2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第12讲：拓展五：利用洛必达法则解决导数问题(学生版+解析)

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1、定义：如果当（或）时，两个函数与都趋于零（或都趋于无穷大），那么极限（或）可能存在、也可能不存在.通常把这种极限称为型及型未定式.
2、定理1（型）：（1）设当时， 及；
（2）在点的某个去心邻域内（点的去心 \t "" 邻域内）都有，都存在，且；
（3）；
则：.
3、定理2（型）： 若函数和满足下列条件：(1) 及；
(2)，和在与上可导，且；
(3)，
那么 .
4、定理3（型）：若函数和满足下列条件：(1) 及；
(2)在点的去心 \t "" 邻域内，与可导且；
(3)，
那么 =.
5、将上面公式中的,,,洛必达法则也成立.
6、若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止:
A．B．C．1D．2
3．（23-24高二下·重庆江北·阶段练习）我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则（ ）
A．0B．C．1D．2
练透核心考点
1．（23-24高二下·四川成都·期中）年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，按此方法则有 ．
2．（23-24高二下·四川成都·期中）1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，按此方法则有 ．
3．（23-24高二下·重庆万州·阶段练习）我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则 ．
类型二：洛必达法则在导数中的应用
典型例题
1．（2024·浙江·二模）①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数，的导函数分别为，，且，则
.
②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数；
(2)计算：；
(3)证明：，.
2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，如果当，且时，，求的取值范围．
练透核心考点
1．（2024·浙江·模拟预测）已知函数，
(1)当时，求函数的值域；
(2)若函数恒成立，求的取值范围.
2．（23-24高三上·四川成都·期中）已知函数.
(1)当时，求过原点且与的图象相切的直线方程；
(2)若有两个不同的零点，不等式恒成立，求实数的取值范围.
第12讲：拓展五：利用洛必达法则解决导数问题
一、型及型未定式
1、定义：如果当（或）时，两个函数与都趋于零（或都趋于无穷大），那么极限（或）可能存在、也可能不存在.通常把这种极限称为型及型未定式.
2、定理1（型）：（1）设当时， 及；
（2）在点的某个去心邻域内（点的去心 \t "" 邻域内）都有，都存在，且；
（3）；
则：.
3、定理2（型）： 若函数和满足下列条件：(1) 及；
(2)，和在与上可导，且；
(3)，
那么 .
4、定理3（型）：若函数和满足下列条件：(1) 及；
(2)在点的去心 \t "" 邻域内，与可导且；
(3)，
那么 =.
5、将上面公式中的,,,洛必达法则也成立.
6、若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止:
,如满足条件，可继续使用洛必达法则.
二、型、、、型
1、型的转化：
或；
2、型的转化：
3、、型的转化：幂指函数类
高频考点类型
类型一：洛必达法则的简单计算
典型例题
1．（23-24高二下·新疆伊犁·期中）我们把分子､分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】
根据题意利用洛必达法则求解即可
【详解】由题意得，
故选：B
2．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】利用洛必达法则直接求解即可.
【详解】.
故选：B.
3．（23-24高二下·重庆江北·阶段练习）我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则（ ）
A．0B．C．1D．2
【答案】D
【分析】利用洛必达法则直接求解即可
【详解】，
故选：D
练透核心考点
1．（23-24高二下·四川成都·期中）年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，按此方法则有 ．
【答案】
【分析】由洛必达法则，分别对分子和分母求导，代入即可求得该极限值.
【详解】由题意可得：．
故答案为：.
2．（23-24高二下·四川成都·期中）1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，按此方法则有 ．
【答案】2
【分析】根据题中所给方法也就是洛必达法则，直接计算可求得答案.
【详解】由题意可得：,
故答案为：2.
3．（23-24高二下·重庆万州·阶段练习）我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则 ．
【答案】/0.5
【分析】依据洛必达法则去计算即可解决.
【详解】
故答案为：
类型二：洛必达法则在导数中的应用
典型例题
1．（2024·浙江·二模）①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数，的导函数分别为，，且，则
.
②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数；
(2)计算：；
(3)证明：，.
【答案】(1)不是区间上的2阶无穷递降函数；
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据函数为区间上的k阶无穷递降函数的定义即可判断；
（2）通过构造，再结合即可得到结果；
（3）通过换元令令，则原不等式等价于，再通过构造函数，根据题干中函数为区间上的k阶无穷递降函数的定义证出，即可证明结论.
【详解】（1）设，
由于，
所以不成立，
故不是区间上的2阶无穷递降函数.
（2）设，则，
设，
则，
所以，得.
（3）令，则原不等式等价于，
即证，
记，则，
所以，
即有对任意，均有，
所以，
因为，
所以，
所以，证毕!
【点睛】方法点睛：利用函数方法证明不等式成立问题时，应准确构造相应的函数，注意题干条件中相关限制条件的转化.
2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，如果当，且时，，求的取值范围．
【答案】
【分析】将题意转化为，令，利用洛必达法则求出，即可得出答案.
【详解】根据题目的条件，当且时，
得，等价于．
设，，
因为，设，
则，
所以在上单调递增，
因为，所以当时，，
即在上单调递减，当在上单调递增．
当趋近时，趋近，当趋近时，趋近，
所以符合洛必达法则的条件，
即，
所以当时，
所以的取值范围是．
练透核心考点
1．（2024·浙江·模拟预测）已知函数，
(1)当时，求函数的值域；
(2)若函数恒成立，求的取值范围.
使得当时，故在上单调递减，
则，
④当时，
令，
则，
所以在上单调递增，即在上单调递增，
，即在上递增，则成立.
综上所述，若函数恒成立，则.
方法二
当时，成立，当时，成立，
当时，恒成立，
令，则，
又，
令，
，
当时，，
，
在上单调递增.
，
，故，
，又，
，故.
【点睛】方法点睛：对于恒成立问题，法一：由求解；法二：转化为 由求解.
2．（23-24高三上·四川成都·期中）已知函数.
(1)当时，求过原点且与的图象相切的直线方程；
(2)若有两个不同的零点，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可；
（2）函数有两个零点等价于有两个不同根，构造函数判定其单调性与零点得方程有两个不等实根，利用换元法得，构造，法一、将恒成立问题转化为，利用对勾函数的单调性，分类讨论计算即可；法二、利用导数求的单调性结合洛必达法则最小值即可.
【详解】（1）易知的定义域为，
设切点坐标，则切线方程为：，
把点带入切线得：，
所以，的切线方程为：；
（2），
又有两个不同零点，
则 有两个不同零点，
构造函数，
则为增函数，且，
即方程有两个不等实根，
令，则，
则，
设，
法一、原不等式恒成立等价于恒成立，
令，
由单调递增，即，
若单调递增，即恒成立，
此时符合题意；
若有解，此时有时，单调递减，则，不符合题意；
综上所述：的取值范围为.
法二、，
设，在恒成立，
在单调递增，，则在单调递增，所以，
，
所以的取值范围为.
【点睛】难点点睛：本题难点在于：需要利用同型构造根据函数有零点得出 有两个不同零点，构造函数，利用其单调性与零点得出方程有两个不等实根，再将零点换元将问题化为，一种方法是含参分类讨论，一种方法是利用洛必达法则求函数最值.