江苏省苏州市吴中区临湖实验中学2024-2025学年‌七上数学第3周创优班数学试题【含答案】

这是一份江苏省苏州市吴中区临湖实验中学2024-2025学年‌七上数学第3周创优班数学试题【含答案】，共12页。试卷主要包含了按一定规律排成的一列数等内容，欢迎下载使用。
1．观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为（ ）
A．23B．75C．77D．139
2．任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如：23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…按此规律，若m3分裂后其中有一个奇数是2015，则m的值是（ ）
A．46B．45C．44D．43
3．如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，…，依此规律，第11个图案需（ ）根火柴．
A．156B．157C．158D．159
二．填空题（共5小题）
4．如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要 枚棋子，摆第n个图案需要 枚棋子．
5．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21…叫做三角形数，它有一定的规律性．若把第一个三角形数记为a1，第二个三角形数记为a2，…，第n个三角形数记为an，计算a1+a2，a2+a3，a3+a4，由此推算a399+a400＝ ．
6．按一定规律排成的一列数：，，，，，，，…，则这列数中的第2016个数是 ．
7．如图所示，将部分偶数依顺序排列成三角形数阵，从上到下称为行．图中数6为第2行、从左向右第2个数；数﹣24为第4行、从左向右第3个数，那么第11行、从左向右第4个数为 ．
8．将正整数从1开始依次按如图所示的规律排成一个数阵，其中，2在第1个拐角处，3在第2个拐角处，5在第3个拐角处，7在第4个拐角处，…．那么，在第2007个拐角处的数是 ．
三．解答题（共4小题）
9．（1）设n为自然数，具有下列形式的数是不是两个连续奇数的积，说明理由．
（2）化简，并说明在结果中共有多少个奇数数字？
10．一楼梯共有n级台阶，规定每步可以迈1级或2级或3级，设从地面到台阶的第n级，不同的迈法为an种，当n＝8时，求a8．
11．阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，1+2+3+…10＝？
经过研究，这个问题的一般结论是1+2+3+…+n＝n（n+1），其中n是正整数，现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…+n（n+1）＝？
观察下面三个特殊的等式：
1×2＝（1×2×3﹣0×1×2）
2×3＝（2×3×4﹣1×2×3）
3×4＝（3×4×5﹣2×3×4）
将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4＝×3×4×5＝20
读完这段材料，请你计算：
（1）1×2+2×3+…+100×101
（2）1×2+2×3+…+n（n+1）
（3）1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）
12．观察按下列规则排成的一列数：
，，，，，，，，，，，，，，，，…
（1）第50个数为 ．（不要写过程，直接写答案）
（2）从左起第m个数记为F（m），当F（m）＝时，求m的值和这m个数的积．
（3）未经约分且分母为2的数记为c，它后面的一个数记为d，是否存在这样的两个数c和d，使cd＝2001000，如果存在，求出c和d：如果不存在，说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共3小题）
1．【分析】由图可知：上边的数与左边的数的和正好等于右边的数，上边的数为连续的奇数，左边的数为21，22，23，…26，由此可得a，b．
【解答】解：∵上边的数为连续的奇数1，3，5，7，9，11，
左边的数为21，22，23，…，
∴b＝26＝64，
∵上边的数与左边的数的和正好等于右边的数，
∴a＝11+64＝75，
故选：B．
2．【分析】观察可知，分裂成的奇数的个数与底数相同，然后求出到m3的所有奇数的个数的表达式，再求出奇数2015的是从3开始的第1007个数，然后确定出1007所在的范围即可得解．
【解答】解：∵底数是2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4个奇数，
∴m3分裂成m个奇数，
所以，到m3的奇数的个数为：2+3+4+…+m＝，
∵2n+1＝2015，n＝1007，
∴奇数2015是从3开始的第1007个奇数，
∵＝989，＝1034，
∴第1007个奇数是底数为45的数的立方分裂的奇数的其中一个，
即m＝45．
故选：B．
3．【分析】根据第1个图案需7根火柴，7＝1×（1+3）+3，第2个图案需13根火柴，13＝2×（2+3）+3，第3个图案需21根火柴，21＝3×（3+3）+3，得出规律第n个图案需n（n+3）+3根火柴，再把11代入即可求出答案．
【解答】方法一：
解：根据题意可知：
第1个图案需7根火柴，7＝1×（1+3）+3，
第2个图案需13根火柴，13＝2×（2+3）+3，
第3个图案需21根火柴，21＝3×（3+3）+3，
…，
第n个图案需n（n+3）+3根火柴，
则第11个图案需：11×（11+3）+3＝157（根）；
方法二：
n＝1，s＝7；n＝2，s＝13；n＝3，s＝21，
设s＝an2+bn+c，
∴，
∴，
∴s＝n2+3n+3，
把n＝11代入，s＝157．
故选：B．
二．填空题（共5小题）
4．【分析】本题可依次解出n＝1，2，3，…，图案需要的棋子枚数．再根据规律以此类推，可得出第6个及第n个图案需要的棋子枚数．
【解答】方法一：
解：∵n＝1时，总数是6+1＝7；
n＝2时，总数为6×（1+2）+1＝19；
n＝3时，总数为6×（1+2+3）+1＝37枚；
…；
∴n＝6时，总数为6×（1+2+3…+6）+1＝127枚；
…；
∴n＝n时，有6×（1+2+3+…n）+1＝6×+1＝3n2+3n+1枚．
故答案为：127，3n2+3n+1．
方法二：
n＝1，s＝7；n＝2，s＝19；n＝3，s＝37；n＝4，s＝61，
经观察．此数列为二阶等差（即后项减前项，两次作差，差相等）
设：s＝an2+bn+c，
∴，
∴，
∴s＝3n2+3n+1，把n＝6代入，s＝127．
方法三：
，，，，，
∴a6＝37+24+30+36＝127．
5．【分析】根据给定三角形数，罗列出部分an+an+1的值，根据数的变化找出变化规律“an+an+1＝（n+1）2”，依此规律即可得出结论．
【解答】解：∵a1+a2＝1+3＝4，a2+a3＝3+6＝9，a3+a4＝6+10＝16，a4+a5＝10+15＝25，a5+a6＝15+21＝36，…，
∴an+an+1＝（n+1）2．
当n＝399时，a399+a400＝（399+1）2＝160000．
故答案为：160000．
6．【分析】此列数可变为：，，，，，，，…，可以找到每个分数与数的个数的关系，进而求得第2016个数．
【解答】解：∵＝，＝，＝，
∴此列数可变为：，，，，，，，…，每个分数的分子是数的个数，分母是数的个数加2，
∴第2016个数为，即，
故答案是：．
7．【分析】观察数列可知：所有数的绝对值是从2开始的偶数，且第n行有（2n﹣1）个数，奇数行第一个数为正，偶数行第一个数为负，且所有行都为正负数相间排列，按照此规律，求出前10行一共有多少个数，按照此规律，找出第11行从左向右第4个数的值即可．
【解答】解：观察所给数列可知：
所有数的绝对值是从2开始的偶数，且第n行有（2n﹣1）个数，
∴前10行一共有1+3+5+…+19＝100个数，
又∵从2开始的第100个偶数是200，即第10行最后一个数的绝对值是200，
∴第11行第一个数的绝对值是202，
∵奇数行第一个数为正，偶数行第一个数为负，且所有行都为正负数相间排列，
∴第11行，从左向右第4个数为208，
故答案为：208．
8．【分析】依次得到每个拐弯处的数与第n（n为奇数）个拐弯的关系，得到相应规律，代入计算即可．
【解答】解：第1个拐弯：1+1＝2
第2个拐弯：1+1+1＝3
第3个拐弯：1+1+1+2＝5
第4个拐弯：1+1+1+2+2＝1+（1+2）×2＝7
第5个拐弯：1+1+1+2+2+3＝1+（1+2）×2+3＝10
第6个拐弯：1+1+1+2+2+3+3＝1+（1+2+3）×2＝13
第7个拐弯：1+1+1+2+2+3+3+4＝1+（1+2+3）×2+4＝17
…
∵2007＝2×1 003+1，
∴A（2007）＝1+（1+2+3+…+1003）×2+1004
＝1008017
故答案为1008017．
三．解答题（共4小题）
9．【分析】（1）设有n个1和n个5组成了11…1155…55，再用完全归纳法进行分解，最后根据奇数的定义即可解答；
（2）将式子计算，得出结果，推出有多少个奇数数字．
【解答】解：（1）设有n个1和n个5组成了11…1155…55 （1）
则，设11…11（n个）＝M （2）
则11…1155…55可表示为M×10n+5M （3）
再往下化则有M×（99…99+1）+5M （4）
M×99…99+6M＝M×11…11×9+6M（5）
又因为11…11＝M，
所以化为9M2+6M＝3M×（3M+2），
又因为M为奇数所以3M为奇数，所以3M+2为奇数；
（2）因为1×9＝9，
11×99＝1089，
111×999＝110889，
1111×9999＝11108889，
33…3×33…3＝1…1（n﹣1个1）08…8（n﹣1个8）9+20…0（n个0），
＝1…1（n﹣1个1）28…8（n﹣1个8）9﹣1…1（n﹣1个1）28…8（n﹣1个8）8，
＝1…1（n﹣1个1）28…8（n个8），
结果中的奇数数字为n﹣1个．
10．【分析】从简单入手，可以把n＝1，n＝2，n＝3，n＝4的所有情况找出来，观察个数之间的关系，从而得出当n＝8时不同的迈法．
【解答】解：当n＝1时，a1＝1；
当n＝2时，a2＝2
当n＝3时，a3＝4
当n＝4时，若第一步1级，则其余3级有a3种方法，若第一步2级，则其余2级有a2种方法；若第一步3级，则其余1级有a1种方法，故a4＝a3+a2+a1＝7；
类似可得当n＝5时，a5＝a4+a3+a2＝13；
当n＝6时，a6＝a5+a4+a3＝24；
当n＝7时，a7＝a6+a5+a4＝44；
当n＝8时，a8＝a7+a6+a5＝81．
11．【分析】（1）根据题目中的信息可以解答本题；
（2）根据题目中的信息可以解答本题；
（3）根据题目中的信息，运用类比的数学思想可以解答本题．
【解答】解：（1）1×2+2×3+…+100×101
＝
＝343400；
（2）1×2+2×3+…+n（n+1）＝；
（3）1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）
＝++…+[n（n+1）（n+2）（n+3）﹣（n﹣1）n（n+1）（n+2）]
＝n（n+1）（n+2）（n+3）．
12．【分析】（1）发现：可以分为若干组，第一组1个，第二组2个，…，以此类推，可得：；
（2）由F（m）＝知：m个数一共有第2002组数，且第2002组中有2个数，可得：m＝（1+2+3+…+2001）+2，并计算这些数的积，前面第2001组数的积都为1，最后第2002组两个数的积就是这m个数的积．
（3）观察不难发现，分母为2的分数的分子与后一个数的分子是连续的整数，表示c和d这两个数，根据cd＝2001000列方程可得结论．
【解答】解：（1）（），（，），（，，），（，，，），（，，，，），，…
1+2+3+…+9＝45，
所以第50个数为第10组第5个数：，
故答案为：；
（2）m＝（1+2+3+…+2001）+2＝+2＝2003003．
这m个数的积＝×（）×（××）×（×××）×（××××）×…××＝＝．
（3）设c＝，d＝，
则＝2001000，则n＝2000，
所以存在，c＝，d＝．优网所有，未经