2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第十六讲：第三章一元函数的导数及其应用章节总结(精讲)(学生版+解析)

这是一份2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第十六讲：第三章一元函数的导数及其应用章节总结(精讲)(学生版+解析)，共76页。

TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc16150" 第一部分：典型例题讲解 PAGEREF _Tc16150 \h 1
\l "_Tc1500" 题型一：求切线问题 PAGEREF _Tc1500 \h 1
\l "_Tc19291" 题型二：公切线问题 PAGEREF _Tc19291 \h 4
\l "_Tc31386" 题型三：已知切线条数求参数 PAGEREF _Tc31386 \h 8
\l "_Tc17946" 题型四：利用导数研究函数的单调性（小题） PAGEREF _Tc17946 \h 11
\l "_Tc3730" 题型五：借助单调性构造函数解不等式 PAGEREF _Tc3730 \h 15
\l "_Tc20535" 题型六：利用导数研究函数单调性（含参讨论） PAGEREF _Tc20535 \h 18
\l "_Tc9807" 题型七：利用导数研究函数的极值 PAGEREF _Tc9807 \h 24
\l "_Tc20064" 题型八：利用导数研究函数的最值 PAGEREF _Tc20064 \h 30
\l "_Tc9429" 题型九：利用导数解决恒成立问题 PAGEREF _Tc9429 \h 35
\l "_Tc3178" 题型十：利用导数解决有解问题 PAGEREF _Tc3178 \h 39
\l "_Tc20475" 题型十一：利用导数解决函数零点（方程根）问题 PAGEREF _Tc20475 \h 42
\l "_Tc9414" 第二部分：新定义题 PAGEREF _Tc9414 \h 49
第一部分：典型例题讲解
题型一：求切线问题
1．（2024·陕西西安·二模）已知直线与曲线相切于点，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．（23-24高二下·陕西西安·阶段练习）曲线在点处的切线的方程为 ．
3．（2024高二·全国·专题练习）已知直线为曲线过点的切线. 则直线的方程为 .
4．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）已知函数.
(1)曲线在点P处的切线与直线互相垂直，求点P的坐标.
(2)过点作曲线的切线，求此切线的方程.
5．（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）已知函数，点在曲线上.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求曲线过点的切线方程.
题型二：公切线问题
1．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）若直线既和曲线相切，又和曲线相切，则称为曲线和的公切线.曲线和曲线：的公切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（多选）（23-24高二上·山西运城·期末）若直线是曲线与曲线的公切线，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高二下·重庆·开学考试）已知函数，（，），若存在直线l，使得l是曲线与曲线的公切线，则实数a的取值范围是 ．
4．（23-24高二上·重庆·期末）若函数与函数的图象存在公切线，则实数t的取值范围为 .
5．（2024高二下·全国·专题练习）已知曲线 ，曲线 ，求证：与相切，并求其公切线的方程.
题型三：已知切线条数求参数
1．（23-24高二下·浙江·阶段练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二上·广东深圳·期末）过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二下·辽宁·期末）已知过点作的曲线的切线有且仅有两条，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·陕西宝鸡·二模）若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型四：利用导数研究函数的单调性（小题）
1．（23-24高二下·河北张家口·阶段练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（ ）
A．eB．1C．D．
3．（23-24高二上·福建福州·期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高三上·福建泉州·阶段练习）若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023高三·全国·专题练习）若函数恰有三个单调区间，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．（22-23高二下·湖北·阶段练习）若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（21-22高三上·河南·阶段练习）已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型五：借助单调性构造函数解不等式
1．（23-24高二下·河北保定·阶段练习）若函数的定义域为，且，则不等式的解集为
A．B．C．D．
2．（23-24高二下·河南·阶段练习）设，则（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二下·河北张家口·阶段练习）若，则以下不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2024·陕西·模拟预测）设，则（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24高三上·浙江杭州·期末）已知定义在上的函数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
题型六：利用导数研究函数单调性（含参讨论）
1．（2024高二·上海·专题练习）已知函数.
(1)当时，求的最大值.
(2)讨论函数的单调性.
2．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）已知函数.
(1)当 时， 求 的单调区间；
(2)若在上是增函数，求的取值范围；
(3)讨论 的单调性．
3．（23-24高二下·四川广元·阶段练习）已知函数.
(1)当时，求函数的最小值；
(2)当时，，证明不等式；
(3)当时，求函数的单调区间.
4．（23-24高二下·河北石家庄·阶段练习）已知函数，．
(1)当时，求函数在上的值域（）；
(2)讨论函数的单调性．
（2024高三·全国·专题练习）已知，讨论的单调性.
题型七：利用导数研究函数的极值
1．（2024·辽宁·一模）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线的方程；
(2)讨论的极值.
2．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）已知函数有两个不同的极值点，且.
(1)求的取值范围；
(2)求的极大值与极小值之和的取值范围.
3．（2024·山东济南·一模）已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)讨论极值点的个数.
4．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数，其中．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)求证：的极大值恒为正数．
5．（23-24高二下·上海·阶段练习）设函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)令，求的单调区间；
(3)已知在处取得极大值，求实数的取值范围．
题型八：利用导数研究函数的最值
1．（23-24高二下·河北保定·阶段练习）已知函数在处取得极小值，且极小值为.
(1)求的值；
(2)求在上的值域.
2．（2024·海南·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，若函数有最小值2，求的值.
3．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知函数.
(1)若是的极值点，求实数的值；
(2)若，求在区间上的最大值.
4．（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数，
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数在上的最小值为3，求实数的值.
5．（23-24高二下·北京·阶段练习）设函数，.
(1)当时， 试求的单调增区间；
(2)试求在上的最大值.
题型九：利用导数解决恒成立问题
1．（23-24高二下·北京丰台·阶段练习）已知函数.
(1)当时，求函数的零点个数；
(2)当时，若对任意都有，求实数的取值范围.
2．（23-24高二下·河北张家口·阶段练习）已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
3．（2024·贵州黔东南·二模）已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若恒成立，求的取值范围.
4．（2024·北京·模拟预测）已知函数.
(1)求的图象在点处的切线方程；
(2)讨论的单调区间；
(3)若对任意，都有，求的最大值.（参考数据：）
题型十：利用导数解决有解问题
1．（23-24高三上·青海西宁·期末）已知函数.
(1)证明：.
(2)若关于的不等式有解，求的取值范围.
2．（23-24高三上·福建莆田·期中）已知函数．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)若，且对，都，使得成立，求实数的取值范围．
3．（2023高三·全国·专题练习）已知函数，其中参数．
(1)求函数的单调区间；
(2)设函数，存在实数，使得不等式成立，求a的取值范围．
4．（2023高三·全国·专题练习）已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)若存在，使得成立，求实数m的最小值.
题型十一：利用导数解决函数零点（方程根）问题
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是 .
2．（23-24高二下·山东枣庄·阶段练习）已知函数，在处取得极值为.
(1)求：值;
(2)若有三个零点，求的取值范围.
3．（23-24高二下·贵州黔西·开学考试）已知在处取得极小值．
(1)求的解析式；
(2)求在处的切线方程；
(3)若方程有且只有一个实数根，求的取值范围.
(2)若不等式恒成立，求正数的取值范围（其中为自然对数的底数）．
2．（2023高三·全国·专题练习）已知函数，其中参数．
(1)求函数的单调区间；
(2)设函数，存在实数，使得不等式成立，求a的取值范围．
3．（23-24高二下·广东揭阳·阶段练习）设函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数有两个极值点，且，求的最小值.
4．（23-24高三上·福建龙岩·阶段练习）设函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若有两个零点，
①求a的取值范围；
②证明：.
第二部分：新定义题
1．（23-24高三上·上海·阶段练习）已知函数，，其中为自然对数的底数，设函数，
(1)若，求函数的单调区间，并写出函数有三个零点时实数的取值范围；
(2)当时，分别为函数的极大值点和极小值点，且不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
(3)对于函数，若实数满足，其中F、D为非零实数，则称为函数的“笃志点”.
①已知函数，且函数有且只有3个“笃志点”，求实数a的取值范围；
②定义在R上的函数满足：存在唯一实数m，对任意的实数x，使得恒成立或恒成立.对于有序实数对，讨论函数“笃志点”个数的奇偶性，并说明理由
2．（2023·上海嘉定·一模）对于函数，把称为函数的一阶导，令，则将称为函数的二阶导，以此类推得到n阶导.为了方便书写，我们将n阶导用表示.
(1)已知函数，写出其二阶导函数并讨论其二阶导函数单调性.
(2)现定义一个新的数列：在取作为数列的首项，并将作为数列的第项.我们称该数列为的“n阶导数列”
①若函数（），数列是的“n阶导数列”，取Tn为的前n项积，求数列的通项公式.
②在我们高中阶段学过的初等函数中，是否有函数使得该函数的“n阶导数列”为严格减数列且为无穷数列，请写出它并证明此结论.（写出一个即可）
3．（2023·上海金山·一模）设函数的定义域为，给定区间，若存在，使得，则称函数为区间上的“均值函数”，为函数的“均值点”．
(1)试判断函数是否为区间上的“均值函数”，如果是，请求出其“均值点”；如果不是，请说明理由；
(2)已知函数是区间上的“均值函数”，求实数的取值范围；
(3)若函数（常数）是区间上的“均值函数”，且为其“均值点”．将区间任意划分成（）份，设分点的横坐标从小到大依次为，记，，．再将区间等分成（）份，设等分点的横坐标从小到大依次为，记．求使得的最小整数的值．
第16讲：第三章 一元函数的导数及其应用 章节总结
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc16150" 第一部分：典型例题讲解 PAGEREF _Tc16150 \h 1
\l "_Tc1500" 题型一：求切线问题 PAGEREF _Tc1500 \h 1
\l "_Tc19291" 题型二：公切线问题 PAGEREF _Tc19291 \h 4
\l "_Tc31386" 题型三：已知切线条数求参数 PAGEREF _Tc31386 \h 8
\l "_Tc17946" 题型四：利用导数研究函数的单调性（小题） PAGEREF _Tc17946 \h 11
\l "_Tc3730" 题型五：借助单调性构造函数解不等式 PAGEREF _Tc3730 \h 15
\l "_Tc20535" 题型六：利用导数研究函数单调性（含参讨论） PAGEREF _Tc20535 \h 18
\l "_Tc9807" 题型七：利用导数研究函数的极值 PAGEREF _Tc9807 \h 24
\l "_Tc20064" 题型八：利用导数研究函数的最值 PAGEREF _Tc20064 \h 30
\l "_Tc9429" 题型九：利用导数解决恒成立问题 PAGEREF _Tc9429 \h 35
\l "_Tc3178" 题型十：利用导数解决有解问题 PAGEREF _Tc3178 \h 39
\l "_Tc20475" 题型十一：利用导数解决函数零点（方程根）问题 PAGEREF _Tc20475 \h 42
\l "_Tc9414" 第二部分：新定义题 PAGEREF _Tc9414 \h 49
第一部分：典型例题讲解
题型一：求切线问题
1．（2024·陕西西安·二模）已知直线与曲线相切于点，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】把切点P的坐标代入求出，再求函数导数求出k，再把代入求．
【详解】∵点在曲线上，
，解得，
由题意得，，
∴在点处的切线斜率，
把代入，得，
故选：D．
2．（23-24高二下·陕西西安·阶段练习）曲线在点处的切线的方程为 ．
【答案】
【分析】求出，可求得的值，利用导数的几何意义可求得曲线在点处的切线的方程
【详解】由，则，且，
所以曲线在点处的切线的方程为，
故答案为：
3．（2024高二·全国·专题练习）已知直线为曲线过点的切线. 则直线的方程为 .
【答案】或
【分析】
设切点为，由导数的几何意义求得切线方程，代入点坐标求出，再回代得切线方程．
【详解】∵，∴.
设直线与曲线相切于点，则直线的斜率为，
∴过点的切线方程为，
即，又点在切线上，
∴，整理得，
∴，
解得或；
∴所求的切线方程为或.
故答案为：或.
4．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）已知函数.
(1)曲线在点P处的切线与直线互相垂直，求点P的坐标.
(2)过点作曲线的切线，求此切线的方程.
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）借助导数的几何意义与直线垂直斜率间的关系计算即可得；
（2）设出切点，借助导数的几何意义计算即可得.
【详解】（1），由题意可得，故，
当时，，当时，，
故点P的坐标为或；
（2）设切点坐标为，则有，
故，整理得，
即，故或，
当时，有，即，
当时，有，即，
故此切线的方程为或.
5．（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）已知函数，点在曲线上.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求曲线过点的切线方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】
（1）由已知条件求出的值，求出的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；
（2）设切点坐标为，利用导数的几何意义写出切线方程，将点的坐标代入切线方程，求出的值，即可得出所求切线的方程.
【详解】（1）解：因为函数，点在曲线，则，所以，，
所以，，则，
因此，曲线在点处的切线方程为，即.
（2）解：设切点坐标为，则，
所以，曲线在点处的切线方程为，即，
将点的坐标代入切线方程可得，解得或，
当时，所求切线方程为；
当时，所求切线方程为.
综上所述，曲线过点的切线方程为或.
题型二：公切线问题
1．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）若直线既和曲线相切，又和曲线相切，则称为曲线和的公切线.曲线和曲线：的公切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据导数的几何意义可知公切线的斜率为和，则，分类讨论当曲线与的切点相同与不相同的情况，求出对应的切点，结合直线的点斜式方程即可求解.
【详解】由，得，由得，
设曲线的公切线与曲线的切点为，则切线的斜率为，
与曲线的切点为，则切线的斜率为，
所以.
当曲线与的切点相同时，，
解得，所以切点为，此时公切线的方程为；
当曲线与曲线的切点不同时，，得，
所以，即，解得，此时与矛盾，
故不存在两切点不同的情况，
综上可得：切点的坐标为，公切线的方程为.
故选：A.
2．（多选）（23-24高二上·山西运城·期末）若直线是曲线与曲线的公切线，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】
借助导数的几何意义计算即可得.
【详解】令，则，
令，有，则，
即有，即，故，
令，则，
令，有，则，
即有，即，
故有，即.
故选：BD.
3．（23-24高二下·重庆·开学考试）已知函数，（，），若存在直线l，使得l是曲线与曲线的公切线，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分别设出直线与两曲线的切点坐标，，利用导数的几何意义求出切线方程，根据题意得到，记，分类讨论a与1的大小关系，利用导数与函数的单调性结合零点存在性定理分析求解.
【详解】设直线为曲线在点处的切线，，
所以，即；
设直线为曲线在点处的切线，，
所以，即；
由题意知，因为，可知，
由可得，
将其代入可得：，
令，则在上有零点，
令，则，
令，解得；令，解得；
在区间上单调递增，在区间上单调递减，
当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
且，
当时，，故在上恒有零点，从而恒成立；
当时，，无零点，不成立；
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
且当时，，
则，解得；
综上所述：实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求曲线的切线问题主要分两大类：
一类是切点已知，那么只需将切点横坐标代入到原函数与导函数中求出切点和斜率即可；
另一类是切点未知，那么先要设出切点坐标，利用导数表示切线的斜率以及切线方程，根据所过的点求切点，得出切线方程.
4．（23-24高二上·重庆·期末）若函数与函数的图象存在公切线，则实数t的取值范围为 .
【答案】
【分析】
求出函数的导数，设出曲线与公切线的坐标，利用导数的几何意义求得两切点坐标之间的关系式，进而求出t的表达式，构造函数，利用导数求其最值，即可求得答案.
【详解】由题意得，，
设公切线与曲线切于点，与曲线切于点，
则，则，，
当时，，函数与的图象存在公切线，符合题意；
当时，，即，
故，
令，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
故，故，
综合得实数t的取值范围为，
故答案为：
【点睛】关键点睛：解答时要设出曲线与公切线的切点，利用导数的几何意义，求得切点坐标之间关系，关键在于由此结合该关系求得参数t的表达式，进而构造函数，利用导数解决问题.
5．（2024高二下·全国·专题练习）已知曲线 ，曲线 ，求证：与相切，并求其公切线的方程.
【答案】证明见解析，公切线方程为
【分析】联立两曲线方程可得，令，其中，利用导数证明出，且在公共点处切线斜率相等，可证得结论成立，再利用点斜式可得出公切线的方程.
【详解】解：联立，可得，
令，其中，，
由可得，由可得，
所以，函数的减区间为，增区间为，
所以，，
即函数有且仅有一个零点，
即方程 仅有唯一根 ，
故方程组仅有一组解，
由已知可得，，则，，
所以，所以与相切于点 ，
所以其公切线方程为 ，即 （如图）.

题型三：已知切线条数求参数
1．（23-24高二下·浙江·阶段练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】假设切点坐标，根据导数几何意义可求得切线方程，代入，将问题转化为与有两个不同交点，利用导数可求得单调性和最值，由此可得结果.
【详解】设切点坐标为，
，切线斜率，在点处的切线方程为：；
切线过点，，
过点可以作曲线的两条切线，
令，则与有两个不同交点，
，
当时，，在上单调递增，不合题意；
当时，若，则；若，则；
在上单调递减，在上单调递增，
，，即，
又，.
故选：C.
2．（23-24高二上·广东深圳·期末）过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
设切点坐标，写出切线方程，过点，代入化简得，将问题转化为该方程有三个不等实根，结合导函数讨论单调性数形结合求解.
【详解】设切点为，∵，∴，
∴M处的切线斜率，则过点P的切线方程为，
代入点的坐标，化简得，
∵过点可以作三条直线与曲线相切，
∴方程有三个不等实根.
令，求导得到，
可知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
如图所示，
故，即.
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：本题考查导数的几何意义，求切线方程，关键点在于将问题转化为方程的根的问题，根据方程的根的个数，求解参数的取值范围，考查导函数的综合应用，涉及等价转化，数形结合思想，属于中档题.
3．（23-24高二下·辽宁·期末）已知过点作的曲线的切线有且仅有两条，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据导数求出切线斜率，再构造函数把有两条切线转化为函数有两个交点解决问题即可.
【详解】设切点为，由题意得，所以，
整理得，此方程有两个不等的实根．
令函数，则．
当时，，所以在上单调递增;
当时，，所以在上单调递减,且．
，方程有两个不等的实根,故．
故选：D.
4．（2023·陕西宝鸡·二模）若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设切点为，利用导数的几何意义，求得切线方程，根据切线过点，得到，设，求得，得出函数单调性和极值，列出方程组，即可求解.
【详解】设切点为，
由函数，可得，则
所以在点处的切线方程为，
因为切线过点，所以，
整理得，
设，所以，
令，解得或，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
要使得过点可作曲线的三条切线，
则满足，解得，即的取值范围是．
故选：C．
题型四：利用导数研究函数的单调性（小题）
1．（23-24高二下·河北张家口·阶段练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先求函数的导数，根据题意转化为，恒成立，利用参变分离，转化为求函数的最值问题，即可求解.
【详解】若函数，则，
由题意可知，，恒成立，
即，恒成立，
设，，恒成立，
所以在区间单调递增，即，
所以.
故选：D
2．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（ ）
A．eB．1C．D．
【答案】D
【分析】
等价转化为在区间上恒成立，再利用分离参数法并结合导数即可求出答案.
【详解】
因为在区间上恒成立，所以在区间上恒成立．
令，则在上恒成立，
所以在区间上单调递减，所以，故．
故选：D.
3．（23-24高二上·福建福州·期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
依题意，在区间上恒成立，分离参数可得实数a的最大值.
【详解】由题意，
因为函数在区间上单调递减，
所以在区间上恒成立，即，
令，则，
又，所以，所以在为减函数，
所以，
所以，即实数a的最大值是.
故选：C
4．（23-24高三上·福建泉州·阶段练习）若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据条件得出存在，使成立，即存在，使成立，构造函数，，求出的最值即可解决问题.
【详解】因为函数在上存在单调递增区间，
所以存在，使成立，即存在，使成立，
令，， 变形得，因为，所以，
所以当，即时，，所以，
故选：D．
5．（2023高三·全国·专题练习）若函数恰有三个单调区间，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据导函数有两个不等根计算即可.
【详解】由题意得函数的定义域为，，
要使函数恰有三个单调区间，
则有两个不相等的实数根，∴，解得且，
故实数a的取值范围为，
故选：C.
6．（22-23高二下·湖北·阶段练习）若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出函数的定义域，则有，对函数求导后，令求出极值点，使极值点在内，从而可求出实数的取值范围.
【详解】因为函数的定义域为，
所以，即，
，
令，得或（舍去），
因为在定义域的一个子区间内不是单调函数，
所以，得，
综上，，
故选：A
7．（21-22高三上·河南·阶段练习）已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】把在区间上不是单调函数，转化为在区间上有零点，用分离参数法得到，规定函数，求出值域即可得到实数的取值范围.
【详解】因为在区间上不是单调函数，
所以在区间上有解，即在区间上有解．
令，则．
当时，；当时，．
故在上单调递减，在上单调递增．又因为，
且当时，
所以在区间上单调递增，所以，解得.
故选：A
题型五：借助单调性构造函数解不等式
1．（23-24高二下·河北保定·阶段练习）若函数的定义域为，且，则不等式的解集为
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先构造函数，再判断函数的单调性，解不等式.
【详解】构造函数，则，所以在上单调递增.
由，得，得.
故选：C
2．（23-24高二下·河南·阶段练习）设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将和转化为都以为底的对数即可比较和，设，根据导数即可判断和大小关系.
【详解】因为，，
所以，设，
所以，令，
则，因为在小于，在大于，
所以在单调递减，在单调递增，
所以，所以，
所以，，
所以，所以.
故选：D.
3．（23-24高二下·河北张家口·阶段练习）若，则以下不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将变形为，构造函数，，利用导数研究其单调性，再结合作差法比较即可.
【详解】因为，，，
令，定义域为，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又因为，所以，，
又，所以，
所以，即.
故选：D.
4．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
构造函数，判定其单调性计算即可.
【详解】根据题意可令，
所以在上单调递减，
则原不等式等价于，
由，
解之得.
故选：B
5．（2024·陕西·模拟预测）设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
构造函数，利用导数得到其单调性则比较出，利用指数函数和幂函数以及正弦函数的单调性即可比较出，则最终得到三者大小.
【详解】先变形，令，
下面比较当时，与的大小.
①令，则，令，
得，当时，单调递增，
所以，所以，即，所以.
②，所以，，
所以，则，所以.
综上，，
故选：D.
6．（23-24高三上·浙江杭州·期末）已知定义在上的函数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
构造函数，，求导得到其单调性，从而得到，化简后得到答案.
【详解】令，，
故恒成立，
故在上单调递增，
故，即.
故选：B
题型六：利用导数研究函数单调性（含参讨论）
1．（2024高二·上海·专题练习）已知函数.
(1)当时，求的最大值.
(2)讨论函数的单调性.
【答案】(1)0
(2)答案见解析
【分析】（1）利用导数求解函数最值即可.
（2）含参讨论函数单调性即可.
【详解】（1）当时，，
由，所以，
当时，，所以函数在上单调递增；
当时，，所以函数在上单调递减；
故；
（2）定义域为，，
当时，，在上递增；
当时，令，解得，
令，解得.
于是在上单调递增；在上单调递减.
2．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）已知函数.
(1)当 时， 求 的单调区间；
(2)若在上是增函数，求的取值范围；
(3)讨论 的单调性．
【答案】(1) 的单调递增区间为，单调递减区间为
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）利用导数法求函数的单调性的步骤即可求解；
（2）将所求问题转化为不等式恒成立问题，利用一元二次不等式在区间恒成立的解决方法即可求解；
（3）利用导数法求函数的单调性的步骤，注意分类讨论即可求解.
【详解】（1）当 时， ，
，
令则，解得或（舍），
当时，当时，
所以 的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）因为，
所以,
因为在上是增函数，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
因为的对称轴为，
当时，，则在上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，开口向下；
综上，要使得在上恒成立，
只需，解得，
所以的取值范围为.
（3）因为，
所以,
当时，，所以在上恒成立，
所以在上单调递增；
当时，令则，解得或（舍），
当时，当时，
所以在 上单调递增，在 上单调递减；
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在 上单调递增，在 上单调递减.
3．（23-24高二下·四川广元·阶段练习）已知函数.
(1)当时，求函数的最小值；
(2)当时，，证明不等式；
(3)当时，求函数的单调区间.
【答案】(1)1
(2)证明见详解
(3)答案见详解
【分析】（1）求导，利用导数判断的单调性，结合单调性求最值；
（2）构建，利用导数判断其单调性，结合单调性分析证明；
（3）求导，分类讨论最高项系数以及两根大小，利用导数求单调区间.
【详解】（1）因为的定义域为，
当时，则，且，
当时，；当时，；
可知在内单调递减，在内单调递增，
所以函数的最小值为.
（2）当时，则，
构建，
则在内恒成立，
可知在内单调递增，则，
所以当，.
（3）因为的定义域为，且，
（i）若，可知，
当时，；当时，；
可知的单调递减区间为，单调递增区间为；
（ⅱ）若，令，解得或，
①当，即时，的单调递减区间为，单调递增区间为；
②当，即时，的单调递减区间为，无单调递增区间；
③当，即时，的单调递减区间为，单调递增区间为；
综上所述：，的单调递减区间为，单调递增区间为；
，的单调递减区间为，单调递增区间为；
，的单调递减区间为，无单调递增区间；
，的单调递减区间为，单调递增区间为.
4．（23-24高二下·河北石家庄·阶段练习）已知函数，．
(1)当时，求函数在上的值域（）；
(2)讨论函数的单调性．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由题意得，再求导后分别求出单调性，从而可求解.
（2）对函数求导得，然后分情况讨论的情况，再结合导数求出相关单调性，从而可求解.
【详解】（1）当时，，定义域为，
则，
令，得或(舍去)，
当时，，，，
所以在区间单调递减，在区间单调递增，
所以当时，取到极小值也是最小值，
所以当，，，
又因为，因为，
此时，，
故在上的值域为.
（2），，
当时，，，
当，，当，，
所以在区间单调递减，在区间单调递增；
当时，令，得或，
当时，时，，当时，，
所以在区间单调递减，在区间单调递增；
当时，
当时，，当，，
所以在区间单调递减，在区间单调递增；
当时，
所以在区间单调递减；
当时，
当时，，当时，，
所以在区间单调递减，在区间单调递增；
综上所述：当时，在区间单调递减，在区间单调递增；
当时，在区间单调递减，在区间单调递增；
当时，区间单调递减；
当时，在区间单调递减，在区间单调递增.
【点睛】方法点睛：（1）导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理；
（2）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用；
（3）证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
5．（2024高三·全国·专题练习）已知，讨论的单调性.
【答案】当时，在R上单调递增；当或时，在，上单调递增，在上单调递减．
【分析】
通过求出函数的导数，对其导数进行正负判断，进而求出单调区间.
【详解】
由题得，令得，
①若，即当时，恒成立，在R上单调递增；
②若，即当或时，可得的两根分别为，，
当时，，当时，，
所以在，上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，在R上单增；
当或时，在，上单调递增，在上单调递减．
题型七：利用导数研究函数的极值
1．（2024·辽宁·一模）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线的方程；
(2)讨论的极值.
【答案】(1)；
(2)极大值为，无极小值.
【分析】（1）把代入，利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）求出的导数，分析函数单调性求出极值即得.
【详解】（1）当时，，求导得，则，而，
所以的方程为，即.
（2）函数的定义域为，求导得，
而，则当时，，当时，，
因此在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得极大值，无极小值.
2．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）已知函数有两个不同的极值点，且.
(1)求的取值范围；
(2)求的极大值与极小值之和的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）对求导，得到，根据条件，得到有两个不同的正根，再利用二次函数根的分布，即可求出结果；
（2）根据（1）得到，从而得到，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出，即可求出结果.
【详解】（1），且定义域为，
因为有两个不同的极值点，且，
所以有两个不同的正根，
所以，解得，
所以的取值范围是.
（2）由（1）可知，，不妨设，
所以，
所以
，
令，则，
所以在上单调递增，
所以，
即的极大值与极小值之和的取值范围是.
3．（2024·山东济南·一模）已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)讨论极值点的个数.
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为；
(2)答案见解析.
【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；
（2）求出函数的导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调性，即可得到函数的极值点个数.
【详解】（1）当时，定义域为，
又，
所以，
由，解得，此时单调递增；
由，解得，此时单调递减，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）函数的定义域为，
由题意知，，
当时，，所以在上单调递增，
即极值点的个数为个；
当时，易知，
故解关于的方程得，，，
所以，
又，，
所以当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减，
即极值点的个数为个.
综上，当时，极值点的个数为个；当时，极值点的个数为个.
4．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数，其中．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)求证：的极大值恒为正数．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；
（2）分，和三种情况讨论，再结合极大值的定义即可得出结论.
【详解】（1），
当时，，，
又，故曲线在处的切线方程为；
（2），
解得知，，
若，当或时，，当时，，
所以在，递减，递增，
故极大值为；
若，则，
所以函数单调递减，无极大值；
若，当或时，，当时，，
所以在，递减，递增，
故极大值，
综上，的极大值恒为正数．
【点睛】思路点睛：利用导数求函数极值的步骤如下：
（1）求函数的定义域；
（2）求导；
（3）解方程，当；
（4）列表，分析函数的单调性，求极值：
①如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值；
②如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值.
5．（23-24高二下·上海·阶段练习）设函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)令，求的单调区间；
(3)已知在处取得极大值，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减
(3)
【分析】（1）直接利用导数与切线斜率的关系即可求解；
（2）分和两种情况，然后求解不等式和即可得到的单调区间；
（3）对不同区间的进行分类讨论，并判断在附近的单调性，即可得到结果.
【详解】（1）若，则，从而，
故，从而曲线在点处的切线斜率为，故所求切线为直线.
又，故所求切线方程为.
（2）由，知.
当时，，故在上单调递增；
当时，；
从而的解集是，的解集是.
这表明在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
（3）首先我们有.
当时，由上一问结论，知在上单调递增，在上单调递减.
这意味着当时，；当时，.
故在和上均单调递减，从而不是的极值点，不满足条件；
当时，由上一问结论，知在上单调递增，
而，故在上单调递增.
这表明当时，有，从而在上单调递增，
故不可能是的极大值点，不满足条件；
当时，由上一问结论，知在上单调递增，
故在上单调递增.
这表明当时，有，从而在上单调递增，
故不可能是的极大值点，不满足条件；
当时，由上一问结论，知在上单调递减.
注意到此时，故当时，；
当时，.
从而在上单调递增，在上单调递减，
这说明是的极大值点，满足条件.
综上，的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：在第三问中，关键点在于附近的单调性，从而在的情况下，需要仔细比较和的大小关系，也就是和的大小关系，这是分类讨论的一大出发点.
题型八：利用导数研究函数的最值
1．（23-24高二下·河北保定·阶段练习）已知函数在处取得极小值，且极小值为.
(1)求的值；
(2)求在上的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导，利用导函数与极值点的关系结合已知条件列方程组求解即可；
（2）利用导函数的符号判断单调性，进而求值域即可.
【详解】（1）由题意可得，
因为在处取得极小值，且极小值为，
所以，解得，
此时，满足在处取得极小值，
故.
（2）由（1）得，，
当时，令解得，令解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在上的最大值为，
又因为，所以在上的最小值为，
故在上的值域为.
2．（2024·海南·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，若函数有最小值2，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出，求导，得到，利用导数的几何意义求出切线方程；
（2）求定义域，求导，得到函数单调性和最小值，得到，构造，求导得到函数单调性，结合特殊点的函数值，得到答案.
【详解】（1）当时，的定义域为，
则，则，
由于函数在点处切线方程为，即.
（2）的定义域为，
，
当时，令，解得：；令，解得：，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，，即
则令，设，
令，解得：；令，解得：，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，解得：.
3．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知函数.
(1)若是的极值点，求实数的值；
(2)若，求在区间上的最大值.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求导，根据极值点可得，验证即可求解，
（2）求导，分类讨论，即可结合函数的单调性求解最值.
【详解】（1）．
因为是的极值点，所以，解得.
所以，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以是的极大值点，符合题意，因此．
（2），
令，得或，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
由题可知．
（i）若，则在上单调递减，．
（ii）若，则在上单调递减，在上单调递增，
若，则，所以；
若，则，所以．
综上，当时，；当时，．
4．（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数，
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数在上的最小值为3，求实数的值.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，分类讨论即可得解；
（2）分类讨论的取值范围，结合（1）中结论得到的最小值，进而得到关于的方程，解之即可得解.
【详解】（1）因为，则，
当时，恒成立，故在上单调递增；
当时，令，得，
当时，，上单调递减；
当时，，上单调递增；
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在单调递增.
（2）当，即时，由（1）知在上单调递增，
所以，即（舍去）；
当，即时，由（1）知在单调递减，在单调递增
所以，解得（舍去）；
当，即时，由（1）知在单调递减，
所以，解得；
综上所述，.
5．（23-24高二下·北京·阶段练习）设函数，.
(1)当时， 试求的单调增区间；
(2)试求在上的最大值.
【答案】(1)
(2)当时，当时.
【分析】
（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调递增区间；
（2）求出函数的导函数，分、、三种情况讨论，分别得到函数的单调性，即可得到无论为何值，当时，最大值都为或，再计算，分和两种情况讨论，即可求出函数的最大值.
【详解】（1）当时，定义域为，
且，令，解得，所以的单调增区间为.
（2）因为，
令，解得，
①当即时，所以当时，恒成立，
即在上单调递增，则；
②当即时，所以当时，恒成立，
即在上单调递减，则；
③当即时，
时，，在单调递减，
时，，在上单调递增，
则，
综上，无论为何值，当时，最大值都为或，
又，，
又，
所以当时，，，
当时，，.
综上可得当时，当时.
题型九：利用导数解决恒成立问题
1．（23-24高二下·北京丰台·阶段练习）已知函数.
(1)当时，求函数的零点个数；
(2)当时，若对任意都有，求实数的取值范围.
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）求出函数的导数，判断函数单调性，求出函数极值，结合零点存在定理，即可得答案；
（2）求出函数的导数，判断函数单调性，分类讨论a的取值范围，结合解不等式，即可求得答案
【详解】（1）当时，，，
当或时，，在上均单调递增，
当时，，在上单调递减，
而，又，即，
故在有一个零点，即在有一个零点，
而在上最小值为，此时无零点，
故函数的零点个数为1；
（2）当时，，
当或时，，在上均单调递增，
当时，，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
则此时，由题意得
解得，与矛盾，不合题意；
当时，，此时在上单调递增，在上单调递减，
则此时，由题意得，
解得，故，
综合可得实数的取值范围为.
2．（23-24高二下·河北张家口·阶段练习）已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)函数的极小值为，无极大值；
(2)
【分析】（1）利用导数，先判断函数的单调区间，再求函数的极值；
（2）首先不等式化简为恒成立，再利用参变分离，转化为最值问题，即可求解.
【详解】（1），令，得，
，和的关系，如下表所示，
所以函数的极小值为，无极大值；
（2）不等式恒成立，即恒成立，
即，，恒成立，所以，，
设，，
，其中，
设，，所以在单调递增，
因为，，所以存在，使，即，即，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得最小值，
由，可得，所以，
所以.
3．（2024·贵州黔东南·二模）已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为
(2)
【分析】（1）当时，求得，进而导数的符号，即可求得的单调区间；
（2）求得，求得函数的单调性和，结合恒成立，列出不等式，即可求解.
【详解】（1）解：当时，函数，且定义域为，
且，
当时，；时，；
所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）解：由函数，可得，
令，解得；
令，得；令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为恒成立，所以，解得，
又因为，所以的取值范围为.
4．（2024·北京·模拟预测）已知函数.
(1)求的图象在点处的切线方程；
(2)讨论的单调区间；
(3)若对任意，都有，求的最大值.（参考数据：）
【答案】(1)；
(2)答案见解析；
(3).
【分析】
（1）求得，，再根据导数的几何意义，即可求得切线方程；
（2）讨论参数与和的大小关系，在不同情况下，求函数单调性，即可求得单调区间；
（3）将问题转化为在上的最大值，根据（2）中所求单调性，求得，再构造函数解关于的不等式即可.
【详解】（1），，又，，
故的图象在点处的切线方程为，即.
（2），又，，
则时，当，，单调递增；当，，单调递减；
时，当，，单调递减；当，，单调递增；
当，，单调递减；
时，当，，在单调递减；
时，当，，单调递减；当，，单调递增；
当，，单调递减.
综上所述：当，的单调增区间为，单调减区间为；
当，的单调减区间为，单调增区间为；
当，的单调减区间为，没有单调增区间；
当，的单调减区间为，单调增区间为.
（3）若对任意，都有，则在上的最大值；
由（2）可知，当，在单调递增，在单调递减，
故；
令，则，
故在单调递增，又，则；
故当时，，
也即当时，对任意，都有.
故的最大值为.
【点睛】关键点点睛：本题第三问处理的关键是，将在区间上恒成立，转化为，再根据第二问中所求函数单调性求得，再构造函数解不等式即可.
题型十：利用导数解决有解问题
1．（23-24高三上·青海西宁·期末）已知函数.
(1)证明：.
(2)若关于的不等式有解，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据单调性求出的最小值即可证明.
（2）分离参数，借助（1）中不等式关系进行放缩，求其最小值，即可求出的取值范围.
【详解】（1）.
当时，；
当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
故.
（2）由题意可得不等式有解.
因为，
所以
当时，等号成立，所以.
故的取值范围为
2．（23-24高三上·福建莆田·期中）已知函数．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)若，且对，都，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用导数研究单调性，注意构造中间函数判断的符号；
（2）构造研究其单调性证在上恒成立，再应用导数研究在上的最大值，结合已知恒能成立有即可求范围.
【详解】（1）因为函数，所以．
设，则，故在上递减．
，即，
在上单调递减，最小值为．
（2）令，则在上恒成立，
即函数在上单调递减，所以，
所以，即在上恒成立；
又，当时，
在区间上单调递增；
在区间上单调递减．
函数在区间上的最大值为．
综上，只需，解得，即实数的取值范围是．
3．（2023高三·全国·专题练习）已知函数，其中参数．
(1)求函数的单调区间；
(2)设函数，存在实数，使得不等式成立，求a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导，对分类讨论求解单调区间；
（2）不等式成立，转化为，然后求解函数的最大与最小值列出不等式求解．
【详解】（1），
（1）当时，，，的减区间是．
（2）当时，，的减区间是．
（3）当时，，，的增区间是，
，的减区间是．
综上，当时，减区间是；当时，增区间是，减区间是.
（2），，因为存在实数，使得不等式成立，
，
，，,，，单减，，，单增．
．
，，，．
4．（2023高三·全国·专题练习）已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)若存在，使得成立，求实数m的最小值.
【答案】(1)极小值为，无极大值
(2)4
【分析】（1）直接利用导函数判定函数的单调性及求极值即可；
（2）分离参数，利用导函数求函数的最值即可.
【详解】（1）由，
令；令，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴在处取得极小值，且为，无极大值；
（2）由能成立，
问题转化为，
令，
由；由，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴，则，
故m的最小值为4．
题型十一：利用导数解决函数零点（方程根）问题
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】通过求导得出函数的单调性和极值，即可得出有三个实根时实数的取值范围.
【详解】由题意，
在中，，
当时，解得或，
当即时，单调递减，
当即，时，单调递增，
∵，，
当，
方程有三个不同的实根，
∴即，
故答案为：.
【点睛】易错点点点睛：本题考查函数求导，两函数的交点问题，在研究函数的图象时很容易忽略这个条件.
2．（23-24高二下·山东枣庄·阶段练习）已知函数，在处取得极值为.
(1)求：值;
(2)若有三个零点，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，即可求出的值，再检验即可；
（2）依题意可得与有三个不同的交点，利用导数判断函数的单调性，求出函数的极值，即可得到不等式组，即可求得答案.
【详解】（1），由题意可得，
即，解得，
经检验可得满足在取得极值，所以.
所以，.
（2）由，可得，
由，解得 或，
，解得，
所以在和单调递减，在单调递增.
所以的极小值为，
的极大值为.
又当时，，当时，，
所以当时，有三个零点，
故.
3．（23-24高二下·贵州黔西·开学考试）已知在处取得极小值．
(1)求的解析式；
(2)求在处的切线方程；
(3)若方程有且只有一个实数根，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）求出，由题意可的，由此即可求出答案；
（2）分别求出，的值，再利用点斜式写出直线；
（3）将问题转化为函数与有且只有一个交点，求出函数的单调性与极值，即可求出的取值范围.
【详解】（1）由题意知，
因为在处取得极小值
则，解得：
经检验，满足题意，所以，
所以
（2）由题意知，，
所以所以切点坐标为，斜率
所以切线方程为：，即.
（3）令，解得或，
则，，的关系如下表：
则，，
方程有且只有一个实数根等价于有且只有一个实数根，
等价于函数与有且只有一个交点，
即或，解得：或，
所以.
4．（2024·江苏南通·二模）设函数.已知的图象的两条相邻对称轴间的距离为，且.
(1)若在区间上有最大值无最小值，求实数m的取值范围；
(2)设l为曲线在处的切线，证明：l与曲线有唯一的公共点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据周期以及可求解，进而根据整体法即可求解，
（2）求导，根据点斜式求解切线方程，进而构造函数，利用导数判断函数的单调性，即可求解.
【详解】（1）由题意可得周期，故，
，
由于，故，
故，
当时，，
由于在区间上有最大值无最小值，故，解得，
故.
（2），，
，
故直线方程为，
令，则，
故在定义域内单调递增，又，
因此有唯一的的零点，
故l与曲线有唯一的交点，得证.
5．（2024·陕西西安·二模）设函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若时，函数的图像与的图像仅只有一个公共点，求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）借助导数对、及分类讨论即可得；
（2）原问题可等价于即在上无解，构造函数，借助导数研究即可得.
【详解】（1）的定义域为， ，
①当时，，由，得，
由，得，
当时，的在区间上单调递增，在区间上单调递减，
②当时，，，
当时，，的区间上单调递减，
③当时，由，得或，且.
当变化时，的变化情况如下表：
综上所述，当时，的在区间上单调递增，在区间上单调递减；
当时，在区间上的单调递减；
当时，在区间上的单调递增，
在区间和上单调递减区间；
（2）若时，函数的图像与的图像仅只有一个公共点，
即关于的方程，即在区间上仅只有一个解，
是方程的解，且时，
问题等价于即在上无解，
即曲线或与直线无公共点，
，由得，
当或时，变化时，，的变化情况如下表：
且当且时，；当且时，.
故的取值范围为.
6．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知函数，.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若方程有三个不同的实根，求的取值范围．
【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为
(2)
【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式即可求出单调区间；
（2）由，可得为的一个根，
所以有两个不同于的实根，令，利用导数说明函数的单调性，从而得到当时且，即可求出参数的取值范围.
【详解】（1）当时，函数，
则，令得或
当或时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，
即当时，单调递增区间为和，单调递减区间为．
（2），所以为的一个根，
故有两个不同于的实根，
令，则，
①当时，，故在上单调递增，不符合题意；
②当时，令，得，
当时，，故在区间上单调递增，
当时，，故在区间上单调递减，
并且当时，；当时，；
所以若要满足题意，只需且，
因为，所以，
又，所以，
所以实数的取值范围为
题型十二：利用导数解决双变量问题
1．（23-24高三上·广东广州·阶段练习）设函数的两个极值点分别为，．
(1)求实数的取值范围；
(2)若不等式恒成立，求正数的取值范围（其中为自然对数的底数）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意知有两个不相等的实根，转化为两个函数有两个交点问题，根据单调性画出函数图象，由此得到的取值范围.
（2）将不等式取自然对数化简整理，构造函数，求导分析，即可求正数的取值范围
【详解】（1）由题，定义域为．
则，由题可得有两个不等实数根，，
于是有两个不同的实数根，等价于函数与图象在有两个不同的交点，
，由，由，
所以在递增，在递减，
又，有极大值为，当时，，所以可得函数的草图（如图所示）．

所以，要使函数与图象在有两个不同的交点，当且仅当．
即实数的取值范围为
（2）由（1）可知：，是方程的两个实数根，且．
则 ．
由于，两边取自然对数得，
即，
令，则在恒成立．
所以在恒成立
令，则．
①当即时，，在递增，所以恒成立，满足题意．
②当时，在递增，在递减，所以，当时，，
因此，在不能恒成立，不满足题意．
综上所述，，即的取值范围是．
2．（2023高三·全国·专题练习）已知函数，其中参数．
(1)求函数的单调区间；
(2)设函数，存在实数，使得不等式成立，求a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导，对分类讨论求解单调区间；
（2）不等式成立，转化为，然后求解函数的最大与最小值列出不等式求解．
【详解】（1），
（1）当时，，，的减区间是．
（2）当时，，的减区间是．
（3）当时，，，的增区间是，
，的减区间是．
综上，当时，减区间是；当时，增区间是，减区间是.
（2），，因为存在实数，使得不等式成立，
，
，，,，，单减，，，单增．
．
，，，．
3．（23-24高二下·广东揭阳·阶段练习）设函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数有两个极值点，且，求的最小值.
【答案】(1)调递增区间为，；单调递减区间为
(2)
【分析】
（1）求导后，根据的正负可确定单调区间；
（2）根据函数有两个极值点可得方程在上有两个不等实根，由此可得韦达定理的结论，将表示为关于的函数的形式，构造函数，利用导数求得即可.
【详解】（1）当时，，则定义域为，，
当时，；当时，；
的单调递增区间为，；单调递减区间为.
（2）定义域为，，
有两个极值点等价于在上有两个不等实根，
，，，，
；
设，
则，
在上单调递减，，
即，
的最小值为.
4．（23-24高三上·福建龙岩·阶段练习）设函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若有两个零点，
①求a的取值范围；
②证明：.
【答案】(1)当时，在为增函数，
当时，在上是减函数，在上为增函数；
(2)；详见证明过程．
【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）利用（1）中的结论求出的范围，根据，构造函数，利用导数研究函数的单调性，得到，即可证明，令，，得到，得到，可知，最后根据函数的单调性证明结论成立即可．
【详解】（1）的定义域为，且，
当时，成立，所以在为增函数，
当时，
①当时，，所以在上为增函数，
②当时，，所以在上为减函数；
综上：当时，在为增函数，
当时，在上是减函数，在上为增函数，
（2）结合（1），当时，取得极小值，
又∵函数有两个零点，∴，可得，
综上所述，；
下面证明结论成立：
不妨设，
设，，
可得，，
∴在上单调递增，
∴，即，，，
∴当时， ，
又∵，，∴，
又∵当时，单调递增，
∴，即，
设，，则，两式相比得，
即，∴，
又∵，
令，则，
令，则，
则在内单调递减，即，即，
故，故在上单调递减，
∴，
∴，即；
综上所述，．
第二部分：新定义题
1．（23-24高三上·上海·阶段练习）已知函数，，其中为自然对数的底数，设函数，
(1)若，求函数的单调区间，并写出函数有三个零点时实数的取值范围；
(2)当时，分别为函数的极大值点和极小值点，且不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
(3)对于函数，若实数满足，其中F、D为非零实数，则称为函数的“笃志点”.
①已知函数，且函数有且只有3个“笃志点”，求实数a的取值范围；
②定义在R上的函数满足：存在唯一实数m，对任意的实数x，使得恒成立或恒成立.对于有序实数对，讨论函数“笃志点”个数的奇偶性，并说明理由
【答案】(1)函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，
(2)
(3)①；②答案见解析
【分析】（1）求导得到单调区间，计算极值，画出函数图像，根据图像得到答案.
（2）求导得到导函数，确定极值点和单调区间，确定，构造新函数，确定函数的单调区间，计算最值，考虑和两种情况，根据函数的单调性计算最值即可.
（3）①考虑，，三种情况，代入数据，构造新函数，根据二次函数根的分布得到范围；②确定，比较与的大小关系，得到，得到答案.
【详解】（1），
，
当时，，，故，函数单调递增；
当时，，，故，函数单调递减；
当时，，，故，函数单调递增；
综上所述：函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.
，，画出函数图像，如图所示：
根据图像知.
（2），，
取，得到或，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
故是极大值点，是极小值点，
恒成立，
，，故，
设，，
，
设，则恒成立，
故在上单调递减，，
当时，，函数单调递减，；
当时，存在，使得，
时，，函数单调递减；时，，函数单调递增；
故，不成立；
综上所述：.
（3）①有三个不等的实数根，
当时，，故，解得，不符合；
当时，，故，即，
令，则在上恒成立，故在上单调递增，故，
故当时，在有1个“笃志点”；
当时，，故，
则，由于至多有两个根，
结合前面分析的取值范围为的子集，
令，其中，
，当时，，
的图象的对称轴为，
故在上有两个不相等的实数根，
综上所述：
函数有且只有3 个“笃志点”，则实数的取值范围为；
② 定义在上的函数满足：
存在唯一实数，对任意的实数，使得恒成立，
故，，
因为，所以，
即，
比较与的大小关系，
若存在，使得，即，
则有成立，
故对于有序实数对，函数“笃志点” 个数为奇数个，
同理，对于定义在上的函数满足：
存在唯一实数，对任意的实数，使得恒成立，
故，，
因为，所以，
即，可得到同样的结论；综上所述：若存在，使得，
则函数“笃志点”个数为奇数个，
否则，函数“笃志点”个数为偶数个.
【点睛】关键点睛：本题考查了函数的新定义问题，利用导航求参数范围，函数的最值极值，零点问题和恒成立问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中分类讨论的方法是解题的关键，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握.
2．（2023·上海嘉定·一模）对于函数，把称为函数的一阶导，令，则将称为函数的二阶导，以此类推得到n阶导.为了方便书写，我们将n阶导用表示.
(1)已知函数，写出其二阶导函数并讨论其二阶导函数单调性.
(2)现定义一个新的数列：在取作为数列的首项，并将作为数列的第项.我们称该数列为的“n阶导数列”
①若函数（），数列是的“n阶导数列”，取Tn为的前n项积，求数列的通项公式.
②在我们高中阶段学过的初等函数中，是否有函数使得该函数的“n阶导数列”为严格减数列且为无穷数列，请写出它并证明此结论.（写出一个即可）
【答案】(1)，单调性见解析
此类能力需要多练多思考多总结.
3．（2023·上海金山·一模）设函数的定义域为，给定区间，若存在，使得，则称函数为区间上的“均值函数”，为函数的“均值点”．
(1)试判断函数是否为区间上的“均值函数”，如果是，请求出其“均值点”；如果不是，请说明理由；
(2)已知函数是区间上的“均值函数”，求实数的取值范围；
(3)若函数（常数）是区间上的“均值函数”，且为其“均值点”．将区间任意划分成（）份，设分点的横坐标从小到大依次为，记，，．再将区间等分成（）份，设等分点的横坐标从小到大依次为，记．求使得的最小整数的值．
【答案】(1)为区间上的“均值函数”，且为其“均值点”
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，得到方程，求得，即可得到答案；
（2）设为该函数的“均值点”，则，根据题意转化为在上有解，分类讨论，结合对勾函数性质，即可求解；
（3）根据题意，得到方程，求得，得出，利用导数求得函数的单调性，得到，求得，结合，进而求得，利用指数幂的运算性质，即可求解.
【详解】（1）解：设函数是区间上的“均值函数”，且均值点为，
可得，解得或(舍).
故为区间上的“均值函数”，且为其“均值点”.
（2）解：设为该函数的“均值点”，则，
且，
即关于的方程在区间上有解，
整理得，
①当时，，方程无解.
②当时，可得.
令，则，且，
可得，
又由对勾函数性质，可得函数在上是严格减函数，
在上是严格减函数，在上严格增函数，
所以当时，可得，当，可得，
所以.
即实数的取值范围是.
（3）解：由函数是区间上的“均值函数”，且为其“均值点”，
可得，即，
解得，所以，
则，
当时，，即在上单调递减，
所以()，
则，
又因为，
从而，，
所以，可得.，
由，即，可得，
故使得的最小整数的值为.
【点睛】方法指数总结：对于函数的新定义题型的求解策略：
（1）关于函数的新定义问题，关键是理解函数新定义的概念，根据函数的新定义的概念，挖掘其隐含条件，把新定义问题转化为函数关系或不等关系式等是解答的关键；
（2）关于函数的新定义问题，通常关联着函数的基本性质的综合应用，解答中要熟练掌握和应用函数的有关性质和一些重用的结论，同时注意合理应用数形结合、导数、均值不等式等知识点的应用，以及它们之间的逻辑关系，提升逻辑推理能力.
0
单调递减
极小值
单调递增
+
0
0
+
单调递增
单调递减
单调递增
递减
递增
递减
递减，负值
无意义
递减，正值
极小值
递增，正值