放中央空调，否则关闭中央空调.如图是该市冬季某一天的气温（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足，关系.
(1)求的表达式；
(2)请根据（1）的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长.
【答案】(1)
(2)8小时
【分析】
（1）利用五点作图法，结合图象即可得解；
（2）解正弦不等式即可得解.
【详解】（1）
由题意，得，解得，
又，所以，又，所以，
因为过，
则，即，
所以，即，
又，所以，
所以.
（2）
根据题设，令，即，
由的性质得，，
解得，，
又因为，
当时，；当时，；
所以或，
所以该商场的中央空调应在一天内开启时长为8小时.
6．（23-24高一上·浙江温州·期末）下表是地一天从时的 部分时刻与温度变化的关系的预报，现选用一个函数来近似描述温度与时刻的关系．
(1)写出函数的解析式：
(2)若另一个地区这一天的气温变化曲线也近似满足函数且气温变化也是从到，只不过最高气温都比地区早2个小时，求同一时刻，地与地的温差的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由表中数据发现温度跌宕起伏，且呈现一定规律（周期），由此联想到三角函数，由以及，即可求得，最后代入一个点即可得.
（2）由题意可得，两函数作差，结合两角和的正弦以及辅助角公式即可得解.
【详解】（1）由题意不妨设，
可以发现周期，解得，
而，解得，
所以，即，不妨取，
所以函数的解析式为.
（2）设地区的温度变化函数为，
令
，其中，不妨设，
所以，等号成立当且仅当，
即，
所以只能取或满足地与地的温差的最大值为.
第二部分：新定义题
1．（23-24高一下·江西·阶段练习）对于分别定义在，上的函数，以及实数，若任取，存在，使得，则称函数与具有关系.其中称为的像.
(1)若，；，，判断与是否具有关系，并说明理由；
(2)若，；，，且与具有关系，求的像；
(3)若，；，，且与具有关系，求实数的取值范围.
【答案】(1)不具有，理由见解析；
(2)或或；
(3)或，
【分析】（1）根据具有关系的定义及三角函数的值域判断即可；
（2）根据具有关系及三角函数的性质计算即可；
（3）利用三角函数的性质先确定，根据具有关系的定义得出，再根据二次函数的动轴定区间分类讨论计算即可.
【详解】（1）与不具有关系，
理由如下：时，，，所以，
则与不具有关系；
（2）由题意可知
，
所以，
又，所以，
解之得或或，
即的像为或或；
（3）对于，则，所以，
即，
因为与具有关系，
所以要满足题意需，使得即可.
令，
令，则，设，
①若，即时，，
则，
②若，即时，，
则，
③若，即时，，
则或，显然无解，
④若，即时，，
则或，显然无解，
综上所述：或，
2．（23-24高一下·上海·阶段练习）人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为
(1)若，，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离；
(2)已知，，，若，，求的值
(3)已知，、，，若，，求、之间的曼哈顿距离.
【答案】(1)，余弦距离等于
(2)
(3)
，
所以.
因为，
所以、之间的曼哈顿距离是.
3．（22-23高一上·云南昆明·期末）人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为
(1)若，，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离；
(2)已知，，，若，，求的值
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据公式直接计算即可.
（2）根据公式得到，，计算得到答案.
【详解】（1），
，故余弦距离等于；
（2）；
故，，则.
4．（21-22高一下·上海嘉定·期末）我们知道：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取其定义域D中的任意值时，有，且成立，那么函数叫做周期函数．对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数的最小正周期．对于定义域为R的函数，若存在正常数T，使得是以T为周期的函数，则称为正弦周期函数，且称T为其正弦周期．
(1)验证是以为周期的正弦周期函数．
(2)已知函数是周期函数，请求出它的一个周期．并判断此周期函数是否存在最小正周期，并说明理由．
(3)已知存在这样一个函数，它是定义在R上严格增函数，值域为R，且是以T为周期的正弦周期函数．若，，且存在，使得，求的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)是它的一个周期且是最小正周期，证明见解析；
(3)．
【分析】（1）根据正弦周期函数的定义求解；
（2）结合正弦、余弦函数性质由周期函数定义求解．
（3）从是严格递增函数，时，进行推理可得．
【详解】（1），证毕．
（2），易知是它的一个周期，
因为，
下面证明是的最小正周期，
时，是增函数，
时，是减函数，
又，
，
所以，即函数图象关于直线对称，
所以当时，不可能是函数的周期，
假设函数有小于的正周期，则，取，
与时，函数的单调性相同，但，而在这两个区间上单调性相反，假设错误．
所以是的最小正周期．
（3）因为是周期函数，是它的一个周期，
，，又由题意，,
因为，，是严格递增函数，
所以，
又时，，
，，
因为是严格递增函数，
所以与是一一对应的，
因此，．
0
2
0
0
0
0
2
0
0
0

1
2
0
0
1
4
1
-2
1
11.8
31.8
51.8
71.8
91.8
0
1.2
2.7
1.2
1.2
时刻/h
2
6
10
14
18
温度/℃
20
10
20
30
20