江西省育华学校2024-2025学年数学九年级第一学期开学经典试题【含答案】

这是一份江西省育华学校2024-2025学年数学九年级第一学期开学经典试题【含答案】，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为
A．B．C．D．
2、（4分）下列结论中正确的有 （ ）
①若一个三角形中最大的角是80°，则这个三角形是锐角三角形
②三角形的角平分线、中线和高都在三角形内部
③一个三角形最少有一个角不小于60°
④一个等腰三角形一定是钝角三角形
A．1个B．2个C．3个D．4个
3、（4分）下列方程，是一元二次方程的是（ ）
①， ②， ③， ④
A．①②B．①②④C．①③④D．②④
4、（4分）下列各式正确的是( )
A．B．C．D．
5、（4分）如图，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动到点A停止，设点P运动路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图（2）所示，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．10B．16C．20D．36
6、（4分）已知 是方程组 的解，则a+b的值为 （ ）
A．2B．-2C．4D．-4
7、（4分）反比例函数的图象的一支在第二象限，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
8、（4分）分式，－，的最简公分母是（ ）
A．5abxB．5abx3C．15abxD．15abx2
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图,已知四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积为______。
10、（4分）已知数据a1，a2，a3，a4，a5的平均数是m，且a1＞a2＞a3＞a4＞a5＞0，则数据a1，a2，a3，﹣3，a4，a5的平均数和中位数分别是_____，_____．
11、（4分）因式分解：x2﹣9y2= ．
12、（4分）若正多边形的一个内角等于150°，则这个正多边形的边数是______．
13、（4分）设、是方程的两个实数根，则的值为_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE．
求证：四边形BCDE是矩形．
15、（8分）（1）解分式方程：；（2）化简：
16、（8分）如图所示，在第四象限内的矩形OABC，两边在坐标轴上，一个顶点在一次函数y＝0.5x﹣3的图象上，当点A从左向右移动时，矩形的周长与面积也随之发生变化，设线段OA的长为m，矩形的周长为C，面积为S．
（1）试分别写出C、S与m的函数解析式，它们是否为一次函数？
（2）能否求出当m取何值时，矩形的周长最大？为什么？
17、（10分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD=，∠A=90º，∠CBD=30º，∠C=45º，求BD及CD的长.
18、（10分）学校组织八年级350名学生参加“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分，为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中若干名学生的成绩作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）求a和b的值；
（2）请补全频数分布直方图。
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）已知杭州市某天六个整点时的气温绘制成的统计图，则这六个整点时气温的中位数是 .
20、（4分）某楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，楼梯宽为2m，则购买这种地毯至少需要_____元．
21、（4分）在一个不透明的袋子里装有3个白色乒乓球和若干个黄色乒乓球，若从这个袋子里随机摸出一个乒乓球，恰好是黄球的概率为0.7，则袋子内共有乒乓球__________个。
22、（4分）反比例函数的图象过点P（2，6），那么k的值是 ．
23、（4分）已知数据a1，a2，a3，a4，a5的平均数是m，且a1＞a2＞a3＞a4＞a5＞0，则数据a1，a2，a3，﹣3，a4，a5的平均数和中位数分别是_____，_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，正方形ABCD的边长为4，E是线段AB延长线上一动点，连结CE．
（1）如图1，过点C作CF⊥CE交线段DA于点F．
①求证：CF=CE；
②若BE=m（0＜m＜4），用含m的代数式表示线段EF的长；
（2）在（1）的条件下，设线段EF的中点为M，探索线段BM与AF的数量关系，并用等式表示．
（3）如图2，在线段CE上取点P使CP=2，连结AP，取线段AP的中点Q，连结BQ，求线段BQ的最小值．
25、（10分）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是OB，OD的中点．
（1）试说明四边形AECF是平行四边形．
（2）若AC＝2，AB＝1．若AC⊥AB，求线段BD的长．
26、（12分）随着移动终端设备的升级换代，手机已经成为我们生活中不可缺少的一部分，为了解中学生在假期使用手机的情况（选项：A．和同学亲友聊天；B．学习；C．购物；D．游戏；E．其它），端午节后某中学在全校范围内随机抽取了若干名学生进行调查，得到图表（部分信息未给出）：
根据以上信息解答下列问题：
（1）这次被调查的学生有多少人？
（2）求表中m，n，p的值，并补全条形统计图．
（3）若该中学约有800名学生，估计全校学生中利用手机购物或玩游戏的共有多少人？并根据以上调查结果，就中学生如何合理使用手机给出你的一条建议．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
从图中可以看出横坐标为1的有一个点，横坐标为2的有2个点，横坐标为3的有3个点，依此类推横坐标为n的有n个点题目要求写出第100个点的坐标，我们可以通过加法计算算出第100个点位于第几列第几行，然后对应得出坐标规律，将行列数代入规律式．
【详解】
在横坐标上，第一列有一个点，第二列有2个点第n个有n个点，
并且奇数列点数对称而偶数列点数y轴上方比下方多一个，
所以奇数列的坐标为；
偶数列的坐标为，
由加法推算可得到第100个点位于第14列自上而下第六行．
代入上式得，即．
故选D．
本题是一道找规律题，主要考查了点的规律.培养学生对坐平面直角坐标系的熟练运用能力是解题的关键．
2、B
【解析】
根据锐角三角形的定义判断①；根据三角形的角平分线、中线、高的定义及性质判断②；根据三角形的内角和定理判断③；根据等腰三角形的性质判断④．
【详解】
解： ①若一个三角形中最大的角是80°，则这个三角形是锐角三角形，根据锐角三角形的定义可知，本说法正确；
②三角形的角平分线、中线与锐角三角形的三条高均在三角形内部，而直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，故此说法错误；
③如果三角形中每一个内角都小于60°，那么三个角三个角的和小于180°，与三角形的内角和定理相矛盾，故此说法正确；
④一个等腰三角形，它的顶角既可以是钝角，也可以是直角或锐角，所以等腰三角形不一定是钝角三角形，此说法错误；
正确的说法是①④，共2个
故选：B．
本题考查了三角形的角平分线、中线、高的定义及性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，锐角三角形及钝角三角形，熟记定理与性质是解题的关键．
3、D
【解析】
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．结合题意进行分析即可得到答案.
【详解】
①，含有两个未知数，不是一元二次方程；②，是一元二次方程；③不是一元二次方程；④ ，是一元二次方程；由此知②④是一元二次方程，故选D.
本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义.
4、D
【解析】
根据二次根式的性质解答即可.
【详解】
解：A. ,错误;
B. ,错误;
C. ,错误;
D. ,正确.故选D.
本题考查了二次根式的性质的应用，能根据二次根式的性质把根式化成最简二次根式是解题的关键．
5、C
【解析】
点P从点B运动到点C的过程中，y与x的关系是一个一次函数，运动路程为4时，面积发生了变化，说明BC的长为4，当点P在CD上运动时，三角形ABP的面积保持不变，就是矩形ABCD面积的一半，并且动路程由4到9，说明CD的长为5，然后求出矩形的面积．
【详解】
解：∵当4≤x≤9时，y的值不变即△ABP的面积不变，P在CD上运动当x=4时，P点在C点上所以BC=4当x=9时，P点在D点上∴BC+CD=9
∴CD=9-4=5
∴△ABC的面积S=AB•BC=×4×5=10
∴矩形ABCD的面积=2S=20
故选：C．
本题考查的是动点问题的函数图象，根据矩形中三角形ABP的面积和函数图象，求出BC和CD的长，再用矩形面积公式求出矩形的面积．
6、B
【解析】
∵是方程组的解
∴将代入①，得a+2=−1，∴a=−3.
把代入②，得2−2b=0，∴b=1.
∴a+b=−3+1=−2.
故选B.
7、A
【解析】
分析：当比例系数小于零时，反比例函数的图像经过二、四象限，由此得到k-1<0，解这个方程求出k的取值范围.
详解：由题意得，
k-1<0，
解之得
k<1.
故选A.
点睛：本题考查了反比例函数的图像，对于反比例函数，当k＞0,反比例函数图象的两个分支在第一、三象限；当 k＜0,反比例函数图象的两个分支在第二、四象限,在每一象限内.
8、D
【解析】
求出ax，3b，5x2的最小公因式即可。
【详解】
解：由ax，3b，5x2得最小公因式为15abx2，故答案为D。
本题考查了最简公分母，即分母的最小公因式；其关键在于最小公因式，不仅最小，而且能被每一个分母整除。
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、36
【解析】
连接AC，在直角三角形ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由AD及CD的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形，根据四边形ABCD的面积=直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积，即可求出四边形的面积．
【详解】
连接AC，如图所示：
∵∠B=90°，
∴△ABC为直角三角形，
又∵AB=3，BC=4，
∴根据勾股定理得：AC= =5，
又∵CD=12，AD=13，
∴AD=13=169,CD+AC=12+5=144+25=169，
∴CD+AC=AD，
∴△ACD为直角三角形,∠ACD=90°，
则S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD= AB⋅BC+AC⋅CD=×3×4+×5×12=36，
故四边形ABCD的面积是36
此题考查勾股定理的逆定理，勾股定理，解题关键在于作辅助线
10、 ，
【解析】
根据五个数的平均数为m，可以表示五个数的和为5m，后来加上一个数﹣3，那么六个数的和为5m﹣3，因此六个数的平均数为（5m﹣3）÷6，将六个数从小到大排列后，处在第3、4位的两个数的平均数为（a4+a3）÷1，因此中位数是（a4+a3）÷1．
【详解】
a1，a1，a3，a4，a5的平均数是m，则a1+a1+a3+a4+a5＝5m，
数据a1，a1，a3，﹣3，a4，a5的平均数为（a1+a1+a3﹣3+a4+a5）÷6＝，
数据a1，a1，a3，﹣3，a4，a5按照从小到大排列为：﹣3， a5，a4，a3，a1， a1，处在第3、4位的数据的平均数为 ，
故答案为：,.
考查平均数、中位数的意义及计算方法，解题关键在于灵活应用平均数的逆运算.
11、．
【解析】
因为，所以直接应用平方差公式即可：．
12、1．
【解析】
首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数．
【详解】
正多边形的一个内角等于，
它的外角是：，
它的边数是：．
故答案为：1．
此题主要考查了多边形的外角与内角，做此类题目，首先求出正多边形的外角度数，再利用外角和定理求出求边数．
13、-1
【解析】
根据根与系数的关系可得出，，将其代入中即可得出结论．
【详解】
∵、是方程的两个实数根，
∴，，
∴．
故答案为：-1．
本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、见解析
【解析】
分析：证明：∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAE=∠CAD．
在△ABE和△ACD中，
∵AB=AC，AE=AD，∠BAE=∠CAD，∴△ABE≌△ACD（SAS）.
∴BE=CD．
又∵DE=BC，∴四边形BCDE为平行四边形．
如图，连接BD,CE,
在△ACE和△ABD中，
∵AC=AB，AE=AD，∠CAE=∠BAD，
∴△ACE≌△ABD（SAS），∴CE=BD．
∴四边形BCED为矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.
15、（1）；（2）.
【解析】
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解可得x的值，经检验是分式方程的解；
（2）原式括号中两项通分并进行同分母减法计算，同时利用除法法则变形、约分即可求解.
【详解】
（1）解：
经检验：是原方程的解，所以原方程的解为.
（2）原式
.
本题考查了解分式方程以及分式方程的混合运算，熟练掌握运算法则是正确解题的关键.
16、（1）C＝m+6，面积S＝﹣0.5m2+3m， C是m的一次函数，S不是m的一次函数；（2）不能求出当m取何值时，矩形的周长最大．
【解析】
(1)由题意可知A(m，0)，B(m，0.5m﹣3)，从而得AB＝3﹣0.5m，继而根据矩形的周长公式和面积公式进行求解可得相应的函数解析式，然后再根据一次函数的概念进行判断即可；
(2)先确定出m的取值范围为0＜m＜6，根据(1)中的周长，可知m越大周长越大，但m没有是大值，因此不能求出当m取何值时，矩形的周长最大．
【详解】
(1)由题意，可知A(m，0)，B(m，0.5m﹣3)，
则AB＝|0.5m﹣3|＝3﹣0.5m，
∴矩形的周长C＝2(OA+AB)＝2(m+3﹣0.5m)＝m+6，
面积S＝OA•AB＝m(3﹣0.5m)＝﹣0.5m2+3m，
∴C是m的一次函数，S不是m的一次函数；
(2)不能求出当m取何值时，矩形的周长最大．
∵矩形OABC在第四象限内，
∴，
∴0＜m＜6，
又C＝m+6，
∴不能求出当m取何值时，矩形的周长最大．
本题考查了一次函数的应用——几何问题，熟练掌握矩形的周长公式以及面积公式是解题的关键.
17、BD=2；CD=
【解析】
过点D作DE⊥BC于E，根据等腰直角三角形的性质求出AD、BD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出DE，利用△CDE是等腰直角三角形，即可求出CD的长．
【详解】
解：如图，过点D作DE⊥BC于E，
∵∠A=90°，AD=AB=，
∴由勾股定理可得:
BD=,
∵∠CBD=30°，DEBE，
∴DE=BD=×2=1，
又∵Rt△CDE中，∠DEC=90°，∠C=45°，
∴CE=DE=1，
∴由勾股定理可得
CD=．
本题考查了勾股定理，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，以及等腰直角三角形的性质，通过作辅助线，把△BCD分成两个直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．
18、（1）18，0.18；（2）见解析
【解析】
（1）根据第一组的人数是2，对应的频率是0.04即可求得总人数，然后根据频率的公式即可求得；
（2）根据（1）即可补全直方图；
【详解】
(1)抽取的总人数是2÷0.04=50(人)，
a=50×0.36=18,b==0.18；
故答案是：18，0.18；
(2)
此题考查频数（率）分布表，频数（率）分布直方图，解题关键在于看懂图中数据.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、15.6
【解析】
试题分析：此题考查了折线统计图和中位数，掌握中位数的定义是本题的关键，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数.把这些数从小到大排列为：4.5，10.5，15.3，15.9，19.6，20.1，
最中间的两个数的平均数是（15.3+15.9）÷2=15.6（℃），
则这六个整点时气温的中位数是15.6℃．
考点：折线统计图；中位数
20、1
【解析】
解：已知直角三角形的一条直角边是3m，斜边是5m，根据勾股定理得到：水平的直角边是4m，地毯水平的部分的和是水平边的长，竖直的部分的和是竖直边的长，则购买这种地毯的长是3m+4m=7m，则面积是14m2，价格是14×30=1元．故答案为1．
21、10
【解析】
分析：设有x个黄球，利用概率公式可得，解出x的值，可得黄球数量，再求总数即可．
【详解】
解：设黄色的乒乓球有x个，则：

解得：x=7
经检验，x=7是原分式方程的解
∴袋子里共有乒乓球7+3=10个
：此题主要考查了概率公式，关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数：所有可能出现的结果数．
22、1．
【解析】
试题分析：∵反比例函数的图象过点P（2，6），∴k=2×6=1，故答案为1．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．
23、 ，
【解析】
根据五个数的平均数为m，可以表示五个数的和为5m，后来加上一个数﹣3，那么六个数的和为5m﹣3，因此六个数的平均数为（5m﹣3）÷6，将六个数从小到大排列后，处在第3、4位的两个数的平均数为（a4+a3）÷1，因此中位数是（a4+a3）÷1．
【详解】
a1，a1，a3，a4，a5的平均数是m，则a1+a1+a3+a4+a5＝5m，
数据a1，a1，a3，﹣3，a4，a5的平均数为（a1+a1+a3﹣3+a4+a5）÷6＝，
数据a1，a1，a3，﹣3，a4，a5按照从小到大排列为：﹣3， a5，a4，a3，a1， a1，处在第3、4位的数据的平均数为 ，
故答案为：,.
考查平均数、中位数的意义及计算方法，解题关键在于灵活应用平均数的逆运算.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）①详见解析；②；（2）BM= AF；（3）
【解析】
（1）①根据正方形的性质以及余角的性质即可证明△DCF≌△BCE，再根据全等三角形对应边相等即可得出结论；
②根据全等三角形的性质可得DF=BE=m．在Rt△ECF中，由勾股定理即可得出结论；
（2）在直线AB上取一点G，使BG=BE，由三角形中位线定理可得FG=2BM，可以证明AF=AG．在Rt△AFG中由勾股定理即可得出结论．
（3）在AB的延长线上取点R，使BR=AB=4，连结PR和CR，由三角形中位线定理可得BQ=PR．在Rt△CBR中，由勾股定理即可得出CR的长，再由三角形三边关系定理即可得出结论．
【详解】
（1）解：①证明：∵正方形ABCD，∴BC=CD，∠DCB=∠CBE=90°．
∵CF⊥CE，∠FCE=90°，∴∠DCF=∠BCE，∴△DCF≌△BCE（ASA），∴CE=CF．
②∵△DCF≌△BCE，∴DF=BE=m，∴AF=4-m，AE=4+m，由四边形ABCD是正方形得∠A=90°，∴EF==；
（2）解：在直线AB上取一点G，使BG=BE．
∵M为EF的中点，∴FG=2BM，由（1）知，DF=BE，又AD=AB，∴AF=AG．
∵∠A=90°，∴FG=AF，∴2BM=AF，∴BM=AF．
（3）解：在AB的延长线上取点R，使BR=AB=4，连结PR和CR．
∵Q为AP的中点，∴BQ=PR．
∵CP=2，CR==，∴PR≥CR-CP=，∴BQ的最小值为．
本题考查了正方形的性质以及三角形中位线定理．作出恰当的辅助线是解答本题的关键．
25、（1）见解析；（2）BD＝2．
【解析】
（1）在平行四边形ABCD中，AC与BD互相平分，OA=OC，OB=OD，又E，F为OB，OD的中点，所以OE=OF，所以AC与EF互相平分，所以四边形AECF为平行四边形；
（2）首先根据平行四边形的性质可得AO=CO，BO=DO，再利用勾股定理计算出BO的长，进而可得BD的长．
【详解】
（1）证明：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵E，F为OB，OD的中点，
∴OE＝OF，
∴AC与EF互相平分，
∴四边形AECF为平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵AC＝2，
∴AO＝2，
∵AB＝1，AC⊥AB，
∴，
∴BD＝．
此题主要考查了平行四边形的判定与性质，关键是掌握平行四边形对角线互相平分．
26、（1）这次被调查的学生有50人；（2）m=0.2，n=10，p=20，见解析；（3）全校学生中利用手机购物或玩游戏的共有400人，可利用手机学习．
【解析】
（1）根据C的人数除以C所占的百分比，可得答案；
（2）根据人数比抽查人数，所占的百分比乘以抽查人数，可得答案；
（3）根据样本估计总体，可得答案．
【详解】
（1）从C可看出5÷0.1=50人，
答：这次被调查的学生有50人；
（2）m==0.2，n=0.2×50=10，p=0.4×50=20，
，
（3）800×（0.1+0.4）=800×0.5=400人，
答：全校学生中利用手机购物或玩游戏的共有400人，可利用手机学习．
本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
成绩x/分
频数
频率
50≤x<60
2
0.04
60≤x<70
6
0.12
70≤x<80
9
b
80≤x<90
a
0.36
90≤x≤100
15
0.30