2024-2025学年高二上学期期中模拟考试数学（北京专用，范围：空间向量与立体几何直线与圆椭圆）试题Word版附解析

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一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11．直线或单位圆
12．；
13．
14．
15．①②③
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
16．（13分）
【详解】（1）据点可设直线方程为.
圆的方程可化为，故点到所求直线的距离为，
从而.（4分）
所以，
得.
这就说明或，所以所求直线的方程为或.（7分）
（2）设所求圆的圆心坐标为，由于该圆与轴相切，故该圆的半径为，
所以该圆的方程是，即.（11分）
而该圆被直线截得的弦长为，故该圆圆心到直线的距离为.
所以，解得.
故所求的圆的方程为或.（13分）
17．（14分）
【详解】（1）设圆A的半径为r，由题意知，
圆心到直线l的距离为，即，
所以圆A的方程为；（5分）
（2）当直线与x轴垂直时，直线方程为，即，
点A到直线的距离为1，此时，符合题意；
当直线与x轴不垂直时，设，即，
取的中点Q，连接，则，（9分）
因为，所以，（10分）
又点A到直线的距离为，（12分）
所以，解得，所以直线方程为．
综上，直线的方程为或．（14分）
18．（13分）
【详解】（1）因为平面，平面，所以，又因为，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，A0,0,0,,,,,,（5分）
设平面的法向量为
得，取，（9分）
设直线与平面所成角为，所以.（11分）

（2）因为,，
设点到平面的距离为，所以 .（13分）
19．（15分）
【详解】（1）由题意得，且，即，
解得，
所以椭圆的离心率.（5分）
（2）由题意，得.
设，则.（8分）
所以，（12分）
因为，
所以当时，；当时，.
所以的取值范围为.（15分）
20．（15分）
【详解】（1）平面平面，
平面平面，平面ABC，
所以平面，所以，
因为三棱柱中，，
所以四边形为菱形，所以,
平面，平面,，
所以平面；（4分）
（2）因为平面，平面，
所以平面，
因为平面平面，平面，
所以，
因为平面平面，
平面平面，平面平面，
所以，
所以四边形为平行四边形；（8分）
（3）在平面内，过A作.
因为平面，
如图建立空间直角坐标系，

由题意得，，.
因为，所以，所以.（10分）
由（1）得平面的法向量为.
设平面的法向量为n=x,y,z，则，即，
令，则，所以，（14分）
所以，
由图知二面角的平面角是锐角，
所以二面角的大小为45°.（15分）
21．（15分）
【详解】（1）若时，沿向量的方向击打母球A，则，而，
所以，即两向量同向共线，
所以沿向量的方向击打母球A，能使目标球B向球的球心方向运动；（3分）
（2）若，过点B4,0与点的直线方程为．
依题意，知A，B两球碰撞时，球A的球心在直线上，且在第一象限，

设A，B两球碰撞时球A的球心坐标为，此，
则有，解得，（7分）
即A，B两球碰撞时球A的球心坐标为，
∴母球A的球心运动的直线方程为；（9分）
（3）若，由（2）知．又，
∴，
∴，
故为锐角．（13分）
∴点B4,0到线段的距离小于2，故球A的球心未到直线上的点之前就会与球B碰撞．
故不可能让母球A击打目标球B后，使目标球B向处运动．（15分）1
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D
A
A
B
D
B
B
A
B
C