2024-2025学年高二上学期期中模拟考试数学02（新高考地区专用，空间向量与立体几何直线与圆椭圆）试题Word版附解析

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：空间向量与立体几何+直线和圆的方程+椭圆。
5．难度系数：0.62。
第一部分（选择题 共58分）
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】B
【详解】对于A，设，即，解得，
所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故A错误；
对于B，设，无解，
所以不共面，能构成空间的一组基底，故B正确；
对于C，设，解得，
所以共面，不能构成空间的一个基底，故C错误；
对于D，设，解得，
所以共面，不能构成空间的一个基底，故D错误.
故选：B.
2．直线与直线的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设两直线的倾斜角分别为，由，则，
由，则，即，
则两直线夹角为.
故选：B.
3．设定点，，动点满足条件，则点的轨迹是（ ）
A．椭圆B．线段C．射线D．椭圆或线段
【答案】D
【详解】因为，所以，
当且仅当时等号成立，
当时，，而，此时点的轨迹是线段；
当时，，
此时点的轨迹是以、为焦点的椭圆．
综上所述，点的轨迹是以、为焦点的椭圆或线段.
故选：D.
4．如图所示，在棱长为2的正方体中，E为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【详解】如图，以D为原点，分别以所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
因为正方体的棱长为2，则.
所以，又
所以.

故选：C.
5．已知直线：和直线：，则“”是“∥”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】当时，，解得或，
当时，两直线分别为，符合题意，
当时，两直线分别为符合题意，
所以“”是“∥”的充分不必要条件
故选：B
6．已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，为的中点，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】如下图所示：

根据题意可知，由椭圆定义可得，
又为的中点，可得，
因为，由勾股定理可得，即；
结合整理可得，即，
解得或（舍）.
故选：C
7．已知两个不同的圆，均过定点，且圆，均与轴、轴相切，则圆与圆的半径之积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】当点在第一象限时，圆，的方程为的形式，
代入点的坐标，可得关于的方程，
圆，的半径，是该方程的两个不同实根，
所以，同理，当点在第二、三、四象限时也可得．
当点在轴上时，，
此时圆，的圆心分别位于第一、二象限（或第三、四象限），两圆在点处相切，
且，满足．
同理，当点在轴上时，，同样满足．
故选：C.
8．如图所示，四面体的体积为，点为棱的中点，点分别为线段的三等分点，点为线段的中点，过点的平面与棱分别交于，设四面体的体积为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】连接，
由题意知：；
令，则，，
四点共面，（当且仅当时取等号），
；
设点到平面的距离为，则点到平面的距离为，
又，，
，即的最小值为.
故选：C.
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ）
A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则
B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则
C．直线的方向向量，平面的法向量是，则
D．直线的方向向量，平面的法向量是，则
【答案】AB
【详解】两条不重合直线，的方向向量分别是，，则，所以，A正确；
两个不同的平面，的法向量分别是，，则，所以，B正确；
直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以或，C错误；
直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以，D错误．
故选：AB
10．已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为5
B．的最大值为
C．直线与圆相切时，
D．圆心到直线的距离最大为4
【答案】BC
【详解】圆的方程可化为，所以圆的圆心为，半径.
，Px0,y0是圆上的点，
所以的最大值为，A选项错误.
如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大，
此时，且，B选项正确.
直线，即，过定点，
若直线与圆相切，则圆心到直线的距离为，
即，解得，所以C选项正确.
圆心到直线的距离，
当时，，
当时，，所以D选项错误.
故选：BC
11．已知直线交椭圆于A，B两点，，为椭圆的左、右焦点，M，N为椭圆的左、右顶点，在椭圆上与关于直线l的对称点为Q，则（ ）
A．若，则椭圆的离心率为
B．若，则椭圆的离心率为
C．
D．若直线平行于x轴，则
【答案】ACD
【详解】如图，直线l与交于G，
对于A，若，则，所以，
所以，故A正确；
对于B，设Ax0,y0，则，且即，
所以，
所以，故B错误；
对于C，由题意可知是中位线，故，故C正确；
对于D，设点，则直线，
因为直线平行于x轴，所以点的中点，
所以由点G在直线l上且得，
解得，即，
因此，故D正确.
故选：ACD．
第二部分（非选择题 共92分）
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知点在圆上，点，当最小时， .
【答案】
【详解】设圆的圆心为，半径为4，
如图所示：当 最小时，与圆M相切，连接，
则，，而，
由勾股定理得，
所以当最小时，.
故答案为：.
13．下列关于直线方程的说法正确的是 .①直线的倾斜角可以是；②直线l过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为；③过点的直线的直线方程还可以写成；④经过，两点的直线方程可以表示为.
【答案】①③
【详解】对于①，当时，直线方程为：，此时直线倾斜角为，①正确；
对于②，当直线过坐标原点时，，此时其在两坐标轴上的截距相等；
当直线不过坐标原点时，设，则，；
综上所述：过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为：或，②错误；
对于③，在直线上，，
则，，③正确；
对于④，若或，则过两点的直线无法表示为，④错误.
故答案为：①③.
14．正方体的棱长为，是侧面（包括边界）上一动点，是棱上一点，若，且的面积是面积的倍，则三棱锥体积的最大值是 ．
【答案】
【详解】由已知平面，平面，
所以,
因为平面，平面，
所以，
所以，又，
所以，又的面积是面积的倍，所以，
以点为原点，为轴建立空间直角坐标系，则，，
设点的坐标为，则，，由已知，
所以，所以，其中，，
所以点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆在侧面内的一段圆弧，
过点作，因为平面，所以平面，即平面，
所以为三棱锥的高，所以三棱锥的体积，
因为，，所以， ，
所以当时，取最大值，最大值为，所以当时，三棱锥体积取最大值，最大值为.故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知直线的方程为：.
(1)求证：不论为何值，直线必过定点；
(2)过点引直线交坐标轴正半轴于两点，当面积最小时，求的周长.
【详解】（1）证明：由可得：，
令，所以直线过定点．分
（2）由（1）知，直线恒过定点，
由题意可设直线的方程为，设直线与轴，轴正半轴交点为，
令x=0，得；令，得，分
所以面积 ，
当且仅当，即时，面积最小，分
此时，，，
的周长为.
所以当面积最小时，的周长为分
16．（15分）如图，在三棱柱中，平面.
(1)求证：平面平面；
(2)设点为的中点，求平面与平面夹角的余弦值.
【详解】（1）证明平面平面，.
又，且平面，平面.
平面.又，且平面，
平面.平面，
平面平面分
（2）由（1）知，所以四边形为正方形，即，且有.
以点为原点，以所在直线分别为轴，以过点和垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
所以，设平面的一个法向量n=x,y,z，
则即取，同理可得平面的一个法向量，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为分
17．（15分）已知椭圆C：的焦距为，离心率为.
(1)求C的标准方程；
(2)若，直线l：交椭圆C于E，F两点，且的面积为，求t的值.
【详解】（1）由题意得，，， 又，则， 则，
所以C的标准方程为分
（2）由题意设，，如图所示：
联立，整理得， ，
则，， 故
设直线l与x轴的交点为，又，则，
故，
结合，解得分
18．（17分）
如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，.
(1)求证：平面.
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
(3)在棱上是否存在点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【详解】（1）∵平面平面，且平面平面，
且，平面，∴平面，∵平面，∴，
又，且，平面，∴平面；分
（2）取中点为，连接，
又∵，∴．则，
∵，∴，则，
以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
则，，，，
设为平面的一个法向量，
则由，得，令，则．
设与平面的夹角为，
则；分
（3）假设在棱上存在点点，使得平面.
设，，
由（2）知，，，，则，，
，
由（2）知平面的一个法向量．
若平面，则，
解得，又平面，
故在棱上存在点点，使得平面，此时分
19．（17分）已知圆O的方程为．
(1)求过点的圆的切线方程；
(2)已知两个定点，，其中，．为圆上任意一点，（为常数），
①求常数的值；
②过点作直线与圆交于、两点，若点恰好是线段的中点，求实数的取值范围．
【详解】（1）圆的圆心坐标为O0,0，半径为，
当过点的圆O的切线斜率不存在时，切线方程为；
当斜率存在时，设切线方程为，即．
由，解得，则切线方程为．
过点的圆O的切线方程为或．分
（2）①设点Px,y，则，
，
，，，
又，化简得，
P为圆O上任意一点，，
又，，解得，常数． 分
②由①知，，，点，圆，
设，M是线段的中点，，
又，在圆上，即关于的方程组有解，
化简得有解，
即直线与圆有交点，
则圆心到直线的距离，
化简得：，
解得．分