2024-2025学年高一上学期期中模拟考试数学（江苏专用，苏教版2019必修第一册第1-5章）试题Word版附解析

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（时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：苏教版2019必修第一册第1章~第5章。
5．难度系数：0.65。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由可得，故．
故选B.
2．已知a，b，c为实数，下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【解析】对A：当时，；当时，.故A错误；
对B：当时，.故B错误；
对C：因为，所以，故成立.故C正确；
对D：若，则.故D错误.
故选：C
3．已知不等式的解集是，则不等式的解集是（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】A
【解析】的解集为，
且方程的两根为：和，
，解得： ，
，即，解得：，
的解集为.
故选A.
4．已知函数．若．则实数（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【解析】结合题意可得：，
，
解得：.
故选：B.
5．函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由函数，
当时，根据函数与函数在上单调递增，
则函数在的单调递增，故排除BC；
当时，，故排除A，则D正确.
故选：D.
6．用某品牌计算器计算对数时，需按lg ( a，b ) ，某学生误按为lg ( b，a ) ，所得结果为正确值的倍.已知，则的关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由已知得，，
.
故选：A.
7．“”是“不等式对于任意正实数x，y恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，对于任意正实数x，y，
，当且仅当时取等号，
即此时不等式 对于任意正实数x，y恒成立；
当不等式 对于任意正实数x，y恒成立时，
，
当且仅当时取等号，
此时需满足，解得，此时a不一定等于9，
故“”是“不等式 对于任意正实数x，y恒成立”的充分不必要条件，
故选：A.
8．已知定义在上的函数满足，均有，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，则，
其定义域为，定义域关于原点对称，故为上的奇函数，
不妨设，故，即，
故为上的增函数，故为上的增函数.
又，
故即，所以，
故，故原不等式的解集为.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．对于定义在R上的函数，下述结论正确的是（ ）
A．若，则是奇函数
B．若函数的图象关于轴对称，则为偶函数
C．方程有一个正实根，一个负实根，则
D．若函数满足，则是增函数
【答案】BC
【解析】定义域内满足的函数是奇函数，选项A的条件无法确保是奇函数，故A错误；
函数的图像关于轴对称，，则是偶函数，故B正确；
由根与系数的关系可知方程的有两根时，或，
由根与系数的关系可知方程两根之积为，由题意可得，
综上可得，故选项C正确；
由增函数的定义可知，需满足，函数才是增函数，故选项D错误；
故选：BC.
10．已知正数，满足，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．的最小值为D．的最小值
【答案】ABD
【解析】因为正数，满足，
所以，当且仅当，即，时等号成立，
解得，所以，故的最大值为，故A正确；
，
即，
又，所以，
所以的最小值为，当且仅当，即，时等号成立，故B正确；
由可得，
所以，
当且仅当时等号成立，此时，，又为正数，矛盾，故C错误；
，
当且仅当，即，时等号成立，故D正确.故选ABD.
11．定义在的函数满足，且当时，，则（ ）
A．是奇函数B．在上单调递增
C．D．
【答案】ABC
【解析】对于A，令，可得，再令，可得，且函数定义域为，所以函数为奇函数，故A正确；
对B，令，则，，可得，所以，
由函数性质可得，即，所以在上单调递增，故B正确；
对于C，令，可得，所以，即，故C正确；
对D，因为函数为增函数，所以，由C可知，故D错误.
故选：ABC.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知函数，.若命题“，不等式恒成立”是假命题，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】当恒成立，
当时，且，解得：，
当时,成立，所以，
命题“，不等式恒成立”是假命题，
所以的取值范围为：或．
故答案为：.
13．已知，则当时，的最小值为 ．
【答案】1
【解析】因为，令，则，
所以，
所以.
所以当时，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故答案为：1
14．已知函数，若，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为当时，，，
当时，，，
又，综上，为R上的奇函数，
当时，，
由二次函数的性质可知此时函数在上单调递增，
又因为为R上的奇函数，所以函数在R上单调递增，
令，
根据复合函数的单调性可知，在上单调递增，
则上在上单调递增，且，
则将原不等式转化为，解得,
所以a的取值范围是.
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）（1）计算：；
（2）已知，求的值．
【解析】（1）
2分
4分
；6分
（2）∵，
∴，，9分
∴
11分
．13分
16．（15分）某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整出的员工平均每人每年创造利润为万元，剩余员工平均每人每年创造的利润可以提高.
(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
(2)在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？
【解析】（1）由题意得：，2分
即，又，所以.
即最多调整500名员工从事第三产业.4分
（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，
从事原来产业的员工的年总利润为万元，6分
则8分
所以
所以，
即恒成立，10分
因为，
当且仅当，即时等号成立.13分
所以，又，所以，
即的取值范围为.15分
17．（15分）已知函数，.
(1)判断函数的奇偶性并用定义证明；
(2)用分段函数的形式表示函数的解析式，并直接在本题给出的坐标系中画出函数的图像；
(3)用表示，中的较大者，即，若，则求的值.
【解析】（1）函数为上的奇函数，1分
因为，
所以函数为上的奇函数.4分
（2），5分
图象如图所示，
8分
（3），若，则，
此时，，满足题意；10分
若，显然时，无解；12分
因此，，解得，此时满足题意．14分
所以或15分
18．（17分）已知关于的不等式的解集为，不等式的解集为.
(1)若，求P；
(2)若，求的值；
(3)若“”是“”的充分非必要条件，求实数的取值范围.
【解析】（1）因为，所以不等式可化为，也即，2分
解得：，故.4分
（2）由不等式可化为，5分
因为关于的不等式的解集为，6分
所以和是方程的两根，
所以.8分
（3）因为不等式可化为：，解得：，所以,又因为“”是“”的充分非必要条件，所以是的真子集，9分
当时，，满足题意；11分
当时，，要使是的真子集，则有，所以；13分
当时，，满足是的真子集，14分
当时，，满足是的真子集，15分
当时，，满足是的真子集，16分
综上所述：实数的取值范围为.17分
19．（17分）已知函数是定义域上的奇函数，且．
(1)判断并证明函数在上的单调性；
(2)令函数，若对，都有，求实数的取值范围．
【解析】（1）解：由函数为奇函数，且，
可得，则，解得，可得，2分
经检验，有解析式可知，定义域，关于原点对称，
可得，所以是奇函数，满足题意4分
函数在上单调递减，在上单调递增，5分
证明如下：任取，且，
则，
因为，且，所以，，
所以，所以，即，
所以函数在上单调递减，同理可证明函数在上单调递增．8分
（2）解：由题意，函数，令，可得，10分
由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增，所以，
因为函数的对称轴方程为，
所以函数在上单调递增，12分
当时，取得最小值，；
当时，取得最大值，．
所以，，14分
又因为对任意的都有恒成立，
所以，即，解得，16分
又因为，所以，所以实数的取值范围是．17分