江苏省苏州市虎丘区立达中学2025届九上数学开学考试模拟试题【含答案】

这是一份江苏省苏州市虎丘区立达中学2025届九上数学开学考试模拟试题【含答案】，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E是AD边上一点，连接CE，将△CDE沿CE翻折，点D的对应点是F，连接AF，当△AEF是直角三角形时，AF的值是（ ）
A．4B．2C．4，2D．4，5，2
2、（4分）如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF＝20°，则∠DEF的度数是( )
A．25°B．40°C．45°D．50°
3、（4分）已知点都在反比例函数的图象上，则与的大小关系为( )
A．B．C．D．无法确定
4、（4分）把一元二次方程配方后，下列变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）如图，过矩形的四个顶点作对角线、的平行线，分别相交于、、、四点，则四边形为（ ）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
6、（4分）已知直线y＝－x＋4与y＝x＋2如图所示，则方程组的解为( )
A．B．C．D．
7、（4分）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝8，AC＝6，D、E分别是BC、CA的中点，则△DEC的周长为（ ）
A．18B．8C．10D．9
8、（4分）如图，、分别是平行四边形的边、所在直线上的点，、交于点，请你添加一个条件，使四边形是平行四边形，下列选项中不能推断四边形是平行四边形的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4），将△ABO沿x轴向右平移得△A′B′O′，与点A对应的点A′正好落在直线y＝上．则点B与点B′之间的距离为_____．
10、（4分）如图，已知EF是△ABC的中位线，DE⊥BC交AB于点D，CD与EF交于点G,若CD⊥AC,EF=8，EG=3，则AC的长为___________.
11、（4分）若关于的方程有增根，则的值是___________.
12、（4分）要使在实数范围内有意义，a 应当满足的条件是_____．
13、（4分）已知函数y=2x2-3x+l，当y=1时，x=_____.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）观察下列各式：①，②；③，…
（1）请观察规律，并写出第④个等式： ；
（2）请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律： ；
（3）请证明（2）中的结论．
15、（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AM平分∠CAB，CM＝20cm，AB＝70cm，求△ABM的面积．
16、（8分）如图，直线交x轴于点A，直线CD与直线相交于点B，与x轴y轴分别交于点C，点D，已知点B的横坐标为，点D的坐标为.
（1）求直线CD的解析式；（2）求的面积.
17、（10分）如图，在平面直角坐标系中，是原点，的顶点、的坐标分别为、，反比例函数的图像经过点.
(1)求点的坐标；
(2)求的值.
(3)将沿轴翻折，点落在点处.判断点是否落在反比例函数的图像上，请通过计算说明理由.
18、（10分）某公司经营甲、乙两种商品，两种商品的进价和售价情况如下表：
两种商品的进价和售价始终保持不变．现准备购进甲、乙两种商品共20件．设购进甲种商品件，两种商品全部售出可获得利润为万元．
（1）与的函数关系式为__________________；
（2）若购进两种商品所用的资金不多于200万元，则该公司最多购进多少合甲种商品？
（3）在（2）的条件下，请你帮该公司设计一种进货方案，使得该公司获得最大利润，并求出最大利润是多少？
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，在Rt△BAC和Rt△BDC中，∠BAC＝∠BDC＝90°，O是BC的中点，连接AO、DO．若AO＝3，则DO的长为_____．
20、（4分）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm，BC=24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过 秒，四边形APQC的面积最小．
21、（4分）如图，在边长为1的等边△ABC的边AB取一点D，过点D作DE⊥AC于点E，在BC延长线取一点F，使CF=AD，连接DF交AC于点G，则EG的长为________
22、（4分）数据1、x、-1、2的平均数是，则这组数据的方差是_______．
23、（4分）计算：(−)2=________；=_________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）某班进行了一次数学測验，将成绩绘制成频数分布表和频数直方图的一部分如下:
(1)在频数分布表中，的值为________，的值为________；
(2)将频数直方图补充完整；
(3)成绩在分以上(含)的学生人数占全班总人数的百分比是多少?
25、（10分）已知，矩形OABC在平面直角坐标系内的位置如图所示，点O为坐标原点，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（1，8），已知直线AC与双曲线y＝（m≠0）在第一象限内有一交点Q（5，n）．
（1）求直线AC和双曲线的解析式；
（2）若动点P从A点出发，沿折线AO→OC的路径以每秒2个单位长度的速度运动，到达C处停止．求△OPQ的面积S与的运动时间t秒的函数关系式，并求当t取何值时S＝1．
26、（12分）如图①，矩形中，，，点是边上的一动点（点与、点不重合），四边形沿折叠得边形，延长交于点．
图① 图②
（1）求证：；
（2）如图②，若点恰好在的延长线上时，试求出的长度；
（3）当时，求证：是等腰三角形．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
当∠AFE＝90°时，由∠AFE＝∠EFC＝90°可知点F在AC上，先依据勾股定理求得AC的长，然后结合条件FC＝DC＝3，可求得AF的长；当∠AFE＝90°，可证明四边形CDEF为正方形，则EF＝3，AE＝4，最后，依据勾股定理求解即可．
【详解】
如下图所示：当点F在AC上时．
∵AB＝3，BC＝8，
∴AC＝1．
由翻折的性质可知：∠EFC＝∠D＝90°，CF＝CD＝3，
∴AF＝4．
如下图所示：
∵∠FED＝∠D＝∠DCF＝90°，
∴四边形CDEF为矩形．
由翻折的性质可知EF＝DE，
∴四边形CDEF为正方形．
∴DE＝EF＝3．
∴AE＝4．
∴AF＝＝＝4．
综上所述，AF的长为4或4．
故选：C．
本题主要考查的是翻折的性质，依据题意画出符合题意的图形是解题的关键．
2、D
【解析】
首先根据题意证明,则可得 ,根据∠CBF＝20°可计算的 的度数，再依据 进而计算∠DEF的度数.
【详解】
解： 四边形ABCD为正方形
BC=DC

EC=EC


在直角三角形BCF中，
∠DEF=50°
故选D.
本题主要考查正方形的性质，是基本知识点，应当熟练掌握.
3、B
【解析】
分析：根据反比例函数的系数k的取值范围，判断出函数的图像，由图像的性质可得解.
详解：∵反比例函数
∴函数的图像在一三象限，在每一个象限，y随x增大而减小
∵-3＜-1
∴y1＜y2.
故选B.
点睛：此题主要考查了反比例函数的图像与性质，关键是利用反比例函数的系数k确定函数的图像与性质.
4、A
【解析】
先把-1移到右边，然后两边都加4，再把左边写成完全平方的形式即可.
【详解】
∵，
∴，
∴，
∴.
故选A.
本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
5、C
【解析】
由题意易得四边形EFGH是平行四边形，又因为矩形的对角线相等，可得EH=HG，所以平行四边形EFGH是菱形．
【详解】
∵HG∥EF∥AC，EH∥FG∥BD，HG=EF=AC，EH=FG=BD，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵矩形的对角线相等，
∴AC=BD，
∴EH=HG，
∴平行四边形EFGH是菱形．
故选C．
本题考查了矩形的性质及菱形的判定．注意掌握菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．熟练掌握矩形、菱形的性质是解题关键.
6、B
【解析】
二元一次方程组的解就是组成二元一次方程组的两个方程的公共解，即两条直线y＝－x＋4与y＝x＋2的交点坐标．
故选B
点睛：本题考查了一次函数与二元一次方程组．二元一次方程组的解就是组成该方程组的两条直线的图象的交点．
7、D
【解析】
根据三角形中位线的性质可得出DE,CD,EC的长度，则△DEC的周长可求．
【详解】
∵D、E分别是BC、CA的中点，
∴DE是△ABC的中位线．
∵AB＝4，BC＝8，AC＝6，
∴DE＝AB＝2，EC＝AC＝3，CD＝CB＝4，
∴△DEC的周长＝2+3+4＝9，
故选：D．
本题主要考查三角形中位线，掌握三角形中位线的性质是解题的关键．
8、A
【解析】
根据平行四边形的性质得出AF∥CE，再根据平行四边形的判定定理得出即可．
【详解】
∵四边形是平行四边形，
∴，，即．
A、时，一组对边平行，另一组对边相等不能判定四边形为平行四边形，故错误；
B、，又∵，∴四边形为平行四边形；
C、∵，，∴四边形是平行四边形；
D、∵，，∴四边形是平行四边形．
故选：A．
本题考查了平行四边形的性质和判定，能熟记平行四边形的性质和判定定理是解此题的关键，答案不唯一．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
根据平移的性质知BB′=AA′．由一次函数图象上点的坐标特征可以求得点A′的坐标，所以根据两点间的距离公式可以求得线段AA′的长度，即BB′的长度．
【详解】
解：如图，连接AA′、BB′．
∵点A的坐标为（0，1），△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，
∴点A′的纵坐标是1．
又∵点A′在直线y=x上一点，
∴1=x，解得x=．
∴点A′的坐标是（，1），
∴AA′=．
∴根据平移的性质知BB′=AA′=．
故答案为．
本题考查了平面直角坐标系中图形的平移，解题的关键是掌握平移的方向和平移的性质.
10、1
【解析】
由三角形中位线定理得出AB=2EF=16，EF∥AB，AF=CF，CE=BE，证出GE是△BCD的中位线，得出BD=2EG=6，AD=AB-BD=10，由线段垂直平分线的性质得出CD=BD=6，再由勾股定理即可求出AC的长．
【详解】
∵EF是△ABC的中位线，
∴AB=2EF=16，EF∥AB，AF=CF，CE=BE，
∴G是CD的中点，
∴GE是△BCD的中位线，
∴BD=2EG=6，
∴AD=AB-BD=10，
∵DE⊥BC，CE=BE，
∴CD=BD=6，
∵CD⊥AC，
∴∠ACD=90°，
∴AC=；
故答案为：1．
本题考查了三角形中位线定理、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理，求出CD=BD是解题的关键．
11、1
【解析】
解：方程两边都乘（x﹣2），得：x﹣1=m．∵方程有增根，∴最简公分母x﹣2=0，即增根是x=2，把x=2代入整式方程，得m=1．故答案为：1．
点睛：本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
12、a⩽3.
【解析】
根据二次根式有意义的条件列出关于a的不等式，求出a的取值范围即可．
【详解】
∵在实数范围内有意义，
∴3−a⩾0，
解得a⩽3.
故答案为：a⩽3.
此题考查二次根式有意义的条件，解题关键在于掌握其有意义的条件.
13、0或
【解析】
把y=1时代入解析式，即可求解．
【详解】
解：当y=1时，则1=2x2-3x+1，
解得：x=0或x=，
故答案为0或.
本题考查的是二次函数图象上的点坐标特征，只要把y值代入函数表达式求解即可．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1） ；（2） ；（3）详见解析．
【解析】
试题分析：（1）认真观察题中所给的式子，得出其规律并根据规律写出第④个等式；
（2）根据规律写出含n的式子即可；
（3）结合二次根式的性质进行化简求解验证即可．
试题解析：(1)
(2)
(3)
故答案为(1)
15、△ABM的面积是700cm2.
【解析】
过M作ME⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CM＝ME，即可解答
【详解】
过M作ME⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AM平分∠CAB，CM＝20cm，
∴CM＝ME＝20cm，
∴△ABM的面积是 ×AB×ME＝×70cm×20cm＝700cm2.
此题考查角平分线的性质和三角形面积，解题关键在于利用角平分线的性质求出CM＝ME
16、（1）；（2）.
【解析】
（1）由直线解析式y=x+4及点B横坐标，求出点B纵坐标，再用待定系数法求出直线CD的解析式；
（2）由直线y=x+4和直线y=2x-3分别求出点A，C的坐标，进一步求出线段AC的长度，再通过点B的纵坐标即可求出△ABC的面积．
【详解】
解：（1）中，当时，
∴
∵点D的坐标为
设CD的解析式为
∴ ∴，
∴CD的解析式为
（2）中，当时，，∴
直线中，当时，，∴
∴
∴
本题考查了一次函数上的点的求法，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积等，解题关键是能够熟练掌握一次函数图象上的点的求法．
17、 (1)；(2)；(3)点不落在反比例函数图像上.
【解析】
（1）根据平行四边形的性质，可得的坐标；（2）已知的坐标，可得的值；（3）根据图形全等和对称，可得坐标，代入反比例函数，可判断是否在图像上.
【详解】
解：(1)∵平行四边形，
∴，
∵的坐标为，
∴，
∵的坐标为，
∴点的坐标为；
(2)把的坐标代入函数解析式得：，
∴.
(3)点不落在反比例函数图像上；
理由：根据题意得：的坐标为，
当时，，
∴点不落在反比例函数图像上.
本题综合考查平行四边形性质、反比例函数、图形翻折、全等等知识.
18、（1）w＝0.5x+40；（2）10；（3）该公司购进甲种商品10件，乙种商品10件时，该公司获得最大利润，最大利润是45万元
【解析】
（1）设该公司购进甲种商品x件，则乙种商品（20﹣x）件，根据题意可得等量关系：公司获得的利润w＝甲种商品的利润+乙种商品的利润，根据等量关系可得函数关系式；
（2）根据资金不多于20万元列出不等式组；
（3）根据一次函数的性质：k＞0时，w随x的增大而增大可得答案．
【详解】
解：（1）设该公司购进甲种商品x件，则乙种商品（20﹣x）件，
根据题意得：w＝（14.5﹣12）x+（10﹣8）（20﹣x），
整理得：w＝0.5x+40；
故答案为：w＝0.5x+40；
（2）由题意得：12x+8（20﹣x）≤200，解得x≤10，
故该公司最多购进10台甲种商品；
（3）∵对于函数w＝0.5x+40，w随x的增大而增大，
∴当x＝10时，能获得最大利润，最大利润为：w＝0.5×10+40＝45（万元），
故该公司购进甲种商品10件，乙种商品10件时，该公司获得最大利润，最大利润是45万元．
此题主要考查了一次函数的应用，关键是正确理解题意，找出等量关系，列出函数关系式．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、3
【解析】
根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解即可.
【详解】
∵在Rt△BAC和Rt△BDC中，∠BAC＝∠BDC＝90°，O是BC的中点，
∴,,
∴DO=AO=3.
故答案为3.
本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解答本题的关键.
20、3
【解析】
根据等量关系“四边形APQC的面积=三角形ABC的面积﹣三角形PBQ的面积”列出函数关系，求得最小值．
【详解】
设P、Q同时出发后经过的时间为ts，四边形APQC的面积为Smm2，
则有：S=S△ABC﹣S△PBQ==4t2﹣24t+144=4（t﹣3）2+1．
∵4＞0 ∴当t=3s时，S取得最小值．
考点：二次函数的应用．
21、
【解析】
过D作BC的平行线交AC于H，通过求证△DHG和△FCG全等，推出HG=CG，再通过证明△ADH是等边三角形和DE⊥AC，推出AE=EH，即可推出AE+GC=EH+HG，可得EG=AC，即可推出EG的长度．
【详解】
解：如图，过D作DH∥BC，交AC于点H.
∴∠F=∠GDH，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ADH=∠B=60°，∠AHD=∠ACB=60°，
∴△ADH是等边三角形，
∴AD=DH，
∵AD=CF，
∴DH=CF，
∵∠DGH=∠FGC，
∴△DGH≌△FGC（AAS），
∴HG=CG.
∵DE⊥AC，△ADH是等边三角形，
∴AE=EH，
∴AE+CG=EH+HG，
∴EG=AC=；
故答案为：.
本题主要考查等边三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质，关键在于正确地作出辅助线，熟练运用相关的性质、定理，认真地进行计算．
22、
【解析】
先由平均数的公式计算出x的值，再根据方差的公式计算．
【详解】
解：∵
∴s2=．
故答案为：.
本题考查了方差的定义与平均数的定义，熟练掌握概念是解题的关键.
23、5 π-1
【解析】
根据二次根式的性质计算即可．
【详解】
解：．
故答案为：5，π-1．
本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）10,0.1；（2）答案见解析；（3）占全班总人数百分比为.
【解析】
（1）先计算参加数学測验的总人数，根据a=总人数-各分数段的人的和计算即可得解，b=1-各分数段的频率的和计算即可得解；
（2）根据（1）补全直方图；
（3）求出成绩在分以上(含)的学生人数除以总人数即可．
【详解】
(1)∵参加数学測验的总人数为：
∴，
(2) 如图：该直方图为所求作.
.
(3)成绩在分以上的学生人数为人，全班总人数为人，
占全班总人数百分比为
本题考查了频数（率）分布直方图及频数（率）分布表；概率公式，掌握频数分布直方图及频数分布表是解题的关键
25、（1）直线AC的解析式为：，双曲线为：；（2），当t＝2.5秒或t＝7秒时，S＝1．
【解析】
（1）设直线的解析式为．将、两点代入其中，即利用待定系数法求一次函数解析式；然后利用一次函数图象上点的坐标特征，将点代入函数关系式求得值；最后将点代入双曲线的解析式，求得值，即可求得双曲线的解析式；
（2）分类讨论：当时，；当时，．
【详解】
解：(1)设直线的解析式为，过、，
，
解得：，
直线的解析式为，
又在直线上，
，
又双曲线过，
，
双曲线的解析式为：；
（2）当时，，
过作，垂足为，如图1，
，，
，
当时，
解得，
当时，，
过作，垂足为，如图2
，，
，
当时，，
解得，
综上，，
当秒时，的面积不存在，
当秒或秒时，．
此题主要考查反比例函数和一次函数的交点问题，分类讨论是本题的关键．
26、（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析
【解析】
（1）由矩形的性质和平行线的性质得出∠BAP=∠APN，由折叠的性质得：∠BAP=∠PAN，得出∠APN=∠PAN，即可得出NA=NP；
（2）由矩形的性质得出CD=AB=4，AD=BC=3，∠BAD=∠B=∠ADC=90°，由折叠的性质得：AF=AB=4，EF=CB=3，∠F=∠B=90°，PE=PC，由勾股定理得出AE==5，求出DE=AE-AD=2，设DP=x，则PE=PC=4-x，在Rt△PDE中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（3）过点D作GH∥AF，交EF于G，交AP于H，则GH∥AF∥PE，证出△PDH是等边三角形，得出DH=PH，∠ADH=∠PHD-∠PAD=30°=∠PAD，证出DH=AH，得出AH=PH，由平行线分线段成比例定理得出，得出EG=FG，再由线段垂直平分线的性质得出DE=DF即可．
【详解】
（1）证明；∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠BAP=∠APN，
由折叠的性质得：∠BAP=∠PAN，
∴∠APN=∠PAN，
∴NA=NP；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=4，AD=BC=3，∠BAD=∠B=∠ADC=90°，
∴∠PDE=90°，
由折叠的性质得：AF=AB=4，EF=CB=3，∠F=∠B=90°，PE=PC，
∴AE==5，
∴DE=AE-AD=2，
设DP=x，则PE=PC=4-x，
在Rt△PDE中，由勾股定理得：DP2+DE2=PE2，
即x2+22=（4-x）2，
解得：，即；
（3）证明：过点D作GH∥AF，交EF于G，交AP于H，如图所示：
则GH∥AF∥PE，
∴∠PHD=∠NAH，
∵∠PAD=30°，
∴∠APD=90°-30°=60°，∠BAP=90°-30°=60°，
∴∠PAN=∠BAP=60°，
∴∠PHD=60°=∠APD，
∴△PDH是等边三角形，
∴DH=PH，∠ADH=∠PHD-∠PAD=30°=∠PAD，
∴DH=AH，
∴AH=PH，
∵GH∥AF∥PE，
∴，
∴EG=FG，
又∵GH⊥EF，
∴DE=DF，
∴△DEF是等腰三角形．
本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、等边三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、线段垂直平分线的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握翻折变换的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
进价(万元/件)
售价(万元/件)
甲
12
14.5
乙
8
10
成绩
频数（人数）
频率