江苏省无锡市江南中学2024-2025学年数学九年级第一学期开学考试模拟试题【含答案】

这是一份江苏省无锡市江南中学2024-2025学年数学九年级第一学期开学考试模拟试题【含答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）下列直线与一次函数的图像平行的直线是（ ）
A．；B．；C．；D．．
2、（4分）已知：，计算：的结果是（）
A．B．C．D．
3、（4分）下列各式运算结果为x8的是（ ）
A．x4•x4B．（x4）4C．x16÷x2D．x4+x4
4、（4分）计算：=（ ）（a＞0，b＞0）
A．B．C．2aD．2a
5、（4分）在平行四边形ABCD中,AB=3,BC=4,当平行四边形ABCD的面积最大时,下结论正确的有( )
①AC=5 ②∠A+∠C=180° ③AC⊥BD ④AC=BD
A．①②④B．①②③C．②③④D．①③④
6、（4分）小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时,采用了一种方法:如图所示,将两根木条AC、BD的中点重叠,并用钉子固定,则四边形ABCD就是平行四边形,这种方法的依据是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
7、（4分）如图是甲、乙两个探测气球所在位置的海拔高度（单位：）关于上升时间（单位：）的函数图像.有下列结论：
①当时，两个探测气球位于同一高度
②当时，乙气球位置高；
③当时，甲气球位置高；
其中，正确结论的个数是（ ）
A．个B．个C．个D．个
8、（4分）对某小区20户家庭某月的节约用水情况进行分组统计，结果如下表：
由上表可知，这20户家庭该月节约用水量的平均数是（ ）
A．1.8tB．2.3tC．2.5tD．3 t
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，四边形ABCD是平行四边形，添加一个条件：________，可使它成为矩形．
10、（4分）如图，已知在长方形ABCD中，将△ABE沿着AE折叠至△AEF的位置，点F在对角线AC上，若BE=3，EC=5，则线段CD的长是__________.
11、（4分）如果一次函数y＝kx+2的函数值y随着x的值增大而减小，那么k的取值范围是_____．
12、（4分）如果a－b＝2，ab＝3，那么a2b－ab2＝_________；
13、（4分）如图，正方形中，点在边上，，把线段绕点旋转，使点落在直线上的点，则两点间的距离为___________．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）为提高市民的精神生活美化城市环境，城市管理局从外地新进一批绿化树苗，现有两种运输方式可供选择，
方式一：使用快递公司的邮车运输，装卸收费500元，另外每公里再加收5元；
方式二：使用铁路运输公司的火车运输，装卸收费900元，另外每公里再加收3元.
（1）请分别写出邮车、火车运输的总费用为（元）、（元）与运输路程（公里）之间的函数关系式；
（2）你认为选用哪种运输方式较好，为什么？
15、（8分）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，与反比例函数交于点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为点、．若，，．
（1）求点的坐标；
（2）求一次函数和反比例函数的表达式．
16、（8分）计算:
(1); (2).
17、（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点，连结DE
（1）证明DE∥CB；
（2）探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形．
18、（10分）已知在中，是的中点，，垂足为，交于点，且．
（1）求的度数；
（2）若,，求的长．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如果代数式有意义，那么字母x的取值范围是_____．
20、（4分）如图，在平面直角坐标系中，ΔABC绕点D旋转得到ΔA’B’C’，则点D的坐标为____.
21、（4分）如图甲，在所给方格纸中，每个小正方形的边长都是1，标号为①②③的三个三角形均为格点三角形（顶点在格点处）请将图乙中的▱ABCD分割成三个三角形，使它们与标号为①②③的三个三角形分别对应全等．
22、（4分）如图，AB∥CD，∠B=68°，∠E=20°，则∠D的度数为 ．
23、（4分）如图，在4×4方格纸中，小正方形的边长为1，点A，B，C在格点上，若△ABC的面积为2，则满足条件的点C的个数是_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分） 某中学为打造书香校园，购进了甲、乙两种型号的新书柜来放置新买的图书，甲型号书柜共花了15000元，乙型号书柜共花了18000元，乙型号书柜比甲型号书柜单价便宜了300元，购买乙型号书柜的数量是甲型号书柜数量的2倍．求甲、乙型号书柜各购进多少个？
25、（10分）如图，在平面直角坐标系中，两点分别是轴和轴正半轴上两个动点，以三点为顶点的矩形的面积为24，反比例函数（为常数且）的图象与矩形的两边分别交于点.
（1）若且点的横坐标为3.
①点的坐标为，点的坐标为（不需写过程，直接写出结果）；
②在轴上是否存在点，使的周长最小？若存在，请求出的周长最小值；若不存在，请说明理由.
（2）连接，在点的运动过程中，的面积会发生变化吗？若变化，请说明理由，若不变，请用含的代数式表示出的面积.
26、（12分）某年5月，我国南方某省A、B两市遭受严重洪涝灾害，1.5万人被迫转移，邻近县市C、D获知A、B两市分别急需救灾物资200吨和300吨的消息后，决定调运物资支援灾区．已知C市有救灾物资240吨，D市有救灾物资260吨，现将这些救灾物资全部调往A、B两市．已知从C市运往A、B两市的费用分别为每吨20元和25元，从D市运往往A、B两市的费用分别为每吨15元和30元，设从C市运往B市的救灾物资为x吨．
（1）请填写下表；
（2）设C、D两市的总运费为W元，求W与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）经过抢修，从C市到B市的路况得到了改善，缩短了运输时间，运费每吨减少n元（N＞0），其余路线运费不变，若C、D两市的总运费的最小值不小于10080元，求n的取值范围．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
【分析】设一次函数y=k1x+b1（k1≠0）的图象为直线l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图象为直线l2，若k1=k2，且b1≠b2，我们就称直线l1与直线l2互相平行．据此可以判断.
【详解】A.直线 与直线相交，故不能选；
B.直线 与直线平行，故能选；
C.直线 与直线重合，故不能选；
D.直线 与直线相交，故不能选．
故选：B
【点睛】本题考核知识点：一次函数.解题关键点：熟记一次函数性质.
2、C
【解析】
原式利用多项式乘以多项式法则计算，整理后将已知等式代入计算即可求出值．
【详解】
∵，，
∴
，
故选：C．
本题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3、A
【解析】
解：选项A，原式=；选项B，原式=x16；选项C，原式=；选项D， 原式=
故选A
4、C
【解析】
根据二次根式的除法法则计算可得．
【详解】
解：原式，
故选C．
本题主要考查二次根式的乘除法，解题的关键是掌握二次根式的除法运算法则．
5、A
【解析】
当▱ABCD的面积最大时，四边形ABCD为矩形，得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AC=BD，根据勾股定理求出AC，即可得出结论．
【详解】
根据题意得：当▱ABCD的面积最大时，四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，AC=BD，
∴∠BAD+∠BCD=180° ，AC==5，
①正确，②正确，④正确；③不正确；
故选A．
本题考查了平行四边形的性质、矩形的性质以及勾股定理；得出▱ABCD的面积最大时，四边形ABCD为矩形是解决问题的关键．
6、A
【解析】
已知AC和BD是对角线，取各自中点，则对角线互相平分（即AO＝CO，BO＝DO）的四边形是平行四边形．
【详解】
解：由已知可得AO＝CO，BO＝DO，所以四边形ABCD是平行四边形，依据是对角线互相平分的四边形是平行四边形．
故选：A．
本题主要考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定方法是解题的关键．
7、D
【解析】
根据图象进行解答即可．
【详解】
解：①当x=10时，两个探测气球位于同一高度，正确；
②当x＞10时，乙气球位置高，正确；
③当0≤x＜10时，甲气球位置高，正确；
故选：D．
本题考查了一次函数的应用、解题的关键是根据图象进行解答．
8、B
【解析】
根据每组的组中值利用加权平均数的定义列式计算即可得．
【详解】
解：由上表可知，这20户家庭该月节约用水量的平均数是
=2.3（t），
故选B．
本题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、∠ABC＝90°(或AC＝BD等)
【解析】
本题是一道开放题，只要掌握矩形的判定方法即可．由有一个角是直角的平行四边形是矩形．想到添加∠ABC＝90°；由对角线相等的平行四边形是矩形．想到添加AC＝BD.
10、2
【解析】
由折叠可得：∠AFE=∠B=90°，依据勾股定理可得：Rt△CEF中，CF1．设AB= x，则AF=x ，AC=x+1，再根据勾股定理，可得Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即x2+82=（x+1）2，解方程即可得出AB的长，由矩形的性质即可得出结论．
【详解】
由折叠可得：AB=AF，BE=FE=3，∠AFE=∠B=90°，∴Rt△CEF中，CF1．
设AB= x，则AF=x ，AC=x+1．
∵Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，∴x2+82=（x+1）2，解得：x=2，∴AB=2．
∵ABCD是矩形，∴CD=AB=2．
故答案为：2．
本题考查了矩形的性质以及勾股定理的综合运用，解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
11、k＜1．
【解析】
根据一次函数的性质解答即可.
【详解】
∵一次函数y＝kx+2，函数值y随x的值增大而减小，
∴k＜1．
故答案为：k＜1．
本题考查了一次函数的图像与性质，对于一次函数y=kx+b（k为常数，k≠1）,当k>1时，y随x的增大而增大；当k<1时，y随x的增大而减小.
12、6
【解析】
首先将a2b－ab2提取公因式，在代入计算即可.
【详解】
解：
代入a－b＝2，ab＝3
则原式=
故答案为6.
本题主要考查因式分解的计算，关键在于提取公因式，这是基本知识点，应当熟练掌握.
13、或
【解析】
分两种情况：点F线段BC上时或在CB的延长线上时，根据正方形的性质及旋转的性质证明△ABF≌△ADE得到BF=DE，即可求出答案.
【详解】
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，AB=AD=BC=CD=DE+CE=2+1=3，
由旋转得AF=AE,
∴△ABF≌△ADE，
∴BF=DE=2，
如图：当点F线段BC上时，CF=BC-BF=3-2=1，
当点F在CB延长线上时，CF=BC+BF=3+2=5，
故答案为：1或5.
此题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，旋转的性质，正确理解题意分情况解题是关键.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1），；（2）当运输路程等于200千米时，，用两种运输方式一样；当运输路程小于200千米时，，用邮车运输较好；当运输路程大于200千米时，，用火车运输较好.
【解析】
（1）根据方式一、二的收费标准即可得出y1（元）、y2（元）与运输路程x（公里）之间的函数关系式．
（2）比较两种方式的收费多少与x的变化之间的关系，从而根据x的不同选择合适的运输方式．
【详解】
解：（1）由题意得：，；
（2）令，解得，
∴当运输路程等于200千米时，，用两种运输方式一样；
当运输路程小于200千米时，，用邮车运输较好；
当运输路程大于200千米时，，用火车运输较好.
此题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是根据题意所述两种运输方式的收费标准，得出总费用y1（元）、y2（元）与运输路程x（公里）关系式．
15、（1）；（2）.
【解析】
（1）利用，可以就可以求出A点的坐标
（2）利用A，B的坐标求出一次函数的解析式，然后利用C点坐标求出反比例函数的表达式。
【详解】
解：（1），
而，
，
点坐标为；
（2）点坐标为，
把、代入得，即得，
一次函数解析式为；
把代入得，
点坐标为，
，
反比例函数解析式为
此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，数形结合思想是数学中重要的思想方法，做题时注意灵活运用．
16、（1）6（2）9
【解析】
（1）先计算算术平方根，零指数幂，然后依次计算即可
（2）先利用完全平方公式进行计算，再把二次根式化为最简，进行计算即可
【详解】
（1）3+2+1=6
（3）3+4+4 -4+2=9
此题考查二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题关键
17、（1）见解析
（2）当或AB=2AC时，四边形DCBE是平行四边形．
【解析】
（1）首先连接CE，根据直角三角形的性质可得CE=AB=AE，再根据等边三角形的性质可得AD=CD，然后证明△ADE≌△CDE，进而得到∠ADE=∠CDE=30°，再有∠DCB=150°可证明DE∥CB．
（2）当或AB=2AC时，四边形DCBE是平行四边形．若四边形DCBE是平行四边形，则DC∥BE，∠DCB+∠B=180°进而得到∠B=30°，再根据三角函数可推出答案．
【详解】
解：（1）证明：连结CE，
∵点E为Rt△ACB的斜边AB的中点，
∴CE=AB=AE．
∵△ACD是等边三角形，∴AD=CD．
在△ADE与△CDE中，，
∴△ADE≌△CDE（SSS）
∴∠ADE=∠CDE=30°
∵∠DCB=150°
∴∠EDC+∠DCB=180°
∴DE∥CB
（2）∵∠DCB=150°，若四边形DCBE是平行四边形，则DC∥BE，∠DCB+∠B=180°．
∴∠B=30°．
在Rt△ACB中，sinB=，即sin30°=
∴或AB=2AC．
∴当或AB=2AC时，四边形DCBE是平行四边形．
此题主要考查了平行线的判定、全等三角形的判定与性质，以及平行四边形的判定，关键是掌握直角三角形的性质，以及等边三角形的性质．
18、（1）90°（1）1.4
【解析】
（1）连接CE，根据线段垂直平分线的性质转化线段BE到△AEC中，利用勾股定理的逆定理可求∠A度数；
（1）设AE＝x，则AC可用x表示，在Rt△ABC中利用勾股定理得到关于x的方程求解AE值．
【详解】
（1）连接CE，∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴CE＝BE．
∵BE1−AE1＝AC1，
∴AE1＋AC1＝CE1．
∴△AEC是直角三角形，∠A＝90°；
（1）在Rt△BDE中，BE＝＝2．
所以CE＝BE＝2．
设AE＝x，则在Rt△AEC中，AC1＝CE1−AE1，
所以AC1＝12−x1．
∵BD＝4，
∴BC＝1BD＝3．
在Rt△ABC中，根据BC1＝AB1＋AC1，
即64＝（2＋x）1＋12−x1，
解得x＝1.4．
即AE＝1.4．
本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是利用勾股定理求解线段长度，选择直角三角形借助勾股定理构造方程是解这类问题通用方法．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、x⩾−2且x≠1
【解析】
先根据分式及二次根式有意义的条件列出关于x的不等式组，求出x的取值范围即可．
【详解】
∵代数式有意义，
∴，
解得x⩾−2且x≠1．
故答案为：x⩾−2且x≠1．
本题考查分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件和二次根式有意义的条件.
20、（3，0）
【解析】
连接AA′，BB′，分别作AA′，BB′的垂直平分线，两垂直平分线的交点即是旋转中心，然后写出坐标即可.
【详解】
连接旋转前后的对应两点，然后就会出现两条线段，分别作这两条线段的中垂线，两条中垂线相交的地方就是旋转中心.
所以，旋转中心D的坐标为（3,0）.
故答案为：（3,0）.
本题考查了旋转的性质，解题的关键是能够根据题意确定旋转中心，难度不大．先找到这个旋转图形的两对对应点，连接对应两点，然后就会出现两条线段，分别作这两条线段的中垂线，两条中垂线的交点就是旋转中心.
21、详见解析
【解析】
直接利用网格结合全等三角形的判定方法得出答案．
【详解】
解：如图所示：③与④全等；②与⑥全等；⑤与①全等．
此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定，正确应用网格是解题关键．
22、48°
【解析】
试题分析：因为AB∥CD，∠B=68°，所以∠CFE=∠B=68°，又∠CFE=∠D+∠E, ∠E=20°，所以∠D=∠CFE-∠E=68°-20°=48°．
考点：1．平行线的性质2．三角形的外角的性质
23、1．
【解析】
根据三角形的面积公式，只要找出底乘以高等于4的点的位置即可．
【详解】
解：如图，点C的位置可以有1种情况．
故答案为：1．
本题主要考查了勾股定理及三角形的面积，根据格点的情况，按照一定的位置查找，不要漏掉而导致出错．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、购进甲型号书柜1个，购进乙型号书柜2个．
【解析】
设购进甲型号书柜x个，则购进乙型号书柜2x个，根据单价=总价÷数量结合乙型号书柜比甲型号书柜单价便宜了300元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】
设购进甲型号书柜x个，则购进乙型号书柜2x个，根据题意得：
300
解得：x=1．
经检验，x=1是原方程的解，∴2x=2．
答：购进甲型号书柜1个，购进乙型号书柜2个．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
25、（1）①点坐标为，点坐标为；②存在，周长；
（2）不变，的面积为
【解析】
（1）①求出点E的坐标，得出C点的纵坐标，根据面积为24即可求出C的坐标，得出F点横坐标即可求解；
②作点E关于x轴的对称点G，连接GF，与x轴的交点为p，此时的周长最小
（2）先算出三角形与三角形的面积，再求出三角形的面积即可.
【详解】
（1）①点坐标为，点坐标为；
②作点E关于x轴的对称点G，连接GF，求与x轴的交点为p，此时的周长最小
由①得EF=
由对称可得EP=PH,
由 H(3,-4) F(6,2)可得HF=3
△PEF=EP+PF+EF=FH+EF=
（2）不变，求出三角形与三角形的面积为
求出三角形的面积为
求出三角形的面积为
设E位(a, ),则S△AEO=,同理可得S△AFB=,
∵矩形的面积为24
F(,)，C（，）
S△CEF=
S=24--k=.
本题考查的是函数与矩形的综合运用，熟练掌握三角形和对称是解题的关键.
26、（1）240﹣x、x﹣40、260﹣x；（2）40≤x≤240；（1）0＜n≤1．
【解析】
（1）根据题意可以将表格中的空缺数据补充完整，
（2）根据题意可以求得W与x的函数关系式，并写出x的取值范围，
（1）根据题意，利用分类讨论的数学思想可以解答本题．
【详解】
解：（1）∵C市运往B市x吨，
∴C市运往A市（240﹣x）吨，D市运往B市（100﹣x）吨，D市运往A市260﹣（100﹣x）＝（x﹣40）吨，
故答案为：240﹣x、x﹣40、260﹣x；
（2）由题意可得，
W＝20（240﹣x）+25x+15（x﹣40）+10（100﹣x）＝﹣10x+11200，
由，
解得40≤x≤240，
（1）由题意可得，
W＝20（240﹣x）+（25﹣n）x+15（x﹣40）+10（100﹣x）＝﹣（n+10）x+11200，
∵n＞0
∴﹣（n+10）＜0，
W随x的增大而减小，
当x取最大值240时，W最小值＝﹣（n+10）×240+11200，
即﹣（n+10）x+11200≥10080，
解得n≤1，
∴0＜n≤1．
本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用函数和不等式的性质解答．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
节约用水量x（t）
0.5≤x＜1.5
1.5≤x＜2.5
2.5≤x＜3.5
3.5≤x＜4.5
户数
6
4
8
2
A
B
合计（吨）
C

x
240
D


260
总计（吨）
200
300
500