江苏省重点中学2024-2025学年数学九上开学考试模拟试题【含答案】

这是一份江苏省重点中学2024-2025学年数学九上开学考试模拟试题【含答案】，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）下列关于矩形对角线的说法中，正确的是
A．对角线相互垂直B．面积等于对角线乘积的一半
C．对角线平分一组对角D．对角线相等
2、（4分）下列代数式属于分式的是( )
A．B．3yC．D．+y
3、（4分）有31位学生参加学校举行的“最强大脑”智力游戏比赛，比赛结束后根据每个学生的最后得分计算出中位数、平均数、众数和方差，如果去掉一个最高分和一个最低分，则一定不发生变化的是（ ）
A．中位数B．平均数C．众数D．方差
4、（4分）下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A．2，3，4B．4，5，6C．6，8，11D．5，12，13
5、（4分）已知一次函数y＝ax+b（a≠0，a，b为常数），x与y的对应值如表：
不等式ax+b＜0的解集是（ ）
A．x＞﹣2B．x＜2C．x＞0D．x＞2
6、（4分）七巧板是我国祖先的一项卓越创造．下列四幅图中有三幅是小明用如图所示的七巧板拼成的，则不是小明拼成的那副图是（ ）
A．B．C．D．
7、（4分）下列运算中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8、（4分）如图是我国一位古代数学家在注解《周髀算经》时给出的，曾被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽，它通过对图形的切割、拼接，巧妙地证明了勾股定理，这位伟大的数学家是（ ）
A．杨辉B．刘徽C．祖冲之D．赵爽
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）自2019年5月30日万州牌楼长江大桥正式通车以来，大放光彩，引万人驻足.市民们纷纷前往打卡、拍照留念，因此牌楼长江大桥成为了万州网红打卡地.周末，小棋和小艺两位同学相约前往参观，小棋骑自行车，小艺步行，她们同时从学校出发，沿同一条路线前往，出发一段时间后小棋发现东西忘了，于是立即以原速返回到学校取，取到东西后又立即以原速追赶小艺并继续前往，到达目的地后等待小艺一起参观（取东西的时间忽略不计），在整个过程两人保持匀速，如图是两人之间的距离与出发时间之间的函数图象如图所示，则当小棋到达目的地时，小艺离目的地还有______米.
10、（4分）现有一张矩形纸片ABCD（如图），其中AB=4cm，BC=6cm，点E是BC的中点．将纸片沿直线AE折叠，点B落在四边形AECD内，记为点B′．则线段B′C= ．
11、（4分）已知点M（m，3）在直线上，则m=______.
12、（4分）2016年5月某日，重庆部分区县的最高温度如下表所示：
则这组数据的中位数是__________．
13、（4分）命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是_______
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）解方程：
15、（8分）阅读材料：分解因式：x2+2x-3
解：原式=x2+2x+1-4=（x+1）2-4
=（x+1+2）（x+1-2）=（x+3）（x-1）
此种方法抓住了二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项成为完全平方式，我们把这种分解因式的方法叫配方法．请仔细体会配方法的特点，然后尝试用配方法解决下列问题：
（1）分解因式x2-2x-3=_______；a2-4ab-5b2=_______；
（2）无论m取何值，代数式m2+6m+13总有一个最小值，请你尝试用配方法求出它的最小值；
16、（8分）已知：如图，在矩形中，、的平分线、分别交、于点，，求证：.
17、（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+ b的图象分别与x轴和y轴交于点A、B(0，-2)，与正比例函数y=x的图象交于点C(m，2)．
(1)求m的值和一次函数的解析式；
(2)求△AOC的面积；
(3)直接写出使函数y =kx +b的值大于函数y=x的值的自变量x的取值范围．
18、（10分）在四边形中，是边上一点，点从出发以秒的速度沿线段运动，同时点从出发，沿线段、射线运动，当运动到，两点都停止运动．设运动时间为（秒）：
（1）当与的速度相同，且时，求证：
（2）当与的速度不同，且分别在上运动时（如图1），若与全等，求此时的速度和值；
（3）当运动到上，运动到射线上（如图2），若的速度为秒，是否存在恰当的边的长，使在运动过程中某一时刻刚好与全等，若存在，请求出此时的值和边的长；若不存在，请说明理由．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，四边形中，，，且，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点得到四边形，如此进行下去，得到四边形，则四边形的面积是________.
20、（4分） 如图，正△ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正△AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1；再以正△AB1C1边B1C1上的高AB2为边作正△AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2；…，以此类推，则Sn＝_____．（用含n的式子表示）
21、（4分）若直线y＝kx+3的图象经过点（2，0），则关于x的不等式kx+3＞0的解集是_____．
22、（4分）函数y=的自变量x的取值范围是_____．
23、（4分）一元二次方程 的一次项系数为_________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）已知一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，求这个多边形的边数及对角线的条数？
25、（10分）《九章算术》“勾股”章的问题：：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会.问甲、乙各行几何？”大意是说：如图，甲乙二人从A处同时出发，甲的速度与乙的速度之比为7:3，乙一直向东走，甲先向南走十步到达C处，后沿北偏东某方向走了一段距离后与乙在B处相遇，这时，甲乙各走了多远？
26、（12分）如图，方格纸中每一个小方格的边长为1个单位，试解答下列问题：
（1）的顶点都在方格纸的格点上，先将向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到，其中点、、分别是、、的对应点，试画出；
（2）连接，则线段 的位置关系为____,线段的数量关系为___；
（3）平移过程中，线段扫过部分的面积_____．（平方单位）
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
根据矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分得到正确选项．
【详解】
解：矩形的对角线相等，
故选：．
此题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解本题的关键．
2、C
【解析】
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【详解】
解：A. 不是分式，故本选项错误，
B. 3y不是分式，故本选项错误，
C. 是分式，故本选项正确，
D. +y不是分式，故本选项错误，
故选：C.
本题主要考查分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有未知数．
3、A
【解析】
根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数．
【详解】
去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，故选A．
考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义.
4、D
【解析】
欲求证是否为直角三角形，利用勾股定理的逆定理即可．这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】
解：A、22+32≠42，故不是直角三角形，故错误；
B、42+52≠62，故不是直角三角形，故错误；
C、62+82≠112，故不是直角三角形，故错误；
D、52+122=132，故是直角三角形，故正确．
故选D．
5、D
【解析】
根据不等式ax+b＜0的解集为函数y＝ax+b中y＜0时自变量x的取值范围，由图表可知，y随x的增大而减小，因此x＞1时，函数值y＜0，即不等式ax+b＜0的解集为x＞1．
【详解】
解：由图表可得：当x＝1时，y＝0，且y随x的增大而减小，
所以不等式ax+b＜0的解集是：x＞1，
故选：D．
本题主要考查了一次函数与一元一次不等式之间的关系，难度适中．
6、C
【解析】
观察可得，选项C中的图形与原图中的④、⑦图形不符，故选C.
7、B
【解析】
根据二次根式的乘除法则求出每个式子的值，再判断即可．
【详解】
解: A. =＝42，故本选项不符合题意；
B. ，故本选项，符合题意；
C. ，故本选项不符合题意；
D. =3，故本选项不符合题意；
故选：B．
本题考查二次根式的性质和二次根式的乘除法则，能灵活运用二次根式的乘除法则进行计算是解题关键．
8、D
【解析】
3世纪，汉代赵爽在注解《周髀算经》时，通过对图形的切割、拼接、巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．
【详解】
由题意，可知这位伟大的数学家是赵爽．
故选：D．
考查了数学常识，勾股定理的证明．3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．赵爽通过对这种图形切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了著名的勾股定理．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、400
【解析】
设小祺的速度为x米/分钟，小艺的速度为y米/分钟，由题意列方程组，可求出小祺的速度与小艺的速度.
【详解】
设小祺的速度为x米/分钟，小艺的速度为y米/分钟
则有：
∴
∴设小祺的速度为130米/分钟，小艺的速度为70米/分钟
∴当小祺到达目的地时，小艺离目的地的距离=米
故答案为：400米
本题考查了一次函数与一元一次方程的应用，关键是把条件表述的几个过程对应图象理解，再找出对应数量关系.
10、.
【解析】
试题解析：连接BB′交AE于点O，如图所示：
由折线法及点E是BC的中点，∴EB=EB′=EC，
∴∠EBB′=∠EB′B，∠ECB′=∠EB′C；
又∵△BB'C三内角之和为180°，
∴∠BB'C=90°；
∵点B′是点B关于直线AE的对称点，
∴AE垂直平分BB′；
在Rt△AOB和Rt△BOE中，BO2=AB2-AO2=BE2-（AE-AO）2
将AB=4，BE=3，AE==5代入，得AO=cm；
∴BO=，
∴BB′=2BO=cm，
∴在Rt△BB'C中，B′C=cm．
考点：翻折变换（折叠问题）．
11、2
【解析】
把点M代入即可求解.
【详解】
把点M代入，
即3=2m-1，解得m=2，
故填：2.
此题主要考查一次函数，解题的关键是熟知坐标与函数的关系.
12、27℃
【解析】
根据中位数的求解方法，先排列顺序，再求解．
【详解】
解：将这组数据按从小到大的顺序排列：24，25，26，26，28，28，29，29，
此组数据的个数是偶数个，所以这组数据的中位数是（26+28）÷2=27，
故答案为27℃．
本题考查了中位数的意义．先把数据按由小到大顺序排序：若数据个数为偶数，则取中间两数的平均数；若数据个数为奇数，则取中间的一个数．
13、有两个角相等的三角形是等腰三角形
【解析】
根据逆命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件写出即可.
【详解】
∵原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，∴命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“有两个角相等三角形是等腰三角形”．
故答案为：有两个角相等的三角形是等腰三角形.
本题考查命题与逆命题，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、x=2
【解析】
解：
两边同乘（x-4），得
3-x+1=x-4
x=2
检验：当x=2时，x-4≠0
∴x=2是原分式方程的解．
15、（1）（x-3）（x+1）；（a+b）（a-5b）;（2）代数式m2+6m+13的最小值是1
【解析】
（1）二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方；
（2）利用配方法将代数式m2+6m+13转化为完全平方与和的形，然后利用非负数的性质进行解答．
【详解】
（1）x2-2x-3，
=x2-2x+1-1-3，
=（x-1）2-1，
=（x-1+2）（x-1-2），
=（x-3）（x+1）；
a2-1ab-5b2，
=a2-1ab+1b2-1b2-5b2，
=（a-2b）2-9b2，
=（a-2b-3b）（a-2b+3b），
=（a+b）（a-5b）；
故答案为：（x-3）（x+1）；（a+b）（a-5b）；
（2）m2+6m+13=m2+6m+9+1=（m+3）2+1，
因为（m+3）2≥0，
所以代数式m2+6m+13的最小值是1．
本题考查了配方法的应用，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．
16、证明过程见解析
【解析】
求证BE=DF，即求证△ABE△CDF.
【详解】
证明：∵、的平分线、分别交、于点，
∴∠ABE=∠EBD，∠BDF=∠FDC
又四边形ABCD为矩形
∴∠ABD=∠CDB，AB=CD
∴∠ABE=∠EBD=∠BDF=∠FDC
在△ABE和△CDF中
∴△ABE△CDF
∴BE=DF
本题主要考查了平行线以及全等三角形的性质，全等三角形的判定是解决本题的关键.
17、 (1)m=1；y =1x﹣1；(1)S△AOC=1；(3)x＞1.
【解析】
(1)把C(m，1)代入y=x得m=1，可得C的坐标，且已知B点的坐标，即可求得一次函数解析式为y = 1x﹣1.
(1) 把y=0代入y=1x﹣1得x=1，则可得A点坐标，即可求得△AOC的面积.
(3) 根据一次函数图形，可知y =kx +b的值大于函数y=x的值，即为自变量x的取值范围是x＞1．
【详解】
解：(1)把C(m，1)代入y=x得m=1，
则点C的坐标为(1，1)，
把C(1，1)，B(0, -1)代入y = kx + b得
解得
所以一次函数解析式为y = 1x﹣1；
(1)把y=0代入y=1x﹣1得x=1，则A点坐标为(1，0)，
所以S△AOC=×1×1=1；
(3)根据一次函数图形，可知y =kx +b的值大于函数y=x的值，即为自变量x的取值范围是x＞1．
此题考查一次函数，解题关键在于利用待定系数法求一次函数解析式.
18、（1）见解析；（2）的速度为3，t的值为2；（3）的长为时，两三角形全等
【解析】
（1）根据SAS即可证明△EBP≌△PCQ．
（2）正确寻找全等三角形的对应边，根据路程，速度，时间的关系即可解决问题．
（3）分两种情形分别构建方程组即可解决问题．
【详解】
（1）由题意：BP=CQ=1×2=2（cm），
∵BC=8cm，BE=6cm，
∴PC=8-2=6（cm），
,,,,
（2）设的速度为，
则，
分两种情况：
①当时，，
即，解得，（舍去）
② 当时，，
即，解得，
Q的速度为3，t的值为2.
（3）设，则，
分两种情况：
①当时，，
即，解得，
②，
即，解得
故：当的长为时，两三角形全等．
本题考查了全等三角形的判定和性质，路程，速度，时间之间的关系等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
根据四边形的面积与四边形的面积间的数量关系来求其面积．
【详解】
解：∵四边形中，，，且

由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，
四边形的面积是．
故答案为：．
本题主要考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）．解答此题时，需理清菱形、矩形与平行四边形的关系．
20、：（）n．
【解析】
由AB1为边长为2的等边三角形ABC的高，利用三线合一得到B1为BC的中点，求出BB1的长，利用勾股定理求出AB1的长，进而求出S1，同理求出S2，依此类推，得到Sn．
解：∵等边三角形ABC的边长为2，AB1⊥BC，
∴BB1=1，AB=2，
根据勾股定理得：AB1=，
∴S1=××（）2=（）1；
∵等边三角形AB1C1的边长为，AB2⊥B1C1，
∴B1B2=，AB1=，
根据勾股定理得：AB2=，
∴S2=××（）2=（）2；
依此类推，Sn=（）n．
故答案为（）n．
“点睛”此题考查了等边三角形的性质，属于规律型试题，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键．
21、
【解析】
把点(2，0)代入解析式，利用待定系数法求出k的值，然后再解不等式即可.
【详解】
∵直线y＝kx+3的图象经过点(2，0)，
∴0=2k+3，
解得k=-，
则不等式kx+3＞0为-x+3＞0，
解得：x